Sơ đạo hàm
Mục này trình bày tính chất sơ khả vi và liên hệ với một số vi phân suy rộng, đồng thời nhắc lại các khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích đa trị và giải tích biến phân để sử dụng trong các phần sau.
Tính sơ khả vi và các tính khả vi suy rộng
Mục này sẽ trình bày mối liên hệ giữa tính sơ khả vi với tính liên tục, tính khả vi và tính nửa khả vi.
Chương 2 Sơ đạo hàm, tính giả Lipschitz và ứng dụng
Chương này khám phá mối liên hệ giữa tính sơ khả vi và các thuộc tính Lipschitz của ánh xạ đa trị Những kết quả này được áp dụng để xác định tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm trong bài toán tối ưu thông qua sơ đạo hàm (xem [9]).
Sơ đạo hàm và tính giả Lipschitz
Mục này trình bày các kết quả liên quan đến mối quan hệ giữa tính sơ khả vi và một số đặc tính Lipschitz của ánh xạ đa trị.
Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày ứng dụng của các kết quả đã thu được để nghiên cứu tính chất sơ khả vi và tính chất giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm trong bài toán tối ưu, cũng như tính sơ khả vi của ánh xạ nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân.
Chương 1 Ánh xạ đa trị sơ khả vi
Chương này trình bày chi tiết và có hệ thống về khái niệm và tính chất của sơ đạo hàm Nó cũng khám phá mối quan hệ giữa tính chất sơ khả vi với tính liên tục, tính khả vi và tính nửa khả vi, nhằm giúp người đọc hiểu rõ hơn về các khía cạnh liên quan đến sơ đạo hàm trong toán học.
Mục này trình bày tính chất sơ khả vi và mối liên hệ với một số vi phân suy rộng, đồng thời nhắc lại các khái niệm và tính chất cơ bản trong giải tích đa trị và giải tích biến phân, cần thiết cho các nội dung sau này.
1.1.1 Định nghĩa ([1],[9]) Cho {S t } t là họ tập hợp phụ thuộc vào tham số t∈ M, M là không gian mêtric, S t ⊂R n với mọi t.
S t := {ω ∈ R n |lim inf t→ ¯ t d(ω, S t ) = 0}, (1.1) được gọi là giới hạn trên theo Painlevé-Kuratowski của họ {S t } t khi t → t.¯ Trong đó d(ω, S) := inf{kω −xk : x ∈ S}.
(ii) Tập hợp lim inf t→ ¯ t St := {ω ∈ R n |lim t→ ¯ t d(ω, St) = 0}, (1.2) được gọi là giới hạn dưới theo Painlevé-Kuratowski của họ {S t } t khi t →¯t.
(iii) Họ S t được gọi là hội tụ về tập S ⊂ R n khi t → ¯t, và viết
1.1.2 Nhận xét ([1]) (i) Do (1.1),ω ∈ lim sup t→ t ¯
S t khi và chỉ khi tồn tại dãy
Do (1.2), ω ∈ lim inf t→ ¯ t S t khi và chỉ khi với mọi dãy {t k } k∈ N ⊂ M, t k → t¯ sao cho lim k→∞d(ω, S t k ) = 0.
S t là tập đóng sao cho với bất kì ρ > 0 lớn tùy ý và ε > 0 bé tùy ý, tồn tại τ > 0 sao cho
Trong không gian Euclide định chuẩn, ta có các điều kiện St ∩ ρB ⊂ S + εB và S ∩ ρB ⊂ St + εB với t thuộc khoảng (0, τ) B ở đây được định nghĩa là hình cầu đơn vị đóng Đối với ánh xạ đa trị F từ R n đến R m, đồ thị của F, ký hiệu là gphF, được xác định bởi tập hợp gphF = {(x, y) ∈ R n × R m | y ∈ F(x)}.
Miền hữu hiệu của F, kí hiệu domF, là domF = {x ∈ R n |F(x) 6= ∅}.
Miền ảnh của F, kí hiệu rgeF rgeF = {y ∈ R m |∃x ∈ R n sao cho y ∈ F(x)}. Ánh xạ ngược của F, kí hiệu F −1 , được xác định bởi x ∈ F −1 (y) ⇔y ∈ F(x).
Ta luôn có rgeF = domF −1 và domF = rgeF −1
Ánh xạ F được coi là có đồ thị đóng nếu đồ thị của nó là một tập con đóng trong R n × R m Điều này cũng có nghĩa là ánh xạ F có đồ thị đóng khi và chỉ khi ánh xạ ngược F −1 cũng có đồ thị đóng.
1.1.3 Định nghĩa ([1]) Cho tập M ⊂ R n và điểm x¯ ∈ M.
(i) Nón tiếp tuyến Bouligand của M tại x,¯ ký hiệu T M (¯x), là tập xác định bởi
M −x¯ t (ii) Nón tiếp tuyến trung gian hay nón kề của M tại x,¯ ký hiệu T M b (¯x), là tập hợp những véctơ v ∈ R n thỏa mãn t→0lim + d(¯x+tv, M) t = 0.
(iii) Nón tiếp tuyến Clarke của M tại x,¯ ký hiệu C M (¯x), là tập hợp những véctơ v ∈ R n thỏa mãn lim t→0 + , x− M → x ¯ d(x+ tv, M) t = 0.
1.1.4 Nhận xét ([1]) (i) Nón tiếp tuyến trung gian T M b (¯x) là tập xác định bởi
M −x¯ t (ii) Nón tiếp tuyến Clarke C M (¯x) là tập xác định bởi
M −x t , ở đây x − M → x¯ có nghĩa là x → x¯ với x ∈ M.
1.1.5 Chú ý ([10]) Véctơ v thuộc tập T M b (¯x) nếu tồn tại ξ : [0, ε] → M, ε > 0, thỏa mãn ξ(0) = ¯x, và ξ + 0 (0) = v.
∃{v k } ⊂ R n : v k →v, x k + t k v k ∈ M, ∀k ∈ N}. 1.1.7 Định nghĩa ([1]) (i) Ta nói M là có tính chất khả vi tại x¯∈ M nếu
(ii) Ta nói M là chính quy tiếp tuyến tại x¯ ∈ M nếu
1.1.8 Nhận xét ([1]) Nếu M ⊂ R n là tập lồi và x¯ ∈ M, thì các nón tiếp tuyến nói trên là bằng nhau và bằng nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi
1.1.9 Định nghĩa ([1]) (i) Đạo hàm contingent hay đạo hàm Bouligand,
DF z ¯ (ã) : R n ⇒ R m của F tại điểm z¯= (¯x,y)¯ ∈ gphF là ỏnh xạ đa trị cú đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Bouligand T gphF (¯z), tức là
(ii) Đạo hàm kề D b F z ¯ (ã) : R n ⇒ R m của F tại điểm z¯= (¯x,y)¯ ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến trung gian T gphF b (¯z), tức là
(iii) Đạo hàm Clarke CF z ¯ (ã) : R n ⇒ R m của F tại điểm z¯= (¯x,y)¯ ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với hình nón tiếp tuyến Clarke CgphF(¯z), tức là
1.1.10 Định nghĩa ([9]) Cho F : R n ⇒ R m là ánh xạ đa trị, x¯ ∈ domF, và y¯∈ F(x) Cho D t : R n ⇒ R m xác định bởi
Ta nói rằngF là sơ khả vi tạix¯tương ứng vớiy¯nếu tồn tại một ánh xạ đa trị
Để D: R^n ⇒ R^m hội tụ theo đồ thị về D, cần có tập S_t = gphD_t hội tụ trong R^n × R^m về tập S = gphD khi t giảm xuống 0 Trong trường hợp này, D được gọi là sơ đạo hàm của F tại x¯ tương ứng với y¯ và được ký hiệu là D = F x¯ 0 y.
Mệnh đề 1.1.11 nêu rằng ánh xạ đa trị F: R^n ⇒ R^m được coi là sơ khả vi tại điểm x¯ tương ứng với y¯ ∈ F(¯x) nếu và chỉ nếu tập đồ thị gphF có tính chất khả vi tại điểm (¯x, y¯) Khi đó, đồ thị gphF tại (¯x, y¯) thỏa mãn điều kiện T gphF (¯x, y¯) = T gphF b (¯x, y¯).
1.1.12 Mệnh đề ([9]) Giả sử F có sơ đạo hàm tại x¯ tương ứng với y¯ là
F x,¯ ¯ 0 y Khi đó với mỗi ω ∈ R n ta có
F x,¯ ¯ 0 y (ω) n ξ| Với u : [0, τ) →R n mà u(0) = ¯x, u 0 + (0) = ω, có thể chọn v(t) ∈ F u(t)
Ngược lại, nếu với mỗi ω ∈ R n , tập được xác định bởi vế phải của (1.6) trùng với tập được xác định bởi vế phải của (1.7), thì sơ đạo hàm F x,¯ ¯ 0 y tồn tại.
1.1.13 Mệnh đề ([9]) Cho F : R n ⇒ R m là sơ khả vi tại x¯ tương ứng với ¯ y, y¯∈ F(¯x) Khi đó sơ đạo hàm F x,¯ ¯ 0 y :R n ⇒ R m có đồ thị đóng và thỏa mãn
Hơn nữa F x,¯ ¯ 0 y là một nón đóng chứa nón tiếp tuyến Bouligand của F(¯x) tại ¯ y, và vì vậy nó chứa nhiều hơn phần tử 0 khi y¯ không là điểm cô lập của
F(¯x). Ảnh của tập U qua ánh xạ đa trị F là tập
Mệnh đề sau đây cho chúng ta một đặc trưng của tính sơ khả vi.
Để ánh xạ đa trị F : R n ⇒ R m tại điểm x¯ ∈ domF tương ứng với y¯ là sơ khả vi, cần và đủ là tồn tại một ánh xạ đa trị D : R n ⇒ R m có đồ thị đóng Điều này có nghĩa là với mỗi ε > 0 và ρ > 0, có thể tìm được τ > 0 sao cho điều kiện này được thỏa mãn.
Chứng minh Đặt S t := gphD t và S := gphD Ta có S t → S khi và chỉ khi
S đóng và với mỗi ε > 0 và ρ > 0 tồn tại τ > 0 sao cho
S t ∩ρ(B×B) ⊂ S +ε(B×B) và S ∩ρ(B×B) ⊂ S t +ε(B×B) (1.10) Đây chính là trường hợp riêng của bao hàm thức (1.4) trong không gian
1.1.15 Định nghĩa ([9]) Cho ánh xạ F : R n ⇒ R m , x¯ ∈ domF, y¯∈ F(¯x).
F được coi là sơ khả vi chặt tại x¯ tương ứng với y¯ nếu nó là sơ khả vi và thỏa mãn điều kiện rằng với mọi ω thuộc domF x,¯ ¯ 0 y và ξ thuộc F x,¯ ¯ 0 y (ω), tồn tại ε > 0 và τ > 0 sao cho với mọi x thuộc domF, nếu |x−x| ≤¯ ε và y thuộc F(x).
|y−y| ≤¯ ε (nếu có), và với mỗi t∈ [0, τ), có thể chọn u(t, x, y) ∈ domF và v(t, x, y) ∈ F u(t, x, y) sao cho u(0, x, y) = x và v(0, x, y) = y, lim
Kết quả dưới đây cung cấp một phương pháp kiểm tra tính sơ khả vi chặt của các hàm đa trị, từ đó xác định tính sơ khả vi thông qua tiêu chuẩn chính quy tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
1.1.16 Mệnh đề ([9]) Ánh xạ đa trị F : R n ⇒ R m là sơ khả vi chặt tại ¯ x tương ứng với y,¯ y¯∈ F(¯x) nếu và chỉ nếu đồ thị của F là chính quy tiếp tuyến tại (¯x,y).¯
Tính sơ khả vi là một khái niệm quan trọng trong toán học, có mối liên hệ chặt chẽ với tính liên tục, tính khả vi và tính nửa khả vi Trong phần này, chúng ta sẽ làm rõ ý nghĩa của sơ đạo hàm và khám phá các đặc điểm của tính sơ khả vi, từ đó hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các khái niệm này.
1.2.1 Định nghĩa ([9]) Cho F : R n ⇒ R m và x¯ ∈ domF, y¯∈ F(¯x) Ta nói
F lànửa khả vi tạix¯ tương ứng vớiy¯nếu có một ánh xạ đa trịD : R n ⇒ R m sao cho D t (ω) xác định theo (1.5) thỏa mãn ωlim 0 →ω t↓0
Nếu F là đơn trị tại x,¯ nghĩa là F(¯x) = ¯y, thì ta nói F là khả vi tại x,¯ và D là một phép biến đổi tuyến tính.
Nếu F nửa khả vi tại x¯ tương ứng với y¯, thì F cũng là sơ khả vi tại x¯ tương ứng với y¯ Hơn nữa, ánh xạ D trong Định nghĩa 1.2.1 trùng với sơ đạo hàm F tại x¯ và y¯.
Chứng minh Đặt z¯ = (¯x,y).¯ Theo (1.11) và định nghĩa đạo hàm suy ra
D = DF z ¯ chứng tỏ rằng D b F(¯z) = D Để chứng minh bao hàm DF z ¯ (ω) ⊂ D b F z ¯ (ω), ta xét ω ∈ domD và ξ ∈ D(ω) theo Định nghĩa 1.2.1 Với lim inf t↓0 D t (ω) = D(ω), tồn tại ξt ∈ Dt(ω) sao cho ξt → ξ khi t ↓ 0 Đặt u(t) = ¯x + tω, v(t) = ¯y + tξ t, thì u(0) = 0, u 0 + (0) = ω, v(0) = ¯y, và v + 0 (0) = ξ Vì ξ t ∈ D t (ω), ta có v(t)−v(0) t ∈ F (¯x+tω)−y¯ t, dẫn đến v(t) ∈ F (u(t)) Do đó, ξ ∈ D b F ¯ z (ω), hoàn thành chứng minh.
1.2.3 Định nghĩa ([9]) Ánh xạ đa trị F : R n ⇒ R m được gọi là liên tục tại x¯ nếu x→¯limxF(x) = F(¯x).
F được gọi là bị chặn địa phương tại x¯ nếu tồn tại ρ > 0 và δ >0 sao cho
0, 1 x khi x 6= 0 {0} khi x = 0. Ánh xạ F liên tục tại x = 0 và có F (0) = {0} F là sơ khả vi tại x = 0 tương ứng với y = 0 và có F 0,0 0 ≡0 Nhưng F không bị chặn tại x = 0.
Định lý 1.2.5 khẳng định rằng nếu ánh xạ đa trị F : R n ⇒ R m là nửa khả vi tại điểm x¯ tương ứng với y¯, thì F x,¯ ¯ 0 y sẽ liên tục tại mọi điểm trong R n, với điều kiện domF x,¯ ¯ 0 y = R n Ngoài ra, x¯ phải thuộc vào intdomF và y¯ nằm trong giới hạn dưới của F(x) khi x tiến đến x¯.
Chứng minh Lấy ω ∈ R n Đặt D = F x,¯ ¯ 0 y Theo (1.11), với mỗi ρ > 0 và ε > 0 tồn tại δ > 0 và τ > 0 sao cho
Dt(ω 0 )∩ρB ⊂D(ω) +εB vàD(ω)∩ρB ⊂Dt(ω 0 ) +εB (1.13) khi |ω 0 −ω| < δ và t ∈ (0, τ) Cho t ↓0, ω 0 cố định, với mỗi ρ > 0 và ε > 0 tồn tại δ >0 sao cho
D(ω 0 )∩ρB ⊂D(ω) + εB và D(ω)∩ ρB ⊂ D(ω 0 ) +εB (1.14) khi |ω 0 −ω| < δ Điều này có nghĩa là D liên tục tại ω Với ω = 0, do
0∈ D(0) nên D(0)∩ρB 6= ∅ Từ bao hàm thức thứ hai trong (1.14) ta có
Đặc trưng tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm của bài toán tối ưu
Trong phần này, chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả đã thu được để nghiên cứu tính chất sơ khả vi và tính chất giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm trong bài toán tối ưu, cũng như tính sơ khả vi của ánh xạ nghiệm trong bài toán bất đẳng thức biến phân.
Ánh xạ đa trị F: R^n ⇒ R^m được coi là sơ khả vi tại điểm x¯ tương ứng với y¯ ∈ F(¯x) nếu và chỉ nếu ánh xạ ngược F^−1 là sơ khả vi tại y¯ tương ứng với x¯ ∈ F^−1(¯y) Ngoài ra, điều kiện F(x¯, y¯) −1 = F(y¯, x¯) −1 cũng phải được thỏa mãn Kết quả này cũng áp dụng cho tính sơ khả vi chặt.
Giả sử F = ˜F + f, trong đó F˜ : R n ⇒ R m là sơ khả vi tại x¯ tương ứng với y˜ ∈ F˜(¯x) và f : R n → R m là hàm đơn trị khả vi tại x¯ Khi đó, F được xác định là sơ khả vi tại x¯ tương ứng với y¯ = ˜y + f(¯x) ∈ F(¯x).
Giả sử F : R^n ⇒ R^m là một hàm sơ khả vi tại điểm x¯ với giá trị y¯ ∈ F(x¯) và thỏa mãn tính chất giả Lipschitz Nếu R^n được phân chia thành R^n1 × R^n2 và x¯ = (x¯1, x¯2), thì hàm F1 : R^n1 ⇒ R^m được xác định bởi F1(ã) = F(ã, x¯2) Khi đó, F1 cũng sẽ là hàm sơ khả vi tại x¯1 tương ứng với y¯ và có tính chất giả Lipschitz xung quanh (x¯1, y¯).
2.2.4 Định nghĩa ([10]) Cho S là tập con lồi của R n , x¯ ∈ R n Nón pháp tuyến của S tại x¯, ký hiệu NS(¯x), là tập con của R n được xác định bởi
2.2.6 Định nghĩa ([10]) Cho f : R n → R là hàm lồi và x¯ ∈ R n Dưới vi phân của f tại x¯ là
2.2.7 Nhận xét Cho S là tập con lồi khác rỗng của R n , x¯∈ R n thì
N S (¯x) = ∂δ S (¯x) trong đó δ S là hàm chỉ của tập S cho bởi
G(u) = {x : F(u, x) ∈ C, (u, x) ∈ D} với C ⊂ R^m và D ⊂ R^d × R^n là các tập đóng, và F : R^d × R^n ⇒ R^m là Lipschitz địa phương Cho u¯ ∈ R^d và x¯ ∈ G(¯u) thỏa mãn tiêu chuẩn ràng buộc, tồn tại một véctơ duy nhất y ∈ R^n và z ∈ R^d sao cho y thuộc NC F(¯u, x¯) và (z, 0) thuộc ∇F(¯u, x) + ND(¯u, x) với y = 0 và z = 0 Do đó, G là Lipschitz tại điểm (¯u, x¯).
Xét bài toán tối ưu min{f(x)|x ∈ D, F(u, x) ∈ C} trong đó f : R n →R m , F : R d ×R n → R m Khi đó tập giá trị tối ưu của bài toán trên là
2.2.9 Định lý ([9]) Cho G: R d ⇒ R n có dạng
G(u) = {x ∈ D|F(u, x) ∈ C}, (2.24) trong đó F :R d ×R n → R m là một ánh xạ đơn trị thuộc lớp C 1 và C ⊂ R m ,
D ⊂R n là các tập lồi đóng Giả sử với u nào đó và x ∈ G(u) thỏa mãn điều kiện ràng buộc: véctơ y duy nhất sao cho y ∈ N C F(u, x) thỏa −y∇ x F(u, x) ∈ N D (x) là y = 0 (2.25)
Khi đó G là sơ khả vi và giả Lipschitz tại u tương ứng với x Sơ đạo hàm xác định bởi
Để chứng minh kết luận của Định lý, chúng ta cần chứng tỏ rằng A là sơ khả vi và thỏa mãn điều kiện giả Lipschitz tại u tương ứng với (0, x), với A 0 u,(0,x) (ω) được định nghĩa là tập hợp các điểm {(0, ξ) | ξ ∈ G 0 u,x (ω)} khi sơ đạo hàm tồn tại.
Bởi các Mệnh đề 2.2.2 và 2.2.3 nên ta chỉ cần chỉ ra rằng H là sơ khả vi và giả Lipschitz tại (u,0) tương ứng với (u, x), và có
F˜(v, x) := v, F(v, x) ∈ R d ×R m với (v, x) ∈ R d ×R n (2.27) Khi đó (2.24) trở thành
D˜ = R d ×D và C˜ = {0} ×C (2.29) Điều này cho ta
H −1 = ˜F +S, trong đó S là ánh xạ đa trị xác định bởi
Nếu (v, x) không thuộc D˜, thì các tập D˜ và C˜ đều đóng và lồi, dẫn đến gphS = ˜D ×(−C)˜ cũng là tập lồi đóng Theo Nhận xét 1.1.8, tập lồi là chính quy tiếp tuyến và có tính chất khả vi tại mọi điểm Từ Mệnh đề 1.1.11, suy ra rằng S sơ khả vi tại mọi điểm Hơn nữa, F˜ khả vi, nên theo Mệnh đề 2.2.2, H −1 sơ khả vi tại mọi điểm.
Sơ đạo hàm của H −1 tại (u, x) tương ứng với (u,0) ∈ H −1 (u, x) là
(H −1 ) 0 (u,x),(u,0)(θ, ξ) =∇F˜(u, x)(θ, ξ) +S(u,x),(0,−ω) 0 (θ, ξ), trong đó ω = F (x, u) và gphS(u,x),(0,−ω) 0 = T gphS (u, x),(0,−ω)
= TD ˜(u, x)× −TC ˜(0, ω) Theo Mệnh đề 2.2.1, H là sơ khả vi tại (u,0) tương ứng với (u, x) ∈ H(u,0) và có
(θ, ξ) ∈ TD ˜(u, x)|∇F˜(u, x)(θ, ζ) − (ω, ζ) ∈ TC ˜(0, ω) chính là (ω, ξ) ∈ R d ×T D (x)| ∇ u F(u, x)ω+ ∇ x F(u, x)ξ −ζ ∈ T C F(u, x) Chúng ta biểu diễn H ở (2.28) dưới dạng như sau
Theo Bổ đề 2.2.8, điều kiện đủ để H giả Lipschitz tại (u,0) tương ứng với (u, x) là chuẩn hóa ràng buộc sau : Không có phần tử y˜khác 0 thỏa mãn ˜ y ∈ NC ˜ Φ (u,0, u, x) , −˜y∇ v,x Φ (u,0, u, x) ∈ ND ˜ (u, x) (2.31)
NC ˜ Φ (u,0, u, x) = R d ×N C F (x, u) Véctơ y˜thỏa mãn (2.31) là một cặp (y 0 , y) sao cho y 0 ∈ R d , y ∈ N C F(u, x) ,−y 0 −y∇ u F (u, x) = 0,−y∇ x F (u, x) ∈ N D (x). Theo giả thiết (2.25), chỉ có(y 0 , y) = (0,0) Ta có điều phải chứng minh.
2.2.10 Ví dụ ([9]) Trong trường hợp hệ ràng buộc phụ thuộc tham số u, Định lý 2.2.9 phát biểu như sau: Cho G(u) là tập tất cả x ∈ R n thỏa mãn f i (u, x)
= 0 với i = s+ 1, , m, (2.32) trong đó f i : R d ×R n → R là khả vi liên tục với i = 1,2, , m Điều này tương đương với trường hợp của (2.24) với D = R n , C = R s − ×R m−s và
Với u cho trước, các vectơ x thỏa mãn điều kiện (2.25) thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian- Fromovitz Với u và x như vậy, theo Định lý 2.2.9 ωlim 0 →ω t↓0
G(u+tω 0 )−x t = D(ω), với mọi ω ∈ R d , trong đó D(ω) là tập tất cả ξ ∈ R n thỏa mãn hệ tuyến tính
= 0 với i = s+ 1, , m, ở đâyI(u, x)là tập chỉ số hoạt tạixcủa ràng buộc bất đẳng thức trong (2.32),nghĩa là tập những i ∈ {1, , s} để f i (u, x) = 0.
Tiếp theo, xét bài toán bất đẳng thức biến phân x∈ D, −F(x) ∈ N D (x), (2.33) trong đó D ⊂ R n là tập lồi đóng và F : R n → R n Bài toán (2.33) tương đương với phương trình suy rộng
2.2.11 Định lý ([9]) Cho G : R d ×R n ⇒ R n có dạng
G(u, z) = x ∈ D| − F(u, x) +z ∈ ND(x) trong đó D ⊂R n là một tập lồi đa diện và F : R d ×R n →R n là ánh xạ khả vi Xét (u, z) ∈ domG và x ∈ G(u, z) Khi đó G là sơ khả vi tại (u, z) tương ứng với x và
H(u, z) := (v, x) ∈ D|˜ (u, z)−F˜(v, x) ∈ ND ˜(v, x) , (2.36) trong đó F˜ và D˜ cho bởi (2.27) và (2.29) Đặt
Để chứng minh rằng hàm F là sơ khả vi và có sơ đạo hàm là (2.34), trước tiên, chúng ta cần chứng minh rằng hàm A là sơ khả vi với công thức sơ đạo hàm tương ứng Áp dụng Mệnh đề 2.2.2 cho (2.37), điều quan trọng là chỉ ra rằng hàm H cũng là sơ khả vi.
(2.38) Ánh xạ đa trị S : R d ×R n ⇒ R d ×R n xác định bởi
∅ nếu (v, x) ∈/ D.˜ (2.39) Công thức (2.36) tương đương với
Chúng ta sẽ áp dụng Mệnh đề 2.2.2 cho F˜ + S và sau đó sử dụng Mệnh đề 2.2.1 cho H Nhiệm vụ chính hiện tại là xác minh tính sơ khả vi của S Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tiếp cận đồ thị theo Mệnh đề 1.1.11.
Ta phải chứng minh gphS là tập khả vi, nghĩa là tồn tại giới hạn limt↓0 gphS−(v,x,w,p) t với mọi (v, x, w, p) ∈ gphS Đặt
M := (x, p) ∈ R n ×R n |x ∈ D, p ∈ N D (x) , (2.42) ta có gph∂δ D = M Suy ra, M là hợp hữu hạn tập lồi đa diện trong R n ×R n , giả sử M là hợp của các tập đa diện lồi Mj, j = 1, , q Với mỗi (x, p) ∈ M, ký hiệu
Suy ra M có tính khả vi tại (x, p) với bất kì x ∈ D, p ∈ N D (x) và
Do D là đa diện, nên với mỗi x ∈ D và ξ ∈ R n , nón N D (x+ tξ) sẽ không đổi đối với t khi t thuộc khoảng đủ nhỏ (0, τ).
Ta có N D (x+tξ) =K(x, ξ) với t > 0 đủ nhỏ, trong đó
K(x, ξ) được định nghĩa là tập hợp các phần tử q thuộc N D (x) sao cho q.ξ = 0, với ξ thuộc T D (x) Tập hợp này tạo thành một nón đa diện lồi Nếu tồn tại p+tπ thuộc K(x, ξ) với t > 0 đủ nhỏ, điều này có nghĩa là p thuộc K(x, ξ) và π thuộc T K(x,ξ) (p) = T N D (x) (p) ∩ ξ ⊥, trong đó ξ ⊥ là tập hợp các vectơ trực giao với ξ Vì N D (x) là một nón đa diện lồi chứa p, chúng ta có thể kết luận rằng
Do N D (x) = T D ∗ (x), nón đa diện lồi trong (2.45)là đối ngẫu của
C (x, p) := {ξ 0 ∈ TD (x)|p.ξ 0 = 0} (2.46) Như vậy, điều kiện (2.44) tương đương với ξ ∈ C(x, p), π.ξ = 0 và π.ξ 0 ≤0, ∀ξ 0 ∈ C (x, p) hay ξ ∈ C(x, p) và π ∈ N C(x,p) (ξ). Điều này cho thấy rằng nón ở (2.43) là tập
(ξ, π)|ξ ∈ C (x, p), π ∈ N C(x,p) (ξ) Đây chính là nón limt↓0
M −(x, p) t , với M được cho bởi (2.42) Ánh xạ S ở (2.39) và (2.41) cho bởi
∅ nếu x /∈ D, là sơ khả vi tại mỗi điểm (v, u) ∈ domS và
Bây giờ ta sẽ tính sơ đạo hàm của H −1 trong (2.40) Để (u, z) và (v, x) thỏa (u, z) ∈ H −1 (v, x), theo (2.40), thì
(v, x) ∈ domS và (u, z)−F˜(v, x) ∈ S(v, x). Theo (2.27) và (2.47), điều kiện trên trở thành u ∈ D, v = u, (u, z)−F˜(v, x) = (0, p), trong đó p= z−F (u, x) ∈ ND(x) (2.48)
Như vậy, theo Mệnh đề 2.2.2,H −1 là sơ khả vi tại (u, x) tương ứng với (u, z) và
∇F˜(u, x) (θ, ξ) = θ,∇ u F (u, x)θ+ ∇ F (u, x)ξ , trong đó tính sơ đạo hàm củaS được xác định bởi (2.47) Khipcho bởi (2.48), tập C(x, p) trong (2.47) được định nghĩa ở (2.46) trở thành tập D 0 (u, z, x) trong (2.35) Vì vậy từ (2.49) ta có
(ω, ζ) ∈ H(u,x),(u,z) −1 (θ, ξ) ⇔ ω = θ, ξ ∈ D 0 (u, z, x), ζ − ∇ u F (u, x)θ− ∇ x F (u, x)ξ ∈ N D 0 (u,z,x) (ξ).Nhờ vào Mệnh đề 2.2.1, ta có thể kết luận rằng H 0 (u,z),(u,x) tồn tại và được xác định bởi (2.38) Như vậy ta đã hoàn thành chứng minh Định lý.
Dựa vào việc nghiên cứu, tìm hiểu từ các tài liệu tham khảo, luận văn đã trình bày lại một cách có hệ thống các vấn đề sau:
Bài viết tổng hợp và trình bày chi tiết về tính chất sơ khả vi của ánh xạ đa trị, làm rõ mối liên hệ giữa tính sơ khả vi với tính nửa khả vi theo Định lý 1.2.2, cũng như giữa tính khả vi và tính liên tục theo Định lý 1.2.7 Ngoài ra, bài viết cũng nêu rõ một điều kiện cần để sơ đạo hàm liên tục, được thể hiện qua Định lý 1.2.5.
Sử dụng sơ đạo hàm để xác định tính chất tăng trưởng Lipschitz theo Định lý 2.1.3 Bài viết cũng trình bày mối liên hệ giữa tính chất giả Lipschitz và tính sơ khả vi của ánh xạ đa trị, được nêu rõ trong Định lý 2.1.6 và Định lý 2.1.7.
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày chi tiết kết quả về tính sơ khả vi và tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm trong bài toán tối ưu, dựa trên Định lý 2.2.9 và Định lý 2.2.11 Hướng nghiên cứu của luận văn cho phép khảo sát tính sơ khả vi của các ánh xạ dưới vi phân, từ đó ứng dụng vào việc phân tích ánh xạ nghiệm của bài toán quy hoạch toán học.
[1] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất bản Khoa học tự nhiên và Công nghệ.
[2] S Adly, L Bourdin (2017), "Sensitivity analysis of variational inequal- ities via twice epi-differentiability and proto-differentiability of proxim- ity operator”, Preprint.
[3] J.-P Aubin, H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Boston, Massachusetts.
[4] N Q Huy, G M Lee (2006), "On proto-differentiability of generalized perturbation maps”, J Math Anal Appl., 324, 127-1390.
[5] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Dif- ferentiation, Vol I: Basic Theory, Vol II: Applications, Springer, Berlin.
[6] R A Poliquin and R T Rockafellar (1994), "Proto-Derivative for ba- sic subgradient mappings in mathematical programming”, Set-Valued Analysis, 2, 275-290.
[7] R A Poliquin and R T Rockafellar (1997),"Proto-Derivative of partial subgradient mappings", Journal of Convex Analysis, 2, 221-234.
[8] R T Rockafellar (1985), "Lipschitzian properties of multifunctions”,Nonlin Anal Th Math Appl., 9, 867–885 Gauthier-Villars, Paris S6,449-482.