ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM −−− −−− KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: TÍNH CHẤT κ−FRÉCHET-URYSOHN TRÊN KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC Sinh viên thực hiện: TRẦN LÊ THƯƠNG Giảng viên hướng dẫn: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Chuyên ngành: Sư phạm Toán Lớp: 14ST Đà Nẵng 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu khóa luận trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Trần Lê Thương LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến ThS Ông Văn Tuyên giúp đỡ tác giả trình thực khóa luận Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập Khoa Toán Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp 14ST nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Trần Lê Thương MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 1.3 T1 -không gian T2 -không gian .7 1.4 Tập hợp compact ánh xạ liên tục 1.5 Khơng gian khơng gian tích CHƯƠNG TÍNH CHẤT κ-FRÉCHET-URYSOHN TRÊN KHÔNG GIAN CẦU TRƯỜNG ĐƯỢC 10 2.1 Một số khái niệm tính chất liên quan 11 2.2 Tính chất không gian cầu trường 14 2.3 Tính chất κ-Fréchet-Urysohn κ -Fréchet-Urysohn mạnh 17 2.4 Tính chất κ-Fréchet-Urysohn khơng gian cầu trường 20 KẾT LUẬN 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vào năm 1987, M M Choban giới thiệu khái niệm không gian cầu trường (rectifiable space) đưa số tính chất khơng gian (xem [1]) Sau đó, khơng gian cầu trường được nhiều tác giả khác giới quan tâm nghiên cứu (xem [3], [4], [5], [6]) Đặc biệt, năm 2015, J Zhang nghiên cứu tính chất compact tính chất Fréchet-Urysohn, Fréchet-Urysohn mạnh, κ-Fréchet-Urysohn, κFréchet-Urysohn mạnh không gian cầu trường đưa hai kết sau (xem [9]) (1) Giả sử G không gian cầu trường κ-Fréchet-Urysohn M không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Khi đó, G × M κ-Fréchet-Urysohn (2) Giả sử G không gian cầu trường Khi đó, tập compact G Fréchet-Urysohn, tập compact G Fréchet-Urysohn mạnh Bởi lý với định hướng thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, chúng tơi định mở rộng Bài tốn 1, đồng thời chứng minh Bài toán trường hợp κ-Fréchet-Urysohn chọn đề tài: “Tính chất κ-Fréchet-Urysohn khơng gian cầu trường được” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nhằm hiểu thấu đáo tính chất khơng gian topo, khơng gian cầu trường được, tính chất κ-Fréchet-Urysohn κ-Fréchet-Urysohn mạnh Ngồi ra, chúng tơi mong muốn đưa kết nhằm đóng góp phần cho mảng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Tính chất κ-Fréchet-Urysohn κ-Fréchet-Urysohn mạnh khơng gian cầu trường Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ tính chất κ-Fréchet-Urysohn κ-FréchetUrysohn mạnh không gian cầu trường Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Trước tiên, thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến không gian cầu trường được, tính chất κ-Fréchet-Urysohn κ-Fréchet-Urysohn mạnh Sau đó, cách tương tự hóa, khái quát hóa kết đó, chúng tơi đưa kết cho đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn 6.1 Khóa luận góp phần bổ sung thêm tính chất κ-Fréchet-Urysohn κ-Fréchet-Urysohn mạnh khơng gian cầu trường 6.2 Khóa luận sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh nghiên cứu mảng Cấu trúc khóa luận Trong khóa luận này, chúng tơi đưa số kết liên quan đến tính chất κ-Fréchet-Urysohn, κ-Fréchet-Urysohn mạnh không gian cầu trường Nội dung khóa luận trình bày hai chương Ngồi ra, khóa luận có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2, bao gồm mục: Mục 1.1, trình bày khái niệm khơng gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp; Mục 1.2, trình bày tập hợp đóng bao đóng tập hợp; Mục 1.3, trình bày khái niệm T1 -không gian T2 -không gian; Mục 1.4, trình bày tập hợp compact ánh xạ liên tục; Mục 1.5, trình bày khơng gian khơng gian tích Chương 2, trình bày tính chất κ-Fréchet-Urysohn khơng gian cầu trường được, bao gồm mục: Mục 2.1, trình bày số khái niệm tính chất liên quan; Mục 2.2, trình bày tính chất khơng gian cầu trường được; Mục 2.3, trình bày tính chất κ-Fréchet-Urysohn κFréchet-Urysohn mạnh; Mục 2.4, trình bày tính chất κ-Fréchet-Urysohn không gian cầu trường CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức topo đại cương, khái niệm tính chất chương chúng tơi trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Khơng gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ ; (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi topo X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 ([2]) Đối với không gian topo X , khẳng định sau (1) ∅, X tập hợp mở; (2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x Nhận xét 1.1.4 ([2]) Lân cận điểm không thiết tập hợp mở, tập hợp mở lân cận điểm thuộc Bổ đề 1.1.5 ([2]) Đối với khơng gian topo (X, τ ), khẳng định sau tương đương (1) U tập hợp mở; (2) U lân cận điểm thuộc nó; (3) Với x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Định nghĩa 1.1.6 ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian topo B ⊂ τ Ta nói B sở (X, τ ) (hay sở τ ) phần tử τ hợp phần tử B Nhận xét 1.1.7 ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian topo B ⊂ τ Khi đó, (1) Nếu B sở τ , phần tử B tập hợp mở X , tập hợp mở X khơng thuộc B (2) B sở không gian topo (X, τ ) với U ∈ τ với x ∈ U , tồn V ∈ B cho x ∈ V ⊂ U 1.2 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp Định nghĩa 1.2.1 ([2]) Tập X không gian topo (X, τ ) gọi tập hợp đóng X X\A ∈ τ Định lí 1.2.2 ([2]) Đối với khơng gian topo (X, τ ), khẳng định sau (1) ∅, X tập hợp đóng; (2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng; (3) Giao tùy ý tập hợp đóng tập hợp đóng Nhận xét 1.2.3 ([2]) Hợp tùy ý tập hợp đóng khơng gian topo khơng đóng Do đó, giao tùy ý tập hợp mở không mở Định nghĩa 1.2.4 ([2]) Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, giao tất tập đóng X chứa A gọi bao đóng A ký hiệu A Định lí 1.2.5 ([2]) Giả sử A, B tập khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, khẳng định sau (1) A tồn A ⊂ A; (2) A tập hợp đóng nhỏ chứa A; (3) A đóng A = A; (4) A = A; (5) Nếu A ⊂ B , A ⊂ B ; (6) A ∪ B = A ∪ B ; (7) A ∩ B ⊂ A ∩ B , đẳng thức không xảy 23 Bổ đề 2.4.5 Giả sử X không gian topo, x ∈ X , {xn } dãy hội tụ đến x X S = {x} ∪ {xn : n ∈ N} Khi đó, S tập compact X Chứng minh Giả sử U phủ mở S Khi đó, tồn U0 ∈ U cho x ∈ U0 Bởi {xn } dãy hội tụ đến x U0 lân cận mở x nên tồn m ∈ N cho {x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ U0 Lại U phủ S nên với i = 1, 2, , m, tồn Ui ∈ U cho m xi ∈ Ui Như vậy, S ⊂ Ui , S tập compact X i=1 Bổ đề 2.4.6 Giả sử f : X → Y ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào không gian topo Y x ∈ X Khi đó, {xn } dãy hội tụ đến x X , {f (xn )} dãy hội tụ đến f (x) Y Chứng minh Giả sử V lân cận f (x) Khi đó, f ánh xạ liên tục nên tồn lân cận U x cho f (U ) ⊂ V Mặt khác, {xn } dãy hội tụ đến x nên tồn m ∈ N cho {x} ∪ {xn : n ≥ m} ⊂ U Điều kéo theo {f (x)} ∪ {f (xn ) : n ≥ m} ⊂ f (U ) ⊂ V Như vậy, {f (xn )} dãy hội tụ đến f (x) Y Định lí 2.4.7 ([8]) Giả sử G khơng gian Hausdorff cầu trường Khi đó, tập compact G κ-Fréchet-Urysohn, tập compact G κ-Fréchet-Urysohn mạnh 24 Chứng minh Giả sử A tập compact không gian cầu trường G Khi đó, tồn ánh xạ p, q thỏa mãn Định lí 2.1.2 Nhờ Bổ đề 1.4.3 Định lí 2.3.9, ta suy A tập hợp đóng κ-FréchetUrysohn Để hồn thành chứng minh ta cần chứng tỏ A không gian κ-Fréchet-Urysohn mạnh G Thật vậy, giả sử {An }n∈N dãy giảm gồm tập hợp mở A An Khi đó, khơng gian A a ∈ n∈N A • Nếu a ∈ / A\{a} {a} lân cận mở a A Hơn nữa, A a ∈ An với n ∈ N nên {a} ∩ An = ∅ với n ∈ N Điều chứng tỏ a ∈ An với n ∈ N Do đó, ta đặt an = a ∈ An với n ∈ N, {an } dãy hội tụ đến a Bởi vậy, A không gian κ-Fréchet-Urysohn mạnh G A • Nếu a ∈ A\{a} , A κ-Fréchet-Urysohn A \ {a} mở A nên tồn dãy {an } ⊂ A\{a} hội tụ đến a A Bây giờ, với n ∈ N, ta đặt B = q(a, A), Bn = q(a, An ), bn = q(a, an ) Khi đó, q ánh xạ liên tục A tập compact G nên theo Bổ đề 1.4.6 ta suy B tập compact G Lại G quy nên B tập đóng G Hơn nữa, khẳng định sau thỏa mãn Khẳng định Với n ∈ N, ta có e = q(a, a) ∈ q(a, An ) ⊂ q(a, An ) = Bn ⊂ B = B Thật vậy, nhờ tính liên tục q Định lí 1.4.5(4) ta suy q(a, An ) ⊂ q(a, An ) 25 Mặt khác, B tập đóng nên theo Định lí 1.2.5(3), ta suy B = B Hơn nữa, An ⊂ A nên Bn ⊂ B Như vậy, e = q(a, a) ∈ q(a, An ) ⊂ q(a, An ) = Bn ⊂ B = B Khẳng định Với n ∈ N, tồn dãy {Vn : n ∈ N} gồm lân cận mở e G cho bn ∈ / p(Vn , Vn ) Thật vậy, G T1 −khơng gian bn = e với n nên tồn lân cận mở Un e G cho bn ∈ / Un với n ∈ N Hơn nữa, p(e, e) = e p liên tục nên với lân cận mở Un e G, tồn hai lân cận mở Wn Wn e G cho p(Wn , Wn ) ⊂ Un Bây giờ, với n ∈ N, ta đặt Vn = Wn ∩ Wn , Vn lân cận mở e G p(Vn , Vn ) ⊂ Un Điều chứng tỏ bn ∈ / p(Vn , Vn ) với n ∈ N Khẳng định Với n ∈ N, ta đặt Cn = p(bn , Bn ∩ Vn ) Khi đó, theo Bổ đề 2.4.2 ta suy e ∈ Bn ∩ Vn ⊂ Bn ∩ Vn = Bn ∩ Vn với n ∈ N Hơn nữa, với n ∈ N, ta có bn ∈ Cn e ∈ / Cn Thật vậy, với n ∈ N, p liên tục nên bn = p(bn , e) ∈ p(bn , Bn ∩ Vn ) ⊂ p(bn , Bn ∩ Vn ) = Cn Tiếp theo, bn ∈ / p(Vn , Vn ) với n ∈ N nên bn Vn ∩ p(Vn , Vn )Vn = ∅ Mặt khác, Vn ⊂ p(Vn , Vn )Vn nên ta suy bn Vn ∩ Vn = ∅ với n ∈ N 26 Lại Vn ∩ Cn ⊂ Vn ∩ bn Vn nên Vn ∩ Cn = ∅ Điều chứng tỏ e∈ / Cn với n ∈ N Bây giờ, ta đặt Cn , S = {e} ∪ {bn : n ∈ N} D= n∈N Khi đó, ta suy D⊂ p(bn , Bn ) ⊂ p(S, B) = SB n∈N Lúc này, ta chứng minh SB không gian đóng κ-FréchetUrysohn G Thật vậy, nhờ Bổ đề 2.4.5 ta suy S compact Mặt khác, B compact nên sử dụng Định lí 1.5.4, S × B tập compact Hơn nữa, p liên tục nên p(S, B) = SB tập compact G Do đó, theo Bổ đề 1.4.3, SB tập đóng G Ngoài ra, theo giả thiết ta suy SB κ-Fréchet-Urysohn Với n ∈ N, Cn , b n ∈ Cn Cn = D=D= n∈N n∈N dãy {bn } hội tụ đến e nên e ∈ D ⊂ SB = SB Sử dụng tính chất κ-Fréchet-Urysohn SB , ta suy tồn dãy L = {ck : k ∈ N} ⊂ D hội tụ đến e Mặt khác, e ∈ / Cn với n ∈ N nên ta suy số phần tử tập hợp {n ∈ N : L ∩ Cn = ∅} vô hạn Như vậy, ta đặt {n ∈ N : L ∩ Cn = ∅} = {ni : i ∈ N} Lúc này, với n ∈ N, tồn kn ∈ N cho cn ∈ Ckn Hơn nữa, Ckn ⊂ bkn Bkn = p(bkn , q(a, Akn )) 27 nên ta suy tồn xn ∈ Akn cho cn = p(bkn , q(a, xn )) Do đó, ta có q(a, xn ) = q(bkn , p(bkn , q(a, xn ))) = q(bkn , cn ) Bởi dãy {bn } {cn } hội tụ đến e q liên tục nên ta suy dãy {q(a, xn )} hội tụ đến e Cuối cùng, xn = q(a, q(a, xn )) với n ∈ N nên {xn } dãy hội tụ đến a Điều chứng tỏ A κ-FréchetUrysohn mạnh 28 KẾT LUẬN Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, khóa luận thu kết sau 1.1 Mở rộng Định lí 2.3 [9] 1.2 Trong [9], J Zhang chứng minh tập compact không gian cầu trường G Fréchet-Urysohn, tập compact G Fréchet-Urysohn mạnh Trong khóa luận này, chúng tơi chứng minh kết trường hợp tập compact κ-Fréchet-Urysohn Kết khóa luận nhận công bố [8] Hướng phát triển khóa luận Thời gian tới, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu vấn đề liên quan đến không gian cầu trường được, tính chất κ-Fréchet-Urysohn khơng gian cầu trường mối quan hệ không gian cầu trường với không gian khác 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] Choban, M M (1987), On topological homogeneous algebras, In: Interim Reports of II Prague Topol Symp., Prague, pp 25-26 [2] Engelking, R (1977), General Topology, Warszawa [3] Gul’ko, A S (1996), “Rectifiable spaces”, Topology Appl., 68, pp 107112 [4] Lin, F and Shen, R (2011), “On rectifiable spaces and paratopological groups”, Topology Appl., 158, pp 597-610 [5] Lin, F., Liu, C and Lin, S (2012), “A note on rectifiable spaces”, Topology Appl., 159, pp 2090-2101 [6] Lin, F., Zhang, J and Zhang, K (2015), “Locally σ -compact rectifiable spaces”, Topology Appl., 193, pp 182-191 [7] Liu, C and Lewis, D L (2005), “ κ-Fréchet-Urysohn spaces”, Topology Appl., pp 391-401 [8] Tuyen, L Q., Tuyen, O V., and Thuong, T L (2018), “ κ-FréchetUrysohn properties in rectifiable spaces”, Da Nang University Journal of Science (Accepted) [9] Zhang, J and He, W (2015), “Connected and sequentially compact rectifiable spaces”, Adv Math (China), 44(4), pp 615-620 Bài báo: k-Fréchet-Urysohn properties in rectifiable spaces k-Fréchet-Urysohn properties in rectifiable spaces Gửi ngày: 2017-12-29 14:48:19 Bài viết chấp nhận, chờ phân vào số tạp chí Xin vui lịng đăng nhập tài khoản ongvantuyen vào hệ thống http://jse.ued.udn.vn để biết thêm chi tiết Trân trọng (*) Xin vui lòng cập nhật lý lịch cá nhân http://scv.ued.udn.vn/ để chúng tơi liên hệ cần - Tạp chí Khoa học Giáo dục Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Nhà A5, Số 459 Tôn Đức Thắng, Q Liên Chiểu, TP Đà Nẵng Tel: (0511) 6.569.179 E-mail: hoithaoitf@ued.udn.vn Website: http://jse.ued.udn.vn TẠP CHÍ KHOA HỌC - SỐ X(XZ) - 2018   FRÉCHET-URYSOHN PROPERTIES IN RECTIFIABLE SPACES Luong Quoc Tuyen Department of Mathematics, University of Education, Da Nang University tuyendhdn@gmail.com Ong Van Tuyen Ong Ich Khiem high school, Da Nang city tuyenvan612dn@gmail.com Tran Le Thuong Class 14ST, University of Education, Da Nang University thuong14st@gmail.com ABSTRACT A topological space G is called a rectifiable space if there are a homeomorphism  : G  G  G  G and an element e  G such that 1   1 and for every x  G we have  ( x, x)  ( x, e), where 1 : G  G  G is the projection to the first coordinate Then,  is called a rectification on G and e is a right unit element of G Recently, rectifiable spaces had been studied by many authors and they have put a lot of open questions that have yet to be answered In this paper, we give  Fréchet-Urysohn properties in rectifiable spaces These results are used to generalize a result in [8] Key Words: Rectifiable space;  -Fréchet-Urysohn space; strongly  -Fréchet-Urysohn space; first-countable space; compact subset Introduction In 1987, M M Choban introduced rectifiable spaces and give some their properties ([1]) After that, rectifiable spaces had been studied by many other authors (see [3, 4, 5]) then every compact subset of G is strongly  -Fréchet-Urysohn (2) The product of a  -FréchetUrysohn rectifiable space G with a firstcountable space M is strongly  -FréchetUrysohn In this paper, we give  -FréchetUrysohn properties in rectifiable spaces: [8] (1) If every compact subset of a rectifiable space G is  -Fréchet-Urysohn, Throughout this paper, all spaces are T1 and denotes the set of all natural By these results, we extend a result in numbers TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Theoretical basis and research methods 2.1 Theoretical basis Lemma 1.1 ([1]) A topological space G is rectifiable if and only if there exist e  G and two continuous maps p : G  G  G , q : G  G  G, such that for any x  G, y  G the next identities hold: then there exists an open neighborhood V of e in G such that xV  U ; (2) If U is an open neighborhood of e in G , then xU is an open neighborhood of x , and there exists an open neighborhood V of e in G such that q ( xV , x)  U Definition 1.6 ([7]) A space X is  Fréchet-Urysohn at a point x  X if for p  x, q  x, y    q  x , q  x , y    y each open set U of X with x U , there is a and q  x, x   e A space X is  -Fréchet-Urysohn if it is  Fréchet-Urysohn at each point of X Remark 1.2 ([1]) Let G be a rectifiable space and x  G, we have p( x, e)  p( x, q( x, x))  x Moreover, we sometimes write xy instead of p( x, y ) for any x, y  G and AB instead of p  A, B  for any A, B  G Lemma 1.3 ([4]) Let G be a rectifiable space Fixed a point x  G, then f x , g x : G  G defined with f x ( y)  p( x, y) and g x ( y)  q( x, y), for each y  G , are homeomorphism, respectively Lemma 1.4 ([6]) Let G be a rectifiable space, A  G and U be an open set in G Then, p ( A,U ) and q ( A,U ) are open subsets in G Lemma 1.5 ([6]) Let G be a rectifiable space and x  G Then, the following statements hold (1) If U is an open neighborhood of x , sequence  xn : n   U converging to x Definition 1.7 ([7]) A space X is strongly  -Fréchet-Urysohn at a point x  X if for each decreasing open family On : n  X with x  n  of On , there are xn  On , n  , coverging to x A space X is strongly  Fréchet-Urysohn if it is strongly  -FréchetUrysohn at each point of X Remark 1.8 ([7]) Every strongly  Fréchet-Urysohn space is  -FréchetUrysohn Lemma 1.9 ([8]) If G is a  -FréchetUrysohn rectifiable space, then it is strongly  -Fréchet-Urysohn Lemma 1.10 ([3]) If G is space, then G is regular a rectifiable Lemma 1.11 ([2]) If U is open in X , then U  A  U  A for every A  X 2.2 Research methods We use theoretical research methods in the course of the paper Study the literature TẠP CHÍ KHOA HỌC - SỐ X(XZ) - 2018 of previous authors to produce new results (1) We  have  Results and evaluation e  q  a, a   q a, An  q (a, An )  Bn  B  B 3.1 Results by the continuity of the mapping q ( a,.) , Theorem 1.1 If every compact subset of a rectifiable space G is  -Fréchet-Urysohn, then every compact subset of G is strongly  -Fréchet-Urysohn Proof Let A be a compact subset of G Then A is closed and  -Fréchet-Urysohn by the assumption and Lemma 1.10 Now, we prove that A is strongly  -FréchetUrysohn Indeed, suppose that  An : n   bn  B \ e for each n  bn  and the sequence converging to e (2) There is a sequence Vn : n   of open neighborhoods of e such that bn  p Vn ,Vn  for each n  Indeed, since G is T1 -space and e  bn for every n  , there is an open neighborhood U n of e such that bn U n for every n  Furthermore, be a decreasing sequence of open subsets of since p  e, e   e and p is continuous, for A with a  each open neighborhood U n of e , there n An Then, *Case If a  A \ a , then the set a is open in A Moreover, since a  An for every n  every n  , it implies that a  An for Hence, the sequence an  with an  a  An for every n  converges to a Thus, A is strongly  -Fréchet-Urysohn *Case If a  A \ a , then since A is  -Fréchet-Urysohn, there exists a sequence an   A \ a converging to a For each n  , we put B  q  a , A , Bn  q  a , An  and bn  q  a , an  G is closed in and A B  q  a , A  g a  A with is a ga Since homeomorphism by Lemma 1.3, the set B is also closed in G Moreover, exist two open neighborhoods Wn , Wn/ of e such that p Wn ,Wn/   U n Now, for each n , if we put Vn  Wn an open W 'n , then Vn is neighborhood p Vn ,Vn   U n of e implies It bn  p Vn ,Vn  for every n  e  Bn Then, Vn  Bn for Vn  for every Vn 1.11 Moreover, for each n  bn  Cn n each Vn  Bn that (3) Let Cn  p  bn , Bn n and , by Lemma , we have and e  Cn Indeed, for every n  , it follows from the continuity of the mapping p ( a,.) that  bn  p  bn , e   p bn , Bn  p  bn , Bn Vn  Vn   Cn TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Next, since bn  p Vn ,Vn  for every n  , e  Cn we have n  p Vn ,Vn Vn   bnVn Moreover, since Vn  p Vn ,Vn Vn for every n converging to e On the other hand, since Cn  Vn On the other hand, since Vn for every n  bnVn n  n Then, D  Cn and S  e n bn : n    -Fréchet-Urysohn for every n  n is by our Cn , bn  Cn and the sequence bn  converges to e , we have e  D  SB  SB By the property of  -Fréchet-Urysohn of SB , there is a sequence L  ck : k    D Then, by Lemma 1.1, we  It p  S , B   SB is compact Thus, SB Cn       q  a, xn   q bkn , p bkn , q  a, xn   q bkn , cn homeomorphism by Lemma 1.3, B is also compact Therefore, S  B is compact Furthermore, since p is continuous, n   for each n  have p  bn , Bn   p  S , B   SB Since D  D   , there exists kn    In the following we shall verify that the subset SB of G is closed and  -FréchetUrysohn Clearly, S is compact Moreover, since is compact and A B  q  a, A  g a  A with g a is a closed and assumption set that cn  p bkn , q  a, xn  for some xn  Akn , Now, we put D : L Cn    ni : i  Ckn  bkn Bkn  p bkn , q a, Akn Cn   Hence, e  Cn for every n  the such that cn  Ckn Moreover, it follows from , we have Vn , : L Cn   is infinitely Thus, we Hence, for each n  Vn   n every can put , it implies that bnVn for is clear q  a, xn   e that by bn  e, cn  e and the continuity of the mapping q Lastly, since xn  p  a, q  a, xn   , it implies that xn  a Therefore, Urysohn A is strongly  -Fréchet- Theorem 1.2 The product of a  -FréchetUrysohn rectifiable space G with a firstcountable space M is strongly  -FréchetUrysohn Proof Take any the decreasing sequence { Am : m } of non-empty open sets in GM  x, y   m and any point Am  G  M Then, since M is a first-countable space, we can choose U n : n   is a decreasing countable neighborhood base at y in M such that U n TẠP CHÍ KHOA HỌC - SỐ X(XZ) - 2018 open for each n  if we put Now, for each n , Bn    G  U n  neighborhood of y in M Then, since An  , where 1 : G  M  G is the projection to the first coordinate, then x  Bn for each n In fact, since  x, y   G  U n , G  U n is open and  is continuous, by Lemma 1.11, we have x    x, y     G  U n  On the is a decreasing sequence of open sets in G Next, because G is strongly  -Fréchet-Urysohn by Lemma 1.9, there exists a sequence bn : n   such that bn : n   converges to x and bn  Bn for each n  , choose  bn , cn    G  U n  cn U n An y U no  V Moreover, since : U n : n   is a decreasing sequence, we have cn U n  U no  V for every n  no since bn  x, cn  y , it By Remark 1.8 and Theorem 1.2, we obtained the following corollary other hand, since G, U n and An are open, so n there exists n0  is strongly  -Fréchet-Urysohn An   Bn Bn  base at y in M , implies that  bn , cn    x, y  Hence, G  M that Bn 1  Bn for each n  Bn is open Thus, is a countable neighborhood Lastly, Moreover, it follows U n 1  U n for each n U n : n   Thus, the sequence cn  converges to y An     G  U n  An       G  U n  An       G  U n  Now, we will prove that  bn , cn    x, y  Indeed, let V be a For every such that Corollary 1.3 ([8]) The product of a  Fréchet-Urysohn rectifiable space G with a first-countable space M is  -FréchetUrysohn 3.2 Evaluation We give  -Fréchet-Urysohn properties in rectifiable spaces and they are shown in Theorem 1.1, Theorem 1.2 Conclude In this paper, we give  -FréchetUrysohn properties in rectifiable spaces By these results, we extend a result in [8] TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG REFERENCES [1] Choban M M (1987), On topological homogenous algebras, In: Interim Reports of II Prague Topol Sym., Prague, 25-26 [2] Engelking R (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin [3] Gul’ko A S (1996), “Rectifiable spaces”, Topology Appl., 68, 107-112 [4] Lin F., Liu C and Lin S (2012), “A note on rectifiable spaces”, Topology Appl., 159, 2090-2101 [5] Lin F., Zhang J and Zhang K (2015), “Locally  -compact rectifiable spaces”, Topology Appl., 193, 182-191 [6] Ông Văn Tuyên Nguyễn Văn Trung Tín (2017), “Một số tính chất khơng gian cầu trường được”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng, 22(01), 31-35 [7] Sakai M (2008), “Function spaces with a countable cs * -network at a point ”, Topology Appl., 156(1), 117-123 [8] Zhang J and He W (2015), “Connected and sequentially compact rectifiable spaces ”, Adv Math (China), 44(4), 615-620 ... κ- Fréchet- Urysohn (3) Không gian Fréchet- Urysohn mạnh ⇒ Không gian κ- Fréchet- Urysohn mạnh (4) Không gian Fréchet- Urysohn ⇒ Không gian κ- Fréchet- Urysohn (5) Tồn không gian Fréchet- Urysohn không Fréchet- Urysohn. .. X không gian κ- Fréchet- Urysohn 2.4 Tính chất κ- Fréchet- Urysohn khơng gian cầu trường Mục dành cho việc đưa chứng minh tính chất κ- FréchetUrysohn, tính chất κ- Fréchet- Urysohn mạnh khơng gian cầu. .. cứu tính chất compact tính chất Fréchet- Urysohn, Fréchet- Urysohn mạnh, κ- Fréchet- Urysohn, ? ?Fréchet- Urysohn mạnh không gian cầu trường đưa hai kết sau (xem [9]) (1) Giả sử G không gian cầu trường