BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THUẦN TÍNH CHẤT TÍCH CỦA GIẢ KHOẢNG CÁCH VÀ GIẢ METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THUẦN TÍNH CHẤT TÍCH CỦA GIẢ KHOẢNG CÁCH VÀ GIẢ METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Tài Thu HÀ NỘI, 2017 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình biến 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.3 Hàm điều hòa đa điều hòa 15 1.4 Miền giả lồi miền chỉnh hình 16 1.4.1 Miền giả lồi 16 1.4.2 Miền chỉnh hình 17 1.5 Giả khoảng cách Carathéodory giả khoảng cách Kobayashi 20 Chương Tính chất tích giả khoảng cách giả metric 25 2.1 Định nghĩa ví dụ 25 2.2 Tính chất tích giả khoảng cách giả metric 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa Tốn thầy giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 08 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thuần Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Lê Tài Thu, luận văn thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài "Tính chất tích giả khoảng cách giả metric" hồn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 08 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thuần Mở đầu Lý chọn đề tài Giải tích phức hướng nghiên cứu toán học Một số nhà toán học tiếng nghiên cứu lĩnh vực Euler, Gauss, Riemann, Cauchy, Weierstrass nhiều nhà toán học khác kỷ 20 Giải tích phức hay gọi lý thuyết hàm biến phức nhánh toán học nghiên cứu hàm số biến hay nhiều biến Giải tích phức có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác tốn học, có lý thuyết số toán ứng dụng Một nội dung nghiên cứu tính chất tích giả khoảng cách giả metric Giả khoảng cách giả metric gọi có tính chất tích : dG1 ×G2 ((z1 , z2 ), (z1 , z2 )) = max dG1 (z1 , z1 ), dG2 (z2 , z2 ) , (1) với z1 , z1 ∈ G1 ⊂ Cn1 ,z2 , z2 ∈ G2 ⊂ Cn2 , d = c d = k δG1 ×G2 ((z1 , z2 ), (X1 , X2 )) = max {δG1 (z1 , X1 ), δG2 (z2 , X2 )} , (2) với z1 ∈ G1 ⊂ Cn1 , X1 ∈ Cn1 , z2 ∈ G2 ⊂ Cn2 X2 ∈ Cn2 , d = γ δ = K Mục đích luận văn hệ thống lại tính chất tích cho hệ Schwarz -Pick giả khoảng cách giả metric Với mong muốn tìm hiểu sâu tính chất tích giả khoảng cách giả metric, hướng dẫn TS Lê Tài Thu, chọn đề tài: "Tính chất tích giả khoảng cách giả metric" để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chun ngành tốn giải tích Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết tính chất tích cho hệ Schwarz - Pick giả khoảng cách giả metric miền Cn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất tích cho hệ Schwarz - Pick giả khoảng cách giả metric miền Cn Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu tính chất tích cho hệ Schwarz - Pick giả khoảng cách giả metric • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu tính chất tích cho hệ Schwarz - Pick giả khoảng cách giả metric miền Cn Phương pháp nghiên cứu • Áp dụng số phương pháp Giải tích phức, vận dụng kết hình học Giải tích phức, Giải tích phức nhiều biến • Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có Từ hệ thống lại vấn đề liên quan đến luận văn Đóng góp luận văn • Hệ thống lại số kết biết tính chất tích cho hệ Schwarz - Pick giả khoảng cách giả metric miền Cn • Luận văn giúp người đọc hiểu sâu tính chất tích cho hệ Schwarz - Pick giả khoảng cách giả metric miền Cn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình biến Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f xác định miền Ω ⊂ C Xét giới hạn f (z + ∆z) − f (z) ; z, z + ∆z ∈ Ω ∆z→0 ∆z lim Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức df f z, kí hiệu f (z) hay (z) dz Như f (z + ∆z) − f (z) f (z) = lim ∆z→0 ∆z Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C− khả vi z Định nghĩa 1.1.2 Hàm f xác định miền Ω ⊂ C với giá trị C gọi hàm chỉnh hình z0 ∈ Ω, tồn r > để f C− khả vi z ∈ D(z0 , r) ⊂ Ω Nếu f chỉnh hình z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình Ω Nhận xét 1.1.1 Ta mở rộng định nghĩa nêu tới trường hợp ¯ f ánh xạ từ Ω vào C ¯ phép nghịch Ω miền tùy ý C đảo Như vậy, z0 hữu hạn f (z0 ) = ∞, ta nói f chỉnh hình z0 chỉnh hình z0 , z0 = ∞ ta nói f chỉnh hình z0 f (z) chỉnh hình f (z) Các hàm đa thức chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C Các hàm hữu tỷ chỉnh hình C trừ điểm mà khơng xác định Ví dụ 1.1.1 a) Cho hàm số f (z) xác định C f (z) = a0 + a1 z + a2 z + + an z n Khi f (z) = a1 + a2 z + + nan z n−1 Như f C− khả vi z Do f hàm chỉnh hình C b) Xét C cho hàm số f (z) = z ,z = 2z − Khi 1(2z − 1) − 2z −1 = , z = (2z − 1)2 (2z − 1)2 Như f C khả vi z = Do f hàm chỉnh hình z = Dưới số tính chất hàm chỉnh hình f (z) = Định lí 1.1.1 Giả sử Ω ⊂ C miền H(Ω) tập hàm chỉnh hình Ω Khi (i) H(Ω) khơng gian vector C (ii) H(Ω) vành ∈ H(Ω) f (z) (iv) Nếu f ∈ H(Ω) f nhận giá trị thực f khơng đổi (iii) Nếu f ∈ Ω f (z) = ∀z ∈ Ω Rõ ràng γG ≤ SG ≤ AG ≤ K G , (p) γG ≤ γG ≤ AG ≤ K G , γ G ≤ δG ≤ K G , với hệ Schwarz – Pick (δG )G Định lí 2.1.1 Giả sử G⊂ Cn miền song chỉnh hình với miền lồi Khi điều kiện sau tương đương: ∗ (i) cG = kG = tanh−1 kG (p) ∗ (ii) c∗G = mG = gG = kG (p) (iii) γG = γG = SG = AG = KG (p) Mệnh đề 2.1.4 a) γG (a; X) = sup |α|=p Dα f (z) X α α! p : f ∈ Θ (G, E) , orda f ≥ p (p) (b) γG nửa liên tục trên G×Cn , γG Lipschitz địa phương G×Cn γG (a; ) nửa chuẩn (p) (c) Nếu G song chỉnh hình tới miền bị chặn γG liên tục G×Cn   ∂ 2u ¯j Mệnh đề 2.1.5 (a) SG (a; X) = sup (a) Xi X  i,j=1 ∂zj ∂ z¯j n   : u ∈ SG (a)  (b) SG nửa chuẩn (c) AG nửa liên tục trên G×Cn , G miền chỉnh hình (d) Nếu gG (a; ) C gần điểm a SG (a; ) = AG (a; ) Trong trường hợp đặc biệt, với n = SG = AG 31 Mệnh đề 2.1.6 (a) KG nửa liên tục trên G×Cn (b) KG liên tục G×Cn , G taut Ví dụ 2.1.5 Cho G = {z∈ Cn : |z α | < 1}, α = (α1 , α2 , , αn )∈ Nn α1 , α2 , , αn nguyên tố nhau, n ≥ Khi (a) AG (a; X) = [γE (aα ; Φr (a, X))] r , r = r (a) , Φ (z) = z α Φr (a, X) = |β|=r Dβ Φ (a) X β β! Trong trường hợpđặc biệt, AG khơng liên tục  AG (a, X) r|a (p) (p) (b) γG (a, X) = đó, p ≥ γG 0 trái lại không liên tục   AG (a, X) {j : aj = 0} ≤ (c) SG (a, X) = 0 trái lại Chú ý: SG nửa liên tục không liên tục Ví dụ 2.1.6 Cho G = Gh = {z∈ Cn : h (z)} < miền cân miền chỉnh hình ( h hàm Minkowski ) Khi AG (0; ) = KG (0; ) = h Trong trường hợp đặc biệt, tồn Gh mà KGh (0; ) không liên tục không nửa chuẩn ∞ Ví dụ 2.1.7 Cho ϕ (ξ, η) = λj log j=1 |ξ − aj |2 |η| + j j , (ξ, η ∈ C) , {aj }∞ j=1 tập trù mật E với aj = λj > cho: (i) ϕ (0) > −∞ (ii) ϕ C C × C∗ (iii) ϕ hàm đa điều hòa 32 Ta định nghĩa G = (z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | eϕ(z2 ,0) < , G = (z1 , z2 , z3 ) C3 : |z1 | eϕ(z2 ,z3 ) < , f : G → D, f (z1 , z2 ) = (z1 , z2 , 0) Theo cách xây dựng G, ta có SG = (G ∩ (C × E)) × C2 , SG∗ = (G ∩ (C × E)) × C2 , SG∗ (z; X) = lim sup SG (z ; X ) (z ,X )→(z,X) Mặt khác, từ z → |z1 |2 e(2ϕ(z2 ,z3 )) thuộc SD ((0, 0, t)) ; (t > 0) , ta lim SD ((0, 0, t) ; (1, 0, 0)) ≥ lim SD eϕ(0,t) = eϕ(0,0) > t t SG∗ (f (0, 0) ; f (0, 0) (1, 0)) > SG∗ ((0, 0) ; (1, 0)) Giả sử (δG )G∈Θ hệ Schwarz - Pick giả metric nửa liên tục Đặt δG (z , z ) = ∆G (z , z ) δG (α (t) ; α˙ (t)) dt : α : [0, 1] → G = inf α mẩu C α (0) = z α (1) = z , Khi đó, (∆G )G∈Θ hệ Schwarz - Pick giả khoảng cách Trường hợp giả metric Carathéodory – Reiffen Kobayashi – Royden kết tiếp sau Ta xét định lý sau Định lí 2.1.2 Giả sử G miền Cn Khi (a) kG = KG (b) ciG = γG 33 T Mazur P Pflug chứng minh tính chất b) cho metric Bergman, từ mở rộng chứng minh cho tính chất b) Barth đưa ví dụ miền G có cG = ciG , sau J-P.Vigué miền Reinhardt đầy bị chặn miền chỉnh hình có tính chất cG = ciG Bổ đề sau trích từ báo J-P.Vigué Bổ đề 2.1.1 Giả sử G miền Cn , với z , z ∈ G, z = z f ∈ O (G, E) cho: (i) f (z ) = c∗G (z , z ) = |f (z )| (ii) γG (z ; X) > |f (z ) X| ; ∀X ∈ Cn (n )∗ Khi cG (z , z ) < ciG (z , z ) Ví dụ 2.1.8 Cho G = z∈ C2 : |z1 | < 1, |z2 | < 1, |z1 z2 | < Khi tồn tập mở ∂G ∩ (E × E) ⊂ V cho với z ∈ V ∩ G ta có c∗G (0, z) = |2z1 z2 | , theo bổ đề cG (0, z) < ciG (0, z) Nhận xét 2.1.4 Để cG = ciG vẫn câu hỏi mở Tiếp theo tính bất biến trường hợp mà G=P = λ∈C: < |λ| < R , ∀R > R Ta xét bổ đề sau cho h : P \ z → C R hàm chỉnh hình với cực đơn z Nếu lim sup |h (z)| ≤ với Bổ đề 2.1.2 Giả sử z ∈ −R, − z→∂P ,R R h = x ∈ ta có |h (x)| ≤ dấu đẳng thức xảy khi 34 Với < a < R ta định nghĩa R f (a, λ) = 1− ∞ a λR4j j=1 (a, λ) = ∞ λa − 4j−2 R j=1 1− R λ a (a, λ) R λ aR4j 1− λaR4j−2 1− Ta nhớ lại f (a, ) phân hình C∗ , chỉnh hình P¯ λ = a f (a, ) P¯ Rõ ràng    |λ| = R |f (a, λ)| = R   |λ| = R a Ví dụ 2.1.9 Ta có 1 (a) c∗P (a, λ) = |f (a, λ)| f , − |λ| ; R |λ| a 1 γP (a, 1) = (a, a) f , −a Ra2 R a s(a) log a |f (a, λ)| s (a) = 1− (b) gP (a, λ) = R |λ| log R s(a) 1 AP (a; 1) = SP (a, 1) = (a, a)R a Ra lk (a) k (k) (c) mP (a, λ) = |f (a, λ)| f (bk (a) , − |λ|) R |λ| lk (a) = E+ (ks (a)) ; bk (a) = R1−2(lk (a)−ks(a)) f (R, ) = 1 l (a) k k (k) γP (a; 1) = (a, a) f (b (a) , −a) k a R Ra x + − 2x cos (π (s − t)) (d) kP (a, λ) = kP∗ (a, λ) = x + − 2x cos (π (s − t)) 35 với a = R−2s ( tức s = s (a) (b)), λ = eiϕ R1−2t với −π < ϕ < π π πϕ ;KP (a; 1) = x = exp log R 4a log R sin (πs) Để chứng minh (c) ta sử dụng bổ đề 2.2, l (a) k k f bk (a) , −e−iϕ ς hàm cực trị đối hàm h (ς) = [f (a, ς)] Rς (k) với mP a, |λ| eiϕ Từ ví dụ ta có nhận xét sau (k) (k) Nhận xét 2.1.5 (1) mP → gP γP → AP k → ∞ (2) Cố định k ∈ N điểm a , điều kiện sau tương đương: (k) (i) ∃λ0 ∈ P \ {a} : mP (a, λ0 ) = gP (a, λ0 ) (k) (ii) mP (a, ) = gP (a, ) (k) (iii) γP (a, 1) = AP (a, 1) (iv) k ≥ ks (a) ∈ N (k) (k) (3) c∗P (a, ) < mP (a, ) P \ {a} γP (a; 1) < γP (a; 1) với k ≥ (4) Với k, k ≥ 2, k = k , phát biểu sau tương đương: (k) (k ) (i) mP (a, ) = mP (a, ) (k) (k ) (ii) ) mP (a, ) = mP (a, ) = gP (a, ) (iii) ks (a) , k s (a) ∈ (5) Với k, k ≥ 2, k = k , (k) (k ) (i) Với λ0 ∈ P tồn λ ∈ P \ {λ0 } với mP (λ, λ0 ) = mP (λ, λ0 ) (k) (k ) (ii) Tồn điểm a với γP (a; 1) = γP (a; 1) (6) Với a λ = |λ| eiϕ , < ϕ < 2π cP (a, λ) < ciP (a, λ) Ví dụ 2.1.10 Cho G miền Reinhardt đầy Cn , |z1 |t , , |zn |t ∈ G 36 (z1 , , zn ) ∈ G t > Đặt T (G) = α ∈ Z(n+ )∗ : z α ∈ H ∞ (G) Khi ta có (k) mG (0, z) = max {|z α | : α ∈ T (G) , |α| ≥ k} 2.2 Tính chất tích giả khoảng cách giả metric Định nghĩa 2.2.1 (i) Giả sử F = (FG )G∈Θ hệ Schwarz – Pick hàm giả khoảng cách G1 , G2 ∈ Θ Ta nói rằng, F có tích chất tích G1 × G2 với zj , zj ∈ Gj ta có: FG1 ×G2 ((z , z ) , (z , z )) = max {FG1 (z , z ) , FG2 (z , z )} (2.1) (ii) Giả sử δ = (δG )G∈Θ hệ Schwarz – Pick giả metric, ta nói δ có tính chất tính G1 × G2 với zj ∈ Gj ⊂ Cnj , Xj ∈ Cnj ; (j = 1, 2) ta có: δG1 ×G2 ((z1 , z2 ) ; (X1 , X2 )) = max {δG1 (z1 ; X1 ) , δG2 (z2 , X2 )} (2.2) Nhận xét 2.2.1 Trong (2.1) (tương ứng (2.2)) bất đẳng thức ≥ Ngoài ra, z1 = z2 z1 = z2 (tương ứng X1 = X2 = ) dấu đẳng thức xảy Ví dụ 2.2.1 Cho F (0) , F (1) hệ Schwarz – Pick hàm (t) (0) (1) (t) Đặt FG = (1 − t) FG + tFG = (FG )G∈Θ , < t < Khi F (t) hệ Schwarz – Pick hàm (0) (1) Giả sử với G0 ∈ Θ, FG0 = FG0 ( ví dụ F (0) = c∗ , F (1) = k ∗ , G0 = P ) 37 Khi với < t < ; F (t) khơng có tính chất tích G0 × E Ta xét định lý sau Định lí 2.2.1 Giả sử d = (dG )G∈Θ hệ Schwarz – Pick giả khoảng cách Nếu d có tính chất tích G1 × G2 di = di G G∈Θ có tính chất tích Để chứng minh định lý ta sử dụng bổ đề sau: Bổ đề 2.2.1 Giả sử G ∈ Θ cho α : [0, 1] → G đường cong liên tục với l = ldG (α) < ∞ Khi đó, với ε > tồn song ánh tăng p : [0, 1] → [0, 1] cho ldG ((α ◦ p) | [t1 , t2 ]) ≤ (l + ε) (t2 − t1 ) , ≤ t1 ≤ t2 ≤ Chứng minh Lấy p (t) = q −1 (t (l + ε)) , ≤ t ≤ 1, q (u) = εu + ldG (α| [0, u]) , ≤ u ≤ Cố định zj , zj ∈ Gj , ε > cho αj : [0, 1] → Gj đường cong liên tục cho αj (0) = zj , αj (1) = zj , lj − diGj (z j , z j ) ≤ ε, lj = ldGj (αj ) Theo bổ đề 2.2.1, ta giả sử ldGj (αj | [t1 , t2 ]) ≤ (lj + εj ) (t2 − t1 ) , ≤ t1 ≤ t2 ≤ Giả sử l1 ≥ l2 , ta cần ldG1 ×G2 (α1 × α2 ) ≤ l1 + ε Lấy N ∈ N = t0 < < tN = Khi N dG1 ×G2 ((α1 (tj−1 ) , α2 (tj−1 )) , (α1 (tj ) , α2 (tj ))) j=1 N max {dG1 ((α1 (tj−1 ) , α1 (tj )) , dG2 (α1 (tj−1 ) , α2 (tj ))) = j=1 N ≤ max {(l1 + ε) (tj − tj−1 ) , (l2 + ε) (tj − tj−1 )} = l j=1 38 Định lí 2.2.2 Cho δ = (δG )G∈Θ hệ Schwarz – Pick giả metric Giả sử, với G1 , G2 ∈ Θ, δ có tính chất tích G1 × G2 δGj nửa liên tục (j = 1, 2) ( trường hợp đặc biệt δG1 ×G2 nửa liên tục trên) Khi với zj , zj ∈ Gj ta có: δG1 ×G2 ((z , z ) , (z , z )) = max δG2 (z , z ) δG1 (z , z ) , Chứng minh Cố định zj , zj ∈ Gj , ε > 0, cho αj : [0, 1] → Gj đường cong lớp C với αj (0) = zj , αj (1) = zj ; δGJ (αj (t) ; α˙ j (t)) dt − lj < ε, lj = δGj (z j , z j ) Giả sử l1 ≥ l2 cho bj = [0, 1] → R∗+ hàm liên tục cho bj ≥ δGj (αj , α˙ j ) , j = 1, Tập b2 (t) dt ≤ l1 + ε b1 (t) dt = 0 s bj (t) dt, ≤ s ≤ (j = 1, 2) Bj (s) = B = B2−1 ◦ B1 : [0, 1] → [0, 1] , α ˜ = α2 ◦ B Điều đủ để chứng minh δG1 ×G2 (α1 (t) , α ˜ (t)) ; α˙ (t) ,˜˙α2 (t) dt ≤ l1 + ε 39 Ta có ˜ (t)) ; α˙ (t) ,˜˙α2 (t) dt δG1 ×G2 (α1 (t) , α = max{δG1 (α1 (t) , α˙ (t)) , B (t) δG2 (α2 (B (t)) , α˙ (B (t))) }dt b1 (t) dt ≤ l1 + ε max {b1 (t) , B (t) b2 (B (t))}dt = ≤ 0 Sau đây, xem xét tính chất tích cho giả khoảng cách giả metric c, c∗ , ci , k, k ∗ , γ H L Royden (xem [8]) chứng minh chứng minh định lý sau: Định lí 2.2.3 Giả metric Kobayashi - Royden K có tính chất tích Giả khoảng cách k ∗ có tính chất tích Giả khoảng cách Kobayashi k có tính chất tích Từ định lý 2.1.1 ta có hệ quan trọng sau Hệ 2.2.1 Nếu G1 , G2 song chỉnh hình với miền lồi hệ Schwarz – Pick có tính chất tích G1 × G2 M Jarnicki P Pflug (xem [2]) chứng minh định lý sau: Định lí 2.2.4 Giả khoảng cách Carathéodory c có tính chất tích Trong trường hợp đặc biệt, Giả khoảng cách Mă obius c cú tớnh cht tớch Gi khong cỏch Carathéodory ci có tính chất tích Giả metric Carathéodory - Reiffen γ có tính chất tích Câu hỏi đặt liệu hàm Green phức giả metric Azukawa chất tích? Chúng tơi đưa kết sau M Jarnicki P Pflug (xem [3]) chứng minh định lý sau 40 Định lí 2.2.5 Với miền chỉnh hình G1 , G2 , g có tính chất tích G1 × G2 Trường hợp đặc biệt, G1 , G2 miền chỉnh hình giả metric Azukawa A có tính chất tích G1 × G2 Tính chất tích cho giả metric Sibony câu hỏi mở? Theo ví dụ 2.1.10 ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2.2.2 Cho Gj miền Reinhardt đầy Cn với |z1 |t , znj t ∈ Gj z1 , , znj ∈ Gj , t > 0, j = 1, Khi (p) mG1 ×G2 ((0, 0) , (z1 , z2 ))    (k) mG1 (0, z1 ) = max   k (p−k) mG2 p−k (0, z2 )    p : k = 0, , p   với (z1 , z2 ) ∈ G1 × G2 , m(0) = Trong trường hợp đặc biệt, m(p) γ (p) với p ≥ khơng có tính chất tích ( lấy G1 = (z1 , z2 ) ∈ C2 : z1 z2p−2 < , G2 = E ) Nhận xét 2.2.2 Từ ví dụ trên, ta tính chất tích m(p) γ (p) sau: (p) mG1 ×G2 ((z , z ) , (z , z ))    k (k) (p−k) = max mG1 (z , z ) mG2 (z , z )   p−k    p : k = 0, , p   (p) γG1 ×G2 ((z1 , z2 ) , (X1 , X2 ))    k (k) (p−k) = max γG1 (z1 , X1 ) γG2 (z2 , X2 )   41 p−k    p : k = 0, , p   Chú ý, bất đẳng thức ≥ với p=1,2 tính chất tích Nhưng với p ≥ 2, chẵn tính chất tích khơng Ví dụ 2.2.3 Cho P = P (R) = λ ∈: Khi đó, với p ≥ với R < |λ| < R (R > 1) R ta có: (p) γP ×E ((a, 0) ; (1, Y ))       k (k) (p) p p−k γP (a; 1) Y > max : k = 0, , p = γP (a; 1)     (2.3) p−1 (p) a = a (R, p) = R p + , Y = Y (R, p) = γP (a, 1) Chứng minh Cố định p ≥ Theo ví dụ 2.1.9 (c) ta có a (k) γP (a; 1) = R 1 f (bk , −a) k , ≤ k ≤ p, (a, a) Ra (2.4) 2k bk = bk (R, p) = R p + ( trường hợp đặc biệt bp = a ) Theo (2.4) ta có max = a (k) γP (a; 1) p k Y p−k : k = 1, , p − p2 R (a, a) f (bk , −a) Ra × max p f (a, −a) Ra với k = 1, , p − Để ý f (bk , −a) Ra p f (a, −a) Ra R → ∞, (1 ≤ k ≤ p − 1) 42 −k → 2−k , p−k , Do       (k) (p) p−k p γP (a; 1) Y : k = 0, , p = γP (a; 1) max     R Theo (2.3), đặt h (λ, ξ) = α1 h1 (λ) ξ p−1 + αp hp (λ) , λ ∈ P¯ , ξ ∈ E, , −λ , hp (λ) = [f (a, λ)]p f R Rλ   p + Rp +  α1 = , αp = , R > 2  2 + Rp + + Rp + h1 (λ) = f (a, λ) f Rλ R , −λ , Khi ord(a,0) h = p α1 |h1 | + αp |hp | = ∂P Kéo theo, (p) γP ×E p ((a, 0) ; (1, Y ))   p 1  α1 f ≥ (a, a) a R Ra   , −a R p−1 f (a, −a) p + αp f Ra Để kết thúc chứng minh, ta cần  p−1   α1 f , −a f (a, −a) p + αp f  R Ra  → 43 R , −a      R [f (a, −a)]−1 , −a   p−1 1+2 p    R → ∞ Kết luận Luận văn trình bày cách hệ thống: • Hàm chỉnh hình biến, nhiều biến số tính chất hàm chỉnh hình • Hàm điều hòa đa điều hòa • Miền chỉnh hình miền giả lồi • Giả khoảng cách Carathéodory Kobayashi • Tính chất tích cho hệ Schwarz - Pick giả khoảng cách giả metric Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học tính chất tích giả khoảng cách giả metric 44 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2005), Hàm biến phức, Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [2] M Jarnicki and P Pflug (1989), The Carathéodory pseudodictance has the product property, Math Ann 285, 161 - 164 [3] M Jarnicki and P Pflug (1991), Some remarks on the product property for invariant pseudometrics, Proc Symp Pure Math Amer Math Soc 52, Part 2, 263 - 272 [4] M Jarnicki and P Pflug (1991), Invariant pseudodictance and pseudometrics completeness and product property, Proc Symp Pure Math Amer Math Soc 55, 170 - 187 [5] M Klimek (1985), Extremal plurisubharmonic functions and invriant Pseuddistances, Bull Soc Math France 113, 231 - 240 [6] K Klimek (1989), Infinitesimaal pseudometrics and the Schwarz Lemma, Proc Amer Math Soc 105, 134 - 140 [7] Kobayashi (1998), Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, v 318 [8] H L Royden (1971), Remarks on the Kobayashi metric, in: Lecture Notes in Math 185 Springer, 125 - 137 45 ... lại tính chất tích cho hệ Schwarz -Pick giả khoảng cách giả metric Với mong muốn tìm hiểu sâu tính chất tích giả khoảng cách giả metric, hướng dẫn TS Lê Tài Thu, tơi chọn đề tài: "Tính chất tích. .. 1.5 Giả khoảng cách Carathéodory giả khoảng cách Kobayashi 20 Chương Tính chất tích giả khoảng cách giả metric 25 2.1 Định nghĩa ví dụ 25 2.2 Tính chất tích. .. có lý thuyết số tốn ứng dụng Một nội dung nghiên cứu tính chất tích giả khoảng cách giả metric Giả khoảng cách giả metric gọi có tính chất tích : dG1 ×G2 ((z1 , z2 ), (z1 , z2 )) = max dG1 (z1