BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -* - PHẠM THỊ NGUYỀN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ θ − φ CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -* - PHẠM THỊ NGUYỀN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ θ − φ CO SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TỐN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 8.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN ĐỨC THÀNH Nghệ An - 2019 LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập nghiên cứu đề tài khoa học tác giả bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS Trần Đức Thành, người hướng dẫn bảo tận tình trình học tập nghiên cứu khoa học Bên cạnh đó, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy cơ, gia đình, bạn bè người thân giúp đỡ tạo điều kiện tốt để thân hồn thành luận văn Tuy nhiên điều kiện lực thân hạn chế nên đề tài nghiên cứu khoa học chắn khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả kính mong Thầy giáo bạn đọc có ý kiến góp ý để luận văn hồn thiện Nghệ An, tháng năm 2019 Tác giả Phạm Thị Nguyền Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Định lý điểm bất động cho ánh xạ co θ − φ Suzuki 1.1 Không gian mêtric 1.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki 6 Định lý điểm bất động cho số ánh xạ θ − φ co suy rộng 2.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ co yếu 2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co 2.3 Điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co 19 19 27 34 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Nó có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: vật lý, hóa học, sinh học, kinh tế nhiều lĩnh vực khác toán học Một hướng nghiên cứu nhà toán học tìm cách mở rộng điều kiện co cho ánh xạ, từ chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ lớp không gian mêtric hay mêtric suy rộng Năm 1922, Banach đề xuất chứng minh nguyên lý ánh xạ co Từ có nhiều phép co đề xuất nhằm mở rộng phép co Năm 2014, M Jleli B Samet [4] đưa khái niệm C-co, sau tác giả chứng minh định lý điểm bất động cho phép co lớp không gian mêtric chữ nhật Tiếp nối, D W Zeng cộng [5] đề xuất khái niệm ánh xạ θ − φ co kiểu Suzuki, mở rộng phép co biết Banach, Suzuki, Jleli, Kannan, Browder, Boyd-Wong hay Matkowski Năm 1977, B E Rhoades so sánh 250 phép co khác hầu hết ánh xạ thỏa mãn phép co khơng cần liên tục miền xác định, nhiên ánh xạ phép co địi hỏi phải liên tục điểm bất động Sự liên tục đủ mạnh phép co Câu hỏi đặt rằng: phải tồn phép co cho ánh xạ có điểm bất động khơng thiết ánh xạ phải liên tục điểm bất động Để trả lời câu hỏi mở trên, năm 1999, Pant [8] đề xuất kết đầu tiên, sau năm 2017, Pant Bist [2] đề xuất kết khác Tiếp nối kết D W Zeng P Whang [7] đề xuất khái niệm ánh xạ θ − φ co yếu chứng minh ánh xạ cho phép co không cần liên tục điểm bất động Với mục đích muốn tìm hiểu điều kiện co kiểu θ − φ định lí điểm bất động với dạng suy rộng lớp khơng gian mêtric, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Điểm bất động cho số ánh xạ θ − φ co suy rộng không gian mêtric” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Tìm hiểu trình bày cách có hệ thống khái niệm, tính chất định lý điểm bất động cho số ánh xạ θ − φ co suy rộng lớp không gian mêtric thông qua tài liệu ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu không gian mêtric, tồn điểm bất động số ánh xạ θ − φ co suy rộng Phạm vi nghiên cứu mối liên quan đối tượng trên; định lý điểm bất động cho số ánh xạ θ − φ co suy rộng ví dụ minh họa NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Nhiệm vụ nghiên cứu tìm hiểu không gian mêtric số mở rộng ánh xạ θ − φ co suy rộng lớp không gian mêtric PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp sử dụng phương pháp suy luận toán học CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN Bố cục luận văn gồm chương: Chương 1: Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki Chương trình bày số khái niệm, tính chất lớp khơng gian mêtric, ví dụ không gian mêtric định lý tồn điểm bất động ánh xạ co θ − φ Suzuki 1.1 Khơng gian mêtric Mục trình bày số khái niệm, tính chất, ví dụ không gian mêtric 1.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki Mục dành để trình bày số khái niệm ánh xạ θ − φ Suzuki, phép chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki, đồng thời nêu hệ ví dụ minh họa lớp không gian mêtric Chương 2: Định lý điểm bất động cho số ánh xạ θ−φ co suy rộng Chương trình bày số kết điểm bất động cho ánh xạ θ − φ co yếu, ánh xạ θ − φ − C co, điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co lớp không gian mêtric 2.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ co yếu Trình bày khái niệm ánh xạ θ − φ co yếu định lý điểm bất động cho ánh xạ ánh xạ θ − φ co yếu, hệ ví dụ minh họa lớp không gian mêtric 2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co Mục trình bày kết điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co lớp không gian mêtric 2.3 Điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co Mục trình bày khái niệm điểm bất động đôi, kết điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co lớp không gian mêtric Chương Định lý điểm bất động cho ánh xạ co θ − φ Suzuki Chương trình bày số khái niệm, tính chất bản, ví dụ khơng gian mêtric định lý tồn điểm bất động ánh xạ co θ − φ Suzuki 1.1 Không gian mêtric Mục trình bày số khái niệm, tính chất, ví dụ không gian mêtric 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng, ánh xạ d : X × X → [0, +∞) gọi mêtric X với x, y, z ∈ X điều kiện sau thỏa mãn d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = x = y ; d(x, y) = d(y, x); d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Khi đó, (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric Dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ tới x ∈ X lim d(xn , x) = 0; n→∞ Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy lim d(xn , xm ) = 0; n,m→∞ Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy {xn } ⊂ X hội tụ x ∈ X 1.1.3 Mệnh đề 1) Cho (X, d) không gian mêtric, x1 , x2 , , xn n điểm tùy ý X(n ≥ 2) Khi ta có d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + + d(xn−1 , xn ) 2) Nếu x1 , x2 , x3 , x4 điểm tùy ý khơng gian mêtric (X, d) |d(x1 , x2 ) − d(x3 , x4 )| ≤ d(x1 , x3 ) + d(x2 , x4 ) 1.1.4 Ví dụ 1) Cho X = R+ ánh xạ d : X × X → X xác định d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X Khi đó, (X, d) khơng gian mêtric 2) Cho X = ∅ ánh xạ d : X × X → R+ xác định d(x, y) = x = y x = y, với x, y ∈ X Khi đó, (X, d) khơng gian mêtric Thật vậy, điều kiện 1) 2) Định nghĩa 1.1.1 hiển nhiên Để kiểm tra điều kiện 3) Định nghĩa 1.1.1 Với x, y, z ∈ X , ta xét trường hợp sau i) Nếu x = z d(x, z) = 1, x = z nên x = y y = z Do d(x, y) + d(y, z) ≥ ii) Nếu x = z d(x, z) = ta có d(x, y) + d(y, z) ≥ Vậy, từ i) ii) ta có d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với x, y, z ∈ X 3) Cho X = Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, n.} ánh xạ d : X × X → R+ xác định n |xi − yi |2 } , d(x, y) = { i=1 x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn Khi đó, (X, d) không gian mêtric Thật vậy, điều kiện 1) 2) Định nghĩa 1.1.1 hiển nhiên Để kiểm tra điều kiện 3) Định nghĩa 1.1.1 ta sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2n số Với x = (x1 , x2 , , xn ); y = (y1 , y2 , , yn ), z = (z1 , z2 , , zn ) ∈ X , ta cần chứng minh n n d(x, z) = { |xi −zi | } ≤ { i=1 n 2 |yi −zi |2 } = d(x, y)+d(y, z) |xi −yi | } +{ i=1 i=1 Thật vậy, ta có n n |xi − yi + yi − zi |2 |xi − zi | = i=1 i=1 n n |xi − yi | + = i=1 n |yi − zi | + i=1 n ≤ n i=1 n i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 1 Suy { ni=1 |xi − zi |2 } ≤ { ni=1 |xi − yi |2 } + { Vậy, d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X 1.2 |yi − zi |2 } 2 |yi − zi |2 } |xi − yi | } + { |xi − yi | } { n { |yi − zi | + 2{ n ≤ n |xi − yi | + i=1 (xi − yi )(yi − zi ) n i=1 |yi − zi |2 } Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki Mục dành để trình bày số khái niệm ánh xạ θ − φ Suzuki, phép chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ Suzuki, đồng thời nêu hệ ví dụ minh họa lớp khơng gian mêtric Gọi Θ tập hợp hàm θ : (0, ∞) → (1, ∞) thỏa mãn điều kiện sau (Θ1 ) θ hàm không giảm ; (Θ2 ) Với dãy {tn } ⊂ (0, ∞), limn→∞ θ(tn ) = limn→∞ tn = 0+ ; (Θ3 ) θ hàm liên tục (0, ∞) Gọi Φ tập hợp hàm φ : [1, ∞) → [1, ∞) thỏa mãn điều kiện sau (Φ1 ) φ hàm không giảm ; (Φ2 ) Với t> 1, limn→∞ φn (t) = 1; (Φ3 ) φ hàm liên tục [1, ∞) 1.2.1 Bổ đề ([6]) Nếu φ ∈ Φ φ(1) = 1, với t > ta có φ(t) < t Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn t0 > cho φ(t0 ) ≥ t0 Vì tính khơng giảm hàm φ nên ta có φn (t0 ) ≥ t0 với n ∈ N, điều mâu thuẫn với limn→∞ φn (t0 ) = Vì vậy, với t > ta có φ(t) < t Mặt khác, ≤ φ(1) ≤ φ(t) < t với t > nên cho t → ta nhận φ(1) = 25 Trường hợp x = 1 , y = 0, n ≥ x = − , y = 0, n ≥ Trong trường n n hợp này, ta có d(T x, T y) = n − N (T x, T y) = 2n − Khi φ[θ(N (T x, T y))] = φ(θ(2n − 1)) = φ(52n−1 ) = 52n−1 − = 5n 5n−1 − ≥ 5n−1 = θ(d(T x, T y)) 1 1 Trường hợp x = , y = , n > m ≥ x = − , y = − , n > m ≥ n m n m Trong trường hợp này, ta có d(T x, T y) = n − m N (T x, T y) = 2n − Khi φ[θ(N (T x, T y))] = φ(θ(2n − 1)) = φ(52n−1 ) = 52n−1 − = 5n+m−1 5n−m − ≥ 5n−m = θ(d(T x, T y)) 1 Trường hợp x = n, y = , n ≥ m > x = −n, y = − , n ≥ m > m m Trong trường hợp này, ta có d(T x, T y) = n + m − N (T x, T y) = 2n − Khi φ[θ(N (T x, T y))] = φ(θ(2n − 3)) = φ(52n−3 ) = 52n−3 − = 5n−m 5n+m−3 − ≥ 5n+m−3 = θ(d(T x, T y)) 1 Trường hợp x = n, y = , m > n ≥ 1, x = −n, y = − , m > n ≥ m m Trong trường hợp này, ta có d(T x, T y) = n + m − N (T x, T y) = 2m − 26 Khi φ[θ(N (T x, T y))] = φ(θ(2m − 1)) = φ(52m−1 ) = 52m−1 − = 5m−n+2 5n+m−3 − ≥ 5n+m−3 = θ(d(T x, T y)) 1 Trường hợp x = −n, y = , n > m > x = n, y = − , n > m > m m Trong trường hợp này, ta có d(T x, T y) = n − m − N (T x, T y) = 2n − Khi φ[θ(N (T x, T y))] = φ(θ(2n − 3)) = φ(52n−1 ) = 52n−3 − = 5n+m−2 5n−m−1 − ≥ 5n−m−1 = θ(d(T x, T y)) 1 Trường hợp x = −n, y = , m ≥ n ≥ x = n, y = − , m ≥ n ≥ m m Trong trường hợp này, ta có d(T x, T y) = m − n + N (T x, T y) = 2m − Khi φ[θ(N (T x, T y))] = φ(θ(2m − 1)) = φ(52m−1 ) = 52m−1 − = 5n+m−2 5m−n+1 − ≥ 5m−n+1 = θ(d(T x, T y)) Như vậy, với x, y ∈ X ta ln có θ(d(T x, T y)) ≤ φ[θ(N (T x, T y))] Chứng tỏ T ánh xạ θ − φ co yếu Áp dụng Định lý 2.1.2 ta suy T có điểm bất động nhất, rõ ràng x = điểm bất động T 2.1.4 Nhận xét ([8]) Trong ví dụ trên, T khơng ánh xạ không giãn Chẳng hạn, 1 , ta có d(T x, T y) = n > d(x, y) = x = ,y = n 2n 2n 27 T không liên tục tập hợp X → 0, T không liên tục điểm bất động x = Vì n {T 0} {T } n 2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co Mục trình bày kết điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co lớp không gian mêtric 2.2.1 Bổ đề ([7]) Giả sử hàm ψ : [0, +∞)2 → [0, +∞) hàm liên tục cho ψ(x, y) = x = y = Đặt φ1 (t) = inf {ψ(s, 2t − s) : ≤ s ≤ t} Khi φ1 (t) liên tục [0, ∞) φ1 (t) = t = Chứng minh Đặt At = {(x, y) : ≤ x ≤ t, x + y = 2t} Khi At cung R2 Vì ψ(x, y) liên tục At tập compact liên thông R2 , nên ψ(At ) cung R2 , có nghĩa ψ(At ) tập đóng hữu hạn Như φ1 (t) = inf {ψ(s, 2t − s) : ≤ s ≤ t} = inf ψ(At ) = ψ(At ) (2.10) Giả sử t0 ∈ [0, +∞) số tùy ý Đặt Bt0 = {(x, y) : ≤ x ≤ 2t0 + 1, ≤ y ≤ 2t0 + 1} Khi ψ(x, y) liên tục Bt0 Như với ε > 0, tồn δ > với δ < cho (u1 , v1 ), (u2 , v2 ) ∈ Bt0 (u1 − u2 )2 + (v1 − v2 )2 < δ ⇒ |ψ(u1 , v1 ) − ψ(u2 , v2 )| < ε δ Bây giờ, giả sử |t − t0 | < Khi với (x, y) ∈ At tồn (x0 , y0 ) ∈ At0 cho (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ Vì |ψ(x, y) − ψ(x0 , y0 )| < ε Suy ψ(x, y) > ψ(x0 , y0 ) − ε ≥ φ1 (t0 ) − ε Do φ1 (t) > φ1 (t0 ) − ε Tương tự, ta có φ1 (t0 ) > φ1 (t) − ε 28 Khi ta có |ψ(t) − ψ(t0 )| < ε, điều chứng tỏ hàm ψ(t) liên tục điểm t0 Vì t0 điểm tùy ý nên hàm ψ(t) liên tục [0, ∞) Nếu t = At = {(0, 0)} Vì φ1 (t) = Nếu φ1 (t) = từ (2.10), tồn (x, y) ∈ At cho ψ(x, y) = φ1 (t) = x+y = Khi (x, y) = (0, 0), t = 2.2.2 Bổ đề ([7]) Giả sử ψ, φ1 xác định Bổ đề 2.2.1 đặt φ(t) = t với t ∈ [1, +∞) Khi φ ∈ Φ eφ1 (2lnt) 2.2.3 Bổ đề ([7]) Giả sử (X, d) không gian mêtric {xn } dãy X cho limn→∞ d(xn , xn+1 ) = Nếu {xn } dãy Cauchy (X, d) tồn > hai dãy {m(k)}, {n(k)} số nguyên dương cho m(k) > n(k) > k bốn dãy sau d(xm(k) , xn(k) ), d(xm(k) , xn(k)+1 ), d(xm(k)−1 , xn(k) ), d(xm(k)−1 , xn(k)+1 ) dần đến + k → ∞ 2.2.4 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ T : X → X gọi ánh xạ C− co tồn α ∈ [0, ) cho với x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ α(d(x, T y) + d(y, T x)) 2.2.5 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ T : X → X gọi ánh xạ C− co yếu với x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ (d(x, T y) + d(y, T x)) − ψ(d(x, T y), d(y, T x)), hàm ψ xác định Bổ đề 2.2.1 2.2.6 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric Ánh xạ T : X → X gọi ánh xạ θ − φ − C co tồn θ ∈ Θ φ ∈ Φ cho với x, y ∈ X ta có θ(d(T x, T y)) ≤ φ[θ( d(x, T y) + d(y, T x) )] (2.11) 2.2.7 Định lí ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T : X → X ánh xạ θ − φ − C co với θ ∈ Θ φ ∈ Φ Khi đó, ánh xạ T có điểm bất động x∗ ∈ X x ∈ X ta có dãy {T n x} hội tụ đến x∗ 29 Chứng minh Giả sử x0 ∈ X điểm tùy ý, ta xây dựng dãy lặp {xn } X sau xn+1 = T xn , n = 0, 1, 2, 3, Trường hợp Nếu xn0 +1 = xn0 , n0 ∈ N T xn0 = xn0 Khi x∗ = xn0 điểm bất động ánh xạ T Trường hợp Giả sử xn = xn+1 với n ∈ N Khi d(xn , xn+1 ) > với n ∈ N Đặt dn = d(xn , xn+1 ) Áp dụng bất đẳng thức (2.11) với x = xn−1 , y = xn , ta có θ(dn ) = θ(d(xn , xn+1 )) = θ(d(T xn−1 , T xn )) d(xn−1 , T xn ) + d(xn , T xn−1 ) )] ≤ φ[θ( d(xn−1 , xn+1 ) ≤ φ[θ( )] d(xn−1 , xn ) + d(xn , xn+1 ) )] ≤ φ[θ( dn−1 + dn dn−1 + dn ≤ φ[θ( )] < θ( ) 2 Từ định nghĩa hàm θ hàm không giảm nên suy dn < dn−12+dn nên dn < dn−1 Vậy {dn } dãy giảm bị chặn {dn } hội tụ đến r ∈ R+ Nếu r > lấy giới hạn hai vế bất đẳng thức θ(dn ) ≤ φ[θ( dn−12+dn )] ta có θ(r) ≤ φ(θ(r)) Từ Hệ 1.2.1 φ(θ(r)) < θ(r) Khi ta có θ(r) ≤ φ(θ(r)) < θ(r), điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy r = 0, limn→∞ d(xn , xn+1 ) = Tiếp theo, ta chứng minh {xn } dãy Cauchy X Giả sử ngược lại {xn } không dãy Cauchy X Khi theo Bổ đề 2.2.3 tồn η > hai dãy số {m(k)} {n(k)} nguyên dương cho m(k) > n(k) > k bốn dãy sau hội tụ đến η + k → ∞ d(xm(k) , xn(k) ), d(xm(k) , xn(k)+1 ), d(xm(k)−1 , xn(k) ), d(xm(k)−1 , xn(k)+1 ) 30 Từ (2.11) ta có θ(d(xm(k) , xn(k)+1 )) = θ(d(T xm(k)−1 , T xn(k) )) d(xm(k)−1 , T xn(k) ) + d(xn(k) , T xm(k)−1 ) )] ≤ φ[θ( d(xm(k)−1 , xn(k)+1 ) + d(xn(k) , xm(k) ) = φ[θ( )] Từ Θ(3), Φ(3) Bổ đề 2.2.3, lấy giới hạn k → ∞, ta thu θ(η) ≤ φ[θ(η)] Theo Bổ đề 1.2.1 ta có φ[θ(η)] < θ(η) Từ suy θ(η) ≤ φ[θ(η) < θ(η), điều dẫn đến mâu thuẫn Vì {xn } dãy Cauchy X Vì (X, d) khơng gian mêtric đầy đủ nên dãy {xn } hội tụ điểm x∗ ∈ X Bây ta chứng minh x∗ điểm bất động ánh xạ T Thật vậy, từ (2.11) ta có d(x∗ , T xn−1 ) + d(xn−1 , T x∗ ) )] θ(d(T x , T xn−1 )) ≤ φ[θ( d(x∗ , xn ) + d(xn−1 , T x∗ ) = φ[θ( )] Cho n → ∞, ta thu d(x∗ , T x∗ ) d(x∗ , T x∗ ) ∗ ∗ θ(d(T x , x )) ≤ φ[θ( )] < θ( ) 2 Kết hợp với định nghĩa hàm θ, điều dẫn đến mẫu thuẫn Nên suy d(x∗ , T x∗ ) = Vậy x∗ điểm bất động ánh xạ T Bây giờ, chứng minh x∗ điểm bất động ánh xạ T Thật vậy, giả sử ngược lại y ∗ ∈ X điểm bất động khác ánh xạ T Khi từ (2.11), ta có d(x∗ , T y ∗ ) + d(y ∗ , T x∗ ) ∗ ∗ ∗ ∗ )] θ(d(x , y )) = θ(d(T x , T y )) ≤ φ[θ( = φ[θ(d(x∗ , y ∗ )] < θ(d(x∗ , y ∗ )), ∗ điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy ánh xạ T có điểm bất động x∗ ∈ X x ∈ X ta có dãy {T n x} hội tụ đến x∗ 2.2.8 Hệ ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T ánh xạ C co, tức tồn α ∈ [0, ) cho với x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ α(d(x, T y) + d(y, T x)) 31 Khi T có điểm bất động x∗ ∈ X với x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ Chứng minh Nếu α = hệ chứng minh Vì ta giả sử α ∈ (0, ) Đặt θ(t) = et , với t ∈ [0, +∞) φ(t) = t2α , với t ∈ [1, +∞) Rõ ràng θ ∈ Θ, φ ∈ Φ Tiếp theo, ta chứng minh T ánh xạ θ − φ − C co Thật ta có φ(θ( d(x,T y)+d(y,T x) 2α d(x, T y) + d(y, T x) )) = e = eα(d(x,T y)+d(y,T x)) ≥ ed(T x,T y) = θ(d(T x, T y)) Do đó, T ánh xạ θ − φ − C co Vì theo Định lí 2.2.7 ánh xạ T có điểm bất động x∗ ∈ X với x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ 2.2.9 Hệ ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ T ánh xạ C− co yếu, tức với x, y ∈ X ta có d(T x, T y) ≤ (d(x, T y) + d(y, T x)) − ψ(d(x, T y), d(y, T x)), hàm ψ xác định bổ đề 2.2.1 Khi ánh xạ T có điểm bất động x∗ ∈ X với x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ Chứng minh Đặt θ(t) = et , φ1 (t) = inf {ψ(s, 2t − s) : ≤ s ≤ t}, với t ∈ [0, +∞) Rõ ràng θ ∈ Θ , đặt φ(t) = t eφ1 (2lnt) , với t ∈ [1, +∞) Khi đó, từ Bổ đề 2.2.1 2.2.2, ta có φ ∈ Φ 32 Tiếp theo, ta chứng minh T ánh xạ θ − φ − C co Thật ta có φ(θ( d(x,T y)+d(y,T x) d(x, T y) + d(y, T x) )) = φ(e ) d(x,T y)+d(y,T x) e = φ (d(x,T y)+d(y,T x)) e d(x,T y)+d(y,T x) e ≥ ψ(d(x,T y),d(y,T x)) e d(x,T y)+d(y,T x) −ψ(d(x,T y),d(y,T x))] = e[ ≥ ed(T x,T y) = θ(d(T x, T y)) Như vậy, T ánh xạ θ − φ − C co Vì từ Định lí 2.2.7, ánh xạ T có điểm bất động x∗ ∈ X với x ∈ X dãy {T n x} hội tụ đến x∗ 2.2.10 Ví dụ ([7]) Cho dãy {Sn } xác định sau n(n + 1) , Cho X = {Sn : n ∈ N} d(x, y) = |x − y| Khi (X, d) khơng gian mêtric đầy đủ Ánh xạ T : X → X xác định T S1 = S1 T Sn = Sn−1 với n > Đầu tiên, ta thấy điều kiện co Banach áp dụng S1 = 1, S2 = + 2, , Sn = + + + + n = d(T Sn , T S1 ) Sn−1 − n2 − n − = lim = lim =1 n→∞ d(Sn , S1 ) n→∞ n + n − n→∞ Sn − Hơn nữa, T ánh xạ C − co Thật vậy, giả sử tồn α ∈ 0, 12 cho với x, y ∈ X ta có lim d(T x, T y) ≤ α[d(x, T y) + d(y, T x)] Bây giờ, ta đặt x = Sn , y = S1 , từ bất đẳng thức ta có n(n − 1) − = d(T x, T y) ≤ α[d(x, T y) + d(y, T x)] = α[d(Sn , T S1 ) + d(S1 , T Sn )] = α(n2 − 2), n(n−1) − n2 − 1 Cho n → ∞ ta α ≥ , điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy T ánh xạ C− co với n ∈ N Suy α ≥ 33 Bây giờ, xét hàm θ : (0, ∞) → (1, ∞) cho công thức θ(t) = et , hàm φ : [1, ∞) → [1, ∞) cho công thức φ(t) = , ≤ t ≤ 2, t − , t ≥ Rõ ràng θ ∈ Θ, φ ∈ Φ Tiếp theo ta chứng minh T ánh xạ θ − φ − C co Thật vậy, ta xét hai trường hợp Trường hợp x = Sn , y = Sm , n > m > Trong trường hợp này, ta có d(T x, T y) = d(T Sn , T Sm ) = Sn−1 − Sm−1 , d(x, T y) = d(Sn , Sm−1 ) = Sn − Sm−1 = n + Sn−1 − Sm−1 , d(y, T x) = d(Sm , Sn−1 ) = Sn−1 − Sm = Sn−1 − Sm−1 − m, d(x, T y) + d(y, T x) n−m )) = φ(θ(Sn−1 − Sm−1 + )) φ(θ( 2 n−m = eSn−1 −Sm−1 + − n−m = e eSn−1 −Sm−1 − > eSn−1 −Sm−1 = θ(d(T x, T y)) Trường hợp x = Sn , y = S1 , n > Trong trường hợp này, ta có d(T x, T y) = d(T Sn , T S1 ) = Sn−1 − S1 , d(x, T y) = d(Sn , S1 ) = Sn − S1 = n + Sn−1 − S1 , d(y, T x) = d(S1 , Sn−1 ) = Sn−1 − S1 , n d(x, T y) + d(y, T x) φ(θ( )) = φ(θ(Sn−1 − S1 + )) 2 Sn−1 −S1 + n2 =e −1 n = e eSn−1 −S1 − > eSn−1 −S1 = θ(d(T x, T y)) 34 Vì thế, với x, y ∈ X , ta có θ(d(T x, T y) ≤ φ[θ( d(x, T y) + d(y, T x) )] Vậy T ánh xạ θ − φ − C co Do theo Định lí 2.2.7 ánh xạ T có điểm bất động Vì T S1 = S1 nên S1 điểm bất động ánh xạ T 2.3 Điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co Trong phần chúng tơi trình bày khái niệm điểm bất động đôi phép chứng minh định lý điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co lớp không gian mêtric 2.3.1 Định nghĩa ([1]) Cho (X, ) tập có thứ tự phận ánh xạ F : X × X → X Ta nói F có tính đơn điệu trộn F (x, y) đơn điệu tăng theo x đơn điệu giảm theo y , nghĩa với x, y ∈ X ta có x1 , x2 ∈ X, x1 x2 ⇒ F (x1 , y) F (x2 , y), y1 , y2 ∈ X, y1 y2 ⇒ F (x, y1 ) F (x, y2 ) 2.3.2 Định nghĩa ([7]) Phần tử (x, y) ∈ X × X gọi điểm bất động đôi ánh xạ F : X × X → X x = F (x, y) y = F (y, x) 2.3.3 Định lí ([7]) Cho (X, ) tập có thứ tự phận d mêtric X cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X ánh xạ liên tục có tính đơn điệu trộn X Giả sử x, y, u, v ∈ X với x u, y v thỏa mãn θ(d(F (x, y), F (u, v))) ≤ φ[θ( Nếu tồn (x0 , y0 ) ∈ X × X cho x0 có điểm bất động đơi d(x, u) + d(y, v) )] F (x0 , y0 ) y0 (2.12) F (y0 , x0 ) F Chứng minh Giả sử x0 , y0 ∈ X cho x0 F (x0 , y0 ) y0 F (y0 , x0 ) Đặt x1 = F (x0 , y0 ) y1 = F (y0 , x0 ) Khi x0 x1 y0 y1 Lại đặt x2 = F (x1 , y1 ) y2 = F (y1 , x1 ) Khi x1 x2 y1 y2 Tiếp tục trình ta xây dựng hai dãy {xn } {yn } X cho xn+1 = F (xn , yn ) yn+1 = F (yn , xn ) Ta có x0 x1 x2 y0 y1 y2 35 Nếu xn0 +1 = xn0 , yn0 +1 = yn0 với n0 ∈ N xn0 = xn0 +1 = F (xn0 , yn0 ), yn0 = yn0 +1 = F (yn0 , xn0 ) Vì thế, (xn0 , yn0 ) điểm bất động đôi ánh xạ F Tiếp theo, giả sử với n ∈ N ta có xn = F (xn , yn ), yn = F (yn , xn ) nghĩa d(xn+1 , xn ) + d(yn+1 , yn ) > 0, với n ∈ N Từ (2.12), ta có θ(d(xn+1 , xn+2 )) = θ(d(F (xn , yn ), F (xn+1 , yn+1 ))) ≤ φ[θ( d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) )] (2.13) Tương tự, ta có θ(d(yn+1 , yn+2 )) = θ(d(F (yn , xn ), F (yn+1 , xn+1 ))) ≤ φ[θ( d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) )] (2.14) Từ (2.13),(2.14) Bổ đề 1.2.1 ta nhận d(xn+1 , xn+2 ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) , (2.15) d(yn+1 , yn+2 ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) (2.16) Vì từ (2.15), (2.16), ta có d(xn+1 , xn+2 ) + d(yn+1 , yn+2 ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 ) Điều chứng tỏ {d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )} dãy giảm bị chặn Do tồn r ≥ cho lim (d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )) = r n→∞ Giả sử r > 0, (d(xn , xn+1 ) + d(yn , yn+1 )) ≥ r Vì tồn n1 < n2 < < nk < cho với k ∈ N ta có r r d(xnk +1 , xnk +2 ) ≥ d(ynk +1 , ynk +2 ) ≥ 2 36 Khơng tính tổng quát ta giả sử d(xnk +1 , xnk +2 ) ≥ r với k ∈ N Khi từ (2.15) ta suy r d(xnk , xnk +1 ) + d(ynk , ynk +1 ) θ( ) ≤ θ(d(xnk +1 , xnk +2 )) ≤ φ[θ( )] 2 Cho k → ∞ ta thu r r r θ( ) ≤ φ[θ( )] < θ( ), 2 điều dẫn đến mâu thuẫn Vậy r = Do đó, ta có d(xn , xn+1 ) = 0, d(yn , yn+1 ) = (2.17) Bây ta chứng minh {xn } dãy Cauchy X Thật vậy, giả sử {xn } khơng phải dãy Cauchy Khi từ Bổ đề 2.2.3, tồn ε > hai dãy {m(k)}, {n(k)} nguyên dương cho m(k) > n(k) > k lim d(xm(k) , xn(k) ) = lim d(xm(k)+1 , xn(k)+1 ) = ε k→∞ k→∞ (2.18) Nếu tồn k1 < k2 < < ks < cho d(ym(ks ) , yn(ks ) ) < ε với s ∈ N d(xm(ks ) , xn(ks ) ) + d(ym(ks ) , yn(ks ) ) )] d(xm(ks ) , xn(ks ) ) + ε ≤ φ[θ( )] θ(d(xm(ks )+1 , xn(ks )+1 )) ≤ φ[θ( Cho s → ∞ từ (2.18) Hệ 1.2.1, ta thu θ(ε) ≤ φ[θ(ε)] < θ(ε), điều dẫn đến mâu thuẫn Do đó, với k đủ lớn ta có d(ym(k) , yn(k) ) ≥ ε Từ θ(d(ym(k)+1 , yn(k)+1 )) ≤ φ[θ( d(xm(k) , xn(k) ) + d(ym(k) , yn(k) ) )], (2.19) 37 kéo theo d(xm(k) , xn(k) ) + d(ym(k) , yn(k) ) Do đó, từ bất đẳng thức tam giác d ta suy d(ym(k)+1 , yn(k)+1 ) ≤ d(ym(k) , yn(k) ) − d(ym(k) , ym(k)+1 ) − d(yn(k) , yn(k)+1 ) d(xm(k) , xn(k) ) + d(ym(k) , yn(k) ) ≤ d(ym(k)+1 , yn(k)+1 ) ≤ Điều dẫn đến d(ym(k) , yn(k) ) ≤ d(xm(k) , xn(k) ) + 2d(ym(k) , ym(k)+1 ) + 2d(yn(k) , yn(k)+1 ) (2.20) Do đó, từ (2.17), (2.19) (2.20), ta có lim d(ym(k) , yn(k) ) = ε n→∞ Từ θ(d(xm(k)+1 , yn(k)+1 )) ≤ φ[θ( cho k → ∞, ta d(xm(k) , xn(k) ) + d(ym(k) , yn(k) ) )], θ(ε) ≤ φ[θ(ε)] < θ(ε), điều mâu thuẫn Vậy {xn } dãy Cauchy X Tương tự, {yn } dãy Cauchy X Vì X đầy đủ nên tồn x, y ∈ X cho xn → x yn → y Và F ánh xạ liên tục, xn+1 = F (xn , yn ) → F (x, y) yn+1 = F (yn , xn ) → F (y, x) Do tính giới hạn, ta có x = F (x, y) y = F (y, x) Vậy (x, y) điểm bất động đôi ánh xạ F 2.3.4 Nhận xét Lấy θ(t) = et với t ∈ [0, +∞) φ(t) = tk với t ∈ [1, +∞), k ∈ (0, 1) Định lí 2.3.3, ta thu Định lí 2.3.5 sau 2.3.5 Định lí ([1]) Cho (X, ) tập có thứ tự phận d mêtric X cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ Cho F : X × X → X ánh xạ liên tục có tính đơn điệu trộn X Giả sử tồn k ∈ (0, 1) cho x, y, u, v ∈ X với x u, y v ta có k d(F (x, y), F (u, v)) ≤ [d(x, u) + d(y, v)] Nếu tồn (x0 , y0 ) ∈ X × X cho x0 F (x0 , y0 ) y0 có điểm bất động đơi F (y0 , x0 ) F 38 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau Trình bày cách có hệ thống khái niệm: khơng gian mêtric, ánh xạ C -co, ánh xạ θ− co, θ−co yếu, ánh xạ θ − φ Suzuki, ánh xạ θ − φ co yếu, ánh xạ θ − φ − C co, điểm bất động đơi có mục 1.1.1, 1.2.2, 2.1.1, 2.2.5, 2.2.6, 2.3.1, 2.3.2 Trình bày chi tiết kết tồn điểm bất động cho số ánh xạ θ − φ co suy rộng, hệ quả, ví dụ có mục 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6, 2.1.2, 2.1.3, 2.2.7, 2.2.8, 2.2.9, 2.2.10 Trình bày số kết tồn điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co lớp khơng gian mêtric có mục 2.3.3, 2.3.5 39 Tài liệu tham khảo [1] T G Bhaskar and V Laksmikantham (2006), Fixed point theorems in partially ordered metric spaces and applications, Nonliear Anal., 65, 1379-1393 [2] R K Bisht and R P Pant (2017), A remark on discontinuity at fixed point, J Math Anal Appl., 445, 1239-1241 [3] S K Chatterjea (1972), Fixed point theorem, Acad Bulgare Sci., 25, 727730 [4] B S Choudhury (2009), Unique fixed point theorem for weakly C- contractive mappings, Kathmandu Univ J Sci Eng Technol., 5, 6-13 [5] M Jleli and B Samet (2014), A new generalization of Banach contraction principle, J Inequal Appl., pages [6] D Zheng, Z Cai and P Wang (2017), New fixed point theorem for θ − φcontractionmappings in complete metric spaces, Journal of Nonlinear Science and Applications, 10, 2662-2670 [7] D Zheng, X Liu and G Zhang (2017), Some fixed point theorem for θ − φ−C -contraction, Journal of Nonlinear Science and Applications, 10, 57235733 [8] D Zheng and P Wang (2017), Weak θ − φ contraction and discontinuity, Journal of Nonlinear Science and Applications, 10, 2318-2323 [9] D Wardowski (2012), Fixed point of a new type of contractive mappings in complete metric spaces, Fixed Point Theory Appl., pages ... bất động cho số ánh xạ θ − φ co suy rộng Chương trình bày số kết điểm bất động cho ánh xạ θ − φ co yếu, ánh xạ θ − φ − C co, điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co lớp không gian mêtric Trong... điểm bất động cho ánh xạ ánh xạ θ − φ co yếu, hệ ví dụ minh họa lớp không gian mêtric 2.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co Mục trình bày kết điểm bất động cho ánh xạ θ − φ − C co lớp... không gian mêtric 2.3 Điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co Mục trình bày khái niệm điểm bất động đôi, kết điểm bất động đôi cho ánh xạ θ − φ co lớp không gian mêtric 6 Chương Định lý điểm bất