BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ĐINH HOÀI LƯU BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐẮK LẮK, NĂM 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY NGUYÊN ĐINH HOÀI LƯU BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM HỮU KHÁNH ĐẮK LẮK, NĂM 2016 MỤC LỤC Mục lục i LỜI CAM ĐOAN iii LỜI CẢM ƠN iv BẢNG KÍ HIỆU v MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 1.3 1.4 Hàm lồi tính chất 1.1.1 Hàm lồi 1.1.2 Tính chất Hàm m-lồi hàm(α, m)-lồi 1.2.1 Hàm m-lồi 1.2.2 Hàm(α, m)-lồi Tập invex hàm preinvex 1.3.1 Tập invex 1.3.2 Hàm preinvex Hàm m-preinvex hàm(α, m)-preinvex Hàm m-preinvex 1.4.1 i Hàm(α, m)-preinvex Bất đẳng thức Hermite-Hadamard bất đẳng thức H¨older 1.5.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 1.5.2 Bất đẳng thức H¨older 1.4.2 1.5 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI 2.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi 2.2 10 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm mpreinvex khả vi 2.3 10 13 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm (α, m)-preinvex khả vi 17 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE-HADAMARD CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI CẤP n 3.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n 3.2 23 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm mpreinvex khả vi cấp n 3.3 23 29 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 44 ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết sử dụng luận văn trích dẫn đầy đủ rõ ràng Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016 Học viên Đinh Hoài Lưu iii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc thầy, TS Phạm Hữu Khánh Chúng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành lòng kính trọng sâu sắc thầy, người tận tình dẫn động viên trình học tập môn trình thực hoàn thành luận văn Chúng xin chân thành cảm ơn giúp đỡ mặt Ban giám hiệu trường Đại học Tây Nguyên, Phòng đào tạo Sau đại học- Đại học Tây Nguyên, Bộ môn Toán - Khoa KHTN & CN - Trường Đại học Tây Nguyên, quý thầy tham gia giảng dạy suốt trình học tập Chúng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo Dục Đào Tạo Phú Yên, Ban Giám hiệu trường THPT Nguyễn Du, Quý thầy cô Tổ Toán trường THPT Nguyễn Du động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi thời gian để tham gia học tập Chúng xin chân thành cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học Toán Giải tích K09, bạn bè thân hữu, đặc biệt ba mẹ anh chị em gia đình động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập Đắk Lắk, tháng 11 năm 2016 Học viên Đinh Hoài Lưu iv BẢNG KÍ HIỆU L [a, a + η (b, a)] : Tập hợp hàm khả tích [a, a + η (b, a)] R : Tập hợp số thực f (n) : Khả vi cấp n hàm f v MỞ ĐẦU ĐẶT VẤN ĐỀ Ngày 22/11/1881 Hermite (1822-1901) gửi thư đến tờ Mathesis, đánh dấu khởi đầu sau bất đẳng thức HermiteHadamard cho hàm lồi công bố vào năm 1893 Đây bất đẳng thức có vai trò quan trọng việc việc đánh giá chuỗi lũy thừa đặc biệt đánh giá hàm trung bình (cộng, nhân, điều hòa, lôgarit lôgarit mở rộng)([6]) Hiện có nhiều hướng phát triển nghiên cứu bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi nghiên cứu nhà toán học S S Dragomir, Charles E M Pearce, M K Bakula, M E Ozdemir vv Họ mở rộng số kết nghiên cứu bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi hàm m-lồi, hàm tựa lồi, hàm (α, m)-lồi, đặc biệt mở rộng bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex Luận văn đặt vấn đề tìm hiểu số khái niệm mở rộng hàm preinvex bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi Chúng hi vọng luận văn tài liệu hữu ích cho quan tâm đến vấn đề TỔNG QUAN TÀI LIỆU NGHIÊN CỨU Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm lồi (1893) Tiếp theo, năm 1992, S.S Dragomir mở rộng số kết bất đẳng thức HermiteHadamard cho hàm lồi Năm 2002 ông đưa số bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-lồi Kế thừa kết trên, năm 2007 D A Ion đưa số kiểu bất đẳng thức cho hàm tựa-lồi chứng minh nhiều kết quan trọng Năm 2008, M K Bakula, M E Ozdemir, J Pecaric mở rộng bất đẳng thức cho hàm m-lồi hàm lồi Năm 2010, M Z Sarikaya, M E Ozdemir, E Set đưa số kết bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm có giá trị tuyệt đối m-lồi khả vi Năm 2011, A Barani, A G Ghazanfari, S S Dragomir đưa số kiểu bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm có giá trị tuyệt đối hàm preinvex khả vi Năm 2012, Shu-Ping Bai, Shu-Hong Wang, Feng Qi mở rộng số bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm m-lồi hàm lồi khả vi cấp n Tiếp theo năm 2013, M A Latif, S S Dragomir, mở rộng số kiểu bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex hàm prequasiinvex khả vi Năm 2014 S H Wang, F Qi mở rộng số kiểu bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n Trong thời gian qua, tiếp tục nghiên cứu số bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex (α, m)preinvex khả vi mở rộng số bất đẳng thức tích phân kiểu HermiteHadamard cho hàm m-preinvex hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Đối tượng nghiên cứu Bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex hàm (α, m)-preinvex khả vi Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex, hàm m-preinvex hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n • Nội dung nghiên cứu Trình bày định nghĩa tính chất hàm preinvex, hàm mpreinvex hàm (α, m)-preinvex Trình bày chứng minh số mệnh đề liên quan bất đẳng thức Hermite-Hadamard cho hàm preinvex, hàm m-preinvex hàm (α, m)preinvex khả vi Trình bày chứng minh số mệnh đề liên quan đến bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm m-preinvex hàm (α, m)preinvex khả vi cấp n • Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm tài liệu nước có liên quan đến đề tài Phân tích, tổng hợp kết thu nhận được, hệ thống, tổng quát hóa lại vấn đề liên quan đến đề tài BỐ CỤC LUẬN VĂN Luận văn chia làm chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương xem phần trình bày kiến thức sở để tạo điều kiện cho việc trình bày kiến thức Chương Chương Vì vậy, trình bày khái niệm tính chất hàm lồi, hàm (α, m)-lồi, hàm preinvex, hàm (α, m)-preinvex, bất đẳng thức HermiteHadamard bất đẳng thức H¨older Chương Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi Đây chương thể kết luận văn Trong chương Ta có n2 − t (n − 2t) dt = (n + 1) (n + 2) n tn−1 (n − 2t) (1 − t) dt = tn−1 (n − 2t)dt = n (n + 1) (n + 2) n−1 n+1 Hay a+η(b,a) f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 n ≤ (η (b, a)) (n − 1) (n + 1)! 1− 1q f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! q n f (n) (a) + m (n2 − 2) f (n) n+2 b m q q Nhận xét 3.4 ([8]) Trong Định lí (3.3), q = bất đẳng thức (3.17) viết thu gọn f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! n (η (b, a)) n f (n) (a) + m (n2 − 2) f (n) ≤ (n + 1)! n+2 b m (3.9) Nhận xét 3.5 ([8]) Trong Định lí (3.3), m = bất đẳng thức (3.17) viết thu gọn f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) a+η(b,a) f (x) dx a 31 n−1 − k=2 1− 1q n ≤ k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! (η (b, a)) (n − 1) (n + 1)! nf (n) q (a) + (n − 2) f n+2 (n) (b) q q (3.10) Nhận xét 3.6 ([8]) Trong Định lí (3.3), n = bất đẳng thức (3.17) viết thu gọn a+η(b,a) f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) (η (b, a)) ≤ 12 f (x) dx a q |f (a)| + m f q b m q (3.11) Định lí 3.4 ([8]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > tập invex mở η : K × K → R a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R hàm khả vi cấp n K với n ∈ N, n ≥ f (n) khả tích q [a, a + η (b, a)] , ∀a, b ∈ K, η (b, a) > Nếu f (n) , q > m-preinvex K , bất đẳng thức (1.8) sau f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 n (η (b, a)) ≤ 2n! q−1 nq − a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! 1− 1q q+2 nq+1 (2q − n + 4) + (n − 2) (q + 1) (q + 2) q+2 nq+2 − (n − 2) (2q + n + 2) +m (q + 1) (q + 2) 32 f (n) b m q f (n) (a) q q (3.12) Chứng minh Giả sử n ≥ a, b ∈ K Từ K tập invex η : K × K → R, ∀t ∈ [0, 1] ta có a + tη (b, a) ∈ K Áp dụng Bổ đề (3.1) bất đẳng thức (1.8) ta có: a+η(b,a) f (a) + f (a + η (b, a)) + − η (b, a) n−1 + k=2 n (η (b, a)) ≤ 2n! Vì f (n) q t q(n−1) q−1 f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! 1− 1q q q q (n − 2t) f (n) (a + tη (b, a)) dt dt m-preinvex K , q > 1, ∀a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , m ∈ (0, 1] nên q t(n−1)q f (n) (a + tη (b, a)) dt ≤ f (n) q (a) t (n−1)q (1 − t) dt + m f (n) q f (n) (a) + m (nq − q + 1) f (n) = (nq − q + 1) (nq − q + 2) b m b m q t(n−1)q+1 dt q (n − 2t) 2q−1 2q−1 q q−1 (q − 1) n q−1 − (n − 2) q−1 dt = (2q − 1) Do f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 n (η (b, a)) ≤ 2n! q−1 nq − 1− 1q a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! q+2 nq+1 (2q − n + 4) + (n − 2) (q + 1) (q + 2) 33 f (n) (a) q q+2 +m n q+2 − (n − 2) (2q + n + 2) (q + 1) (q + 2) f (n) b m q q Nhận xét 3.7 ([8]) Trong Định lí (3.4), n = bất đẳng thức (3.12) viết thu gọn f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) (η (b, a)) ≤ q−1 2q − 1− 1q a+η(b,a) f (x) dx a q q q (q + 1) |f (a)| + m|f (b)| (q + 1) (q + 2) (3.13) Nhận xét 3.8 ([8]) Trong Định lí (3.4), m = bất đẳng thức (3.12) viết thu gọn f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 n (η (b, a)) ≤ 2n! q−1 nq − 1− 1q a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! q+2 nq+1 (2q − n + 4) + (n − 2) (q + 1) (q + 2) q+2 nq+2 − (n − 2) (2q + n + 2) + (q + 1) (q + 2) f (n) (b) q f (n) (a) q q (3.14) Định lí 3.5 ([8]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > tập invex mở η : K × K → R a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R hàm khả vi cấp n K với n ∈ N, n ≥ f (n) khả tích q [a, a + η (b, a)] , ∀a, b ∈ K, η (b, a) > Nếu f (n) , q > m-preinvex K , bất đẳng thức sau f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) a+η(b,a) f (x) dx a 34 n−1 − k=2 k 2q−1 q−1  − (n − 2) (η (b, a))  (q − 1) n 2n! (2q − 1) n ≤ k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! f × (n) 1− 1q 2q−1 q−1  q (n) (a) + m (nq − q + 1) f (nq − q + 1) (nq − q + 2) q b m q (3.15) Chứng minh Giả sử n ≥ a, b ∈ K Từ K tập invex η : K × K → R, ∀t ∈ [0, 1] ta có a + tη (b, a) ∈ K Áp dụng Bổ đề (3.1) bất đẳng thức (1.8) ta có: f (a) + f (a + η (b, a)) − + η (b, a) n−1 + k=2 n Vì f (n) q f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! (η (b, a)) ≤ 2n! a+η(b,a) (n − 2t) q q−1 1− 1q 1 q q t(n−1)q f (n) (a + tη (b, a)) dt dt m-preinvex K , q > 1, ∀a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , m ∈ (0, 1] nên q q (n − 2t) f (n) (a + tη (b, a)) dt ≤ f (n) q q (n − 2t) (1 − t) dt + m f (a) b m (n) q+2 nq+1 (2q − n + 4) + (n − 2) = (q + 1) (q + 2) f (n) (a) q q t(n − 2t) dt q q+2 nq+2 − (n − 2) (2q + n + 2) +m (q + 1) (q + 2) 35 f (n) b m q (n − 2t) 2q−1 2q−1 q q−1 (q − 1) n q−1 − (n − 2) q−1 dt = (2q − 1) Do f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! 2q−1 q−1  − (n − 2) (η (b, a))  (q − 1) n ≤ 2n! (2q − 1) n 2q−1 q−1 1− 1q  q f (n) (a) + m (nq − q + 1) f (n) × (nq − q + 1) (nq − q + 2) b m q q Nhận xét 3.9 ([8]) Trong Định lí (3.5), m = bất đẳng thức (3.16) viết thu gọn f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! 2q−1 q−1  n − (n − 2) (η (b, a))  (q − 1) n ≤ 2n! (2q − 1) × f (n) q 2q−1 q−1 1− 1q  (n) (a) + (nq − q + 1) f (b) (nq − q + 1) (nq − q + 2) 36 q q (3.16) 3.3 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n Trong mục nêu chứng minh số kết bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm (α, m)-preinvex khả vi cấp n Kết mở rộng cách tự nhiên bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm (α, m)-preinvex khả vi Chương Định lí 3.6 ([3]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > tập invex mở η : K × K → R a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R hàm khả vi cấp n K với n ∈ N, n ≥ f (n) khả tích [a, a + η (b, a)] , ∀a, b ∈ K, η (b, a) > Nếu f (n) (α, m)-preinvex K , bất đẳng thức sau f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! n (η (b, a)) ≤ 2n! u2 f (n) (a) + mu1 f (n) b m (3.17) với u1 = n (n − 1) + α (n − 2) (n + α + 1) (nα − α) + 2α , u2 = (n + α) (n + α + 1) (n + 1) (n + α) (n + α + 1) Chứng minh Giả sử n ≥ a, b ∈ K Từ K tập invex η : K × K → R, ∀t ∈ [0, 1] ta có a + tη (b, a) ∈ K Áp dụng Bổ đề (3.1)ta có − f (a) + f (a + η (b, a)) + η (b, a) a+η(b,a) f (x) dx a 37 n−1 + k=2 n k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! (η (b, a)) ≤ 2n! tn−1 (n − 2t) f (n) (a + tη (b, a)) dt Vì f (n) (α, m)-preinvex K , ∀a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , α, m ∈ (0, 1] nên f (n) (a + tη (b, a)) ≤ (1 − tα ) f (n) (a) + mtα f (n) b m Do f (a) + f (a + η (b, a)) + − η (b, a) n−1 + k=2 n (η (b, a)) ≤ 2n! a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! tn−1 (n − 2t) (1 − tα ) f (n) (a) + mtα f (n) n (η (b, a)) = 2n! u2 f (n) (a) + mu1 f (n) b m dt b m với tn−1 (n − 2t) tα dt = u1 = tn−1 (n − 2t) (1 − tα ) dt = u2 = n (n − 1) + α (n − 2) (n + α) (n + α + 1) (n + α + 1) (nα − α) + 2α (n + 1) (n + α) (n + α + 1) Định lí 3.7 ([3]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > tập invex mở η : K × K → R a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R hàm khả vi cấp n K với n ∈ N, n ≥ f (n) khả tích 38 q [a, a + η (b, a)] , ∀a, b ∈ K, η (b, a) > Nếu f (n) , q > (α, m)preinvex K , bất đẳng thức sau a+η(b,a) f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 n k ntn−1 + 2t n p p p dt × với k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! (η (b, a)) ≤ 2n! f (x) dx a (n) αf q (a) + m f 1+α b m (n) q q , (3.18) + 1q = Chứng minh Giả sử n ≥ a, b ∈ K Từ K tập invex η : K × K → R, ∀t ∈ [0, 1] ta có a + tη (b, a) ∈ K Áp dụng Bổ đề (3.1) bất đẳng thức (1.8) ta có f (a) + f (a + η (b, a)) − + η (b, a) n−1 + k=2 n (η (b, a)) ≤ 2n! Vì f (n) q a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! p p tn−1 |n − 2t| dt q f (n) (a + tη (b, a)) dt q (α, m)-preinvex K , q > 1, ∀a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , α, m ∈ (0, 1] nên f (n) q α (a + tη (b, a)) dt ≤ (1 − t ) f (n) q α (a) + mt f q α m b = f (n) (a) + f (n) 1+α 1+α m 39 q (n) b m q dt Do a+η(b,a) f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 n ≤ (η (b, a)) 2n! f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! 1 p p q b m α f (n) (a) + m f (n) 1+α ntn−1 + 2tn dt q q Định lí 3.8 ([3]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > tập invex mở η : K × K → R a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R hàm khả vi cấp n K với n ∈ N, n ≥ f (n) khả tích q [a, a + η (b, a)] , ∀a, b ∈ K, η (b, a) > Nếu f (n) , q ≥ (α, m)preinvex K , bất đẳng thức sau f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 n (η (b, a)) ≤ 2n! n−1 n+1 a+η(b,a) f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! 1− 1q q u2 f (n) (a) + mu1 f (n) b m q q , (3.19) với u1 = n (n − 1) + α (n − 2) (n + α + 1) (nα − α) + 2α , u2 = (n + α) (n + α + 1) (n + 1) (n + α) (n + α + 1) Chứng minh Với q = chứng minh Định lí (3.6) Giả sử q > Áp dụng Bổ đề (3.1) bất đẳng thức (1.8) ta có − f (a) + f (a + η (b, a)) + η (b, a) a+η(b,a) f (x) dx a 40 n−1 + k=2 n (η (b, a)) ≤ 2n! k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! 1− 1q tn−1 (n − 2t) dt × t n−1 (n − 2t) f (n) q q (a + tη (b, a)) dt Vì f (n) (a + tη (b, a)) q (α, m)-preinvex K , q > 1, ∀a, b ∈ K, t ∈ [0, 1] , α, m ∈ (0, 1] nên f (n) q α (a + tη (b, a)) dt ≤ (1 − t ) f (n) q α (a) + mt f (n) q b m dt Do a+η(b,a) f (a) + f (a + η (b, a)) − η (b, a) n−1 − k=2 f (x) dx a k k (−1) (k − 1) (η (b, a)) (k) f (a + η (b, a)) (k + 1)! n (η (b, a)) ≤ 2n! 1− 1q tn−1 (n − 2t) dt tn−1 (n − 2t) × × q (1 − tα ) f (n) (a) + mtα f (n) n (η (b, a)) = 2n! n−1 n+1 1− 1q q u2 f (n) (a) + mu1 f (n) với u1 = n (n − 1) + α (n − 2) , (n + α) (n + α + 1) n−1 tn−1 (n − 2t) dt = n+1 tn−1 (n − 2t) tα dt = 41 b m b m q q dt q q , tn−1 (n − 2t) (1 − tα ) dt = u2 = 42 (n + α + 1) (nα − α) + 2α (n + 1) (n + α) (n + α + 1) KẾT LUẬN Trong luận văn này, thực kết sau Trình bày khái niệm tính chất hàm lồi, hàm (α, m)-lồi, hàm preinvex, hàm (α, m)-preinvex, bất đẳng thức Hermite-Hadamard bất đẳng thức H¨older Trình bày chi tiết khái niệm, tính chất bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi mở rộng cho hàm m-preinvex hàm (α, m)-preinvex Trình bày chi tiết khái niệm, tính chất bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n mở rộng cho hàm m-preinvex khả vi cấp n Chúng nêu chứng minh Định lí 3.6, Định lí 3.7 Định lí 3.8 cho hàm(α, m)-preinvex khả vi cấp n 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia, Hà Nội [3] Đinh Hoài Lưu (2016), "Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite-Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n", Tạp chí khoa học, Đại Học Tây Nguyên, số 19, tháng 8-2016, 39-42 Tiếng Anh [4] A Barani, A G Ghazanfari, S S Dragomir (2011), "Hermite-Hadamard inequality for functions whose derivatives absolute values are preinvex", RGMIA Res Rep Colleet.14, p.11 (Article 64) [5] S S Dragomir, C E M Pearce (2000), Selected Topics on HermiteHadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University 44 [6] S Hussain, S Qaisai (2016), "More results on Hermite-Hadamard type inequality through -preinvexity ", Journal of Applied Analysis and Computation Volume 6, Number 2, May 2016, 293-305 [7] M A Latif (2013), "On Hermite-Hadamard type integral inequalities for n-times differentiable preinvex functions with applications ", Stud Univ Babe- Bolyai Math 58, No 3, 325-343 [8] M A Latif, S S Dragomir, "Hermite-Hadamard type integral inequalities for n-times differentiable m-preinvex functions ", preprint [9] Muhammad Amer Latif, Muhammad Shoaib (2015), "HermiteHadamard type integral inequalities for differentiable m-preinvex and (α, m)-preinvex functions ", Journal of the Egyptian Mathematical 23, 236-241 [10] Josip E Pecaric, Frank Proschan, Y L Tong (1992), Convex functions, Partial Orderings, and Statistical applications, Academic Press.Inc 45 [...]... về bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm preinvex khả vi và mở rộng cho hàm m -preinvex và hàm (α, m) -preinvex Chương 3 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết các khái niệm, tính chất về bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n và mở rộng bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard. .. tính chất về bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm preinvex khả vi và mở rộng cho hàm m -preinvex và hàm (α, m) -preinvex 2.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm preinvex khả vi Bổ đề 2.1 ([4]) Cho K ⊆ R là tập con invex mở đối với η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R là ánh xạ khả vi trên K sao cho f ∈ L ([a, a + η (b, a)]), khi đó đẳng thức sau... a thì bất đẳng thức được vi t thu gọn f (a) + f (b) 1 − 2 b−a b−a 1 ≤ 2 2 với v1 = 1− 1q 1+α2α 2α (1+α)(2+α) b f (x) dx a q v2 |f (a)| + mv1 f , v2 = 12 − v1 22 b m q 1 q (2.15) Chương 3 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE- HADAMARD CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI CẤP n Trong chương này chúng tôi trình bày chi tiết các tính chất về bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp... Hermite- Hadamard cho hàm m -preinvex và hàm (α, m) -preinvex khả vi cấp n 4 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về hàm lồi, hàm (α, m)-lồi, tập invex, hàm preinvex, hàm (α, m) -preinvex, bất đẳng thức Hermite- Hadamard và bất đẳng thức H¨older 1.1 1.1.1 Hàm lồi và các tính chất Hàm lồi Định nghĩa 1.1 ([1]) Cho hàm số f : I ⊆ R → R Hàm f được... và mở rộng cho hàm m -preinvex và hàm (α, m) -preinvex khả vi cấp n 3.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm preinvex khả vi cấp n Bổ đề 3.1 ([7]) Cho K ⊆ R là tập con invex mở đối với η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R là một hàm khả vi cấp n trên K với n ∈ N, n ≥ 1 Nếu f (n) khả tích trên [a, a + η (b, a)] , ∀a, b ∈ K, η (b, a) > 0, khi đó đẳng thức sau đúng... 1] , (α, m) ∈ (0, 1] Hàm f gọi là hàm (α, m)-preconcave nếu và chỉ nếu -f là hàm (α, m )preinvex 1.5 1.5.1 Bất đẳng thức Hermite- Hadamard và bất đẳng thức H¨ older Bất đẳng thức Hermite- Hadamard Bất đẳng thức Hermite- Hadamard( [9]) Cho f : [a, b] → R là một hàm lồi, khi đó a+b 2 f b 1 ≤ b−a f (x)dx ≤ f (a) + f (b) 2 (1.7) a Chứng minh Bằng cách đổi biến số, ta chứng minh được đẳng thức sau 1 b 1 b−a f... 1 p q q |f (a)| + |f (b)| 1 p 1 q , q= p p−1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm m -preinvex khả vi Định lí 2.3 ([9]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 là tập con invex mở đối với η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R là ánh xạ khả vi trên K sao cho f ∈ L ([a, a + η (b, a)]) Nếu |f | là m -preinvex trên K , khi đó bất đẳng thức sau đúng a+η(b,a) f (a) + f (a + η (b, a))... nếu η (b, a) = b − a thì bất đẳng thức được vi t thu gọn 1 f (a) + f (b) − 2 b−a b f (x) dx a q ≤ 2.3 b − a |f (a)| + m f 4 2 b m q 1 q (2.9) Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm (α, m) -preinvex khả vi Định lí 2.6 ([9]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 là tập con invex mở đối với η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R là ánh xạ khả vi trên K sao cho f ∈ L ([a, a + η (b,... nếu q = 1 thì bất đẳng thức (3.6) được vi t thu gọn 1 f (a) + f (a + η (b, a)) − 2 η (b, a) 2 (η (b, a)) ≤ 12 3.2 a+η(b,a) f (x) dx a |f (a)| + |f (b)| 2 (3.7) Bất đẳng thức tích phân kiểu Hermite- Hadamard cho hàm m -preinvex khả vi cấp n Định lí 3.3 ([8]) Cho K ⊆ [0, b∗ ] , b∗ > 0 là tập con invex mở đối với η : K × K → R và a, b ∈ K, a < a + η (b, a) Giả sử f : K → R là một hàm khả vi cấp n trên... p q (1.9) Áp dụng bất đẳng thức (1.9) cho trường hợp a = |f | ( |f |p ) 1 p ,b= |g| ( |g|q ) ta được p q |f | |g| ≤ + p q q 1q p p1 p ( |f | ) q ( |g| ) ( |f | ) ( |g| ) |f g| Lấy tích phân hai vế ta được: |f g| p q |f | |g| 1 1 + = 1 p + q = 1 ≤ 1 p p q q p ( |f | ) q ( |g| ) p q ( |f | ) ( |g| ) 9 1 q Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN KIỂU HERMITE- HADAMARD CHO HÀM PREINVEX KHẢ VI Trong chương này