BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LƯU THỊ THÀNH ĐIỂM SUY BIẾN CỦA GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LƯU THỊ THÀNH ĐIỂM SUY BIẾN CỦA GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI TRÊN ĐA TẠP PHỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Tài Thu HÀ NỘI, 2017 Mục lục Phần mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình biến 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.3 Hàm điều hòa 16 1.3.1 Hàm nửa liên tục 16 1.3.2 Hàm điều hòa 17 1.4 Định lí Hartogs 20 1.5 Đa tạp phức 22 Chương Điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức 25 2.1 Giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức 25 2.2 Quỹ tích suy biến 27 2.3 Bổ đề Ahlfors 28 2.4 Đường cong hầu đóng 32 2.5 Tập giả lõm 35 2.6 Định lý Adachi - Suzuki 37 2.7 Quỹ tích điểm suy biến dọc theo đường cong 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Tài Thu Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc em, giúp đỡ em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, thầy phòng Sau đại học thầy trường Đại học sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, tháng 08 năm 2017 Tác giả Lưu Thị Thành Lời cam đoan Dưới hướng dẫn TS Lê Tài Thu luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài "Điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức" hoàn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu viết luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 08 năm 2017 Tác giả Lưu Thị Thành Phần mở đầu Lý chọn đề tài Shoshichi Kobayashi (1932 – 2012) nhà tốn học có đóng góp quan trọng lĩnh vực hình học vi phân nửa cuối kỉ XX Ông để lại di sản tốn học vơ lớn lĩnh vực hình học vi phân Một số sách Kobayashi tài liệu tham khảo có giá trị hình học vi phân hình học phức, mà số hai tập sách “Foundations of Differential Geometry”(1963 – 1969) ông Katsumi Nomizu đồng tác giả Lý thuyết không gian phức Hyperbolic Kobayashi xây dựng lần vào năm 70 kỉ XX, hướng nghiên cứu quan trọng giải tích phức Trong năm gần đây, lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau, nhà tốn học mở rộng vấn đề có liên quan giải nhiều toán đặt lĩnh vực Những cơng trình nghiên cứu thúc đẩy hướng nghiên cứu phát triển mạnh mẽ Giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Kobayashi giới thiệu năm 1967, từ hình thành hướng nghiên cứu giải tích phức gọi giải tích phức Hyperbolic Với mong muốn tìm hiểu sâu metric Kobayashi, định hướng TS Lê Tài Thu, chọn đề tài "Điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức" để thực luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Tốn Giải tích Bố cục luận văn gồm chương: Chương : Kiến thức chuẩn bị Chương : Điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại số kết biết điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu điểm suy biến giả metric Kobayashi đa tạp phức Phương pháp nghiên cứu • Áp dụng số phương pháp giải tích phức, vận dụng kết hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến • Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp tài liệu có Từ hệ thống lại vấn đề liên quan đến luận văn Dự kiến đóng góp luận văn Hệ thống lại số kết biết điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương hệ thống lại khái niệm: Hàm chỉnh hình, hàm điều hòa dưới, số tính chất hàm chỉnh hình hàm điều hòa Giới thiệu định lí Hartogs nhắc lại định nghĩa đa tạp phức Nội dung chọn lọc từ tài liệu số [1],[8] 1.1 Hàm chỉnh hình biến Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω ⊂ C tập tùy ý cho trước Một hàm biến phức Ω với giá trị phức ánh xạ f : Ω → C Hàm kí hiệu ω = f (z) , z ∈ Ω Ví dụ 1.1.1 Ánh xạ z → f (z) = az + b xác định hàm, gọi hàm nguyên tuyến tính C Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm f xác định tập tùy ý Ω ⊂ C với giá trị C z0 điểm tụ Ω hữu hạn điểm xa vô tận Số phức a ∈ C gọi giới hạn hàm f (z) z dần đến z0 viết lim f (z) = a, z→z0 với lân cận V a tồn lân cận U z0 cho f (z) ∈ V với z ∈ U ∩ Ω, z = z0 Hàm f gọi liên tục z0 hai điều kiện sau thỏa mãn (i) z0 điểm lập Ω Nói cách khác tồn lân cận U z0 (trong Ω) cho U ∩ Ω = {z0 } (ii) Nếu z0 không điểm lập Ω lim f (z) = f (z0 ) z→z0 Hàm f gọi liên tục Ω liên tục z ∈ Ω Hàm f gọi liên tục Ω nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z1 , z2 = ∞, z1 , z2 ∈ Ω, |z1 − z2 | < δ, |f (z2 ) − f (z1 )| < ε Rõ ràng f liên tục Ω hàm liên tục Ω Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm số f xác định miền Ω ⊂ C Xét giới hạn f (z + ∆z) − f (z) ; z, z + ∆z ∈ Ω ∆z→0 ∆z lim Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức df (z) f z , kí hiệu f (z) hay dz Như f (z + ∆z) − f (z) f (z) = lim ∆z→0 ∆z Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C− khả vi z Ví dụ 1.1.2 Cho hàm z2 ,z = f (z) = z−2 Khi f (z) = 2z (z − 2) − z z − 4z = ,z = (z − 2)2 (z − 2)2 Như f C− khả vi z = ≤ ε2 1 − |A (R)| |A (R1 )| ≤ A (R) ε2 b) Giả sử X đa tạp phức với metric hermitian ds2 ω dạng tương ứng Cho p điểm X U lân cận p với biên ∂U trơn khúc X Mặt khác, cho dãy đĩa ∆ (Rv ) bán kính Rv > cho lim Rv = ∞ (2.1) v→∞ xác định ∆ (Rv ) lân cận liên thông Dv z = với biên trơn khúc ∆ (Rv ) ánh xạ chỉnh hình fv : Dv → U thỏa mãn điều kiện sau: lim fv (0) = p, (2.2) fv (∂Dv ∩ ∆(Rv )) ⊂ ∂U (2.3) v→∞ Ta nói {fv } hội tụ tới ánh xạ chỉnh hình f : δ → U lân cận δ z = tồn số nguyên dương v0 cho δ ⊂ Dv , với v ≥ v0 dãy ánh xạ chỉnh hình {fv }v≥v0 hội tụ tới f δ Khi đó, ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.3.2 Dãy ánh xạ chỉnh hình {fv } có dãy hội tụ tới ánh xạ f ≡ p ∆ = ∆ (1), tồn dãy số nguyên vk > dãy số dương rk , < rk < Rvk , cho rk Lvk (rk ) = 0; lim = 0, k→∞ Rv k→∞ Av (rk ) k k lim < r < Rv , Dv (r) = Dv ∩ ∆ (r), fv∗ ω, Lv (r) = Av (r) = Dv (r) fv∗ ds ∂∆(r)∩Dv 30 (2.4) Chứng minh Giả sử {fv } khơng có dãy hội tụ tới f ≡ p ∆ Trước hết, ta chứng minh R > 1, Av (R) bị chặn số dương Xét dãy đồ thị: Gv = {(z, w) ∈ ∆ (R) × U |w = fv (z) , z ∈ Dv (R)} Từ công thức (2.3), Gv tập giải tích đóng chiều ∆ (R)×U Diện tích |Gv | Gv đo dσ = |dz|2 + ds2 cho i dz ∧ dz + fv∗ ω |Gv | = ≤ πR2 + Av (R) Dv (R) Vì thế, {Av (R)} có dãy bị chặn, {Gv } có dãy {Gvε } hội tụ tới tập giải tích đóng chiều tập compact ∆ (R) × U , từ định lý Oka - Nishino - Bishop (Xem [5],[4],[3]) Ngồi ra, lim Avk (R) = 0, giới hạn ∆ × V (p ∈ V k→∞ U ) ∆ × {p} Điều có nghĩa tồn số nguyên dương k0 cho ∆ ⊂ Dvk , với k ≥ k0 fv k hội tụ tới số f (z) ≡ p ∆, điều trái với giả thiết Do đó, {Av (R)} khơng có dãy dần tới 0, cụ thể tồn số dương A cho Av (R) > A, với v Bây giờ, xét metric cảm sinh fv∗ ds2 = hv (z) |dz|2 , Dv = D (Rv ) xác định giá trị hv (z) tới ∆ (Rv ) − Dv để hàm trơn khúc ∆ (Rv ) Khi đó, với < r < Rv , ta có: i hv (z) dz ∧ dz, Lv (r) = Av (r) = ∆(r) hv (z) |dz| ∂∆(r) 31 Cho {εk } dãy số dương dần tới Với k, từ công thức (2.1) ta lấy vk cho R vk 2π 2π < < log Rvk − log R = Avk (R) ε2k Aε2k dr r R Do đó, từ bổ đề 2.3.1, tồn rk ∈ R, Rvk thỏa mãn: Lvk (rk ) < εk Avk (rk ) (2.5) rk < R exp 2π Aε2k (2.6) Vì thế, ta lấy vk cho Rvk > kR exp 2π Aε2k , tồn rk thỏa mãn (2.5), (2.6) krk < Rvk cho lim k→∞ L vk Avk rk = k→∞ Rv k = lim 2.4 Đường cong hầu đóng Kí hiệu ω dạng metric hermitian ds2 X Định nghĩa 2.4.1 Nếu giả khoảng cách dM suy biến điểm p M tồn ánh xạ chỉnh hình f đĩa đơn vị ∆ cho |z| ≤ tới M Lv thỏa mãn điều kiện lim = gọi đường cong hầu đóng v→∞ Av M , với fv∗ ω, Lv = Av = ∆ fv∗ ds ∂∆ 32 Định lí 2.4.1 Nếu dM suy biến điểm p M tồn dãy ánh xạ chỉnh hình {fv } đĩa đơn vị ∆ cho |z| ≤ tới M thỏa mãn: (i) lim fv (0) = p, v→∞ (ii) lim dM fv ∆ = 0, Lv = 0, (iii) lim v→∞ Av dM (∗) đường kính * ứng với dM v→∞ fv∗ ω, Av = fv∗ ds Lv = ∆ ∂∆ Nhận xét 2.4.1 Ta có Mỗi dãy {fv } với tính chất (iii) định lý 2.4.1 gọi dãy đường cong hầu đóng M Từ điều kiện (i) (ii), hạn chế fv ∆ chứa tập q ∈ M |dM (p, q) = ⊂ SM (X) Như hệ định lý, ta thay {fv } dãy cần tìm dòng dương đóng T song bậc (n − 1, n − 1), có giá SM (X), giới hạn T (ϕ) = lim v→∞ ∆ fv∗ ϕ với (1, 1) − dạng ϕ X Định lý 2.4.2 trường hợp đặc biệt định lý 2.4.1 (U = X) Định lí 2.4.2 Giả sử p thuộc M điểm suy biến dM U lận cận p với biên trơn khúc X Khi đó, tồn dãy ánh xạ chỉnh hình fv : Dv → U ∩ M bao đóng Dv lân cận Dv ⊂ ∆ chứa gốc z = thỏa mãn điều kiện sau: 33 (i) lim fv (0) = p , v→∞ (ii) lim dM fv Dv v→∞ = 0, fv (∆ ∩ ∂Dv ) ⊂ ∂U , Lv (U ) (iv) lim = 0, v→∞ Av (U ) Av (U ) = fv∗ ω, Lv (U ) = (iii) Dv fv∗ ds ∂∆∩Dv Chứng minh Từ bổ đề 2.2.1, tồn dãy ánh xạ chỉnh hình fv : ∆ (Rv ) → M thỏa mãn (i), (ii) (iii) Từ (iii), {fv } khơng có dãy hội tụ tới ánh xạ số f ≡ p lân cận z = Cho Dv thành phần liên thông fv−1 (U ) chứa điểm gốc z = Khi đó, ta có fv (∂Dv ∩ ∆ (Rv )) ⊂ ∂U Vì thế, ta áp dụng bổ đề 2.3.2 để dãy số nguyên dương {vk } dãy số dương {rk } thỏa mãn: rk = 0, k→∞ Rv k lim lim k→∞ Lvk (rk ) Avk (rk ) (2.7) = 0, (2.8) Lv (r) , Av (r) , Dv (r) bổ đề 2.3.2 Từ (2.7) kéo theo lim dM fvk Dvk (rk ) k→∞ = (2.9) Vì thế, đặt gk (z) = fvk (rk z) với z ∈ ∆ thay dãy {gk } {fv }, ta thu dãy ánh xạ chỉnh hình fv : ∆ → M thỏa mãn điều kiện (i)– (iv) 34 2.5 Tập giả lõm Định nghĩa 2.5.1 Tập đóng E X gọi tập giả lõm bậc 1, với lân cận tọa độ U cho |w1 | < 1, , |wn | < X số dương r, s với < r < 1, < s < cho U ∗ ∩ E = ∅, ta thu U ∩ E = ∅, U ∗ = {p ∈ U | |w1 (p)| ≤ r} ∪ p ∈ U |s ≤ max |wi (p)| 2≤i≤n Điều kiện tương đương với việc nói ϕ hàm đa điều hòa chặt lân cận U p thuộc E cho ϕ (p) = 0, ta ln có E ∩ {q ∈ U |ϕ (q) > 0} = ∅ Định nghĩa 2.5.2 Một metric hermitian (h) trờn a phc l metric Kă ahler nu thỏa mãn điều kiện sau đây: Truyền song song dọc theo đường cong ánh xạ tuyến tính phức, nghĩa giao hoán chuyển động với toán tử cấu trúc phức Bất kì metric hermitian đa tạp chiều metric Kă ahler nh lớ 2.5.1 Qu tớch suy bin S = SM (X) dM X tập giả lõm bậc X Chứng minh Cho V lân cận điểm p ∈ S X ϕ hàm đa điều hòa chặt V cho ϕ (p) = Giả sử S ∩ {q ∈ V |ϕ (q) > 0} = ∅ Cho W lân cận đóng p V đẳng cấu tới hình cầu 35 n |wi |2 ≤ 1, (wi (p) = 0, ≤ i ≤ n), ε số dương đủ bé cho i=1 n |wi |2 , ψ = ϕ + ε − 2ε i=1 đa điều hòa chặt lân cận W Khi đó, ta có ψ (p) = −ε < 0, ∂W ∩ {ψ ≥ 0} V ∩ {ϕ > 0} Cho ds2 l metric Kă ahler c xỏc nh bi = ddC ψ lân cận W Đặt U = W ∩ {ψ > 0} Theo định lý 2.4.2, tồn dãy ánh xạ chỉnh hình fv : Dv → U bao đóng Dv lân cận Dv z = ∆ tới U thỏa mãn điều kiện (i) –(iv) định lý 2.4.2 Từ (i) (ii), ta giả sử fv Dv ∩ ∂W ∩ {ψ ≥ 0} = ∅ Điều kéo theo fv (∂Dv ∩ ∆) ⊂ W ∩ {ψ = 0} ∂ψ (fv ) ds ≤ ∂n dC ψ (fv ) = ∂Dv ∩∆ ∂Dv ∩∆ Do đó, ddC ψ (fv ) = Av (U ) = Dv dC ψ (fv ) ∂Dv dC ψ (fv ) dC ψ (fv ) + = ∂Dv ∩∆ ∂∆∩Dv 36 dC ψ (fv ) = O (Lv (U )) ≤ ∂∆∩Dv Điều mâu thuẫn với điều kiện (iv) 2.6 Định lý Adachi - Suzuki Giả sử S mặt Riemann V miền compact tương đối không compact S với biên trơn Biên ∂V hợp thành số hữu hạn đường cong đóng trơn α1 , , αl Cho ds2 metric bảo giác S ω dạng tương ứng S Giả sử tồn dãy ánh xạ chỉnh hình fv : Dv → V miền đóng Dv ∆ = {z ∈ C: |z| ≤ 1} tới V thỏa mãn: (i) (ii) fv (∂Dv ∩ ∆) ⊂ ∂V , Lv lim = 0, v→∞ Av fv∗ ω, Lv = Av = Dv fv∗ ds ∂∆∩Dv Biên ∂Dv = fv−1 (∂V ) ∪ ∂∆ ∩ Dv hợp thành số hữu hạn đường cong trơn khúc trơn ∆ Với thành phần biên αi , (1 ≤ i ≤ l) V, số đường cong đóng fv−1 (αi ) ∩ ∆ kí hiệu ni (v) bậc nhỏ fv đường cong đóng kí hiệu mi (v) Nếu fv−1 (αi ) ∩ ∆ không chứa đường cong đóng, ta đặt mi (v) = ∞ Do đó, ≤ mi (v) ≤ ∞ Định nghĩa 2.6.1 Đặt mi = lim mi (v), ta nói dãy {fv } rẽ nhánh v→∞ mi bé dọc theo αi 37 Sau ta có định lý: Định lí 2.6.1 l 1− i=1 mi ≤ − 2g, (2.10) g genus V Đặc biệt g ≤ Chứng minh Diện tích độ dài ứng với ds fv∗ ds kí hiệu |.| đặc trưng Euler χ (.) Trước hết, l χ (Dv ) > − ni (v) (2.11) i=1 Từ định lý phủ thứ hai Ahlfors (Xem [7], trang 141), tồn số dương k1 phụ thuộc vào (V, ds) cho: fv−1 (αi ) |Dv | − |V | |αi | ≤ k1 |Lv | Điều kéo theo fv−1 (αi ) |Dv | ni (v) ≤ ≤ + k1 |Lv | |αi | mi (v) |V | mi (v) (2.12) Mặt khác, từ định lý Ahlfors (Xem [7], trang 148), tồn số dương k2 phụ thuộc vào (V, ds) cho: {χ (Dv ) , 0} ≤ |Dv | χ (V ) + k2 |Lv | |V | Từ (2.11), (2.12) (2.13), kéo theo l − i=1 |Dv | |Dv | ≤ (2 − 2g − l) + (lk1 + k2 ) |Lv | , |V | mi (v) |V | tức là, l 1− i=1 mi (v) ≤ − 2g + (lk1 + k2 ) |V | |Lv | |Dv | Chuyển qua giới hạn cho v → ∞, ta thu (2.10) 38 (2.13) 2.7 Quỹ tích điểm suy biến dọc theo đường cong Cho X đa tạp phức có chiều n ≥ 2, M miền X SM (X) quỹ tích suy biến giả khoảng cách Kobayashi dM M X Giả sử tồn tập giải tích chiều A X cho SM (X) ⊂ A Khi đó, từ định lý 2.5.1, SM (X) khác rỗng, SM (X) tập giải tích chiều X hợp thành phần bất khả quy A Định lí 2.7.1 Nếu SM (X) tập giải tích chiều X, thành phần bất khả quy SM (X) genus ≤ Chứng minh Cho E tập điểm suy biến SM (X) S thành phần bất khả quy SM (X) − E Ta xem S mặt Riemann Cho g genus S V miền compact tương đối không compact S với biên ∂V trơn cho V có genus g0 = {g, 2} Khi đó, tồn ánh xạ chỉnh hình π : W → SW lân cận W V X tới SW = S ∩ W cho W ∩ SM (X) = SW , (2.14) π|SW = id (2.15) Từ V trơn compact tương đối, ta lấy cặp (W, π) cho tồn phủ hữu hạn {Vα } SW , với α, ánh xạ chỉnh hình ϕα : Wα → Cn−1 , Wα = π −1 (Vα ) thỏa mãn điều kiện sau: (i) ϕα = Vα = S ∩ Wα , (ii) Φα = (π, ϕα ) đẳng cấu với Wα tới miền Vα × Γ, 39 Γ = {wi ∈ Cn−1 , i = 1, , n − 1||w1 |2 + + |wn−1 |2 < 1} hình cầu Cn−1 Để ds2 metric hermitian W thỏa mãn 4ds2 ≤ π ∗ dσ + α∗ |dw1 |2 + + |dwn−1 |2 , (2.16) Wα , dσ metric S cảm sinh ds2 Đặt U = x ∈ π −1 (V ) |ρ (x) ≤ ε , ρ (x) khoảng cách từ x tới S ds2 Lấy ε > đủ nhỏ, ta có U W Up = π −1 (p) ∩ U, p ∈ V đồng phơi tới hình cầu có chiều (2π − 2) Đặc biệt, K = x ∈ U |ρ (x) = ε compact Ta có, SM (X) ∩ K = ∅ từ (2.14) Do đó, từ bổ đề 2.2.2, tồn dãy ánh xạ chỉnh hình fv : ∆ (Rv ) → M thỏa mãn: lim Rv = ∞, (2.17) lim fv (0) = p ∈ V, (2.18) fv (0) = 1, (2.19) fv (∆ (Rv )) ∩ K = ∅ (2.20) v→∞ v→∞ 40 Cho Dv thành phần liên thông fv−1 (U ) chứa z = xét dãy ánh xạ hợp thành Fv = π ◦ fv : Dv → V Từ (2.18) (2.20) ta có: lim Fv (0) = p (2.21) Fv (∆ (Rv ) ∩ ∂Dv ) ⊂ ∂V (2.22) v→∞ Giả sử {Fv } có dãy Fvk hội tụ tới ánh xạ F (z) ≡ p ∆ = ∆ (1) Lấy Vα chứa p, tồn số nguyên dương v0 , cho Fv (∆) ⊂ Vα , với v ≥ v0 Từ (2.20) ảnh fv (∆) chứa Uα = U ∩ Wα đẳng cấu tới miền Vα × Γ Cn Ta có, lim Fvk (0) = p ∈ Vα k→∞ Do vậy, fvk có dãy hội tụ tới ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → Uα tập compact từ ∆ Do đó, ta thu ánh xạ chỉnh hình g = ϕα ◦f ∆ = {z ∈ C| |z| < 1} tới Γ = {wi ∈ Cn−1 , i = 1, 2, , n − 1||w1 |2 + + |wn−1 |2 < 1} với g (0) = Do đó, ta g (0) ≤ 1, g (0) chuẩn Ơclit vecto g (0) Mặt khác, từ Fvk hội tụ tới ánh xạ F ≡ p, từ (2.16) (2.19) ta thu g (0) ≥ f (0) = Điều vơ lý Do đó, {Fv } khơng có dãy hội tụ tới ánh xạ F (z) ≡ p ∆ Theo bổ đề 2.3.2, tồn dãy số nguyên dương vk dãy số 41 dương rk , < rk < Rk cho Lk = 0, k→∞ Ak lim đó, Fv∗ ω, Ak = k Fv∗ dσ, Lv = Dvk ∩∆(rk ) k ∂∆(rk )∩Dvk ω dạng metric dσ SW Do đó, từ định lý 2.6.1, ta xem g0 (= genus V )≤ Điều kéo theo g ≤ Ví dụ 2.7.1 Cho X = P (C) M = X − A A đường cong đại số X với thành phần bất khả quy Khi đó, quỹ tích suy biến SM (X) dM X toàn không gian X, đường cong đại số, tập rỗng Trường hợp thứ 2, theo định lý 2.7.1, thành phần bất khả quy SM (X) genus ≤ 42 Kết luận Qua trình tìm hiểu luận văn hồn thành nhiệm vụ nghiên cứu đề Luận văn tập trung nghiên cứu điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Các kết luận văn bao gồm: Luận văn trình bày cách hệ thống khái niệm: Hàm chỉnh hình, hàm điều hòa dưới, số tính chất hàm chỉnh hình hàm điều hòa Giới thiệu định lý Hartogs nhắc lại định nghĩa đa tạp phức Một số kết biết điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Do lực nghiên cứu trình độ thân tác giả hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện 43 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2005), Hàm biến phức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [2] Y Adachi and M Suzuki (1991), "Degeneracy Points of the Kobayashi Pseudodistances on Complex Manifolds", Procecdings of Symposi in Pure Mathematics volume 52, Part [3] E Bishop (1964), Conditions for the analyticity of certain sets, Michigan Math J 11, 289 - 304 [4] T Nishino (1962), Sur les familles de surfaces analytiques, J Math Kyoto Univ 1, 357 - 377 [5] K Oka (1934), Note sur les familles de fonctions analytiques multiformes etc, J Sci Hiroshima Univ 4,93 - 98 [6] H Royden (1971), Remarks on the Kobayashi metric, Proc Maryland Conference on Several Complex Variables, Lecture Notes in Math Vol 185, Springer-Verlag, Berlin and New York, pp.125-137 [7] L Sario and K Noshiro (1966), Value distribution theory, D Van Nostrand, Princeton [8] S Kobayashi (1967),Invariant distances on complex manifolds and holomorphic mappings, J Math Soc Japan 19, 460-480 44 ... kết biết điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Nội dung chọn lọc từ tài liệu số [2] 2.1 Giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Giả sử X, Y hai đa tạp phức Ta... suy biến, quỹ tích điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức Đối tượng phạm... nghiên cứu: Nghiên cứu điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến giả khoảng cách Kobayashi đa tạp phức • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu điểm suy biến giả metric Kobayashi đa tạp phức Phương pháp nghiên