ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ƠNG VĂN TUN TÍNH CHẤT CỦA NHĨM PARATƠPƠ VÀ KHƠNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ƠNG VĂN TUN TÍNH CHẤT CỦA NHĨM PARATƠPƠ VÀ KHƠNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lương Quốc Tuyển ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Ông Văn Tuyên LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả suốt q trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Tốn giải tích K31-Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Ơng Văn Tun MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG NHĨM PARATƠPƠ 1.1 Nhóm paratơpơ 1.2 Tính chất nhóm paratơpơ 1.3 Nhóm nhóm paratơpơ 11 CHƯƠNG KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC .15 2.1 Một số khái niệm tính chất liên quan 15 2.2 Tính chất không gian cầu trường 2.3 Không gian cầu trường 19 24 2.4 Tính khả mêtric không gian cầu trường 29 2.5 Tính chất sn-mạng khơng gian cầu trường 32 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1936, G Birkhoff giới thiệu nhóm tơpơ (xem [6]) Sau đó, khơng gian cầu trường được M M Choban đưa vào năm 1987 (xem [7]) Đến năm 1989, V V Uspenskij chứng minh nhóm tơpơ khơng gian cầu trường không gian cầu trường không nhóm tơpơ (xem [21]) Tiếp đó, A V Arhangel’skii M Tkachenko giới thiệu khái niệm nhóm paratơpơ, chứng minh số tính chất nhóm tơpơ nhóm paratơpơ, đồng thời nhóm tơpơ nhóm paratôpô điều ngược lại không (xem [5]) Hơn nữa, tác giả đưa ví dụ chứng tỏ tồn nhóm paratơpơ khơng không gian cầu trường tồn khơng gian cầu trường khơng nhóm paratơpơ Ngồi ra, tác giả đưa hai toán mở sau liên quan đến nhóm paratơpơ khơng gian cầu trường Bài toán ([5], Problem 5.7.6) Giả sử G nhóm paratơpơ cầu trường Khi đó, G có đồng phơi với nhóm tơpơ hay khơng? Bài tốn ([5], Problem 5.7.7) Mỗi khơng gian cầu trường có khơng gian Tychonoff hay khơng? Hai tốn tiếp tục F Lin R Shen nhắc lại [11] đến cịn mở Gần đây, nhóm paratơpơ không gian cầu trường thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới (xem [10], [12], [13], [14], [17]) Bởi lý với định hướng thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Tính chất nhóm paratơpơ không gian cầu trường được” làm đề tài luận văn thạc sĩ 2 Mục đích nghiên cứu Nhằm hiểu thấu đáo tính chất nhóm paratơpơ, khơng gian cầu trường được, P -không gian số khơng gian mêtric suy rộng với tính chất mạng Ngồi ra, chúng tơi mong muốn đưa kết nhằm đóng góp phần cho mảng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhóm paratơpơ, khơng gian cầu trường được, khơng gian cầu trường được, P -không gian, không gian khả mêtric, không gian sof -đếm được, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, mạng không gian với tính chất mạng Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất khơng gian cầu trường được, nhóm paratơpơ khơng gian mêtric suy rộng với tính chất mạng đó, nghiên cứu mối liên hệ chúng Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Trước tiên, thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến tính chất nhóm paratơpơ khơng gian cầu trường Sau đó, cách tương tự hóa, khái quát hóa kết đó, chúng tơi đưa kết cho đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn 6.1 Luận văn góp phần bổ sung thêm tính chất liên quan đến nhóm paratơpơ, khơng gian cầu trường Đưa mối quan hệ không gian cầu trường với P -không gian, không gian khả mêtric, không gian sof -đếm được, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ 6.2 Luận văn sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh nghiên cứu không gian Cấu trúc luận văn Trong luận văn này, đưa chứng minh số tính chất nhóm paratơpơ, khơng gian cầu trường mối liên hệ không gian cầu trường với P -không gian, không gian khả mêtric, không gian sof -đếm không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Nội dung luận văn trình bày hai chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày nhóm paratơpơ, bao gồm mục Mục 1.1, trình bày số khái niệm tính chất liên quan; Mục 1.2, trình bày tính chất nhóm paratơpơ; Mục 1.3, trình bày nhóm nhóm paratơpơ Chương 2, trình bày khơng gian cầu trường được, bao gồm mục Mục 2.1, trình bày số khái niệm tính chất liên quan; Mục 2.2, trình bày tính chất khơng gian cầu trường được; Mục 2.3, trình bày khơng gian cầu trường được; Mục 2.4, trình bày tính khả mêtric khơng gian cầu trường được; Mục 2.5, trình bày tính chất sn-mạng khơng gian cầu trường CHƯƠNG NHĨM PARATƠPƠ Chương dành cho việc nghiên cứu số tính chất nhóm paratơpơ Đưa mối liên hệ tập với sở lân cận e nhóm paratơpơ, thể Định lí 1.2.5 Hơn nữa, chúng tơi chứng minh tích nhóm compact tập đóng nhóm paratơpơ tập đóng, thể Định lí 1.3.5 Các kết trình bày [19] Trong tồn luận văn, chúng tơi quy ước tất khơng gian T1 Hơn nữa, nhóm G có phần tử đơn vị e, phần tử khả nghịch x ∈ G ký hiệu x−1 1.1 Nhóm paratơpơ Mục dành cho việc giới thiệu khái niệm nhóm tơpơ, nhóm paratơpơ trình bày tính chất nhóm paratơpơ Định nghĩa 1.1.1 ([6]) Nhóm tơpơ (topological group) G nhóm G với tôpô G cho ánh xạ tích p : G × G → G xác định p(x, y) = xy với x, y ∈ G ánh xạ ngược q : G → G xác định q(x) = x−1 với x ∈ G liên tục Định nghĩa 1.1.2 ([5]) Nhóm paratơpơ (paratopological group) G nhóm G với tơpơ G cho ánh xạ tích p : G × G → G xác định p(x, y) = xy với x, y ∈ G liên tục Nhận xét 1.1.3 Nếu G nhóm tơpơ, hiển nhiên G nhóm paratơpơ Tuy nhiên, chiều ngược lại không (xem [5]) Bổ đề 1.1.4 Giả sử G nhóm paratơpơ Ta cố định x ∈ G, xét ánh xạ fx , fx−1 , gx , gx−1 : G → G xác định sau với y ∈ G fx (y) = p(x, y) = xy; fx−1 (y) = p(x−1 , y) = x−1 y; gx (y) = p(y, x) = yx; gx−1 (y) = p(y, x−1 ) = yx−1 Khi đó, fx , fx−1 , gx , gx−1 phép đồng phôi Chứng minh Giả sử y ∈ G Khi đó, fx ◦ fx−1 (y) = fx fx−1 (y) = fx (x−1 y) = p(x, x−1 y) = xx−1 y = ey = y; fx−1 ◦ fx (y) = fx−1 fx (y) = fx−1 (xy) = p(x−1 , xy) = x−1 xy = ey = y Suy fx ◦fx−1 = 1G fx−1 ◦fx = 1G Như vậy, fx fx−1 song ánh Tiếp theo, giả sử U lân cận mở fx (y) = p(x, y) Khi đó, p liên tục nên tồn lân cận mở U1 x U2 y cho fx (U2 ) = p(x, U2 ) ⊂ p(U1 , U2 ) ⊂ U Điều chứng tỏ fx ánh xạ liên tục Bây giờ, giả sử V lân cận mở fx−1 (y) = p(x−1 , y) Khi đó, p liên tục nên tồn lân cận mở V1 x−1 V2 y cho fx−1 (V2 ) = p(x−1 , V2 ) ⊂ p(V1 , V2 ) ⊂ V Suy fx−1 ánh xạ liên tục Từ chứng minh ta suy fx fx−1 phép đồng phôi Cuối cùng, hoàn toàn tương tự ta chứng minh gx gx−1 phép đồng phôi 31 Chứng minh (1) Điều kiện cần Nhờ Nhận xét 2.4.5 (2) Điều kiện đủ Giả sử P cs∗ -chính quy X Khi đó, nhờ Nhận xét 2.4.5, ta suy P điểm-chính quy Hơn nữa, với x ∈ U với U mở X T (x) dãy hội tụ đến x thỏa mãn T (x) ⊂ U , ta có tập hợp sau hữu hạn {P ∈ P : P ∩ T (x) = ∅, P ⊂ U } Thật vậy, giả sử ngược lại tồn x ∈ X tồn dãy T (x) hội tụ đến x thỏa mãn T (x) ⊂ U với U mở X cho tập hợp sau vô hạn {P ∈ P : P ∩ T (x) = ∅, P ⊂ U } Khi đó, ta chọn P1 ∈ P x1 ∈ T (x) cho x1 ∈ P1 ⊂ U Mặt khác, P điểm-chính quy nên tập hợp sau hữu hạn {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U } {P ∈ P : x1 ∈ P ⊂ U } Hơn nữa, tập hợp {P ∈ P : P ∩ T (x) = ∅, P ⊂ U } vơ hạn nên ta chọn P2 ∈ P \ {P1 } x2 ∈ T (x) \ ({x} ∪ {x1 }) cho x2 ∈ P2 ⊂ U Tiếp tục q trình trên, ta tìm dãy phân biệt {xn : n ∈ N} ⊂ T (x) dãy phân biệt {Pn : n ∈ N} ⊂ P cho xn ∈ Pn ⊂ U với n ∈ N Bởi P cs∗ -chính quy nên tồn dãy {xnk : k ∈ N} ⊂ {xn : n ∈ N} cho tập hợp sau hữu hạn P ∈ P : P ∩ {xnk : k ∈ N} = ∅, P ⊂ U 32 Suy {Pk : k ∈ N} tập hữu hạn Điều mâu thuẫn với {Pk : k ∈ N} dãy phân biệt Như vậy, với x ∈ U với U mở X T (x) dãy hội tụ đến x, tồn m ∈ N cho tập hợp sau hữu hạn {P ∈ P : P ∩ T (x, m) = ∅, P ⊂ U } Điều chứng tỏ P cs-chính quy Bổ đề 2.4.7 ([16]) Nếu X khơng gian dãy quy với cs∗ -mạng cs-chính quy, X khả mêtric Hệ 2.4.8 Nếu G không gian dãy cầu trường với cs∗ -mạng cs∗ -chính quy, G khả mêtric Chứng minh Nhờ Bổ đề 2.2.4 ta suy G khơng gian quy Do đó, sử dụng Định lí 2.4.6 Bổ đề 2.4.7 ta suy G khả mêtric 2.5 Tính chất sn-mạng không gian cầu trường Trong mục này, đưa mối liên hệ sn-mạng với so-mạng không gian cầu trường thể Định lí 2.5.7 Nhờ kết này, đưa điều kiện để không gian snf -đếm không gian sof -đếm nhận lại Định lí 3.7 [11] Px phủ không gian Định nghĩa 2.5.1 ([15]) Giả sử P = x∈X tôpô X thỏa mãn hai điều kiện sau với x ∈ X (a) Px mạng x, nghĩa với lân cận mở U x, tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ U (b) Nếu P1 , P2 ∈ Px , tồn P ∈ Px cho P ⊂ P1 ∩ P2 33 Khi đó, (1) P gọi sở yếu (weak base) X , với tập O ⊂ X , O mở X với x ∈ O, tồn P ∈ Px cho P ⊂ O Ta nói Px sở lân cận yếu x phần tử Px gọi lân cận yếu x (2) P gọi so-mạng (so-network ) X , phần tử Px mở dãy Lúc này, ta nói Px so-mạng x (3) P gọi sn-mạng (sn-network ) X , phần tử Px lân cận dãy x với x ∈ X Khi đó, Px gọi sn-mạng x Định nghĩa 2.5.2 ([15]) Giả sử X khơng gian tơpơ Khi đó, (1) X gọi không gian gf -đếm (gf -countable), với x ∈ X , tồn sở lân cận yếu đếm x (2) X gọi không gian sof -đếm (sof -countable), với x ∈ X , tồn so-mạng đếm x (3) X gọi không gian snf -đếm (snf -countable), với x ∈ X , tồn sn-mạng đếm x Nhận xét 2.5.3 ([15]) (1) Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ ⇐⇒ không gian dãy sof -đếm (2) Không gian gf -đếm ⇐⇒ không gian dãy snf -đếm Bổ đề 2.5.4 Giả sử {Vn (x) : n ∈ N, x ∈ G} sn-mạng không gian cầu trường G, với x ∈ G, n ∈ N ta đặt Wn (x) = xVn (e) Khi đó, {Wn (x) : n ∈ N, x ∈ G} sn-mạng G 34 Chứng minh Bởi {Vn (x) : n ∈ N, x ∈ G} sn-mạng G nên ta có (1) {Wn (x) : n ∈ N} mạng x với x ∈ G Thật vậy, giả sử U lân cận mở x Khi đó, theo Bổ đề 2.2.3(1), tồn lân cận mở V e cho xV ⊂ U Hơn nữa, {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e nên tồn n0 ∈ N cho Vn0 (e) ⊂ V Do đó, Wn0 (x) = xVn0 (e) ⊂ xV ⊂ U Như vậy, {Wn (x) : n ∈ N} mạng x (2) Giả sử x ∈ G Wk (x), Wm (x) ∈ {Wn (x) : n ∈ N} Khi đó, Wk (x) = xVk (e); Wm (x) = xVm (e) Bởi {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e nên tồn n0 ∈ N cho Vn0 (e) ⊂ Vk (e) ∩ Vm (e) Điều suy Wn0 (x) = xVn0 (e) ⊂ xVk (e) ∩ xVm (e) = Wk (x) ∩ Wm (x) (3) Wn (x) lân cận dãy x ∈ G với n ∈ N Thật vậy, giả sử {xk } dãy hội tụ đến x Khi đó, fx (e) = p(x, e) = x fx phép đồng phôi nên tồn dãy {ek } hội tụ đến e cho xk = fx (ek ) = xek với k ∈ N Hơn nữa, Vn (e) lân cận dãy e nên tồn k0 ∈ N cho {e} {ek : k ≥ k0 } ⊂ Vn (e) Điều chứng tỏ 35 {x} {xk : k ≥ k0 } ⊂ xVn (e) = Wn (x) Như vậy, Wn (x) lân cận dãy x ∈ G với n ∈ N Bổ đề 2.5.5 Giả sử {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e khơng gian cầu trường G Khi đó, với n ∈ N, ta đặt Wn (e) = Vn (e)Vn (e) {Wn (e) : n ∈ N} sn-mạng e Chứng minh Bởi {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e nên ta có (1) {Wn (e) : n ∈ N} mạng e Thật vậy, giả sử U lân cận mở x Khi đó, p(e, e) = ee = e p liên tục nên tồn hai lân cận mở V1 V2 e cho V1 V2 ⊂ U Bây giờ, ta đặt V = V1 ∩V2 , V lân cận mở e V V ⊂ U Hơn nữa, {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e nên tồn n0 ∈ N cho Vn0 (e) ⊂ V Do đó, Wn0 (e) = Vn0 (e)Vn0 (e) ⊂ V V ⊂ U Như vậy, {Wn (e) : n ∈ N} mạng e (2) Giả sử Wk (e), Wm (e) ∈ {Wn (e) : n ∈ N} Khi đó, Wk (e) = Vk (e)Vk (e); Wm (e) = Vm (e)Vm (e) Bởi {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e nên tồn n0 ∈ N cho Vn0 (e) ⊂ Vk (e) ∩ Vm (e) Điều suy Wn0 (e) = Vn0 (e)Vn0 (e) ⊂ Vk (e)Vk (e) ∩ Vm (e)Vm (e) = Wk (e) ∩ Wm (e) 36 (3) Wn (e) lân cận dãy e với n ∈ N Thật vậy, giả sử dãy {ek } hội tụ đến e Khi đó, Vn (e) lân cận dãy e nên tồn k0 ∈ N cho {e} {ek : k ≥ k0 } ⊂ Vn (e) Hơn nữa, Vn (e) ⊂ Vn (e)Vn (e) = Wn (e) nên {e} {ek : k ≥ k0 } ⊂ Wn (e) Điều chứng tỏ Wn (e) lân cận dãy e với n ∈ N Bổ đề 2.5.6 Giả sử {Vn (x) : n ∈ N} sn-mạng x ∈ X W lân cận dãy x không gian tôpô X Khi đó, tồn m ∈ N cho Vm (x) ⊂ W Chứng minh Giả sử ngược lại Vm (x) \ W = ∅ với m ∈ N Bởi {Vn (x) : n ∈ N} sn-mạng x nên với m ∈ N, tồn km ∈ N cho m Vkm (x) ⊂ Vi (x) ⊂ Vm (x) i=1 Do vậy, với m ∈ N, tồn xkm ∈ Vkm (x) \ W Bây giờ, giả sử U lân cận mở x Khi đó, {Vn (x) : n ∈ N} sn-mạng x nên tồn m0 ∈ N cho Vm0 (x) ⊂ U Suy m xkm ∈ Vkm (x) ⊂ Vi (x) ⊂ i=1 m0 Vi (x) ⊂ Vm0 (x) ⊂ U i=1 với m ≥ m0 Do đó, dãy {xkm } hội tụ đến x Mặt khác, W lân cận dãy x nên tồn k0 ∈ N cho {x} {xkm : m ≥ k0 } ⊂ W Điều mâu thuẫn với 37 xkm ∈ Vkm (x) \ W với m ∈ N Như vậy, tồn m ∈ N cho Vm (x) ⊂ W Định lí 2.5.7 Giả sử G khơng gian cầu trường có sn-mạng đếm e Khi đó, tồn so-mạng {Un (e) : n ∈ N} e thỏa mãn với n ∈ N, tồn m ∈ N cho Um (e)Um (e) ⊂ Un (e) Chứng minh Giả sử {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e Ta đặt Un (e) = x ∈ Vn (e) : tồn k ∈ N cho xVk (e) ⊂ Vn (e) Nhờ Bổ đề 2.5.4 Bổ đề 2.5.6, ta suy e ∈ Un (e) ⊂ Vn (e) với n ∈ N Hơn nữa, ta có (1) {Un (e) : n ∈ N} so-mạng e Thật vậy, • Giả sử U lân cận mở e Khi đó, {Vn (e) : n ∈ N} mạng e nên tồn n0 ∈ N cho Un0 (e) ⊂ Vn0 (e) ⊂ U Do vậy, {Un (e) : n ∈ N} mạng e • Giả sử Uk (e), Um (e) ∈ {Un (e) : n ∈ N} Khi đó, ta chọn i ∈ N cho Vi (e) ⊂ Vk (e) ∩ Vm (e), ta suy Ui (e) = x ∈ Vi (e) : tồn j ∈ N cho xVj (e) ⊂ Vi (e) Ui (e) ⊂ Uk (e) ∩ Um (e) • Un (e) mở dãy với n ∈ N 38 Thật vậy, giả sử n ∈ N, y ∈ Un (e) {ym } dãy hội tụ đến y Khi đó, tồn k ∈ N cho yVk (e) ⊂ Vn (e) Hơn nữa, với n ∈ N, ta đặt Wn (y) = yVn (e) Vn (e), {Wn (y) : n ∈ N} sn-mạng y Thật vậy, (a) {Wn (y) : n ∈ N} mạng y Giả sử U lân cận mở y Khi đó, p liên tục p(y, e) = ye = y nên tồn lân cận mở U1 y lân cận mở V1 e cho U1 V1 ⊂ U Hơn nữa, {Vn (y) : n ∈ N} sn-mạng y nên nhờ Bổ đề 2.5.4 ta suy {yVn (e) : n ∈ N} sn-mạng y Do đó, tồn n0 , m0 ∈ N cho Vn0 (e) ⊂ V1 ; yVm0 (e) ⊂ U1 Bây giờ, ta chọn k0 ∈ N cho Vk0 (e) ⊂ Vn0 (e) ∩ Vm0 (e) Điều kéo theo Wk0 (y) = (yVk0 (e)) Vk0 (e) ⊂ U1 V1 ⊂ U Như vậy, {Wn (y) : n ∈ N} mạng y (b) Giả sử Wk (y), Wm (y) ∈ {Wn (y) : n ∈ N} Khi đó, Wk (y) = yVk (e) Vk (e); Wm (y) = yVm (e) Vm (e) Bởi {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e nên ta chọn n0 ∈ N cho 39 Vn0 (e) ⊂ Vk (e) ∩ Vm (e) Do vậy, ta có Wn0 (y) = yVn0 (e) Vn0 (e) ⊂ Wk (y) ∩ Wm (y) (c) Wn (y) lân cận dãy y với n ∈ N Thật vậy, giả sử dãy {yk } hội tụ đến y Khi đó, yVn (e) lân cận dãy y nên tồn k0 ∈ N cho {y} {yk : k ≥ k0 } ⊂ yVn (e) Hơn nữa, yVn (e) ⊂ yVn (e) Vn (e) = Wn (y) nên ta suy {y} {yk : k ≥ k0 } ⊂ Wn (y) Như vậy, Wn (y) lân cận dãy y với n ∈ N Tiếp theo, nhờ Bổ đề 2.5.4, yVk (e) lân cận dãy y Hơn nữa, {Wn (y) : n ∈ N} sn-mạng y nên nhờ Bổ đề 2.5.6 ta suy tồn m0 ∈ N cho yVm0 (e) Vm0 (e) = Wm0 (y) ⊂ yVk (e) ⊂ Vn (e) Điều kéo theo yVm0 (e) ⊂ Un (e) Hơn nữa, theo Bổ đề 2.5.4, ta có yVm0 (e) lân cận dãy y Như vậy, tồn m1 ∈ N cho {y} {ym : m ≥ m1 } ⊂ yVm0 (e) ⊂ Un (e) Do đó, Un (e) mở dãy với n ∈ N Từ chứng minh ta suy {Un (e) : n ∈ N} so-mạng e (2) Với n ∈ N, tồn m ∈ N cho Um (e)Um (e) ⊂ Un (e) 40 Thật vậy, giả sử n ∈ N Theo Bổ đề 2.5.5, Vn (e)Vn (e) lân cận dãy e Hơn nữa, {Vn (e) : n ∈ N} sn-mạng e nên nhờ Bổ đề 2.5.6 ta suy tồn m, n0 ∈ N cho Vn0 (e)Vn0 (e) ⊂ Vn (e); Vm (e)Vm (e) ⊂ Vn0 (e) Bây giờ, giả sử y , z ∈ Um (e) Khi đó, tồn m1 , m2 ∈ N cho yVm1 (e) ⊂ Vm (e); zVm2 (e) ⊂ Vm (e) Ta chọn m0 ∈ N cho Vm0 (e) ⊂ Vm1 (e) ∩ Vm2 (e), kéo theo yVm0 (e) ⊂ Vm (e); zVm0 (e) ⊂ Vm (e) Điều suy (yz)Vn0 (e) ⊂ yVm0 (e) zVm0 (e) Vn0 (e) ⊂ Vm (e)Vm (e) Vn0 (e) ⊂ Vn0 (e)Vn0 (e) ⊂ Vn (e) Cuối cùng, yz ∈ Vm (e)Vm (e) ⊂ Vn0 (e) ⊂ Vn0 (e)Vn0 (e) ⊂ Vn (e) nên ta suy yz ∈ Un (e) Như vậy, Um (e)Um (e) ⊂ Un (e) Hệ 2.5.8 Mỗi không gian snf -đếm cầu trường G khơng gian sof -đếm Chứng minh Bởi G khơng gian snf -đếm nên G có sn-mạng đếm e Do đó, theo Định lí 2.5.7 ta suy G có so-mạng {Un (e) : n ∈ N} e Hơn nữa, theo Bổ đề 2.2.5, G không gian Như vậy, G sof -đếm 41 Hệ 2.5.9 Mỗi không gian gf -đếm cầu trường G không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Chứng minh Nhờ Nhận xét 2.5.3(2) ta suy G không gian dãy snf -đếm Do đó, theo Hệ 2.5.8, G khơng gian sof -đếm Cuối cùng, nhờ Nhận xét 2.5.3(1) ta suy G không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Bổ đề 2.5.10 ([10]) Mỗi không gian cầu trường thỏa mãn tiên đề đếm thứ khả mêtric Hệ 2.5.11 ([11]) Mỗi không gian gf -đếm cầu trường khả mêtric Chứng minh Nhờ Hệ 2.5.9 Bổ đề 2.5.10 42 KẾT LUẬN Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau 1.1 Đưa mở rộng Định lí 1.4.5, Mệnh đề 1.4.16 Bổ đề 4.4.1 [5] 1.2 Trong [5], tác giả chứng minh kết liên quan đến tập compact tập đóng nhóm paratơpơ (xem Định lí 1.4.29 [5]) Trong luận văn này, chúng tơi chứng minh kết không gian cầu trường 1.3 Đưa mối liên hệ tập với sở lân cận e nhóm paratơpơ Ngồi ra, chúng tơi tích nhóm compact tập đóng nhóm paratơpơ đóng 1.4 Đưa chứng minh không gian dãy cầu trường với cs∗ -mạng cs∗ -chính quy khả mêtric 1.5 Đưa mối liên hệ sn-mạng với so-mạng không gian cầu trường Nhờ kết này, chứng minh không gian snf -đếm cầu trường sof -đếm được, nhận lại Định lí 3.7 [11] Kết luận văn cơng bố [1, 2, 4] trình bày [19, 20] 43 Hướng phát triển luận văn Thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau 2.1 Tìm câu trả lời cho Bài tốn Bài tốn 2.2 Tính chất khơng gian cầu trường với tính chất mạng mối quan hệ với số không gian mêtric suy rộng 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, 22(01), tr 31-34 [2] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Tính chất đếm thứ khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng, 23(02), tr 16-18 [3] Ông Văn Tuyên Lương Quốc Tuyển (2011), “Tập g ∗ s∗ -đóng khơng gian tơpơ”, Tạp chí Khoa học Cơng nghệ, Đại học Đà Nẵng, 47(2), tr 175-179 [4] Lương Quốc Tuyển Ơng Văn Tun (2011), “Phủ cs∗ -chính quy khơng gian khả mêtric”, Tạp chí Khoa học Công nghệ, Đại học Đà Nẵng, 43(2), tr 108-112 Tiếng Anh [5] Arhangel’skii, A V and Tkachenko, M (2008), Topological Groups and Related Structures, Atlantis Press/World Scientific, ParisAmsterdam [6] Birkhoff, G (1936), “A note on topological groups”, Comput Math., 3, pp 427-430 [7] Choban, M M (1987), On topological homogeneous algebras, In: Interim Reports of II Prague Topol Symp., Prague, pp 25-26 [8] Engelking, R (1989), General topology, Heldermann Verlag, Berlin 45 [9] Franklin, S P (1965), “Spaces in which sequences suffice”, Fund Math., 57, pp 107-115 [10] Gul’ko, A S (1996), “Rectifiable spaces”, Topology Appl., 68, pp 107112 [11] Lin, F and Shen, R (2011), “On rectifiable spaces and paratopological groups”, Topology Appl., 158, pp 597-610 [12] Lin, F., Liu, C and Lin, S (2012), “A note on rectifiable spaces”, Topology Appl., 159, pp 2090-2101 [13] Lin, F (2013), “Compactly generated rectifiable spaces and paratopological groups”, Mathematical communications, 18, pp 417-427 [14] Lin, F., Zhang, J and Zhang, K (2015), “Locally σ -compact rectifiable spaces”, Topology Appl., 193, pp 182-191 [15] Lin, S (1996), “On sequence-covering s-maps”, Math Adv., 25(6), pp 548-551 [16] Lin, S and Yan, P (2006), “ cs-regular networks and metrization theorems”, Topology Proc., 30(2), pp 1-8 [17] Sánchez, I (2015), “Dense subgroups of paratopologiacal groups”, Topology Appl., 196, pp 241-248 [18] Shen, R (2010), “Some new characterizations of metrizable spaces”, Studia Sci Math Hungarica, 472, pp 223-229 [19] Tuyen, L Q and Tuyen, O V (2017), “Some properties of paratopological groups”, Submitted to Hue University Journal of Science [20] Tuyen, L Q and Tuyen, O V (2017), “Some properties of rectifiable spaces”, Submitted to Fasciculi Mathematici (Poland) [21] Uspenskij, V V (1989), “Topological groups and Dugundji compacta”, Mat Sb., 180(8), pp 1092-1118 (In Russian) ... CHƯƠNG KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC Chương dành cho việc nghiên cứu tính chất không gian cầu trường Đưa chứng minh số tính chất khơng gian cầu trường liên quan đến sở lân cận e, không gian cầu trường. .. không gian Cấu trúc luận văn Trong luận văn này, đưa chứng minh số tính chất nhóm paratơpơ, khơng gian cầu trường mối liên hệ không gian cầu trường với P -không gian, không gian khả mêtric, không. .. tính chất liên quan đến nhóm paratơpơ, khơng gian cầu trường Đưa mối quan hệ không gian cầu trường với P -không gian, không gian khả mêtric, không gian sof -đếm được, không gian thỏa mãn tiên đề