ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Ngành học: SƯ PHẠM TOÁN HỌC Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng, N˚ am 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ———————— NGUYỄN VĂN TRUNG TÍN TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Sư phạm Toán học GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - Năm 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tô pô 1.1.1 Lân cận, sở lân cận sở không gian tôpô 1.1.2 Bao đóng tập hợp 11 1.2 Ánh xạ liên tục 12 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng phép đồng phôi 13 1.4 Không gian 14 1.5 Không gian compact 14 1.6 Khơng gian quy 15 Tính chất khơng gian cầu trường 16 2.1 Định nghĩa số kết liên quan 16 2.2 Kết 25 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực đề tài, gặp khơng khó khăn nhờ giúp đỡ từ phía thầy cơ, gia đình, bạn bè với nỗ lực thân, em tự tìm tòi, học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho thân hồn thành khóa luận Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển anh Ông Văn Tuyên tận tình bảo, giúp đỡ động viên em suốt q trình thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất quý thầy cô giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập mái trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Văn Trung Tín Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển DANH MỤC KÝ HIỆU Trong toàn khóa luận này, cho khơng gian X, G ta hiểu X, G khơng gian tôpô em quy ước tất không gian T1 , khái niệm thuật ngữ khác khơng nói thêm hiểu thông thường N Tập hợp số nguyên dương R Tập hợp số thực A\B Hiệu hai tập hợp A ∩ B Giao hai tập hợp A ∪ B Hợp hai tập hợp f ◦g |A| Phép hợp thành hai ánh xạ Số phần tử tập hợp A Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Năm 1936, G Birkhoff giới thiệu nhóm tơpơ ([4]) Sau đó, M M Choban giới thiệu không gian cầu trường V V Uspenskij chứng minh nhóm tơpơ khơng gian cầu trường được, tồn không gian cầu trường khơng phải nhóm tơpơ ([5,9]) Từ đến nay, nhiều kết liên quan đến khơng gian nhà tốn học quan tâm nghiên cứu (xem [6, 7, 8]) Tuy nhiên, khái niệm khơng gian cầu trường xa lạ với nhiều sinh viên khoa Toán Mặt khác, số lượng tính chất khơng gian khiêm tốn so với khơng gian khác Hiện nay, nhiều câu hỏi mở chưa giải đáp [3, 4, 6] Với mong muốn cung cấp khái niệm, số tính chất bản, đồng thời nêu lên số tính chất khơng gian này, hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, em chọn đề tài khóa luận: Tính chất khơng gian cầu trường II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Giới thiệu không gian cầu trường được, đồng thời chứng minh chi tiết số định lý bổ đề liên quan, để từ phần Kết đưa tính chất khơng gian cầu trường chứng minh tính đắn chúng III NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, bố cục khóa luận em bao gồm hai chương: Chương khóa luận trình bày số kiến thức chuẩn bị khơng gian tôpô, định nghĩa không gian tôpô, lân cận, sở lân cận sở không gian tôpô; định nghĩa định lý ánh xạ liên tục, ánh xạ mở, ánh xạ đóng phép đồng phơi Chương khóa luận trình bày định nghĩa bổ đề liên Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển quan, để từ phần kết chính, em nêu số kết mà em nghiên cứu không gian cầu trường IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Khóa luận em chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Đồng thời, nghiên cứu kết tác giả trước để đưa kết V BỐ CỤC CỦA ĐỀ TÀI Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Lân cận, sở lân cận sở khơng gian tơpơ 1.1.2 Bao đóng tập hợp 1.2 Ánh xạ liên tục 1.3 Ánh xạ mở, ánh xạ đóng Phép đồng phơi 1.4 Khơng gian 1.5 Khơng gian compact 1.6 Khơng gian quy Chương Tính chất khơng gian cầu trường 2.1 Một số định nghĩa kết liên quan 2.2 Kết Kết luận VI ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI Đề tài góp phần cung cấp khái niệm số tính chất khơng gian cầu trường Đề tài trình bày số tính chất khơng gian cầu trường Điều thể Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.4 Những tính chất góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ tập đóng tập compact khơng gian này, đồng thời làm rõ tính Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển chất đếm thứ không gian cầu trường Các kết sở quan trọng để nhận hai báo: [1] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, to accept [2] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Tính chất đếm thứ khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, em trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian tôpô định nghĩa, lân cận, sở lân cận sở khơng gian tơpơ, bao đóng tập hợp Đồng thời, em đề cập tới định nghĩa định lý liên quan tới ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng, ánh xạ mở, phép đồng phơi khơng gian compact, khơng gian quy, nhằm phục vụ cho việc chứng minh bổ đề định lý Chương 1.1 Không gian tô pô Định nghĩa 1.1.1 [10] Cho tập X Một họ τ tập X gọi tôpô X thỏa mãn điều kiện: (1) X ∅ thuộc τ ; (2) Hợp tùy ý tập thuộc τ thuộc τ ; (3) Giao hữu hạn tập thuộc τ thuộc τ Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Một tập X tôpô X gọi không gian tôpô Để rõ τ tôpô của không gian tôpô X, ta viết (X, τ ) Cho (X, τ ) không gian tôpô Tập U ∈ τ gọi tập mở X Tập F X gọi tập đóng X\F tập mở Nhận xét 1.1.1 Từ định nghĩa ta có nhận xét sau: ∅, X tập mở; Hợp tùy ý tập mở tập mở; Giao hữu hạn tập mở tập mở Ví dụ 1.1.1 Với tập X, P (X) = {U : U ⊂ X} tôpô X, gọi tôpô rời rạc Tập X với tôpô rời rạc gọi không gian rời rạc Ví dụ 1.1.2 Với tập X, τ = {∅, X} tôpô X, gọi tôpô thơ Ví dụ 1.1.3 Cho X tập Một hàm d : X −→ R mêtric X thỏa mãn điều kiện: (1) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = ⇔ x = y; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển G → G xác định gx (y) = q(x, y), với y ∈ G Khi đó, fx gx phép đồng phơi Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh fx gx song ánh Thật vậy, với y ∈ G, ta có fx gx (y) = fx (q(x, y)) = p(x, q(x, y)) = y gx fx (y) = gx (p(x, y)) = q(x, p(x, y)) = y Điều chứng tỏ fx gx = 1G gx fx = 1G Do đó, fx gx song ánh Tiếp theo, ta chứng minh ánh xạ fx liên tục Thật vậy, với U lân cận mở fx (y) = p(x, y), p liên tục nên tồn U1 , U2 lân cận mở x, y cho fx (U2 ) = p(x, U2 ) ⊂ p(U1 , U2 ) ⊂ U Do đó, ánh xạ fx liên tục Cuối cùng, ta chứng minh ánh xạ gx liên tục Thật vậy, với V lân cận mở gx (y) = q(x, y), q liên tục nên tồn V1 , V2 lân cận mở x, y cho gx (V2 ) = q(x, V2 ) ⊂ q(V1 , V2 ) ⊂ V Do đó, ánh xạ gx liên tục Như vậy, fx gx phép đồng phôi Bổ đề 2.1.2 Giả sử G không gian cầu trường Khi đó, V lân cận mở phần tử đơn vị phải e ∈ G, với x ∈ G ta có x.V lân cận mở x Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 21 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Chứng minh Với x ∈ G, G không gian cầu trường nên nhờ Định lí 2.1.2 ta suy x = p(x, q(x, x)) = p(x, e) ⊂ p(x, V ) = x.V Mặt khác, nhờ Bổ đề 2.1.1 ta suy fx ánh xạ mở Vì x.V = p(x, V ) = fx (V ) tập mở G Do đó, x.V lân cận mở x Định nghĩa 2.1.3 [7] Giả sử A tập không gian cầu trường G Khi đó, A gọi không gian cầu trường G p(A, A) ⊂ A q(A, A) ⊂ A Bổ đề 2.1.3 [6] Giả sử G không gian cầu trường Khi đó, G khơng gian quy Chứng minh Giả sử e phần tử đơn vị không gian cầu trường G U ∈ Ue Khi đó, p(e, e) = e p ánh xạ liên tục nên tồn O1 , O2 ∈ Ue cho p(O1 × O2 ) ⊂ U Do đó, với V O1 ∩ O2 , ta có (e, e) ∈ p(V × V ) ⊂ U Lấy x ∈ V Do q(x, x) = e nên tồn O ∈ Ue thõa mãn q(xO, x) ⊂ V Hơn nữa, ta có xO lân cận mở x, (xO) ∩ V = ∅ Suy tồn y ∈ O, v ∈ V cho xy = v Do ta có: x = (xy).q(xy, x) ∈ vV ⊂ p(V × V ) ⊂ U Suy V ⊂ U Vậy G khơng gian quy Định nghĩa 2.1.4 X gọi k − F rechet − U rysohn x ∈ X với tập U mở X, tồn xn ⊂ U cho xn −→ x Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 22 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Định nghĩa 2.1.5 Giả sử ξ µ hai họ gồm tập khác ∅ X (1) ξ gọi lọc X với A ∈ ξ B ∈ ξ, ∃C ∈ ξ cho C ⊂ A ∩ B (2) Bộ lọc ξ X gọi hội tụ đến x ∈ X với lân cận mở x chứa phần tử ξ (3) Nếu x ∈ X x ∈ P : P ∈ ξ với ξ lọc X, ta nói ξ tụ x hay x điểm tụ ξ (4) Hai lọc ξ µ gọi đồng với A ∈ ξ B ∈ µ, A ∩ B = ∅ (5) Một dây xích X lọc ξ X cho với A, B ∈ ξ A ⊂ B B ⊂ A Một dây xích ξ gồm tập mở X gọi tổ X Định nghĩa 2.1.6 Ta có định nghĩa sau đây: (1) X gọi song dãy với lọc ξ X điểm tụ x ξ, tồn lọc đếm µ X hội tụ đến x đồng với ξ (2) X gọi biradial với lọc ξ X tụ x ∈ X tồn dây xích X hội tụ đến x đồng với ξ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 23 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển (3) X gọi π − nested x ∈ X tồn tổ X hội tụ đến x (4) X gọi nested với x ∈ X tồn tổ X mà sở X x Nhận xét 2.1.3 (1) Nếu X song dãy X k − F rechet − U nysohn (2) Nếu X song dãy X biradial (3) Nếu X nested X biradial Chứng minh (1) Giả sử X song dãy, A ⊂ X x ∈ A Phải chứng minh tồn dãy {xn } ⊂ A cho xn −→ x Đặt ξ = {A} Khi đó, x điểm tụ ξ Suy tồn lọc đếm µ = {Vn : n ∈ N } hội tụ đến x đồng với ξ Ta lấy: U1 ∈ µ, U1 ⊂ V1 ∩ V2 U2 ∈ µ, U2 ⊂ U1 ∩ V3 U3 ∈ µ, U3 ⊂ U2 ∩ V4 Tiếp tục trình trên, ta dãy {Un } cho Un ∈ µ, Un ⊂ Un−1 ∩ Vn+1 Suy {Un } dãy giảm nằm µ, xn ∈ Un ∩ A Ta phải chứng minh xn −→ x Thật vậy, giả sử W lân cận mở x, µ −→ x Suy tồn n ∈ N cho Vn ⊂ W Do xi ∈ Ui ⊂ Un−1 ⊂ W, ∀i ≥ n − (2) Cho X song dãy, chứng minh X biradial Giả sử với lọc ξ X, tụ x Ta cần chứng minh tồn Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 24 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển dây xích η −→ x Thật vậy, X song dãy nên tồn lọc µ đếm hội tụ đến x đồng với ξ Lấy η = {Un } Khi đó, ta η dây xích, η đồng với ξ η −→ x Vậy X biradial (3) Cho X nested, chứng minh X biradial Giả sử ξ lọc tụ x Ta cần chứng minh tồn dây xích µ cho µ −→ x µ đồng với ξ Thật vậy, lọc ξ tụ x nên x ∈ P với P ∈ ξ Hơn nữa, X nested nên tồn tổ µ (xích mở, tụ x) Lấy P ∈ ξ, Q ∈ µ, x ∈ P , x ∈ Q-mở nên P ∩ Q = ∅ Từ suy µ đồng với ξ Mặt khác, lấy lân cận mở W chứa x, µ sở x nên tồn Q ∈ µ cho x ∈ Q ⊂ W Suy µ −→ x Vậy X biradial 2.2 Kết Bổ đề 2.2.1 [1] Giả sử G không gian cầu trường được, A ⊂ G U tập mở G Khi đó, p(A, U ) q(A, U ) tập mở G Chứng minh Với x ∈ A, ta có fx gx phép đồng phơi Do đó, chúng ánh xạ mở Bởi vậy, fx (U ) = p(x, U ) gx (U ) = q(x, U ) tập mở G Hơn nữa, p(A, U ) = p(x, U ); x∈A q(A, U ) = q(x, U ) x∈A nên ta có p(A, U ) q(A, U ) tập mở G Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 25 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Bổ đề 2.2.2 [1] Giả sử G không gian cầu trường x ∈ G Khi đó, (1) Nếu U lân cận mở x, tồn lân cận mở V e ∈ G cho xV ⊂ U (2) Nếu U lân cận mở e ∈ G, xU lân cận mở x, tồn lân cận mở V e ∈ G cho q(xV, x) ⊂ U Chứng minh (1) Ta có p(x, e) = x p ánh xạ liên tục Hơn nữa, U lân cận mở x nên tồn lân cận mở W x lân cận mở V e ∈ G cho xV = p(x, V ) ⊂ p(W, V ) ⊂ U (2) Bởi U lân cận mở e ∈ G nên nhờ Bổ đề 2.2.2 (1) ta suy xU lân cận mở x Mặt khác, q(x, x) = e ánh xạ q liên tục nên tồn hai lân cận mở V1 V2 x cho q(V1 , V2 ) ⊂ U Theo (1), tồn lân cận mở V e ∈ G cho x ∈ xV ⊂ V1 ∩ V2 Bởi vậy, q(xV, x) ⊂ U Định lý 2.2.1 [1] Giả sử K tập compact F tập đóng khơng gian cầu trường G cho K ∩ F = ∅ Khi đó, tồn lân cận mở V e ∈ G cho KV ∩ F = ∅ Chứng minh Giả sử K ∩ F = ∅ F tập đóng G Khi đó, với x ∈ K tồn lân cận mở Ux x cho Ux ∩ F = ∅ Theo Bổ đề 2.2.2, tồn lân cận mở Vx e ∈ G cho xVx ⊂ Ux , xVx lân cận mở x Hơn nữa, p(x, e) = x ánh xạ p liên tục nên tồn lân cận mở Wx x lân cận mở Ue e ∈ G cho p(Wx , Ue ) ⊂ xVx Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 26 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Tiếp theo, Wx lân cận mở x nên theo Bổ đề 2.2.2(1) ta suy tồn lân cận mở Ve e ∈ G cho xVe ⊂ Wx Do đó, p(xVe , Ue ) ⊂ xVx Nhờ Bổ đề 2.2.2(2), x(Ue ∩ Ve ) lân cận mở x với x ∈ K Mặt khác, {x(Ue ∩ Ve ) : x ∈ K} phủ mở K compact nên tồn tập hữu hạn L ⊂ K cho K ⊂ x(Ue ∩ Ve ) x∈L (Ue ∩ Ve ) V lân cận mở Bây giờ, ta đặt V = x∈L e ∈ G Hơn nữa, ta có KV ∩ F = ∅ Thật vậy, với y ∈ K, tồn x ∈ L cho y ∈ x(Ue ∩ Ve ) Do đó, yV ⊂ p(x(Ue ∩ Ve ), (Ue ∩ Ve )) ⊂ xVx ⊂ G \ F Bởi vậy, yV ∩ F = ∅ với y ∈ K Điều chứng tỏ KV ∩ F = ∅ Hệ 2.2.1 [1] Giả sử K tập compact F tập đóng nhóm tơpơ G cho K ∩ F = ∅ Khi đó, tồn lân cận mở V phần tử đơn vị e ∈ G cho KV ∩ F = ∅ Chứng minh Dễ dàng suy từ Định lý 2.2.1 Nhận xét 2.1.1 Mệnh đề 2.2.1 Giả sử G không gian cầu trường A ⊂ G Khi đó, với a ∈ G, ta có p(a, A) = p(a, A) q(a, A) = q(a, A) Chứng minh Nhờ Bổ đề 2.1.1 ta suy fa , ga phép đồng phơi Do đó, ta có p(a, A) = fa (A) ⊂ fa (A) = p(a, A), q(a, A) = ga (A) ⊂ ga (A) = q(a, A) Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 27 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển tập p(a, A) = fa (A), q(a, A) = ga (A) đóng G Bởi vậy, p(a, A) = fa (A) ⊂ fa (A) = fa (A) = p(a, A) q(a, A) = ga (A) ⊂ ga (A) = ga (A) = q(a, A) Vì vậy, p(a, A) = p(a, A) q(a, A) = q(a, A) Định lý 2.2.2 [2] Giả sử H không gian cầu trường khơng gian cầu trường G Khi đó, H không gian cầu trường G Chứng minh Để chứng minh H không gian cầu trường G ta cần chứng minh p(H, H) ⊂ H q(H, H) ⊂ H Thật vậy, giả sử x, y ∈ H Khi đó, với U , V lân cận mở x, y ta có U ∩ H = ∅ V ∩ H = ∅ Mặt khác, p ánh xạ liên tục nên với W lân cận mở p(x, y), tồn U1 , V1 lân cận mở x, y cho p(U1 , V 1) ⊂ W Hơn nữa, U1 ∩ H = ∅ V1 ∩ H = ∅ nên ta suy tồn x0 ∈ U1 ∩ H y0 ∈ V1 ∩ H cho p(x0 , y0 ) ∈ p(U1 ∩ H, V1 ∩ H) ⊂ p(U1 , V1 ) ⊂ W Tiếp theo, H khơng gian cầu trường G nên p(x0 , y0 ) ∈ p(H, H) ⊂ H Do đó, ta suy p(x0 , y0 ) ∈ H ∩ W, kéo theo H ∩W = ∅ Bởi vậy, p(x, y) ∈ H Điều chứng tỏ p(H, H) ⊂ H Chứng minh tương tự ta có q(H, H) ⊂ H Hệ 2.2.2 Giả sử H nhóm nhóm tơpơ G Khi đó, H nhóm G Chứng minh Dễ dàng suy từ Định lý 2.2.2 Nhận xét 2.1.1 Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 28 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Định lý 2.2.3 [2] Giả sử H không gian cầu trường khơng gian cầu trường G Khi đó, h ∈ H x ∈ G thỏa mãn p(h, x) ∈ H, x ∈ H Chứng minh Bởi h ∈ H p(h, x) ∈ H nên ta suy x = q(h, p(h, x)) ∈ q(H, H) Mặt khác, H khơng gian cầu trường G nên q(H, H) ⊂ H Do đó, x ∈ H Định lý 2.2.4 [2] Giả sử H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ không gian cầu trường G Khi đó, H khơng gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ G Chứng minh Giả sử H không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ không gian cầu trường G Khi đó, theo Định lý 2.2.2, ta suy K = H không gian cầu trường G, kéo theo K không gian đồng quy Như vậy, ta cần chứng minh K không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Với y ∈ H, H không gian cầu trường G nên e = q(y, y) ∈ q(H, H) ⊂ H ⊂ H = K Bởi K khơng gian đồng nên để chứng minh K không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ ta cần chứng minh phần tử e có sở lân cận đếm K Thật vậy, giả sử BH sở lân cận H e cho |BH | ≤ |N| Khi đó, với U ∈ BH , tồn lân cận mở U H e cho U ⊂ U, kéo theo tồn tập mở VU K cho VU ∩ H = U ⊂ U Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 29 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Bây giờ, ta đặt BK = {VU : U ∈ BH }, BK sở lân cận K e Thật vậy, giả sử O lân cận e K Khi đó, K khơng gian quy nên tồn lân cận mở W K e cho W ⊂ O Hơn nữa, BH sở lân cận H e W ∩ H lân cận mở H e nên tồn U ⊂ BH cho U ⊂ W ∩ H Tiếp theo, với x ∈ VU V lân cận mở K x, ta có V ∩ VU = ∅ V ∩ VU tập mở K Mặt khác, H trù mật K nên (V ∩ VU ) ∩ H = ∅, kéo theo V ∩ (VU ∩ H) = ∅ Do đó, x ∈ VU ∩ H, suy VU ⊂ VU ∩ H Bởi vậy, VU = VU ∩ H ⊂ U ⊂ W ⊂ O Do vậy, e ⊂ VU ⊂ VU ⊂ O Điều chứng tỏ họ BK sở lân cận K e |BK | ≤ |BH | ≤ |N| Như vậy, K = H không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Hệ 2.2.3 Giả sử H nhóm thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhóm tơpơ G Khi đó, H nhóm thỏa mãn tiên đề đếm thứ G Chứng minh Dễ dàng suy từ Định lý 2.2.4 Nhận xét 2.1.1 Định lý 2.2.5 Nếu không gian cầu trường G π − nested vài điểm a ∈ G G nested Chứng minh Bởi tính đồng khơng gian G nên ta giả sử e phần tử đơn vị phải G Khi đó, G π − nested e, tồn tổ ξ G hội tụ đến e Bây giờ, ta đặt µ = {q(U, U ) : U ∈ ξ} µ tổ sở G e Thật vậy, ta chứng minh sau: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 30 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển (1) µ tổ G Ta chứng minh (a), (b), (c) sau đây: (a) µ lọc G Thật vậy, với A, B ∈ µ, tồn U, V ∈ ξ cho A = q(U, U ) B = p(V, V ) Khi đó, A ∩ B = q(U, U ) ∩ q(V, V ) Hơn nữa, ξ lọc G, tồn W ∈ ξ cho W ⊂ U ∩ V Điều kéo theo rằng: q(W, W ) ⊂ q(U ∩ V, U ∩ V ) ⊂ q(U, U ) ∩ q(V, V ) = A ∩ B Nếu ta đặt C = q(W, W ) C ⊂ A ∩ B C ∈ η Bởi vậy, η lọc G (b) Với A, B ∈ µ, ta chứng minh A ⊂ B B ⊂ A (c) A ∈ µ, A mở (2) µ sở G e Thật vậy, giả sử W lân cận mở e Khi đó, q(e, e) = e q liên tục nên tồn hai lân cận mở U1 , U2 e cho e ∈ q(U1 , U2 ) ⊂ W Đặt U = U1 ∩ U Suy e ∈ q(U, U ) ⊂ W U lân cận mở e Hơn nữa, ξ −→ e, tồn V ∈ ξ cho V ⊂ U Bởi ta có q(V, V ) ⊂ q(U, U ) Mặt khác, với x ∈ V, ta có: e = q(x, x) ∈ q(V, V ) ⊂ q(U, U ) ⊂ W Đặt A = q(V, V ) A ∈ µ e ∈ A ⊂ W Vậy µ sở G e Từ (1) (2) suy X nested Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 31 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển KẾT LUẬN Qua q trình thực khóa luận, từ kết thu được, em kết luận: Đề tài góp phần cung cấp khái niệm số tính chất khơng gian cầu trường Đề tài trình bày số tính chất khơng gian cầu trường Điều thể Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.4 Định lý 2.2.5 Những tính chất góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ tập đóng tập compact khơng gian này, đồng thời làm rõ tính chất đếm thứ không gian cầu trường Các kết sở quan trọng để nhận hai báo [1], [2] [1] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, to accept [2] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Tính chất đếm thứ không gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tuy nhiên thời gian thực khóa luận khơng nhiều kiến thức chưa đủ sâu rộng nên nội dung thực khơng tránh khỏi hạn chế, sai sót Rất mong nhận góp ý xây dựng q thầy để đề tài hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 32 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, to accept [2] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Tính chất đếm thứ khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Tiếng Anh [3] Arhangel’skii A.V., Tkachenko M (2008), "Topological Groups and Related Structures", Atlantis Press and World Scientific [4] Birkhoff G (1936), “A note on topological groups”, Comput Math., 3, 427-430 [5] Choban M M (1987), "On topological homogenous algebras", In: Interim Reports of II Prague Topol Sym., Prague, 25-26 [6] Gul’ko A S (1996), “Rectifiable spaces”, Topology Appl., 68, 107112 [7] Lin F., Liu C and Lin S (2012), “A note on rectifiable spaces”, Topology Appl., 159, 2090-2101 [8] Lin F., Zhang J and Zhang K (2015), “Locally -compact rectifiable spaces”, Topology Appl., 193, 182-191 [9] Uspenskij V V (1989), “Topological groups and Dugundji compacta”, Mat Sb., 180(8), 1092-1118 [10] Ryszard Engelking (1989), "General topology" Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 33 Tài liệu tham khảo [1] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, to accept [2] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Tính chất đếm thứ không gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, to accept [3] Arhangel’skii A.V., Tkachenko M (2008), "Topological Groups and Related Structures", Atlantis Press and World Scientific [4] Birkhoff G (1936), “A note on topological groups”, Comput Math., 3, 427-430 [5] Choban M M (1987), "On topological homogenous algebras", In: Interim Reports of II Prague Topol Sym., Prague, 25-26 [6] Gul’ko A S (1996), “Rectifiable spaces”, Topology Appl., 68, 107-112 [7] Lin F., Liu C and Lin S (2012), “A note on rectifiable spaces”, Topology Appl., 159, 2090-2101 Khóa luận tốt nghiệp Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển [8] Lin F., Zhang J and Zhang K (2015), “Locally -compact rectifiable spaces”, Topology Appl., 193, 182-191 [9] Uspenskij V V (1989), “Topological groups and Dugundji compacta”, Mat Sb., 180(8), 1092-1118 [10] Ryszard Engelking (1989), "General topology" Sinh viên thực hiện: Nguyễn Văn Trung Tín Trang 35 ... q(a, A) Định lý 2.2.2 [2] Giả sử H không gian cầu trường không gian cầu trường G Khi đó, H khơng gian cầu trường G Chứng minh Để chứng minh H không gian cầu trường G ta cần chứng minh p(H, H)... số tính chất bản, đồng thời nêu lên số tính chất không gian này, hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển, em chọn đề tài khóa luận: Tính chất không gian cầu trường II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Giới thiệu không. .. giới thiệu không gian cầu trường V V Uspenskij chứng minh nhóm tôpô không gian cầu trường được, tồn không gian cầu trường nhóm tơpơ ([5,9]) Từ đến nay, nhiều kết liên quan đến không gian nhà toán