BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐIỆP THỊ HỒNG SINH ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU CARISTI ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐIỆP THỊ HỒNG SINH ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU CARISTI ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hà Đức Vượng Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Tác giả chân thành cảm ơn TS Hà Đức Vượng tận tình hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy cô giáo cán công nhân viên Trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn tốt nghiệp Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, người thân động viên, cổ vũ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả Điệp Thị Hồng Sinh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tự làm hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Trong trình nghiên cứu làm luận văn, kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả Điệp Thị Hồng Sinh Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian metric Hausdorff 18 1.3 Định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric 28 Điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón 34 2.1 Không gian metric nón 34 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón 47 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Bảng ký hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức φ Tập rỗng Rn Không gian Euclide n chiều (X, d) Không gian metric (X, dp) Không gian metric nón K Hằng số chuẩn tắc E Không gian Banach thực int (P ) Phần P C[a,b] Tập hàm số thực liên tục đoạn[a, b] ≤p Quan hệ thứ tự theo nón P N (X) Họ tập khác rỗng X CB (X) Họ tập đóng, bị chặn khác rỗng X Mở đầu Lý chọn đề tài Xét ánh xạ T từ tập X vào họ tập X , T : X → 2X Điểm x ∈ X thỏa mãn x ∈ T x x gọi điểm bất động ánh xạ đa trị T tập hợp X Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình thành nên lý thuyết điểm bất động, gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Ky Fan, Năm 1976, Định lý điểm bất động Caristi[1] công bố Sau nhiều nhà toán học mở rộng kết theo nhiều hướng khác Năm 2006, hai nhà toán học người Trung Quốc Y Feng S Liu công bố kết điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi [4] Năm 2007, hai nhà toán học người Trung Quốc H L Guang Z Xian giới thiệu khái niệm metric nón, cách thay tập số thực R định nghĩa metric không gian Banach thực [5] Từ nhiều kết điểm bất động cho lớp không gian công bố Năm 2012, nhà toán học người Hàn Quốc S H Cho, J S Bae K S Na mở rộng kết Y Feng S Liu sang không gian metric nón, kết công bố báo Fixed point theorems for multivalued contractive mappings and multivalued Caristi type mappings in cone metric spaces [3] Định lý điểm bất động ánh xạ co đa trị ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Đây kết điểm bất động Với mong muốn tìm hiểu sâu điểm bất động, điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: “Điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón.” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu điểm bất động ánh xạ ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric nón ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu "Điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón" dựa ba báo: Fixed point theorem for multi-valued contractive mappings and multi-valued Caristi type mappings Y Feng, S Liu [4] Cone metric spaces ang fixed point theorems of contractive mappings H L Guang, Z Xian [5] Fixed point theorems for multivalued contractive mappings and multivalued Caristi type mappings in cone metric spaces S H Cho, J S Bae and K S Na [3] Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích tổng hợp, vận dụng kiến thức giải tích hàm để phục vụ cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Luận văn trình bày cách hệ thống điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Luận văn gồm chương nội dung: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức không gian metric, không gian metric Hausdorff Sau khái niệm đưa ví dụ để minh họa Tiếp theo trình bày chi tiết định lý điểm bất động Caristi Cuối trình bày kết điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi Chương Điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Trong chương trình bày số kiến thức không gian metric nón ví dụ minh họa Sau trình bày định lý điểm bất động kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Kết S H Cho, J B Bae K S Na công bố năm 2012 Hà Nội, tháng 06 năm 2016 Tác giả Điệp Thị Hồng Sinh Suy dp (xn , xm) ≪p dp (xn , x) + dp (xm, x) ≪p c Do {xn } dãy Cauchy Định lý 2.1.4 [5] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {xn } dãy X Khi {xn} dãy Cauchy lim dp (xn, xm) = n→∞ Chứng minh Giả sử {xn } dãy Cauchy X Gọi K số chuẩn tắc P Với ε > 0, chọn c thuộc E cho ≪p c K c < ε Khi đó, từ {xn} dãy Cauchy, tồn số tự nhiên N cho dp (xn , xm) ≪p c, ∀n, m > N Vì P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K nên dp (xn , xm) ≤ K c , ∀n, m > N , hay dp (xn, xm) < ε, ∀n, m > N Vậy lim dp (xn, xm) = n,m→∞ Ngược lại, giả sử lim dp (xn, xm ) = Ta có, với c ∈ E mà n,m→∞ ≪p c, tồn δ > cho x xác định tồn số tự nhiên N cho dp (xn, xm) N Suy ra, c − dp (xn , xm ) ∈ int (P ) Ta nhận dp (xn, xm ) ≪p c, ∀n, m > N , tức lim dp (xn, xm) = n,m→∞ Do {xn } dãy Cauchy X Định lý 2.1.5 [5] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K {xn } , {yn } dãy X Nếu lim xn = x, lim yn = y n→∞ n→∞ lim dp (xn, yn ) = dp (x, y) n→∞ Chứng minh Với ε > 0, ta chọn c thuộc E cho ≪p c c < ε 4K + Từ lim xn = x, lim yn = y , tồn số tự nhiên N cho n→∞ n→∞ dp (xn , x) ≪p c dp (yn , y) ≪p c, với n > N Ta có dp (xn, yn ) ≤p dp (xn, x) + dp (x, y) + dp (y, yn ) ≤p dp (x, y) + 2c , với n > N , 45 với dp (x, y) ≤p dp (xn , x)+dp (xn , yn )+dp (yn , y) ≤p dp (xn , yn )+2c Suy 0≤p dp (x, y) + 2c − dp (xn , yn ) ≤p 4c Hay 0≤p − (−dp (x, y) − 2c + dp (xn, yn )) ≤p 4c Vì P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K , ta có − (dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y)) = (dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y)) ≤ K 4c Vậy dp (xn , yn ) − dp (x, y) = dp (xn, yn ) − 2c − dp (x, y) + 2c ≤ dp (xn , yn ) − 2c − dp (x, y) + 2c Khi dp (xn , yn ) − dp (x, y) ≤ K 4c + 2c = (4K + 2) c Mà c < ε 4K + suy dp (xn, yn ) − dp (x, y) < ε 46 Vậy lim dp (xn , yn ) = dp (x, y) n→∞ 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ kiểu Caristi đa trị không gian metric nón Định nghĩa 2.2.1 [3] Cho (X, dp) không gian metric nón với quan hệ thứ tự "≤p " Một dãy {xn } X gọi dãy giảm xn+1 ≤p xn , ∀n ≥ Tập hợp S (x) = {y ∈ X : y ≤p x} gọi đầy đủ dãy Cauchy giảm S (x) hội tụ Định nghĩa 2.2.2 [3] Cho (X, dp ) không gian metric nón, N (X) họ tập khác rỗng X E không gian Banach thực, P nón E Ta có S (a) = {b ∈ E : a ≤p b} , a ∈ E S (a, B) = S (dp (a, b)) , a ∈ X, B ∈ N (X) b∈B S (A, B) = S (a, B) ∩ a∈A S (b, A) , A, B ∈ N (X) b∈B 47 Nhận xét 2.2.1 Cho không gian metric nón (X, dp ), E không gian Banach thực, P nón E Khi ta có: Với a, b ∈ E , a ≤p b S (b) ⊂ S (a) Với x ∈ X, A ∈ N (X), ∈ S (x, A) x ∈ A Với a ∈ P , A, B tập bị chặn X , x0 ∈ A Nếu a ∈ S (A, B) a ∈ S (x0 , B) Với a, b ∈ X , ta có S ({a} , {b}) = S (d (a, b)) Nếu E = R, P = [0, ∞) (X, dp ) không gian metric Hơn với A, B tập đóng, bị chặn khác rỗng X H (A, B) = inf S (A, B) khoảng cách Hausdorff sinh dp Định lý 2.2.1 [3] Cho (X, dp ) không gian metric nón Ánh xạ T : X → N (X) ánh xạ đa trị(N (X) họ tập khác rỗng X ) Giả sử φ : X → E hàm, η : P → P hàm cộng tính, liên tục, không tăng, cho η (t) = t = Ta xác định quan hệ "≤η " X sau: y ≤η x φ (x) − φ (y) ∈ S (η (dp (x, y))) 48 Khi "≤η " quan hệ thứ tự phận X Chứng minh Ta chứng minh "≤η " quan hệ thứ tự X Thật vậy, Từ η ({0}) = {0} , ta có S (η (dp (x, x))) = η (0) = = ϕ (x) − ϕ (x) Vậy x ≤η x Nếu x ≤η y y ≤η x, φ (y) − φ (x) ∈ S (η (dp (x, y))) φ (x) − φ (y) ∈ S (η (dp (y, x))) Vì η không âm dp (y, x) = dp (x, y), ta có S (η (dp (x, y))) = Hơn η ({0}) = {0} Do dp (x, y) = 0, tức x = y Vậy x ≤η y y ≤η x x = y Nếu y ≤η x z ≤η y , φ (x) − φ (y) ∈ S (η (dp (x, y))) φ (y) − φ (z) ∈ S (η (dp (y, z))) Vì η hàm cộng tính, liện tục, không tăng, nên ta có φ (x) − φ (y) + φ (y) − φ (z) = φ (x) − φ (z) ∈ S (η (dp (x, z))) 49 Vậy z ≤η x Do y ≤η x z ≤η y z ≤η x Vậy "≤η " quan hệ thứ tự phận X Định nghĩa 2.2.3 [3] Cho E không gian định chuẩn, P nón E Nón P gọi nón cực trị(minihedral cone) tồn sup {x, y} , ∀x, y ∈ E Nón P gọi nón cực trị mạnh(strongly minihedral cone) tập A khác rỗng, bị chặn E tồn sup A E Mọi tập B khác rỗng, bị chặn E tồn inf B E Định nghĩa 2.2.4 [3] Cho E không gian Banach định chuẩn, P nón cực trị mạnh E Nón P gọi liên tục dãy bị chặn {xα : α ∈ Γ} inf xα − inf {xα : α ∈ Γ} α∈Γ =0 sup { xα − sup {xα : α ∈ Γ} } = α∈Γ 50 Nhận xét 2.2.2 E không gian Banach thực, P nón cực trị mạnh, liên tục E (X, dp ) không gian metric nón Giả sử ánh xạ ψ : X → E thỏa mãn điều kiện sau đây: Nếu x ≤p y x = y suy ψ (x) < ψ (y) Với dãy giảm {xn} ⊂ X, ∃y ∈ X : y ≤ xn , ∀n ∈ N ψ hàm bị chặn Khi với x ∈ X , tập hợp S (x) = {y ∈ X : y ≤p x} có phần tử cực tiểu Định lý 2.2.2 [3] Cho (X, dp ) không gian metric nón, P nón cực trị mạnh liên tục, T : X → N (X) ánh xạ đa trị φ : X → E ánh xạ bị chặn Giả sử, với ∀x ∈ X , S (x) = {y ∈ X : y ≤η x} đầy đủ, với ≤η quan hệ thứ tự phận X Nếu với x ∈ X, ∃y ∈ T x thỏa mãn φ (x) − φ (y) ∈ S (η (dp (x, y))), T có điểm bất động X 51 Chứng minh Xác định quan hệ thứ tự phận "≤η " X định lý 2.2.1 Nếu x ≤η y x = y [...]... này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian metic Hausdorff cùng các ví dụ minh họa Sau đó chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Caristi và định lý điểm bất của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong không gian metric 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X = φ cùng với một ánh xạ d : X × X → R, thỏa mãn các điều kiện sau: 1 d(x,... A)} = 3 Nhận xét 1.2.1 Metric Hausdorff H phụ thuộc vào metric d Do đó nếu không gian metric (X, d) đầy đủ thì (CB (X) , H) là không gian metric Hausdorff đầy đủ 27 1.3 Định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Caristi đa trị trong không gian metric Định nghĩa 1.3.1 [4] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ, kí hiệu N (X) là họ các tập con khác rỗng của X , T : X → N (X) là ánh xạ đa trị, η : [0,∞) → [0,... Vậy {xn } là một dãy Cauchy trong C[0,1], d Định nghĩa 1.1.4 [1] Không gian metric (X, d) được gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ tới một 9 điểm thuộc X L Ví dụ 1.1.4 C[a,b] là không gian metric đầy đủ, C[a,b] là không gian metric không đầy đủ • Không gian C[a,b] là không gian metric đầy đủ Chứng minh Cho {xn } là dãy Cauchy trong C[a,b] với metric d Điều này có nghĩa là... (t) không thể hội tụ về x (t) trong C[0,1] L Nói cách khác, không có điểm nào trong C[0,1] là giới hạn của dãy Cauchy {xn (t)} L Vậy không gian C[a,b] là không gian metric không đầy đủ Định nghĩa 1.1.5 [1] Cho hai không gian metric (X, d1) và (Y, d2) Ánh xạ T : X → Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho d2 (T x, T y) ≤ kd1 (x, y) , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.6 [1] Cho X, Y là hai không. .. u là phần tử cực đại trong X n=1 theo quan hệ thứ tự "≤" Cuối cùng ta chứng minh u là điểm bất động của ánh xạ T trên X Theo giả thiết ta có d (u, T u) ≤ ϕ (u) − ϕ (T u) Khi đó theo cách xây dựng quan hệ thự tự ta có u ≤ T u Nhưng vì u là phần tử cực đại nên ta có u = T u Vậy u là điểm bất động của ánh xạ T trên X 1.2 Không gian metric Hausdorff Cho (X, d) là một không gian metric Kí hiệu CB (X)... [1] (Caristi, 1976 [1]) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và ϕ : X → (−∞, +∞) là hàm số nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Cho ánh xạ T : X → X thỏa mãn điều kiện d (x, T x) ≤ ϕ (x) − ϕ (T x) , ∀x ∈ X (1.1.4) Khi đó T có điểm bất động trong X Chứng minh Trước hết ta chứng minh trong (X, d), mọi ánh xạ T là ánh xạ co thì đều thỏa mãn điều kiện (1.1.4) 14 Thật vậy, giả sử T : X → X là ánh xạ co,... metric và (Rk , d) là một không gian metric, được gọi là không gian Euclide k chiều Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), {xn} là một dãy các phần tử của X Dãy {xn } được gọi là hội tụ đến điểm x0 , nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ , với ∀n ≥ n0 thì d (xn , x0) < ε Kí hiệu lim xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞ n→∞ Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn} Ví dụ 1.1.2 Trong Rk ta xét metric thông thường Xét... y, z ∈ X Ánh xạ d gọi là metric trên X , d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y 6 Các phần tử của X gọi là các điểm Không gian metric được kí hiệu là (X, d) Ví dụ 1.1.1 Trong không gian Rk (k là một số nguyên dương), ta xác định khoảng cách giữa hai điểm x = (x1 , x2, x3 , , xk ) và y = (y1 , y2 , y3 , , yk ) như sau: k d (x, y) = 2 (xi − yi) (1.1.1) i=1 Khi đó d (x, y) là một metric và... U của x0 trong X sao cho T (U ) ∩ G = φ Nếu ánh xạ T là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ X thì T là nửa liên tục dưới trên X Nhận xét 1.1.1 Ta có A = {x ∈ X : T x ≤ α} được gọi là tập mức dưới (mức α )của ánh xạ T T là ánh xạ nửa liên tục dưới khi và chỉ khi A là tập hợp đóng Trong định nghĩa trên, nếu Y = R thì T được gọi là hàm nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X , nghĩa là ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của. .. là thứ tự bộ phận trên X Định lý 1.3.1 [4] Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ, T : X → N (X) là ánh xạ đa trị, ϕ : X → R là hàm bị chặn dưới, nửa liên tục dưới, η : [0,∞) → [0, ∞) là hàm dưới cộng tính, liên tục, không tăng và η −1 ({0}) = {0} Nếu với x ∈ X tồn tại y ∈ T (x) thỏa mãn η (d (x, y)) ≤ ϕ (x) − ϕ (y), thì T có điểm bất động trong X Chứng minh Bây giờ ta chứng minh (X, d) với quan