ộ ụ t rờ ọ ễ ị Pợ ể t ộ ủ s rộ tr tr r sĩ ọ ộ ụ t rờ ọ ễ ị Pợ ể t ộ ủ s rộ tr tr r sĩ ọ tí số ộ ọ P r trì ứ ủ r t ết q tr ợ sử ụ trí í rõ r t ễ ị Pợ ợ t t trờ ọ t tì tú ủ t P r tỏ ò ết s s ế t ỉ t ữ ế tứ ệ tr ọ t ứ ọ ị t t tớ ủ ệ ự ệ ò t ọ qí tr ộ trờ ọ ệ rờ P t ệ tỉ ú ỡ t ề ệ t ợ t tr q trì ọ t t ố ù t ì q ệ ọ ọ ó tí t trờ ọ t ề ệ t ợ ú ỡ t t ệ ụ tr sốt q trì ọ t ù ó ề ố ỗ ự ọ t ứ s tr ỏ ữ tế sót rt ợ ữ ý ế ó ó ủ qí ệ ọ ể ợ tệ t ọ ễ ị Pợ ụ ụ r ụ ụ ụ í ệ ể t ộ ủ tr tr r ế tứ ị ể t ộ ủ tr tr r ể trù ể t ộ ủ s rộ tr tr r ể trù ể t ộ ủ s rộ tr tr r ể t ộ ủ ế s rộ tr tr r ết ệ t ụ í ệ {0, 1, 2, } N N Q : ợ số tự : ợ số tự : ợ số ữ tỷ R R+ R : ợ số tự : ợ số tự : ợ số tự [a, b] : [a, b) : xX : P tử AB : A t ủ B AB : A ợ B AB : A B AìB : í srts ủ (X, p) : tr r p (x, y) : ữ : tụ từ : : x ủ t ợ X A B x y [0, ) [0, +), ({0}) = {0} ợ tt s s ì t A ó ủ A [0, ) [0, +), ({0}) = {0} tụ từ Bp (x, ) : : (, 0] [a, b), t ợ {x R : a x < b} [0, +) [a, b], t ợ {x R|a x b} {1, 2, 3, } x í í ọ ề t í tết ể t ộ ột tr ữ ủ ề ứ q trọ ủ tí ó ó ề ứ ụ tr t ọ ĩ tt ết q q trọ t ể ế tr í tết ể t ộ í tr tr ủ ủ í trở t ột ụ ổ ụ ể qết t ề tồ t tr ề ủ tí t ọ ứ ụ ủ ó ì tế ó ột số rộ ủ ị í ề ỉ ề ệ t ổ ó ề rộ ệ tr tts tệ ệ tr r ột rộ ủ tr tr ị ĩ ủ ó ề ệ d(x, x) ợ t tế ề ệ d(x, x) d(x, y) = r ó ứ tí t ủ ộ tụ tr tr r ũ ứ ột số ị ý ể t ộ tr tr r ề t ọ t tt r r s tr r r ũ t tr ứ t t ợ ị ý ể t ộ ủ s rộ ể t ộ ủ ế s rộ tr tr r ể t ợt ứ ọ ú t tế ứ tì ể ột ó ệ tố tí t ố q ệ ữ s rộ ết q ề ể t ộ ủ s rộ tr tr r r sở t ệ t ủ t P r ú t tự ệ ề t ể t ộ ủ s rộ tr tr r ụ t ủ ề t ứ tí t ố q ệ ữ s rộ ứ ết q ề ể t ộ ủ s rộ tr tr r ố tợ ứ ố tợ ứ tr r tr r ủ t s tr r tr r ủ ể t ộ ể t ộ ề ệ ề ệ ế s rộ ế s rộ t tí ế ể trù ể trù ợ ể t ộ ể t ộ ủ s rộ ể t ộ ể t ộ ủ ế s rộ P ứ tí t ố q ệ ữ ố tợ tr ị í ể t ộ ị ý ể t ộ ủ s rộ ế s rộ í ụ ọ ệ tr ệ ự ủ ết q r P ứ ù ứ tr tí t tí ụ ứ ý tết ộ ứ ứ tí t ủ s rộ ế s rộ ố q ệ ủ ú ị ý ể t ộ ủ s rộ ị ý ể t ộ ị ý ể t ộ ủ ế s rộ tr tr r r ứ ét ề tí t ố q ệ ữ s rộ ế s rộ ể t ộ ể t ộ ủ tr tr r ột số í ụ ọ trú ề ể t ộ ủ tr tr r r ụ ệ tệ ột số ế tứ sở ệ trì ộ tr r tr r tr r ủ t s tr r tr r ủ T f ể t ộ ể t ộ ề ệ s rộ ề ệ ế s rộ s rộ ế s rộ rì ột số tí t ủ tr r ột số ị ý ề ể t ộ ủ s rộ ị ý ề ể t ộ ủ ế s rộ í ụ ọ ề ó rì ột số tí t ủ ệ ột số ết q ù trì ề s ụ trì ột số ết q ề ể trù ủ ột số ị ý ể t ộ ủ t tí ế ứ tết ị ý ó r ò trì ệ q í ụ ọ ề ể trù ể t ộ ủ s rộ tr tr r r ụ ú t trì ột số ị ý ề ể trù ủ ột số ị ý ề ể t ộ ủ s rộ tr tr r ứ tết ị ý ó rì ột số ệ q í ụ ọ ụ ệ trì ột số ị ý ề ể t ộ ủ ế s rộ tr tr r ứ tết ị ý ó rì ột số ệ q í ụ ọ ứ tết ề ết q ó ể t ộ ủ tr tr r P ú t tệ ột số ế tứ sở ệ trì ủ tr r tr r tr r ủ t s tr r tr r ủ ể t ộ ể t ộ ề ệ s rộ ề ệ ế s rộ s rộ ế s rộ rì ột số tí t ủ tr r ột số ị ý ề ể t ộ ủ s rộ ế tứ ị ị ĩ X ột t ợ rỗ X R+ ợ ọ ột tr r ptr tr X x, y, z X x = y ỉ p (x, x) = p (x, y) = p (y, y) p (x, x) p (x, y) p (x, y) = p (y, x) p (x, z) p (x, y) + p (y, z) p (y, y) ptr s ọ t ó ó p:Xì (X, p) ợ ọ ột tr r ứ rớ ết sử ó t ó a ể t ộ ủ f g p(a, a) = t từ ề ệ x = y = a t s r (p(a, a)) = (p(f a, ga)) (u(a, a)) (u(a, a)), tr ó u(a, a) p(a, a), p(a, f a), p(a, ga), [p(a, ga) + p(a, f a)] = {p(a, a)} ì tế t ó (p(a, a)) (p(a, a)) (p(a, a)) tí t ủ t tứ t s r p(a, a) = ế t t ứ r ể t ộ ủ t ế tồ t t sử ệt ủ f f g a b ể t ộ g ó từ ề ệ x = a y = b t s r (p(a, b)) = (p(f a, gb)) (u(a, b)) (u(a, b)), u(a, b) {p(a, b), 0, 0, p(a, b)} = {0, p(a, b)} t ề ợ r trờ ợ p(a, b) = ĩ a = b t ứ r tồ t ột ể t ộ t sử x0 ột ể tù ý tr X t t x2n+1 ọ n ét trờ ợ ó tể r ế tồ t = f x2n x2n+2 = gxn+1 n N s p(xn , xn+1 ) = tì t ó xn+1 = xn+2 {xn } từ ột ú ó ì tế ó ộ tụ sử r t n = 2k tr trờ ợ n = 2k + t ứ t tự ó t x = x2k , y = x2k+1 tr tứ t s r r tồ t u(x2k , x2k+1 ) {p(x2k , x2k+1 ), p(x2k , x2k+1 ), p(x2k+1 , x2k+2 ), (p(x2k , x2k+2 ) + p(x2k+1 , x2k+1 ))} = {0, p(x2k+1 , x2k+2 ), (p(x2k , x2k+2 ) + p(x2k+1 , x2k+1 ))}, (p(x2n+1 , x2n+2 )) (u(x2k , x2k+1 )) (u(x2k , x2k+1 )) s ú ó t ét trờ trờ ợ s o u(x2k , x2k+1 ) = ề é t p(x2k+1 , x2k+2 ) = ĩ o x2k+1 = x2k+2 u(x2k , x2k+1 ) = p(x2k+1 , x2k+2 ) ề é t (p(x2k+1 , x2k+2 )) (p(x2k+1 , x2k+2 )) (p(x2k+1 , x2k+2 )), ó tí t ủ t s r r x2k+1 = x2k+2 o u(x2k , x2k+1 ) = (p(x2k , x2k+2 ) + p(x2k+1 , x2k+1 )) ì u(x2k , x2k+1 ) [p(x2k , x2k+1 ) + p(x2k+1 , x2k+2 ) p(x2k+1 , x2k+1 ) + p(x2k+1 , x2k+1 )] p(x2k+1 , x2k+2 ), t s r r p(x2k+1 , x2k+2 ) (u(x2k , x2k+1 )) p(x2k+1 , x2k+2 ) (p(x2k+1 , x2k+2 )) tí t ủ t s r r p(x2k+1 , x2k+2 ) ề ỉ r ế t ó p(x2k+1 , x2k+2 ) x2k+1 = x2k+2 p(xn , xn+1 ) > ọ n N tì t x = x2n y = x2n1 tr tứ t s r tồ t u(x2n , x2n1 ) {p(x2n , x2n1 ), p(x2n , x2n+1 ), p(x2n1 , x2n ), (p(x2n , x2n ) + p(x2n1 , x2n+1 ))} = {p(x2n , x2n1 ), p(x2n , x2n+1 ), (p(x2n , x2n ) + p(x2n1 , x2n+1 ))}, s (p(x2n+1 , x2n )) (u(x2n , x2n1 )) (u(x2n , x2n1 ) ú t ét trờ ợ s 1o u(x2n , x2n1 ) = p(x2n , x2n1 ) ề é t (p(x2n+1 , x2n )) (p(x2n , x2n1 )) (p(x2n , x2n1 )) < (p(x2n , x2n1 )) tí t ủ t s r 2o p(x2n+1 , x2n ) < p(x2n , x2n1 ) u(x2n , x2n1 ) = p(x2n , x2n+1 ) ề é t (p(x2n+1 , x2n )) (p(x2n+1 , x2n )) (p(x2n+1 , x2n )) < (p(x2n , x2n+1 )) ề tể r 3o u(x2n , x2n1 ) = (p(x2n , x2n ) + p(x2n1 , x2n+1 )) ề é t [p(x2n , x2n ) + p(x2n1 , x2n+1 )] [p(x2n , x2n ) + p(x2n1 , x2n+1 )] tí t ủ t t ợ p(x2n + 1, x2n ) [p(x2n , x2n ) + p(x2n1 , x2n+1 )] [p(x2n1 , x2n ) + p(x2n , x2n+1 )] p(x2n+1 , x2n ) p(x2n1 , x2n ) (p(x2n+1 , x2n )) ì tế tr trờ ợ ó tể t ỳ t ó p(x2n+1 , x2n ) t tự p(x2n1 , x2n ) p(x2n+2 , x2n+1 ) p(x2n+1 , x2n ) ì {p(xn , xn+1 )} t ữ p(x2n+2 , x2n+1 ) u(x2n+1 , x2n ) p(x2n+1 , x2n ), p(x2n+1 , x2n ) u(x2n , x2n1 ) p(x2n , x2n1 ) tr tứ p(xn , xn+1 ) P u(xn , xn+1 ) P n t ợ n P ó ể q tr t tứ s (p(x2n+1 , x2n+2 )) (u(x2n , x2n+1 )) (u(x2n , x2n+1 )), t t ợ (P ) (P ) (P ) ụ tí t ủ , t s r P = ì tế t ó p(xn , xn+1 ) n ế t t ứ r {xn } ì {p(xn , xn+1 t t ỉ ỉ r r sử ợ {x2n } ề t s r tồ t số {x2n } ó ụ ủ ổ > số {mk } {nk } s p(y2mk , y2nk ), p(y2mk , y2nk +1 ), p(y2mk , y2nk ), p(y2mk , y2nk +1 ) ù ộ tụ tớ k ó từ t t ợ lim u(x2nk , x2mk ) = , k ỳ u(x2nk , x2mk ) {p(x2nk , x2mk ), p(x2nk , x2nk +1 ), p(x2mk , x2mk ), (p(x2nk , x2mk ) + p(x2mk , x2nk +1 ))} k sử ụ t ợ tr t ó () () (), ề t ì > ề ứ tỏ r {x2n } t s r {xn } tr (X, p) (X, ps ) ì tồ t zX s lim ps (xn , z) = t n p(z, z) = lim p(xn , z) = n ữ ì lim p(xn , xm ) n,m {xn } tr tr (X, ps ) t ó lim ps (xn , xm ) = ì tế ị ĩ ủ ps t ó lim p(xn , xm ) = n,m n,m ì lim p(xn , xn ) = n ó từ tứ t s r r p(z, z) = p(z, z) = lim p(xn , z) = n t x = x2n , y = z tr ề ệ t t ợ (p(f x2n , gz)) (u(x2n , z)) (u(x2n , z)), tr ó u(x2n , z) p(x2n , z), p(x2n , x2n+1 ), p(z, gz), [p(x2n , gz)+p(z, x2n+1 )] ó tr trờ ợ t t ợ ố ó tể s ao (p(f x2n , gz)) (p(x2n , z)) (p(x2n , z)) bo (p(f x2n , gz)) (p(x2n , x2n+1 )) (p(x2n , x2n+1 )); co (p(f x2n , gz)) (p(z, gz)) (p(z, gz)); (p(f x2n , gz)) [p(x2n , gz) + p(z, x2n+1 )] [p(x2n , gz) + p(z, x2n+1 )] n tr ố trờ ợ tr ụ ổ ề t t ợ ố t tứ t ứ s (p(z, gz)) (p(z, z)) (p(z, z)) = (0) (0) = 0; (p(z, gz)) (0) (0) = 0; (p(z, gz)) (p(z, gz)) (p(z, gz)); 1 (p(z, gz)) [p(z, gz) + p(z, z)] [p(z, gz) + p(z, z)] 2 1 = p(z, gz) p(z, gz) 2 r ỗ ột trờ ợ tr t ễ s r r t ợ x = y = z gz = z tr ề ệ t (p(f z, gz)) (u(z, z)) (u(z, z)), tr ó u(z, z) p(z, z), p(z, f z), p(z, gz), (p(z, f z) + p(z, gz)) = 0, p(z, f z), p(z, f z) tr ỗ ột tr trờ ợ ó tể r ó t ễ s r ợ r f z = z ì tế z ể t ộ t ủ f t g f = g tr ị ý t t ợ ết q s ệ q (X, p) tr r ủ f : X X s tồ t , ó ọ x, y X u(x, y) {p(x, y), p(x, f x), p(y, f y), 21 (p(x, f y) + p(y, f x))} s (p(f x, f y)) (u(x, y)) (u(x, y)) ó f ó ột ể t ộ t r tế t ú t tì rộ tổ qt ị ý ể t ộ ủ ộ tr tr ủ trờ ợ tr r ủ ị ý f, g : X X (X, p) tr r ủ sử tỏ ề ệ (p(f x, f y)) c(p(gx, gy)) ọ f (X) x, y X g(X) tr ó f f g t tí ế tì f t ó ủ t tr ữ ế 0 {mk } {nk } số s p(y2mk , y2nk ), p(y2mk , y2nk+1 ), p(y2mk1 , y2nk ), p(y2mk1 , y2nk+1 ) ù ộ tụ tớ tử x = x2mk + k ụ ề ệ y = x2nk+1 ì yn = f xn = gxn+1 ọ n t t ợ (p(y2mk , y2nk+1 )) c(p(y2mk1 , y2nk )) k tr t ợ () c() < (), ề t > trì ứ r ì tế t s r r {gx2n } {gxn } tr (X, p) (X, ps ) ì g(X) t ó tr (X, p) ó ũ t ó tr (X, ps ) ì tồ t uX s lim ps (gxn , gu) = n t p(gu, gu) = lim p(gxn , gu) = n lim p(gxn , gxm ) n,m {gxn } tr tr r (X, ps ) ữ ì t ó lim ps (gxn , gxm ) = n,m ì tế từ ị ĩ ủ ps t ó lim p(gxn , gxm ) = ì lim p(gxn , gxn ) = ó từ tứ n,m n t s r r p(gu, gu) = p(gu, gu) = lim p(gxn , gu) n t x = xn y = u tr ề ệ t t ợ (p(gu, f u)) c(p(gu, gu)) = c.(0) = 0, ĩ f u = gu ó f r trờ ợ g ó ột trị trù t f (X) t ợ ó tr (X, p) tì é ứ t tự ế f g t tí ế tì từ ứ tr ệ ề t s r f g ó ể t ộ t ị ý tr t gx = x ọ x X t trự tế s r ết q s ệ q f :XX (X, p) tr r ủ sử r tỏ (p(f x, f y)) c(p(x, y)) ọ x, y X tr ó < c < ó f ộ t uX ó ột ể t p(f u, f u) = = p(u, u) í ụ s ọ ị ý ị ý tờ ỉ r ị ý tr rộ ột số ết q ết í ụ X = [0, 21 ] ợ tr ị tr r p : X ì X [0, +) ị p(x, y) = max{x, y} ọ x, y X tr r (X, p) ủ ì tr (X, ps ) ủ t t ỳ x, y X t ó ps (x, y) = 2p(x, y) p(x, x) p(y, y) = max{x, y} (x + y) = |x y| (X, ps ) = ([0, ], |.|) tr t tờ ó ủ ị f, g : X X s ì tế x x2 , gx = fx = 1+x 1+x (t) = t (t) = 12 t ọ ọ x X t [0, +) ứ r f ó g tỏ tt ề ệ ủ ị ý tỏ ề ệ ủ ị ý tr trờ ợ tr t ỳ x, y [0, 12 ] x y ó y y2 x2 y2 , (p(f x, f y)) = p(f x, f y) = max = 1+x 1+y 1+y 1+y y y = = (p(gx, gy)) (p(gx, gy)), 1+y 1+y ĩ ề ệ ợ tỏ ì f X gX f, g t tí ế tt ề ệ ủ ị ý ợ tỏ ữ x = ể t ộ t ủ f g d(x, y) p(0, 0) = p(f 0, f 0) = p(g0, g0) t ế t ét X = [0, 21 ] tr t tờ 1 1 1 11 y = ó t ó (d(f , f )) = d(f , f ) = 168 11 (d(g 31 , g 17 )) (d(g 13 , g 71 )) = 16 < 168 ó ề ệ ủ ị x = ý (d(f x, f y)) (d(gx, gy)) (d(gx, gy)) tỏ x= y= ì tế ệ tồ t ể t ộ ủ f g tể t ợ từ ết q ết tr tr t tờ (X, |.|) = ([0, 12 ], |.|) ét ễ ể tr r sử ụ í ụ (t) = t ọ t [0, ) c = > 16 p tr t t r tt ề ệ ủ ị ý ợ tỏ ì 11 168 X (d(f 31 , f 17 ) = = 12 d(g 31 , g 17 ) ề ệ tỏ t p = d ó ệ tồ t ể t ộ ủ f g s ợ từ ết q ết tr tr t ét ột í ụ ó ị ý ó tể ụ ợ tr ết q ết t ứ tr tr tể ụ ợ í ụ ó X sử X = [0, +) p(x, y) = max{x, y} ọ x, y X (X, p) tr r ủ sử r f, g : X ợ ị fx = x gx = x ọ x X (t) = t, (t) = t ọ t [0, +) t ỳ x, y X t tí tổ qt t sử x y ó từ ề ệ t s r r max x y , u(x, y), tr ó x y , max y, , 4 y max x, y = y, x, y, max x, +y u(x, y) max{x, y}, max x, ễ ể tr ợ r ú ó t ó r tế f f g + max y, x u(x, y) = y ó t s r ợ tỏ tt ề ệ ủ ị ý ì g ó ể t ộ t ó í ể x = ữ í ụ tỏ ề ệ ủ ị ý t ứ tr tr t ề ợ s từ t tứ s x = y = t ó d(f 4, g1) = d(1, ) = > u(4, 1), 6 ỗ trị u(4, 1) 3, 3, 56 , 23 12 ủ ị ý tỏ ề ứ tỏ ề ệ ết ột tờ ứ ề t ú t t ợ ột số ết q s ệ tố ệ tí t í ụ ọ ề tr r tr r tr r ủ t s tr r tr r ủ ể t ộ ể t ộ ề ệ s rộ ề ệ ế s rộ ế s rộ T f s rộ rì ột số tí t ủ tr r ột số ị ý ề ể t ộ ủ s rộ ứ tết ổ ề tí t ột số ết q ề tồ t t ể t ộ ủ s rộ tỏ ề ệ ữ tỷ tr tr r ột số í ụ ọ ứ tết ột số ị ý tr t ệ t ứ ứ ò s ợ ị í ị ý ị ý ị ý ị ý ứ tết ột số ị í ể t ộ ủ ế s rộ tr tr r rì ột số ết q ề ể t ộ tr tr r ủ tr t ệ t ứ ứ ò s ợ ị í ị í r ột số ét ề ệ tồ t ể t ộ ủ tr tr r s r ợ từ ết q ết tr tr ét ét t ệ t ỗ t ọ ỹ tt t s r trts rt tr ss t r rr t r trts rt tr ss r P tr ts r ss rt tr ss Pt r s rí t tr t r trts rt tr ss t t t s t r trt s rt tr ss t t t r PPs t P srs rs r r t trs r trt s r r r t tr r s sts trt t rt t rt rr tr s str P tss trt r t rt tr s t tt q t trs Pr t t tr r r trts sts rt rsss rr tr ss Pt r rt tts Prt tr t s t r s t r trt trs rt rr sts s ts t rr r t qts rr tr r s t tr r r t tr ss stt t rst rs t tr rt rr sts s ts t tr qts Pr r t r r ts t r tr ss t trs trt s t r t trs r r tr ts rt tr ss s trs trt s r