BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐINH THỊ NGOAN ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS Lê Đình Định HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Đình Định, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giảng giải để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội trang bị kiến thức, giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, giúp đỡ trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Đinh Thị Ngoan Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn TS Lê Đình Định luận văn: Điểm bất động ứng dụng công trình nghiên cứu riêng Trong trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn, thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 12 năm 2015 Tác giả Đinh Thị Ngoan Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tính ổn định phương trình sai phân 1.2 Định lí điểm bất động Amman 1.3 Một số kết tính ổn định phương trình sai phân 13 Chương Sự tồn nghiệm phương trình sai phân phi tuyến 17 2.1 Sự tồn nghiệm phương trình sai phân 17 2.2 Nghiệm đơn điệu phương trình sai phân 19 2.3 Tính bị chặn nghiệm 22 2.4 Nghiệm đơn điệu không bị chặn 26 2.5 Sự ổn định địa phương 31 Chương Ứng dụng 37 3.1 Giải phương trình sai phân 37 3.2 Dáng điệu toàn cục phương trình βxkn xn+1 = + xkn−1 42 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Mở đầu Lí chọn đề tài Bài toán nghiên cứu tồn tại, tính điểm bất động ánh xạ vấn đề thời thu hút quan tâm nhà toán học giới đạt nhiều kết quan trọng Với không gian X f : X → X ánh xạ Điểm x ∈ X thỏa mãn x0 = f (x0 ) gọi điểm bất động ánh xạ f Vấn đề đặt với điều kiện không gian X ánh xạ f f có điểm bất động điểm bất động Các định lý điểm bất động xuất từ đầu kỷ XX Công trình Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922), Nguyên lý ánh xạ co Banach định lý điểm bất động đơn giản sử dụng rộng rãi Về sau, kết kinh điển mở rộng nhiều lớp ánh xạ không gian khác ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác toán học Một ứng dụng xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu, tính bị chặn phương trình sai phân phi tuyến đề cập luận văn Nội dung luận văn tham khảo chủ yếu tài liệu [4, 6] Luận văn cấu trúc thành 03 chương: Chương dành để trình bày số kiến thức phương trình sai phân, tập hợp thứ tự, định lí điểm bất động dùng để nghiên cứu chương sau Chương luận văn trình bày tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân Chương luận văn trình bày áp dụng định lí điểm bất động ứng dụng điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: xn+1 = g(xn )f (xn−1 ) xn+1 βxkn = + xkn−1 Mục đích nghiên cứu • Giúp hiểu định lý điểm bất động Amman không gian thứ tự • Áp dụng định lý để xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân Nhiệm vụ nghiên cứu Áp dụng định lý điểm bất động Amman để xét tồn nghiệm, tính ổn định, tính không ổn định, tính bị chặn, tính đơn điệu phương trình sai phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Điểm bất động ứng dụng điểm bất động vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: xn+1 = g(xn )f (xn−1 ) xn+1 βxkn = + xkn−1 Phương pháp nghiên cứu • Các phương pháp giải tích hàm • Các phương pháp phương trình sai phân Những đóng góp đề tài Luận văn trình bày áp dụng định lý điểm bất động Amman ứng dụng định lý vào nghiên cứu tính ổn định, tính không ổn định, tính đơn điệu phương trình sai phân dạng: xn+1 = g(xn )f (xn−1 ) xn+1 βxkn = + xkn−1 Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm tính ổn định phương trình sai phân Mục trình bày khái niệm tính ổn định phương trình sai phân tổng quát Định nghĩa 1.1 Phương trình sai phân cấp k + phương trình có dạng xn+1 = f (xn , xn−1 , , xn−k ), n = 0, 1, (1.1) f hàm liên tục ánh xạ tập J k+1 vào J Tập hợp J khoảng hay đoạn R, hợp khoảng J ⊆ Z Định nghĩa 1.2 Một nghiệm phương trình (1.1) dãy {xn }∞ n=−k mà thỏa mãn (1.1) với n ≥ Nếu phương trình (1.1) có điều kiện ban đầu x−k , x−k+1 , , x0 ∈ J x1 = f (x0 , x−1 , , x−k ) x2 = f (x1 , x0 , , x−k+1 ) nghiệm {xn }∞ n=−k (1.1) tồn với n ≥ −k xác định nhờ điều kiện ban đầu Một nghiệm phương trình (1.1) số với n ≥ −k gọi nghiệm cân phương trình (1.1) Nghĩa là, xn = x¯ ∀n ≥ −k nghiệm cân phương trình (1.1), x¯ gọi điểm cân phương trình (1.1) Định nghĩa 1.3 (Tính ổn định) Ta nói điểm cân x¯ phương trình (1.1) là: (i) Ổn định địa phương với > 0, tồn δ > cho {xn }∞ n=−k nghiệm phương trình (1.1) mà |x−k − x¯| + |x1−k − x¯| + · · · + |x0 − x¯| < δ |xn − x¯| < , ∀n ≥ −k (ii) Ổn định tiệm cận địa phương x¯ ổn định địa phương tồn γ > cho {xn }∞ n=−k nghiệm phương trình (1.1) mà |x−k − x¯| + |x1−k − x¯| + · · · + |x0 − x¯| < γ lim xn = x¯ n→∞ (iii) Hút toàn cục với nghiệm {xn }∞ n=−k phương trình (1.1) ta có lim xn = x¯ n→∞ (iv) Ổn định tiệm cận toàn cục x¯ ổn định địa phương x¯ điểm hút toàn cục phương trình (1.1) (v) Không ổn định x¯ không ổn định địa phương (vi) Điểm gốc (source) tồn r > cho với nghiệm {xn }∞ n=−k phương trình (1.1) mà < |x−k − x¯| + |x1−k − x¯| + · · · + |x0 − x¯| < r tồn N ≥ cho |xN − x¯| > r Rõ ràng từ định nghĩa ta thấy điểm gốc điểm không ổn định phương trình (1.1) Giả sử f hàm khả vi liên tục lân cận mở điểm x¯ Đặt pi = ∂f (¯ x, x¯, , x¯) với i = 0, 1, , k ∂ui đạo hàm riêng f (u0 , u1 , , uk ) theo biến ui điểm cân x¯ phương trình (1.1) Khi phương trình yn+1 = p0 zn + p1 zn−1 + · · · + pk zn−k , n = 0, 1, (1.2) hàm g1 (x) có hai không điểm dương g1 (xc ) < 0, có không điểm dương g1 (xc ) = 0, không điểm dương g1 (xc ) > Do đó, k > 1, mệnh đề sau đúng: (i) Nếu β < k (k − 1) k−1 k phương trình (3.1) điểm cân dương; (ii) Nếu β = k k−1 phương trình (3.1) có điểm cân (k − 1) k β(k − 1) dương x¯1 = k k (iii) Nếu β > k−1 phương trình (3.1) có hai điểm cân (k − 1) k β(k − 1) < x¯2 dương x¯1 x¯2 cho x¯1 < k (a) Xét trường hợp phương trình (3.1) có điểm cân x¯0 +) Với < k < 1, hàm xk không khả vi x = ta áp dụng kết tính ổn định phương trình tuyến tính hóa +) Với k = phương trình tuyến tính hóa điểm cân x¯0 = yn+1 − βyn + 0yn−1 = 0, n = 0, 1, với phương trình đặc trưng P (λ) = λ2 − βλ = Hiển nhiên, ta có λ1 = λ2 = β x¯0 = ổn định tiệm cận địa phương với β < +) Với k > phương trình đặc trưng trở thành: P (λ) = λ2 = 39 nghiệm phương trình đặc trưng λ1 = λ2 = Vì thế, với k > 1, x¯0 ổn định tiệm cận địa phương (b) Xét trường hợp phương trình (3.1) có x¯ điểm cân dương Khi đó, phương trình tuyến tính hóa x¯ yn+1 − kyn + k¯ x yn−1 = 0, β n = 0, 1, (3.6) với phương trình đặc trưng P (λ) = λ2 − kλ k¯ x = β (3.7) Hơn nữa, xk βxk , H(x) = , + xk + xk k β − k¯ x G (¯ x) = , H (x) = k + x¯ β(1 + x¯k ) G(x) = (3.8) Trước tiên, xét trường hợp tồn điểm cân dương x¯1 Khi x1 = β(k − 1) k −k(k − 2) , β= x1 ) = k−1 , G (x1 ) = H (¯ k k k (k − 1) Từ Bảng 3.1 < k < 2, phương trình đặc trưng có nghiệm λ1 = < λ2 < Với k= nghiệm λ1 = λ2 = với k > ta có λ1 = λ2 > (c) Xét trường hợp phương trình (3.1) có hai điểm cân dương x¯1 x¯2 , < x¯1 < β(k − 1) k < x¯2 β > k−1 k (k − 1) k +) Xét điểm x¯1 , ta chứng tỏ x¯1 < k β k−1 < 40 β(k − 1) k (3.9) k Dễ dàng thấy điều kiện β > k−1 tương đương với bất đẳng (k − 1) k thức thứ hai (3.9) Để chứng minh bất đẳng thức thứ (3.9) cần chứng tỏ k−1 k β g1 1, = + x¯k1 β x¯k−1 ta thấy x¯1 điểm yên ngựa nghiệm tương ứng phương trình đặc trưng thỏa mãn ≤ λ1 < < λ2 β(k − 1) +) Xét điểm cân x¯2 > Khi đó, k kk k < G (¯ x2 ) = Điều tương đương với phương trình g1 (x) = có nghiệm đoạn β(k − 1) β β(k − 1) β , Hiển nhiên, < < k < Vì k k k k β(k − 1) β(k − 1) g1 < hàm g1 (x) = tăng x > , ta có k k β H (¯ x2 ) > tương đương với < k < g1 > Vì k g1 β k = β k k −β β k k−1 (k − 1)β k +1=1− kk Do H (¯ x2 ) > k (k − 1) k−1 k k k (k − 1) k k ≥ Bảng 3.1 trình bày thông tin số điểm cân tính ổn định với giá trị khác β k (xem trang 50) 3.2 Dáng điệu toàn cục phương trình βxkn xn+1 = + xkn−1 Trong mục ta trình bày dáng điệu toàn cục phương trình (3.1) Định lý 3.1 Giả sử (3.2) Khi điều sau tương đương: 42 (a) Mọi nghiệm (3.1) bị chặn số dương < k < 4; (3.10) k≥4 (3.11) (b) Nếu phương trình (3.1) có nghiệm tăng không bị chặn; (c) Phương trình (3.1) ổn định k = β > < k < β > (3.12) Chứng minh Với chứng minh phần (a) (b), ta sử dụng Định lí 2.4 Bổ đề 2.4 Định lí 2.6 Với số L > ta có g(x) = βxk f (x) ≤ với x ≥ L xk điều kiện (2.6) (2.7) thỏa mãn Trong trường hợn này, p = q = k Hơn nữa, g không bị chặn, nên theo Định lí 2.4 nghiệm phương trình (3.1) bị chặn số dương k < 4k, điều tương đương với (3.10) Tiếp theo, ta chứng tỏ tồn nghiệm tăng không bị chặn với k ≥ Hiển nhiên giả thiết (H1)-(H3) thỏa mãn Do βxk G(x) = < x với x ≥ L = max{1, x¯} + xk với x¯ điểm cân không âm lớn phương trình (3.1) Theo Bổ đề 2.4 điều kiện (H4) thỏa mãn Theo Định lí 2.6 ta thu (a) (b) 43 (c) Từ tính ổn định địa phương, ta suy điểm cân x¯0 = điểm hút với k > với k = < β ≤ Rõ ràng, trường hợp phương trình (3.1) không ổn định Nếu điều kiện (3.12) áp dụng định lí 1.4 ta thu (c) Định lý 3.2 Giả sử (3.2) Khi phát biểu sau đúng: (a) Điểm x¯0 = điểm hút toàn cục nghiệm không âm phương trình (3.1) k = < β ≤ < k < < β ≤ k (k − 1) (3.13) k−1 ; k (b) Tồn điểm cân dương x¯1 phương trình (3.1) mà điểm hút toàn cục nghiệm dương < k < β > (3.14) k = β > Chứng minh (a) Điều kiện (3.13) điều kiện cần Thật vậy, từ bảng 3.1 ta thấy rằng, (3.13) không thỏa mãn, tồn điểm cân dương tương ứng với nghiệm số mà không bị hút điểm x¯0 = Bây giờ, ta chứng tỏ (3.13) điều kiện đủ cho tính hút toàn cục Hiển nhiên, từ bảng 3.1 ta suy x¯0 = điểm cân phương trình (3.1) Hơn nữa, từ Định lí 3.1, nghiệm bị chặn số dương tồn số nguyên N cho xN ≤ xN −1 44 (3.15) Trái lại, với n = 0, 1, xn > xn−1 {xn } bị chặn, nên tồn giới hạn dương dãy {xn } điều vô lí βxk−1 < với x ≥ nên Từ phương trình (3.1) (3.15) + xk xN +1 k−1 βxk−1 βxN N −1 ≤ xN ≤ xN = k + xN −1 + xkN −1 Bằng cách quy nạp theo n ta thu {xn } không tăng, dãy không âm, nên dãy hội tụ x¯0 = (b) Bây giờ, ta xét nghiệm dương phương trình (3.1), tức nghiệm với điều kiện ban đầu x0 > x−1 ≥ Từ bảng (3.1) ta thấy với k > với k = β ≤ 1, x¯0 = ổn định tiệm cận địa phương, từ không tồn điểm hút toàn cục Điều chứng tỏ điều kiện (3.14) điều kiện cần Bây giờ, giả sử (3.14) đúng, ta thấy từ giả thiết Định lí 1.5 thỏa mãn Cụ thể hàm βuk−1 F (u, v) = + vk liên tục (0, ∞) × (0, ∞) Do đó, F không tăng theo u giảm theo v, hàm uF (u, u) tăng theo u Khi đó, điểm cân dương x¯1 hút toàn cục nghiệm dương phương trình (3.1) Ta có kết sau: 45 Hệ 3.1 Giả sử điều kiện (3.2) Khi phát biểu sau đúng: (a) Nếu (3.13) x¯0 ổn định tiệm cận toàn cục; (b) Nếu (3.14) điểm cân dương x¯1 ổn định tiệm cận toàn cục Bây ta xét trường hợp phương trình (3.1) có hai (¯ x0 x¯1 ) ba (¯ x0 , x¯1 x¯2 ) điểm cân Trước tiên, ta giới thiệu tập hợp sau: S = tập tất nghiệm phương trình (3.1); S0 = tập tất nghiệm không tầm thường giảm thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới x¯0 ; S1− = tập tất nghiệm không tầm thường tăng thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới x¯1 ; S1+ = tập tất nghiệm không tầm thường giảm thực phương trình (3.1) mà hội tụ tới x¯1 ; S∞ = tập tất nghiệm không tầm thường không bị chặn giảm phương trình (3.1) Định lý 3.3 Giả sử (3.2) k > β = k (k − 1) k−1 k (3.16) cho {xn } ⊂ S Khi phát biểu sau đúng: (a) Phương trình (3.1) có hai điểm cân x¯0 = x¯1 = β(k − 1) ; k 46 (b) Nếu < k < 2, S0 , S1− = ∅, S∞ = ∅, S0 ∪ S1− ⊂ S (3.17) Hơn nữa, điều kiện ban đầu x−1 x0 chọn cho < x0 ≤ x−1 , x0 ≤ x¯1 , {xn } ⊂ S0 (c) Nếu ≤ k ≤ 4, S0 , S1− = ∅, S1+ , S∞ = ∅, S0 ∪ S1− ⊂ S (3.18) (d) Nếu k ≥ 4, S0 , S1− , S∞ = ∅, S1+ = ∅, S0 ∪ S1− ∪ S∞ = S (3.19) Chứng minh Theo phần (a) bảng 3.1 Ở ta có G(x) = βxk ≤ x với x ≥ + xk Hơn nữa, I0− = I0+ = từ Định lí 2.2 suy tồn nghiệm đơn điệu tăng phương trình (3.1) mà hội tụ x¯1 Từ Định lí 2.3, điều kiện biên x−1 x0 chọn cho < x0 ≤ x−1 , x0 ≤ x¯1 , nghiệm {xn } giảm lim xn = x¯0 n→∞ Từ Định lí 3.1, k ≥ 4, tồn nghiệm đơn điệu tăng không bị chặn < k < không tồn nghiệm Chứng minh phần (b) hoàn thành Để chứng minh phần (c) (d) ta cần chứng tỏ k ≥ 2, nghiệm mà không đơn điệu tăng đơn điệu giảm thực hội tụ Giả sử {xn } dãy nghiệm không tăng, tồn số nguyên N0 cho xN0 ≤ xN0 −1 47 Do đó, xN0 +1 βxkN0 βxkN0 = ≤ ≤ x N0 + xkN0 −1 + xkN0 Trong bất đẳng thức ngặt Trái lại, xN0 −1 = xN0 = xN0 +1 = x¯1 nghiệm {xn } tầm thường, điều mâu thuẫn Tiếp theo, quy nạp ta kết luận xn+1 < xn với n ≥ N0 Vì xn > nên {xn } hội tụ Ta chứng tỏ lim xn = n→∞ Trái lại, tồn x > cho lim xn = x n→∞ Xét dãy {yn } xác định yn = xn , xn−1 n = 0, 1, Hiển nhiên, lim yn = n→∞ yn < với n ≥ N0 + (3.20) Hơn nữa, yn+1 xn+1 xn βxk−2 xn βxk−1 xn n−1 n xn−1 = = < ≤ = yn−1 xn xn−1 + xkn−1 xn−1 + xkn−1 xn−1 Điều mâu thuẫn với (3.20) chứng minh hoàn thành 48 Nhận xét 3.1 Nếu (3.16) đúng, Định lí 3.3 cho ta đặc trưng đầy đủ nghiệm dương phương trình (3.1) trừ < k < Định lý 3.4 Giả sử (3.2) k > β = k (k − 1) k−1 k Khi đó, phát biểu sau đúng: (a) Phương trình (3.1) có hai điểm cân x¯0 = < x¯1 < β(k − 1) < x¯2 ; k (b) Nếu < k < 4, S0 , S1− , S1+ = ∅, S∞ = ∅, S0 ∪ S1− ∪ S1+ ⊂ S (3.21) Hơn nữa, điều kiện ban đầu x−1 x0 chọn cho < x0 ≤ x−1 , x0 ≤ x¯1 , {xn } ⊂ S0 (c) Nếu k ≥ 4, S0 , S1− , S1+ , S∞ = ∅, S0 ∪ S1− ∪ S1+ ∪ S∞ ⊂ S (3.22) Hơn nữa, điều kiện ban đầu x−1 x0 chọn cho < x0 ≤ x−1 , x0 ≤ x¯1 , {xn } ⊂ S0 49 k β # 0 Điểm hút |λ1 |, |λ2 | < k=1 0 Điểm hút |λ1 |, |λ2 | < 1[...]... η(x) ≤ η(¯ xi ) = xi+1 Vì vậy, η(F ) = F, η(J + ) ⊂ J + ∪ F, và η(J − ) ⊂ J − ∪ F Từ φ ≤ ψ, ta thấy rằng φ ◦ η ≤ ψ ◦ η (e) Từ (a), (c) và (d ) ta suy ra φ ≤ ψ =⇒ φ2 = φ ◦ φ ≤ φ ◦ ψ ≤ ψ ◦ ψ = ψ 2 Bổ đề được chứng minh Tiếp theo chúng tôi trình bày một vài định lí điểm bất động được sử dụng trong các phần sau Trước tiên, định lí điểm bất động hữu ích của Amman [11, pp 506-507] Định lý 1.1 Giả sử X là... Tính phản đối xứng: nếu x ≤ y và y ≤ x thì x = y; (iii) Tính bắc cầu: nếu x ≤ y và y ≤ z thì x ≤ z Định nghĩa 1.5 Cho X là tập sắp thứ tự và Y ⊆ X Khi đó Y được gọi là một xích (chain) trong X nếu và chỉ nếu Y khác rỗng và với mọi x, y ∈ Y thì hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x Định nghĩa 1.6 Cho X là tập sắp thứ tự và Y ⊆ X Khi đó u ∈ X được gọi là một chặn trên của Y nếu và chỉ nếu x ≤ u, ∀x ∈ Y Điểm y ∈ Y được... phương trình (1.1) tại điểm cân bằng x¯, và phương trình λk+1 − p0 λk − · · · − pk−1 λ − pk = 0 (1.3) được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) tại điểm cân bằng x¯ 1.2 Định lí điểm bất động Amman Để thuận tiện chúng ta định nghĩa một số thuật ngữ được sử dụng trong các phần tiếp theo Định nghĩa 1.4 Một tập hợp X được gọi là tập sắp thứ tự nếu và chỉ nếu X khác rỗng và với mọi cặp (x, y)... modun lớn hơn 1, thì điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là điểm gốc 13 Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là điểm hyperbolic nếu không có nghiệm nào của phương trình đặc trưng (1.3) có modun bằng 1, trái lại ta gọi điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) là điểm không-hyperbolic Điểm cân bằng x¯ của phương trình (1.1) được gọi là điểm yên ngựa nếu x¯ là hyperbolic và tồn tại một nghiệm... nhiên, khi f là hàm giảm thì nghiệm (2.5) là giảm hoàn toàn Bổ đề được chứng minh Định lý 2.3 Giả sử các giả thiết (H1)-(H3) là thỏa mãn và cho x¯0 = 0 và I0− = ∅ Nếu các điều kiện ban đầu x−1 và x0 được chọn là x−1 ≥ x0 và x0 ∈ I0− , thì nghiệm {xn } của phương trình (2.1) là giảm và lim xn = x¯0 = 0 n→∞ 21 Chứng minh Từ (2.1), (1.7) và (H1) ta có x1 = g(x0 )f (x−1 ) ≤ g(x0 )f (x0 ) < x0 < x¯i Bằng phép... G(x) < x với x ≥ L, và giả sử rằng tồn tại các số A, B ∈ (0, ∞), p ∈ (2, ∞) và q ∈ (1, ∞) sao cho p2 ≥ 4q (2.26) và g(x) ≥ Axp và f (x) ≥ B với x ∈ [L, ∞) xq (2.27) Khi đó, hàm ψ(x) = Cxm với x ∈ [L, ∞) với    p − p+ p2 − 4q ≤m< 2  p  m = 2 p2 − 4q 2 khi p2 ≥ 4q (2.28) khi p2 = 4q và 1 C ≥ max{(AB)− p−m−1 , L1−m }, thoả mãn bất đẳng thức iψ ≤ T ψ ≤ ψ 29 (2.29) Chứng minh Bất đẳng thức T ψ ≤... với x ∈ J − ⇐⇒ η ◦ φ ≤ η ◦ ψ (b) Theo giả thiết (H3) và kết hợp với (1.4), (1.5), (1.8) và (1.9) ta có điều phải chứng minh (c) Với x ∈ [¯ x0 , x¯m ], ta có x¯0 ≤ φ(¯ x0 ) ≤ φ(x) ≤ φ(¯ xm ) = x¯m và do đó φ([¯ x0 , x¯m ]) ⊂ [¯ x0 , x¯m ] Khi đó với η và φ ∈ M ta có η ◦ φ ∈ B[¯ x0 , x¯m ] 11 Hơn nữa, vì η ≤ iB và φ ≤ iB , nên η ◦ φ ≤ η ◦ iB = η ≤ iB , và như vậy η ◦ φ ∈ M (d) Do η ∈ M ta có x ∈ (¯ xi ,... điều kiện ban đầu x0 ≥ x−1 ≥ L là đơn điệu tăng và lim xn = ∞ n→∞ (2.20) Chứng minh Vì f là giảm nên ta có f (x−1 ) ≥ f (x0 ) và x1 = g(x0 )f (x−1 ) ≥ g(x0 )f (x0 ) > x0 ≥ L Từ đó bằng phương pháp quy nạp xn > xn−1 ≥ L với n = 0, 1, (2.21) Nếu {xn } không bị chặn thì (2.20) đúng và định lí được chứng minh Mặt khác, nếu {xn } là bị chặn thì {xn } hội tụ và tồn tại l > L sao cho lim xn = l n→∞ 26 Lấy... hệ quả trực tiếp của định nghĩa của T và tính đơn điệu của hàm f và g (d) Được chứng minh từ Định lí 1.1 (e) Vì σ ∈ Mψ là hàm không giảm và σ(x) ≥ x với x ∈ [L, ∞), Giả sử ngược lại là ở đó tồn tại x ∈ [L, ∞) sao cho σ(x) = x Khi đó g −1 x f (x) = T σ(x) = σ(x) = x 28 điều này mâu thuẫn với (2.22) Vậy σ(x) > x, ∀x ∈ [L, ∞) (f) Chứng minh của f) là tương tự với chứng minh của Bổ đề 2.2 Bổ đề sau đưa... ≥ N0 và k = 0, 1, , N, xni −k = g(xni −(k+1) )f (xni −(k+2) ) ≤ AB xpni −(k+1) xqni −(k+2) (2.15) Và như vậy xni −k p i→∞ x ni −(k+1) lim = 0, với k = 0, 1, , N (2.16) Từ (2.11), (2.12) và (2.15), ta có với i ≥ N0 và j, k = 0, 1, , N, q/a k−1 k xnp−a xni −j−2 xni −j i −j−1 ≤ AB q = AB q = AB xnaki −j−1 xni −j−2 xni −j−2 q/ak−1 xni −j−1 −1 xanki −j−2 (2.17) Bắt đầu với j = 0 và k = N và lặp