BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TRƯƠNG VĂN ĐẠI CÁC PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH ĐẮK LẮK, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN TRƯƠNG VĂN ĐẠI CÁC PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Quang ĐẮK LẮK, 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tôi, với hướng dẫn Thầy, PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Các kết luận văn sử dụng trích dẫn xác với trân trọng lòng biết ơn Nhà khoa học i MỤC LỤC Mục lục i LỜI CẢM ƠN iii BẢNG KÍ HIỆU iv MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số 1.2 Đại số Banach 10 1.3 Đồng cấu đại số 17 1.4 Ideal đại số 20 ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH 25 2.1 Định nghĩa ví dụ đạo hàm 25 2.2 Ánh xạ ad 27 2.3 Một số tính chất đạo hàm đại số Banach 30 2.4 Đạo hàm đại số Rn∗ 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Tây Nguyên hướng dẫn tận tình thầy PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đặt toán tận tình hướng dẫn tác giả trình nghiên cứu hoàn thiện luận văn Trong trình học tập nghiên cứu, thông qua giảng, hội nghị seminar, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ có ý kiến đóng góp quý báu Thầy Cô Trường Đại học Tây Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo nhà Trường Đại học Tây Nguyên, Phòng Sau đại học - Trường Đại học Tây Nguyên Bộ môn Toán - Khoa KHTN CN - Trường Đại học Tây Nguyên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học tập trường Đặc biệt, này, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, học viên lớp Cao học Toán Giải tích K09 cộng tác, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016 iii BẢNG KÍ HIỆU K : Trường số thực phức R[x] : Tập hợp tất đa thức biến x trường số thực R F (Rn ) : Tập hợp ánh xạ khả vi R Mn : Tập hợp ma trận vuông thực cấp n adX : Ánh xạ ad theo X Rad(A) : radical A iv MỞ ĐẦU Giả sử C đại số hàm liên tục không gian Hausdorff, compact địa phương Một đạo hàm C ánh xạ tuyến tính d : C → C thỏa mãn điều kiện sau d(f g) = d(f )g + f d(g), ∀f, g ∈ C Khi đó, đạo hàm giới C ánh xạ không Tổng quát hơn, d đạo hàm giới nội đại số Banach giao hoán A d(A) nằm rad(A) A nửa đơn thì d = Đây kết kinh điển đạo hàm đại số Banach Wermer (1925) Singer (1924) trình bày báo họ ([10]), theo nhiều nhà toán học mở rộng kết cho đại số Jordan, C ∗ − đại số Các phép đạo hàm có nhiều ứng dụng nhiều nghành toán học vật lí, khoa học kĩ thuật, Đặc biệt phép đạo hàm đại số công cụ hữu hiệu thường sử dụng để khảo sát độ cong, độ xoắn đại số Cho đến thời điểm việc nghiên cứu tính chất phép đạo hàm đại số, đại số Banach nhiều nhà toán học nước quan tâm ([6], [7], [8], , [12] ) Năm 2010, Sultanow ([11]), trình bày tính chất đạo hàm Lie dạng đại số Banach giao hoán B ứng dụng để xét độ cong, độ xoắn B Năm 2013, Yong So Jung ([8]), trình bày phép đạo hàm tổng quát, đạo hàm vành đạo hàm đại số Banach Năm 2014, Arslan Inceboz ([6]), trình bày số đặc trưng phép đạo hàm Jordan tổng quát đại số Banach Năm 2015, Koustantina Panagiot Juan De Pe’rez ([12]), trình bày đạo hàm Lie siêu mặt thực không gian CP CH với liên thông tuyến tính tổng quát kiểu Tanaka -Webster; Ta quay lại với định nghĩa đạo hàm đại số, giả sử A đại số ( tương ứng đại số Banach), phép đạo hàm A ánh xạ tuyến tính d : A → A thỏa mãn d(x, y) = d(x).y + xd(y), ∀x, y ∈ A Hiện nhiều nhà toán học quan tâm đến hai toán: Bài toán 1: Tìm điều kiện để d ánh xạ liên tục; Bài toán 2: Tìm điều kiện để d phép đạo hàm (nghĩa tìm điều kiện để d(x) = ax − xa ∀x ∈ A a cố định A) Để tập dượt nghiên cứu khoa học, tiếp cận hướng nghiên cứu nhằm tìm hiểu cách có hệ thống số tính chất phép đạo hàm đại số Banach Trên sở tài liệu tham khảo, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, thực đề tài "Các phép đạo hàm đại số Banach" Ngoài Phần mở đầu, Kết luận, Danh mục tài liệu tham khảo, Luận văn bố cục thành hai chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trình bày kiến thức cần thiết cho việc tìm hiểu nghiên cứu chương Các kiến thức bao gồm đại số, đại số Banach, đồng cấu ideal đại số Chương ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH Đây chương chứa nội dung luận văn, chương tập trung nghiên cứu phép đạo hàm đại số, đại số Banach Đầu tiên tập hợp số định nghĩa tính chất có phép đạo hàm đại số, đại số Banach tài liệu tham khảo sau trình bày chi tiết hệ thống lại theo logic riêng phù hợp với nội dung luận văn đề xuất đại số Banach Rn∗ từ nghiên cứu số tính chất phép đạo hàm đại số Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại số Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Giả sử K trường (K = R, C) A không gian vectơ K Khi A gọi đại số K A trang bị thêm phép toán nhân (hay tích trong) "•" với •:A×A→A (a, b) → a • b thỏa mãn 1) a • (b + c) = a • b + a • c, ∀a, b, c ∈ A; 2) (a + b) • c = a • c + b • c, ∀a, b, c ∈ A; 3) (αa) • b = a • (αb) = α (a • b) , ∀a, b ∈ A, ∀α ∈ K Chú ý 1.1.2 1) Để tiện cho việc trình bày, từ sau nói đến tích (hay phép nhân trong) hai phần tử a, b đại số A kí hiệu ab thay cho a • b; 2) Nếu tích (hay phép nhân trong) đại số A có tính kết hợp ta nói A đại số kết hợp; Ví dụ 2.1.5 đại số Mn ta xét ánh xạ sau: adA : Mn −→ Mn X −→ adA (X) = AX − XA Khi adA phép đạo hàm Mn Chứng minh Trước hết ta chứng minh adA ánh xạ tuyến tính: ∀X, Y ∈ Mn ∀λ ∈ R, ta có adA (X + Y ) = A(X + Y ) − (X + Y )A = (AX − XA) + (AY − Y A) = adA (X) + adA (Y ) adA (λX) = A(λX) − (λX)A = λ(AX − XA) = λadA (X) Ta tiếp tục chứng minh adA thỏa mãn tính đạo hàm Thật ∀X, Y ∈ Mn , ta có: adA (XY ) = A(XY ) − (XY )A = (AX)Y − (XA)Y + (XA)Y − X(Y A) = (AX − XA)Y + X(AY − Y A) = (adA X)Y + X(adA Y ) 2.2 Ánh xạ ad Định nghĩa 2.2.1 Giả sử A đại số K, X ánh xạ đạo hàm K D tập hợp ánh xạ đạo hàm A Khi đó, ánh xạ sau gọi ánh xạ ad theo X adX : D → D Y → [X, Y ] = XY − Y X Chú ý 2.2.2 1) adX+X = adX + adX ; ∀X, X ∈ F ; 2) adf ◦X = f adX ; ∀X ∈ F, f ∈ K; 27 3) ad[X,X ] = adX ◦ adX − adX ◦ adX ; ∀X, X ∈ F Chứng minh 1) Thật vậy, với X, X , Y ∈ D, ta có adX+X (Y ) = X + X , Y = [X, Y ] + X , Y = adX (Y ) + adX (Y ) = (adX + adX ) (Y ) Suy adX+X = (adX + adX ) Chứng minh 2) X, Y ∈ Df ∈ K, ta có adf ◦X (Y ) = [f ◦ X, Y ] = f [X, Y ] = f adX (Y ) Suy adf ◦X = f adX Chứng minh 3) ∀X, X , Y ∈ D, ta có d[X,X ] (Y ) = X, X , Y = − X , Y , X − [Y, X] , X = X, X , Y − X , [Y, X] = adX adX (Y ) − adX adX (Y ) Từ đó, ta có ad[X,X ] = adX ◦ adX − adX ◦ adX Mệnh đề 2.2.3 adX ánh xạ đạo hàm Chứng minh Rõ ràng ánh xạ adX tuyến tính Mặt khác, Với X, Y, Z ∈ D, ta có adX [Y, Z] = X, [Y, Z] = − [Y, Z] , X 28 Từ hệ thức Jacobi, ta suy adX [Y, Z] = [X, Y ] , Z + [Z, X] Y = [X, Y ] , Z − Y, [Z, X] = [X, Y ] , Z + Y, [X, Z] = [adX Y, Z] + [Y, adX Z] Vậy adX ánh xạ đạo hàm Giả sử A A hai đại số K ϕ : A → A đẳng cấu đại số Ta kí hiệu D = X /X ánh xạ đạo hàm A’ Xét ánh xạ ϕ∗ : A → A X → ϕ∗ X f xác định sau ϕ∗ X f = ϕ X ϕ−1 (f ) ; ∀f ∈ A Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.2.4 ϕ∗ X ánh xạ đạo hàm A Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh ϕ∗ X ánh xạ tuyến tính Thật vậy, với f , g ∈ A ; α, β ∈ K, ta có ϕ∗ X αf + βg = ϕ X ϕ−1 αf + βg = ϕ X ϕ−1 αf + ϕ X ϕ−1 βg = αϕ X ϕ−1 f + βϕ X ϕ−1 g = αϕ∗ X f + βϕ∗ X g 29 Bây ta chứng tỏ ϕ∗ X thỏa mãn tính chất đạo hàm Thật vậy, ta có ϕ∗ X f ◦ g = ϕ X ϕ−1 f ◦ g = ϕ X ϕ−1 f ◦ ϕ−1 g = ϕ ϕ−1 g ◦ X ϕ−1 f = ϕ ◦ ϕ−1 + ϕ−1 f ◦ X ϕ−1 g g ◦ ϕ X ϕ−1 f + ϕ ◦ ϕ−1 f ◦ ϕ X ϕ−1 g = g ◦ ϕ∗ X f + f ◦ ϕ∗ X g 2.3 Một số tính chất đạo hàm đại số Banach Trong mục này, ta giả thiết A đại số phức Banach có đơn vị e (nếu không nói thêm) Mệnh đề 2.3.1 ([7]) Giả sử d đạo hàm đại số Banach giao hoán A, d(an ) = n.an−1 d(a), ∀a ∈ A, ∀n ∈ N Chứng minh Thật vậy, ta kiểm tra đẳng thức phương pháp quy nạp theo k Với n = 2, ta có: d(a2 ) = d(a.a) = ad(a) + d(a)a = 2ad(a) 30 Giả sử d(am ) = mam−1 d(a); ∀m ≥ 2, ta có: d(am+1 ) = d(a.am ) & = d(a)am + ad(am ) = am d(a) + a(mam−1 d(a)) = am d(a) + mam d(a) = (m + 1)am d(a) Mệnh đề 2.3.2 (xem [4]) Giả sử d1 , d2 đạo hàm đại số Banach giao hoán A Khi a) αd1 + βd2 , ∀α, β ∈ C đạo hàm A b) d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1 đạo hàm A Chứng minh a) Đặt f = αd1 + βd2 , ∀α, β ∈ C Ta cần chứng minh f đạo hàm A Dễ thấy, f ánh xạ tuyến tính với x, y ∈ A ta có f (xy) = (αd1 + βd2 )(xy) = αd1 (xy) + βd2 (xy) = α(d1 (x).y + x.d1 (y)) + β(d2 (x).y + x.d2 (y)) = αd1 (x).y + βd2 (x).y + x.αd1 (y) + xβ.d2 (y) = (αd1 + βd2 )(x).y + x(αd1 + βd2 )(y) = f (x).y + x.f (y) Chứng minh b)Trước hết, ta chứng minh d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1 ánh xạ tuyến tính Thật vậy, ∀α, β ∈ C, ∀x, y ∈ A ta có 31 (d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1 )(αx + βy) = d1 (d2 (αx + βy)) − d2 (d1 (αx + βy)) = d1 (αd2 (x) + βd2 (y)) − d2 (αd1 (x) + βd1 (y)) = α(d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1 )(x) + β(d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1 )(y) Mặt khác, đặt d = (d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1 ) Ta có d(xy) = d1 (d2 (xy)) − d2 (d1 (x.y)) = d1 (d2 (x).y + xd2 (y)) − d2 (d1 (x).y + x.d1 (y)) = d1 ◦ d2 (x).y + d2 (x).d1 (y) + d1 (x).d2 (y) + x.d1 ◦ d2 (y) − d2 ◦ d1 (x).y − d1 (x).d2 (y) − d2 (x).d1 (y) − xd2 ◦ d1 (y) = d1 ◦ d2 (x).y + xd1 ◦ d2 (y) − d2 ◦ d1 (x).y − xd2 ◦ d1 (y) = (d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1 )(x).y + x(d1 ◦ d2 − d2 ◦ d1 )(y) Định lý 2.3.3 ([10]) Cho A đại số Banach giao hoán d : A → A đạo hàm liên tục, d(A) ⊆ Rad(A) Đặc biệt, A nửa đơn d = tn dn Chứng minh Do d bị chặn nên < ∞, ∀t < ∞ n! n=0 ∞ λn D n Lúc đó, với số phức λ bất kỳ, chuỗi hội tụ toán tử bị n! n=0 chặn A, ta ký hiệu phần tử eλD ∞ 32 Mặt khác, ta có eλD (ab) = eλD (a).eλD (b), ∀a, b ∈ A.Thật vậy, ∞ λD e (ab) = n=0 ∞ = n=0 ∞ λn Dn (ab) = n! n ∞ n=0 λn Dn (ab) n! n λ Cnr (Dn−r a)(Dr b) (theo công thức Leibnitz) n! r=0 n = n=0 r=0 ∞ n = n=0 λn−r λr Dr b n−r D a (n − r)! r! λ n D a n! ∞ n=0 λn n D b n! = eλD (a).eλD (b) Lấy f : A → C đồng cấu phức cho trước Cố định λ ∈ C Ta xét ánh xạ: ϕλ : A → C cho bởi: ∞ λD a → ϕλ (a) = f e a = f (a) + n=1 f (Dn (a)) n λ , ∀a ∈ A n! Ta chứng minh ϕλ đồng cấu phức, thật vậy, ∀a, b ∈ A, ∀µ ∈ C, ta có ϕλ (a + b) = f (eλD (a + b)) = f (eλD (a) + eλD (b)) = f (eλD (a)) + f (eλD (b)) ( f tuyến tính) = ϕλ (a) + ϕλ (b) ϕλ (µa) = f (eλD (µa)) = f (µeλD (a)) = µf (eλD (a)) = µϕλ (a) ϕλ (ab) = f (eλD (ab)) 33 = f (eλD (a).eλD (b)) = f (eλD (a)).f (eλD (b)) = ϕλ (a).ϕλ (b) Như vậy, ϕλ đồng cấu phức ta có |ϕλ (a)| ≤ a , ∀a ∈ A Cuối cùng, ta xét ánh xạ F : C → C cho λ → F (λ) = ϕλ (a), a ∈ A Khi đó, F hàm giải tích bị chặn toàn mặt phẳng phức Theo định lý Liouville’s ta thu F hàm với λ ∈ C Suy f (Dn (a)) = 0, ∀n ≥ Đặc biệt, xét n = ta có: f (Da) = Suy Da ∈ Kerf Do f đồng cấu phức nên suy Da ∈ Rad(A) hay DA ⊆ Rad(A) Nếu A nửa đơn Rad(A) = {0} nên ta thu DA ⊆ Rad(A) = {0} hay D = 2.4 Đạo hàm đại số Rn∗ Ta nhắc lại đại số Rn∗ Kí hiệu Rn∗ = a = (a0 , a1 , , an−1 ), ∈ R, ∀i = 1, 2, 3, , n − Trên Rn∗ ta trang bị phép toán sau i) Phép cộng a + b = (a0 + b0 , a1 + b1 , , an−1 + bn−1 ), ∀a = (a0 , a1 , , an−1 ); b = (b0 , b1 , , bn−1 ) ∈ Rn∗ ; ii) Phép nhân với vô hướng αa = (αa0 , αa1 , , αan−1 ), ∀a = (a0 , a1 , , an−1 ) ∈ Rn∗ , ∀α ∈ R; iii) Phép nhân ∀a = (a0 , a1 , , an−1 ), b = (b0 , b1 , , bn−1 ) ∈ Rn∗ Khi i ab = (c0 , c1 , , cn−1 ), với ci = aj bi−j j=0 34 Chuẩn Rn∗ ánh xạ : , Rn∗ −→ R a −→ a Xác định n−1 a = i=0 |ai |, ∀a(a0 , a1 , , an−1 ) ∈ Rn∗ Như biết, Rn∗ đại số Banach, giao hoán, có đơn vị e0 (1, 0, , 0) có sở {e0 , e1 , , en−1 } với ei = (0, , 1, 0), (số vị trí thứ i) Bây ta tìm hiểu số tính chất đạo hàm đại số Rn∗ Mệnh đề 2.4.1 a) Giả sử d đạo hàm A Khi đó, d(ek ) = kek−1 d(e1 ) d ánh xạ liên tục A b)Với phép đạo hàm d:A −→ A d(e1 ) = a1 e1 + a2 e2 + + an−1 en−1 Chứng minh Bây ta chứng minh b) sau : Giả sử d(e1 ) = a0 e0 + a1 e1 + + an−1 en−1 Ta có = d(e1 en−1 )=d(e1 )en−1 + e1 d(en−1 ) = a0 en−1 + (n − 1)en−1 d(e1 ) = na0 en−1 Suy a0 = Như d(ek ) = kek−1 d(e1 ) Tính liên tục phép đạo hàm d hiển nhiên Rn∗ không gian hữu hạn chiều Mệnh đề 2.4.2 Rn∗ có ideal cực đại Chứng minh Giả sử ϕ : A → K đồng cấu Khi đó, ϕ(e0 ) = ϕ(ek ) = [ϕ(e1 )]k Mặt khác, ta có ϕ(en ) = ϕ(e1 en−1 ) = Suy ra, ϕ(e1 ) = Từ ϕ(ek ) = [ϕ(e1 )]k ϕ(e1 ) = ta thu ϕ(ek ) = 0, ∀k = 1, 2, , n − 35 Điều chứng tỏ có đồng cấu ϕ từ A đến K xác định ϕ(x0 ) = x0 Do đó, A có ideal cực đại J = Kerϕ =< e1 , , en−1 > Từ Chú ý 2.4.1, phép đạo hàm d A giới nội, nên theo Wermer d(A) ⊂ J Mệnh đề cho ta điều kiện để d(A) = J Mệnh đề 2.4.3 Giả sử d phép đạo hàm A Khi đó, d(A) = J ⇔ a1 = 0; (ở đây, d(e1 ) = a1 e1 + + an−1 en−1 ) ˜= d/J Khi d ˜ phép đạo hàm từ J −→ J Chứng minh Ta xét d Ta có: ˜(e1 ) = a1 e1 + + an−1 en−1 , d ˜(e2 ) = 2e1 d ˜(e1 ) = 2a1 e1 + + 2an−2 en−1 , d ˜(en−1 ) = (n − 1)en−2 d(e1 ) = (n − 1)(en − 2)(a1 e1 + + an−1 en−1 ) d = (n − 1)a1 en−1 ˜ có dạng: Ma trận ánh xạ d   a1    a2 Ø =  d     an−1  2a2          2an−1 (n − 1)a1 Do đó, a1 = ⇔ det(Ø ) = (n − 1)!an1 = d ⇔d˜ phép đẳng cấu tuyến tính từ J −→ J Vậy d(A) = J Ví dụ 2.4.4 Với n = 2, A2 = {a(a0 , a1 )|a0 , a1 ∈ R} Các phép toán xác định 36 i) a + b = (a0 + b0 ; a1 + b1 ); ∀a(a0 , a1 ); b(b0 , b1 ) ∈ A2 ; ii) λa = (λa0 , λa1 ); ∀λ ∈ R; iii) ab = (a0 b0 , a0 b1 + a1 b0 ) Khi đó, A2 đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị e0 (1, 0) có sở {e0 , e1 }, với e0 (1; 0), e1 (0; 1) Ta có, J2 = {x(0, λ)/λ ∈ R} ideal cực đại A2 Giả sử d phép đạo hàm A2 có d(e1 ) = a(0; a1 ) d = Khi đó, ∀x(x0 ; x1 ) ∈ A ta có: d(x) = d(x0 e0 + x1 e1 ) = x1 d(e1 ) = (0; x1 a1 ) ∈ J2 Đảo lại, với y(0, y1 ) ∈ J y = d(x), với x(x0 , ay11 ); (do d = nên a1 = 0) Như vậy, d(A2 ) = J2 Mệnh đề sau cho ta xác định tương ứng 1-1 J tập D đạo hàm A Mệnh đề 2.4.5 Giả sử (λ1 , λ2 , , λn−1 ) ∈ Kn Khi đó, ánh xạ d:A −→ A xác định d(x) = (0, a1 , a2 , , an−1 ), ak = jλi xj ; với x = (x0 , x1 , x2 , , xn−1 ), i+j=k+1 i,j>0 d đạo hàm liên tục A Chứng minh Với d xác định d ánh xạ tuyến tính Ở ta chứng minh d có tính chất đạo hàm Thật vậy, với x, y ∈ A, x(x0 , x1 , x2 , , xn−1 ), y(y0 , y1 , y2 , , yn−1 ) Giả sử, d(xy) = (0, c1 , c2 , , cn−1 ); d(x)y = (0, d1 , d2 , , dn−1 ); xd(y) = (0, f1 , f2 , , fn−1 ) 37 Khi đó, với k = 0, 1, , n − 1, ta có: ck = jλi ( x r ys ) r+s=j i+j=k+1 i,j>0 = jλi xr ys i+j=k+1 r+s=j i,j>0 = (r + s)λi xr ys i+r+s=k+1 i>0,r+s>0 = (rλi xr ys + sλi xr ys ) i+r+s=k+1 i>0,r+s>0 = rλi xr ys + i+r+s=k+1 i,r>0 = sλi xr ys i+r+s=k+1 i,s>0 rλi xr ys + j+s=k i+r=j+1 i,r>0 = ( sλi xr ys j+r=k i+s=j+1 i,s>0 rλi xr )ys + j+s=k i+r=j+1 i,r>0 xr ( j+r=k = dk + fk Như d(xy) = d(x)y + xd(y) 38 sλi ys ) i+s=j+1 i,s>0 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu đề tài, thu số kết sau Trình bày khái niệm đại số cho số ví dụ đại số Trình bày khái niệm, số đại số Banach chứng minh chi tiết số tính chất đại số Banach Trình bày khái niệm, ví dụ chứng minh chi tiết số tính chất đồng cấu đại số Trình bày định nghĩa ideal đại số chứng minh chi tiết số tính chất ideal đại số Định nghĩa, cho ví dụ đạo hàm đại số Trình bày số tính chất ánh xạ đạo hàm đại số, đại số Banach Trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ ad Trình bày đại số Banach Rn∗ chứng minh số tính chất phép đạo hàm Rn∗ 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, NXB Đại học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Quang Diệu (2014), Nhập môn đại số đều, NXB Đại học Sư Phạm [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2004) Phép tính vi phân-Dạng vi phân không gian Banach, Nhà xuất Đại học Sư Phạm [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2007), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh Tiếng Anh: [6] B Arslan and H Inceboz (2014), "A characterization of generalized Jordan derivations on Banach algebras", Period Math Hung 69, 139-148 [7] T V Dai, N H Quang and D T Xinh, "The ϕ−inner derivations on Banach algebras" [8] Yong-So Jung (2013), "Generalized derivations and derivations of rings and Banach algebra", Honam Mathemmatical J 35, 625-637 [9] N H Quang, N D Quoc, D T Xinh and Truong Van Dai (2016), "The derivations of algebras Rn∗ and K∞ ∗ " 40 [10] M Singer and J Wermer (1955), "Derivations on commutative normed algebras", Math Ann 129, 260 - 264 [11] A Ya Sultanov (2010), "Derivations of linear algebras and linear connections", J Math Sci 169(3), 362-412 [12] Loustantina Panagiotion and Juan De Pe’rez (2015), "On the Lie derivative of real hypersurfaces in CP and CH with respect to the generalized Tanaka-Webster connection", 52, 1621-1630 41