1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Dưới vi phân Fréchet hàm khoảng cách 1.1 Các khái niệm 1.2 Ước luợng vi phân Fréchet hàm khoảng cách Dưới vi phân qua giới hạn hàm khoảng cách 2.1 Định nghĩa tính chất 16 16 2.2 Ước luợng vi phân qua giới hạn hàm khoảng cách Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng 19 30 3.1 Bài toán Fermat-Torricelli cổ điển 30 3.2 Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng Kết luận 32 37 MỞ ĐẦU Hàm khoảng cách đóng vai trị bật giải tích biến phân lý thuyết tối ưu Nó thường xuất sử dụng kỹ thuật phạt, xấp xỷ nhiễu để giải toán tối ưu, điều khiển tối ưu khảo sát tính chất ổn định hệ ràng buộc hệ biến phân chứa tham số (xem [1, 2, 3, 6]) Ngay liệu toán trơn hàm khoảng cách khơng trơn Vì thế, việc nghiên cứu tính chất vi phân suy rộng hàm khoảng cách cần thiết quan trọng Hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều nhà toán học A Shapiro (1987, 1988) tiến hành khảo sát tính chất khả vi theo hướng L Thibault (1991) đưa cơng thức tính vi phân Clarke Đối với vi phân Fréchet, số công thức ước lượng thiết lập điều kiện định A Jourani, L Thibault, J M Borwein, Nhiều kết liên quan khác tìm thấy nghiên cứu R T Rockafellar, F H Clarke, R B Vinter, A D Ioffe, R A Poliquin Gần đây, B S Mordukhovich N M Nam (2005) thu công thức ước lượng vi phân Fréchet vi phân qua giới hạn hàm khoảng cách mở rộng chúng Đặc biệt chúng sử dụng để khảo sát tính chất ổn định Lipschitz ánh xạ đa trị nghiên cứu thành cơng số tốn thực tế (xem [4, 5]) Với mục đích hệ thống lại, trình bày chi tiết phân tích số kết gần vi phân suy rộng hàm khoảng cách, tạo điều kiện thuận lợi cho việc tham khảo sử dụng chúng, sở báo Subgradient of distance functions with applications to Lipshitzian stability [Math Program Ser B 104, (2005) 635-668] số tài liệu liên quan, tiếp cận thực nghiên cứu đề tài "Vi phân suy rộng hàm khoảng cách ứng dụng" Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương Chương dành cho ước lượng khác vi phân Fréchet hàm khoảng cách mối liên hệ vi phân Fréchet hàm khoảng cách nón pháp tuyến Fréchet tập tương ứng Chương trình bày kết liên quan đến vi phân qua giới hạn hàm khoảng cách mối liên hệ chúng với nón pháp tuyến qua giới hạn Bài toán Fermat-Toricelli suy rộng ứng dụng kết trình bày phần trước vào việc khảo sát toán giới thiệu Chương Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy hướng dẫn Nhân dịp này, tác giả xin cám ơn Thầy Cô giáo tổ Giải tích, khoa Tốn, khoa Sau Đại học Trường Đại học Vinh, gia đình, bạn bè đồng nghiệp tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Phạm Thị Hiền CHƯƠNG DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET CỦA HÀM KHOẢNG CÁCH Chương trình bày số ước lượng vi phân Fréchet hàm khoảng cách mở rộng chúng, mối quan hệ nón pháp tuyến Fréchet tập hợp với vi phân hàm khoảng cách tương ứng với tập hợp 1.1 Các khái niệm Trong mục này, không nói thêm, khơng gian định chuẩn xét đến khơng gian Banach thực X có khơng gian đối ngẫu tôpô X ∗ Ω tập khác rỗng X 1.1.1 Định nghĩa (i) Với ε 0, tập ε− pháp tuyến Fréchet Ω x¯ ∈ Ω xác định x∗ , x − x¯ Nε x¯; Ω := x ∈ X | lim sup x − x¯ Ω x → x¯ ∗ ∗ ε , Ω x → x¯ nghĩa x → x¯ với x ∈ Ω Nếu x¯ ∈ / Ω Nε (¯ x; Ω) := ∅ với ε (ii) Khi ε = 0, tập N x¯; Ω := N0 x¯; Ω gọi nón pháp tuyến Fréchet tập Ω điểm x¯ ∈ Ω 1.1.2 Nhận xét Nếu Ω tập lồi X nón pháp tuyến Fréchet Ω x¯ trùng với nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi, tức N x¯; Ω = x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ 0, ∀x ∈ Ω 1.1.3 Định lý Cho X1 , X2 không gian Banach, Ωi tập Xi (i = 1, 2) (x1 , x2 ) ∈ Ω1 × Ω2 Khi đó, N (x1 , x2 ); Ω1 × Ω2 = N x1 ; Ω1 × N x2 ; Ω2 1.1.4 Định nghĩa Cho ϕ : X → R := [−∞, ∞] hàm số hữu hạn x¯ ∈ X (i) Với ε 0, tập hợp ∂ε ϕ(¯ x) := x∗ ∈ X ∗ lim inf x→¯ x ϕ(x) − ϕ(¯ x) − x∗ , x − x¯ x − x¯ −ε gọi ε-dưới vi phân Fréchet ϕ x¯ Nếu |ϕ(¯ x)| = +∞ ∂ε ϕ(¯ x) := ∅ với ε (ii) Khi ε = 0, tập ∂ϕ(¯ x) := ∂0 ϕ(¯ x) gọi vi phân Fréchet ϕ x¯ 1.1.5 Nhận xét Ta ln có N (¯ x; Ω) = ∂δ(¯ x; Ω), δ(x; Ω) := x ∈ Ω δ(x; Ω) := +∞ x ∈ X\Ω hàm Ω Nếu ϕ hàm lồi ∂ϕ(¯ x) trùng với vi phân theo nghĩa giải tích lồi, tức ∂ϕ(¯ x) = {x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − x¯ ϕ(x) − ϕ(¯ x) ∀x ∈ X} 1.1.6 Định nghĩa Cho Z, X không gian Banach F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị Ta nói F có tính chất Lipschitz-like quanh điểm (¯ z , x¯) ∈ gphF := (z, x) ∈ Z × X | x ∈ F (z) tồn > 0, W ∈ N (¯ z ) U ∈ N (¯ x) cho F (z1 ) ∩ U ⊂ F (z2 ) + z1 − z2 B, với z1 , z2 ∈ W , N (¯ z ) N (¯ x) tương ứng tập hợp tất lân cận mở z¯ x¯, B hình cầu đơn vị đóng X 1.1.7 Định lý (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ, ϕ : X → R ∪ {+∞} hàm thường, nửa liên tục bị chặn X Giả sử ε > x0 ∈ X thỏa mãn ϕ(x0 ) (i) ϕ(xλ ) inf ϕ + ε Khi đó, với λ > 0, tồn xλ ∈ X cho: X ϕ(x0 ); (ii) d(xλ , x0 ) λ; ε (iii) ϕ(x) + d(x, xλ ) > ϕ(xλ ) với x ∈ X\{xλ } λ 1.2 Ước luợng vi phân Fréchet hàm khoảng cách Mục trình bày số ước lượng vi phân Fréchet hàm khoảng cách mở rộng chúng 1.2.1 Mệnh đề Cho F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị không gian Banach, (¯ z , x¯) ∈ Z × X , r := d x¯; F (¯ z ) Fr mở rộng F , nghĩa Fr (z) := x ∈ X | d(x; F (z) r với z ∈ Z Khi đó, khẳng định sau ε ≥ (i) Nếu r = ∂ε ρ(¯ z , x¯) ⊂ (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯ z , x¯); gphFr , x∗ 1+ε (ii) Nếu r > ∂ε ρ(¯ z , x¯) ⊂ (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯ z , x¯); gphFr , − ε x∗ 1+ε Chứng minh Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ε ρ(¯ z , x¯) Với γ > 0, theo định nghĩa ε- gradient, tồn δ > cho z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) (1.1) +(ε + γ) z − z¯ + x − x¯ , với (z, x) ∈ intBδ (¯ z ) × intBδ (¯ x) Ta lưu ý (z, x) ∈ gphFr ρ(z, x) r = ρ(¯ z , x¯) Do đó, z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ (ε + γ)( z − z¯ + x − x¯ ), với (z, x) ∈ intBδ (¯ z ) × intBδ (¯ x) ∩ gphFr Điều có nghĩa (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯ z , x¯); gphFr Trong (1.1), đặt z = z¯, ta suy x∗ ∈ ∂ε d x¯, Ω với Ω := F (¯ z ) Điều kéo theo x∗ ≤ + ε hai trường hợp (i) (ii) Vì d(., Ω) hàm liên tục Lipschitz với modulus = Nếu r > trường hợp (ii), nhận x¯ ∈ / clΩ x∗ − ε + ε Mệnh đề chứng minh 1.2.2 Định lý Cho F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị có đồ thị đóng hàm khoảng cách ρ(z, x) := d x; F (z) (z ∈ Z, x ∈ X) Lipschitz địa phương quanh điểm (¯ z , x¯) ∈ Z × X với r = d x¯, F (¯ z ) , Z X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau ε ≥ đủ nhỏ (i) Nếu r = tồn α > khơng phụ thuộc vào ε cho z , x¯); gphF , x∗ (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯ + ε ⊂ ∂αε ρ(¯ z , x¯) (ii) Nếu r > tồn α > khơng phụ thuộc vào ε cho (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯ z , x¯); gphFr , − ε x∗ ≤ + ε ⊂ ∂αε ρ(¯ z , x¯) Chứng minh Đầu tiên chứng minh cho khẳng định (i) với r = Vì F có đồ thị đóng nên trường hợp Fr = F x¯ ∈ F (¯ z ) Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯ z , x¯), gphF thỏa mãn x∗ 1+ε Từ định nghĩa ε−pháp tuyến ta thu lim sup gphF z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ z − z¯ + x − x¯ ε (z,x)→(¯ z ,¯ x) Điều có nghĩa với γ > tồn δ > cho z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ (ε + γ)( z − z¯ + x − x¯ ), (1.2) với (z, x) ∈ [intBδ (¯ z ) × intBδ (¯ x)] ∩ gphF Đặt δ¯ := min{ 8( δ+1) , 1}, modulus Lipschitz ρ quanh (¯ x, y¯) Lấy (z, x) ∈ ¯ × B) Nếu (z, x) ∈ gphF ρ(z, x) = ta có (¯ z , x¯) + δ(B z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ (ε + γ)( z − z¯ + x − x¯ ) +ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) Nếu x ∈ / F (z) ta chọn x1 ∈ F (z) cho x − x1 ρ(z, x) + z − z¯ + x − x¯ Do đó, x − x1 ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) + z − z¯ + x − x¯ ≤ ( z − z¯ + x − x¯ ) + 2δ¯ δ¯ + 2δ¯ < 2δ Từ ta suy x1 − x¯ x1 − x + x − x¯ < δ Bây ta thay (z, x1 ) ∈ gphF vào (1.2), ta có z ∗ , z − z¯ + x∗ , x1 − x¯ (ε + γ)( z − z¯ + x1 − x¯ ) Từ quan hệ ta thu ước lượng z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ = z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x1 + x∗ , x1 − x¯ x∗ , x − x1 + (ε + γ) z − z¯ + x1 − x¯ x∗ , x − x1 + (ε + γ) x − x1 + z − z¯ + x − x¯ x∗ + ε + γ x − x1 + (ε + γ) z − z¯ + x − x¯ (1 + 2ε + γ) d x; F (z) + x − x¯ + z − z¯ +(ε + γ) z − z¯ + x − x¯ ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) + (1 + 2ε + γ) x − x¯ + ε(2 + 1) + γ( + 1) + z − z¯ z − z¯ + x − x¯ Cho (z, x) → (¯ z , x¯) hai trường hợp (z, x) ∈ gphF (z, x) ∈ / gphF, ta có ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) − z ∗ , z − z¯ − x∗ , x − x¯ lim inf ≥ −αε, z − z¯ + x − x¯ (z,x)→(¯ z ,¯ x) với α := + Do đó, (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂αε ρ(¯ z , x¯) Tiếp theo chứng minh (ii) Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ Nε (¯ z , x¯); gphFr với r = d x¯; F (¯ z ) > cho − ε x∗ + ε Với η > đủ nhỏ, tồn x0 cho x0 = x∗ , x0 ≥ − ε − η > Theo định nghĩa ε−pháp tuyến, tồn δ > để với (z, x) ∈ intBδ (¯ z ) × intBδ (¯ x) ∩ gphFr , ta có z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ (ε + η)( z − z¯ + x − x¯ ) (1.3) Vì hàm ρ Lipschitz địa phương quanh điểm (¯ z , x¯) ∈ gphFr nên hàm ρr (z, x) := d x, Fr (z) Lipschitz địa phương quanh điểm (¯ z , x¯) với modulus Lipschitz Do đó, sử dụng khẳng định (i) định lý, nhận (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂αε ρr (¯ z , x¯) với α > Do đó, tồn < δ1 < δ cho z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ d x; Fr (z) − d x¯; Fr (¯ z) (1.4) +(αε + η)( z − z¯ + x − x¯ ), với (z, x) ∈ Bδ1 (¯ z ) × Bδ1 (¯ x) Đặt δ¯ := δ1 +1 ¯ × B) Xét hai trường hợp sau (z, x): lấy (z, x) ∈ (¯ z , x¯) + δ(B (a) (z, x) ∈ / gphFr (b) (z, x) ∈ gphFr Trong trường hợp (a) có d x, F (z) > r Ta có d x, Fr (z) = d x, F (z) − r = ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) Do đó, từ (1.4) ta suy z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) + (αε + η)( z − z¯ + x − x¯ ) 10 Tiếp theo xét trường hợp (b) Ta có d x; F (z) r Đặt x := x + ρ(¯ z , x¯) − ρ(z, x) x0 Vì ρ(z, x) = d x; F (z) d x; F (z) + x − x = ρ(z, x) + ρ(¯ z , x¯) − ρ(z, x) x0 = ρ(z, x) + ρ(¯ z , x¯) − ρ(z, x) x0 ρ(z, x) + ρ(¯ z , x¯) − ρ(z, x) r, nên x ∈ Fr (z) Hơn nữa, x − x¯ x − x¯ + x − x = x − x¯ + ρ(¯ z , x¯) − ρ(z, x) x0 = x − x¯ + |ρ(¯ z , x¯) − ρ(z, x)| (1.5) x − x¯ + ( x − x¯ + z − z¯ ) δ¯ + δ¯ < δ Kết hợp (1.3) (1.5) ta thu z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ (ε + η)( x − x¯ + z − z¯ ) (ε + η) x − x¯ + z − z¯ + ( x − x¯ + z − z¯ ) (ε + η)( + 1)( x − x¯ + z − z¯ ) Từ ta suy z ∗ , z − z¯ + x∗ , x − x¯ (ε + η)( + 1)( x − x¯ + z − z¯ ) + x∗ , (ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯))x0 (ε + η)( + 1)( x − x¯ + z − z¯ ) + ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) (1 − ε − η) [(ε + η)(2 + 1)]( z − z¯ + x − x¯ ) + ρ(z, x) − ρ(¯ z , x¯) 24 2.2.5 Định lý Cho Z, X không gian Banach F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị có đồ thị đóng Giả sử ρ nửa liên tục lân cận (¯ z , x¯) ∈ gphF Khi đó, ∗ ∂ ∞ ρ(¯ z , x¯) = (z ∗ , 0) ∈ Z ∗ × X ∗ z ∗ ∈ DM F (¯ z , x¯)(0) (2.21) Chứng minh Theo định nghĩa vi phân qua giới hạn suy biến, ∂ ∞ ρ(¯ z , x¯) = Lim sup (2.22) λ∂ε ρ(z, x) ρ (z,x)→(¯ z ,¯ x);λ,ε↓0 Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ ρ(¯ z , x¯) Từ (2.22) ta suy tồn dãy εk ↓ 0, λk ↓ 0, ρ (zk , xk ) → (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂ε ρ(zk , xk ) cho λk (zk∗ , x∗k ) w∗ → (z ∗ , x∗ ) k → ∞ Ta xét hai trường hợp sau (i) {(zk , xk )} có dãy {(zki , xki )} ⊂ gphF Theo Mệnh đề 1.2.1(i), xki + εki (zk∗i , x∗ki ) ∈ Nεki (zki , xki ); gphF Do đó, (λki zk∗i , λki x∗ki ) ∈ Nλki εki (zki , xki ); gphF λki x∗ki → ∗ F (¯ Vì vậy, x∗ = z ∗ ∈ DM z , x¯)(0) (ii) (zk , xk ) ∈ gphF với k ∈ N đủ lớn Đặt ηk := ρ(zk , xk ) > Theo Định lý 1.2.7, tồn (vk , uk ) ∈ gphF cho zk − vk ηk , xk − uk ρ(zk , xk ) + ηk = 2ηk , (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk +ηk (vk , uk ); gphF − εk x∗k + εk ∗ F (¯ Tương tự trường hợp thứ ta suy x∗ = z ∗ ∈ DM z , x¯)(0) Vậy quan hệ "⊂" (2.21) ∗ F (¯ Tiếp theo chứng minh chiều ngược lại Lấy z ∗ ∈ DM z , x¯)(0) gphF Theo định nghĩa M -đối đạo hàm, tồn εk ↓ 0, (zk , xk ) −→ (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk (zk , xk ); gphF cho zk∗ w∗ −→ z ∗ x∗k → k → ∞ 25 Khơng tính tổng quát, ta giả sử ρ nửa liên tục (zk , xk ) Theo Bổ đề 2.2.4, (zk∗ , x∗k ) ∈ λk ∂ρ(zk , xk ) với λk = x∗k + εk + với k ∈ N k Vì λk ↓ nên (z ∗ , 0) ∈ ∂ ∞ ρ(¯ z , x¯) Định lý chứng minh 2.2.6 Định lý Cho (¯ z , x¯) ∈ gphF r = ρ(¯ z , x¯), F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị không gian Banach cho gphF gphFr đóng địa phương quanh (¯ z , x¯) Khi đó, ∗ ∂ ∞ ρ(¯ z , x¯) ⊂ (z ∗ , 0) ∈ Z ∗ × X ∗ : z ∗ ∈ DM Fr (¯ z , x¯)(0) (2.23) z , x¯) Khi đó, tồn dãy εk ↓ 0, Chứng minh Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ ρ(¯ ρ (zk , xk ) −→ (¯ z , x¯) với ρ(zk , xk ) ρ(¯ z , x¯) = r, (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂ε ρ(zk , xk ) λk ↓ cho λk (zk∗ , x∗k ) w∗ −→ (z ∗ , x∗ ) k → ∞ Khơng tính tổng qt ta giả sử (zk , xk ) ∈ gphF với k ∈ N Nếu tồn dãy (zki , xki ) cho ρ(zki , xki ) = r với i ∈ N, theo Mệnh đề 1.2.1, ta có x∗ki (zk∗i , x∗ki ) ∈ Nεki (zki , xki ); gphFr với − εki + εki Trong trường hợp cịn lại ta giả sử ρ(zk , xk ) > r với k ∈ N Lập luận tương tự chứng minh Định lý 2.2.1, ta tìm ηk ↓ gphFr (vk , uk ) −→ (¯ z , x¯) cho (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk +ηk (vk , uk ); gphFr với − εk Vì λk (zk∗ , x∗k ) ∈ Nλk (εk +ηk ) (vk , uk ); gphFr , λk zk∗ x∗k + εk w∗ → z ∗ λk x∗k → ∗ F (¯ k → ∞, nên x∗ = z ∗ ∈ DM ¯)(0) Điều có nghĩa r z, x (2.23) Ta có điều phải chứng minh 26 2.2.7 Định lý Cho Z , X không gian Banach, F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị có đồ thị đóng (¯ z , x¯) ∈ gphF Giả sử điều kiện đặt chỉnh (well-posedness condition) sau thỏa mãn: với bất ρ kỳ εk ↓ (zk , xk ) −→ (¯ z , x¯) cho ∂εk ρ(zk , xk ) = 0, tồn dãy yk ∈ Π zk , F (zk ) chứa dãy hội tụ Khi đó, khẳng định sau đúng: (i) Ta có (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯ z , y¯); gphF , x∗ ∂ρ(¯ z , x¯) ⊂ (2.24) y¯∈Π x ¯,F (¯ z) Nếu gphF SNC X (¯ z , y¯) mà y¯ ∈ Π x¯; F (¯ z ) (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯ z , y¯); gphF , = x∗ ∂ρ(¯ z , x¯) ⊂ y¯∈Π x ¯,F (¯ z) Hơn nữa, X hữu hạn chiều (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯ z , y¯); gphF , x∗ = ∂ρ(¯ z , x¯) ⊂ y¯∈Π x ¯,F (¯ z) (ii) Bao hàm thức sau đúng: ∂ ∞ ρ(¯ z , x¯) ⊂ ∗ (z ∗ , 0) z ∗ ∈ DM F (¯ z , y¯)(0) (2.25) y¯∈Π x ¯,F (¯ z) Chứng minh Để chứng minh (i), cần xét trường hợp ∂ρ(¯ z , x¯) = ∅ Lấy (z ∗ , x∗ ) w∗ ρ ∈ ∂ρ(¯ z , x¯) Khi đó, tồn εk ↓ 0, (zk , xk ) −→ (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) → (z ∗ , x∗ ) cho (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂ε ρ(zk , xk ) Nhờ giả thiết đặt chỉnh, cách thay dãy cần, ta giả sử tồn yk ∈ Π xk , F (zk ) hội tụ đến y¯ ∈ Π x¯, F (¯ z ) (zk , xk ) ∈ gphF với k ∈ N Do đó, theo Định lý 1.2.6, (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk (zk , yk ); gphF − εk x∗k + εk 27 Lấy giới hạn k → ∞, thu (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯ z , x¯); gphF với x∗ Điều chứng tỏ (2.24) Các kết luận khác (i) chứng minh cách tương tự Định lý 2.2.1(i) Tiếp theo chứng minh (ii) Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ ∞ ρ(¯ z , x¯) Khi ρ đó, tồn dãy εk ↓ 0, λk ↓ 0, (zk , xk ) → (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂εk ρ(zk , xk ) cho λk (zk∗ , x∗k ) w∗ → (z ∗ , x∗ ) k → ∞ Nhờ giả thiết tính đặt chỉnh, cách thay dãy cần, ta giả sử tồn yk ∈ Π(xk , F (zk )) hội tụ y¯ ∈ Π x¯, F (¯ z ) (zk , xk ) ∈ gphF với k ∈ N Do đó, theo Định lý 1.2.6, (zk∗ , x∗k ) ∈ Nεk (zk , yk ); gphF − εk x∗k + εk ∗ F (¯ z , y¯)(0) Vì λk x∗k → k → ∞ Từ suy x∗ = z ∗ ∈ DM Điều chứng tỏ (2.25) Định lý chứng minh 2.2.8 Hệ Cho Z không gian Banach, X không gian phản xạ có chuẩn Kadec, F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị có đồ thị đóng theo tơpơ tích T = T T × TW khơng gian Z × X , tôpô sinh chuẩn Z TW tôpô yếu khơng gian X Khi đó, với (¯ z , x¯) ∈ gphF , ta có Π x¯, F (¯ z ) = ∅ Hơn thế, hai bao hàm thức (2.24) (2.25) Chứng minh Vì gphF đóng theo tơpơ tích T nên đóng theo tơpơ sinh chuẩn khơng gian Z × X Do đó, theo Định lý 2.2.7, để chứng minh hệ quả, ta cần chứng minh tính chất đặt chỉnh Định lý 2.2.7 thỏa mãn giả thiết cho Vì F (¯ z) đóng yếu X khơng gian phản xạ nên Π x¯, F (¯ z ) = ∅ Lấy dãy ρ εk ↓ (zk , xk ) → (¯ z , x¯) với ∂εk ρ(zk , xk ) = ∅ với k ∈ N Khi đó, Π xk , F (zk ) = ∅ với k ∈ N Lấy yk ∈ Π xk , F (zk ) Ta có yk − xk = ρ(zk , xk ) ρ(zk , xk ) → ρ(¯ z , x¯) k → ∞ 28 Vì thế, dãy {yk } bị chặn X Do đó, nhờ giả thiết X khơng gian phản xạ, tồn dãy {yki } hội tụ yếu y¯ ∈ X Vì gphF đóng theo T , nên (¯ z , y¯) ∈ gphF Hơn nữa, x¯ − y¯ lim inf xki − yki = lim inf ρ(zki , xki ) = ρ(¯ z , x¯) i→∞ i→∞ Do đó, y¯ ∈ Π z¯; F (¯ x) Từ ta suy w xki − yki → x¯ − y¯ xki − yki → x¯ − y¯ i → ∞ Nhờ tính chất Kadec chuẩn, có yki − y¯ → 0, tức tính chất đặt chỉnh thỏa mãn Vậy ta có điều phải chứng minh 2.2.9 Hệ Cho Ω tập đóng không gian Banach X x¯ ∈ Ω Giả sử tính chất đặt chỉnh sau thỏa mãn: với dãy εk ↓ xk → x¯ mà ∂εk d(xk , Ω) = ∅, tồn dãy yk ∈ Π(xk , Ω) có dãy hội tụ (tính chất X khơng gian phản xạ với chuẩn Kadec Ω đóng yếu) Khi đó, N (¯ y , Ω) ∩ B∗ ∂d(¯ x, Ω) ⊂ (2.26) y¯∈Π(¯ x,Ω) Nếu Ω SNC y¯ ∈ Π(¯ x, Ω) N (¯ y , Ω) ∩ B∗ \{0} ∂d(¯ x, Ω) ⊂ y¯∈Π(¯ x,Ω) Hơn nữa, X hữu hạn chiều N (¯ y , Ω) ∩ S ∗ ∂d(¯ x, Ω) ⊂ y¯∈Π(¯ x,Ω) Chứng minh Dưới giả thiết cho, kết suy trực tiếp từ Định lý 2.2.7 Hệ 2.2.8 cách chọn F (.) = Ω 2.2.10 Định lý Cho Z không gian Asplund, X không gian Hilbert, F : Z ⇒ X ánh xạ đa trị có đồ thị đóng 29 (¯ z , x¯) ∈ / gphF với Π x¯; F (¯ z ) = ∅ Giả sử ρ nửa liên tục quanh điểm (¯ z , x¯) Khi đó, ∂ρ(¯ z , x¯) ∩ (Z ∗ × S ∗ ) ⊂ (z ∗ , x∗ ) ∈ N (¯ z , y¯); gphF , y¯∈Π x ¯;F (¯ y) x∗ = x¯ − y¯ , ρ(¯ z , x¯) (2.27) với X ∗ = X S ∗ = S ⊂ X Nói riêng ra, x¯ − y¯ , d(¯ x; Ω) ∂ d(¯ x; Ω) ∩ S ⊂ ∂d(¯ x; Ω) ∩ S ⊂ y¯∈Π(¯ x;Ω) (2.28) Ω tập đóng khơng gian Hilbert X x¯ ∈ / Ω thỏa mãn Π(¯ x; Ω) = ∅ Các bao hàm thức (2.28) trở thành đẳng thức miễn ∂d(¯ x; Ω) = ∅, trường hợp tập (2.28) tập điểm Hơn thế, X = Rn ∂ d(¯ x; Ω) ⊂ ∂d(¯ x; Ω) = y¯∈Π(¯ x;Ω) x¯ − y¯ , d(¯ x; Ω) (2.29) với x¯ ∈ / Ω Chứng minh Lấy (z ∗ , x∗ ) ∈ ∂ρ(¯ z , x¯) cho x∗ = Khi đó, Z X ρ không gian Asplund nên tồn (zk , xk ) → (¯ z , x¯) (zk∗ , x∗k ) w∗ → (z ∗ , x∗ ) cho (zk∗ , x∗k ) ∈ ∂ρ(zk , xk ), (zk , xk ) ∈ / gphF với k ∈ N Do đó, nhờ X khơng gian Hilbert, x∗k = xk −yk ρ(zk ,xk ) w với k ∈ N Vì x∗k → x∗ , x∗k = → x∗ = nên x∗k − x∗ → k → ∞ Từ suy yk − y¯ → k → ∞ y¯ := x¯ − ρ(¯ z , x¯)x∗ Vì gphF đóng theo x¯ − y¯ Bao hàm chuẩn x¯ − y¯ = ρ(¯ z , x¯) nên y¯ ∈ Π x¯; F (¯ z ) x∗ = ρ(¯ z , x¯) thức (2.27) suy từ (2.24) Định lý 2.2.7 Bao hàm thức (2.28) suy từ (2.27) với F (.) = Ω Đẳng thức (2.28)được thiết lập Rockafellar Wets (xem [6, Example 8.53]) 30 CHƯƠNG BÀI TOÁN FERMAT-TORRICELLI SUY RỘNG Trong chương này, sử dụng kết phần trước, khảo sát toán Fermat-Torricelli suy rộng Mục 3.1 dành để nhắc lại toán Fermat-Torricelli cổ điển lời giải Các kết liên quan đến tốn Fermat-Torricelli suy rộng trình bày Mục 3.2 3.1 Bài toán Fermat-Torricelli cổ điển Đầu kỷ 17, Pierre de Fermat đề xuất toán sau đây: "Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC Tìm điểm M cho T (M ) := M A + M B + M C đạt giá trị nhỏ nhất." Do giải Evangelista Torricelli, toán gọi Bài toán Fermat-Torricelli (cổ điển) Thế kỷ 19, Jakob Steiner mở rộng toán cho m điểm mặt phẳng: Cho m điểm M1 , M2 , , Mm mặt phẳng Tìm điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến điểm cho nhỏ Nhờ ứng dụng thực tế, toán Fermat-Torricelli mở rộng thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Trước khảo sát tốn Fermat-Torricelli suy rộng, tìm hiểu lời giải sơ cấp toán Fermat-Torricelli cổ điển Lời giải toán Fermat-Torricelli cổ điển: Ta xét hai trường hợp sau: 31 i) Trường hợp max{A, B, C} < 1200 Về phái ABC , dựng ACD Khi đó, với điểm M ∈ mp(ABC), ta có MA + MC M D Do đó, MA + MB + MC MB + MD BD Từ suy T (M ) đạt giá trị nhỏ MD = MA + MC BD = M B + M D Điều tương đương với AM B = BM C = CM A = 1200 1200 Khơng tính tổng quát, ta ii) Trường hợp max{A, B, C} giả sử A 1200 Xét khả sau điểm M a) M thuộc miền BAC Về phía ngồi giác ABE ACD Vì A cạnh M BD cạnh M BD Khi đó, ABC , dựng tam 1200 nên A nằm nằm M CE Chẳng hạn A nằm nằm MB + MD AB + AC Do đó, MA + MB + MC MB + MD AB + AC Vậy M A + M B + M C đạt giá trị nhỏ M A + M B + M C = AB + AC Điều xẩy M ≡ A b) M thuộc miền góc 1800 − BAC (các trường hợp khác chứng minh tương tự) Ta có M C > AC M A + M B > AB 32 Do đó, M A + M B + M C > AB + AC Kết luận: 1) Nếu max{A; B; C} < 1200 M A + M B + M C đạt giá trị nhỏ AM B = BM C = CM A = 1200 2) Nếu max{A; B; C} 1200 (chẳng hạn A 1200 ),thì M A + M B + M C đạt giá trị nhỏ M ≡ A 3.2 Bài toán Fermat-Torricelli suy rộng Trong mục này, khảo sát toán Fermat-Torricelli suy rộng sau đây: "Cho m tập đóng khác rỗng Ω1 , Ω2 , , Ωm Rn Tìm x ∈ Rn cho m T (x) := d(x; Ωi ) i=1 đạt giá trị nhỏ nhất." Ví dụ sau cho thấy rằng, khác với toán Fermat-Torricelli cổ điển, tốn Fermat-Torricelli suy rộng vơ nghiệm 3.2.1 Ví dụ Lấy Ω1 := (x1 , x2 ) ∈ R2 | x2 e x1 Ω2 := R × {0} Ta có Ω1 , Ω2 hai tập đóng khác rỗng, rời R2 Vì T (x) := d(x; Ω1 ) + d(x; Ω2 ) T (xj ) = d(xj ; Ω1 ) + d(xj ; Ω2 ) = e−j → j → ∞, xj := (−j, e−j ), nên inf T (x) = Tiếp theo ta chứng minh không x∈R tồn x ∈ R2 để T (x) = Thật vậy, giả sử tồn x¯ ∈ X cho T (¯ x) = Khi đó, d(¯ x; Ω1 ) = d(¯ x; Ω2 ) = Vì Ω1 Ω2 tập đóng nên x¯ ∈ Ω1 ∩ Ω2 Điều trái với giả thiết Ω1 ∩ Ω2 = ∅ Như vậy, toán Fermat-Torricelli suy rộng sau vơ nghiệm: Tìm x ∈ R2 cho T (x) := d(x; Ω1 ) + d(x; Ω2 ) đạt giá trị nhỏ 33 3.2.2 Định lý (Định lý tồn nghiệm) Giả sử có tập Ω1 , Ω2 , , Ωm bị chặn Khi đó, tốn Fermat-Torricelli suy rộng có nghiệm Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử Ω1 tập bị chặn Đặt α := infm T (x) K := x ∈ Rm | T (x) α + Vì T (x) x∈R liên tục nên K tập đóng Giả sử K khơng bị chặn Khi đó, tồn dãy {xi } ⊂ K cho xi → ∞ i → ∞ Vì Ω1 tập bị chặn, nên d(xj ; Ω1 ) → ∞ j → ∞ Mặt khác, T (xj ) d(xj ; Ω1 ) Do đó, T (xj ) → ∞ j → ∞ Điều mâu thuẫn với T (x) α + với x ∈ K Vậy K tập compact Từ suy ra, tồn x¯ ∈ K cho T (¯ x) = T (x) = infm T (x) x∈K x∈R Định lý chứng minh 3.2.3 Định lý Giả sử x¯ nghiệm tốn Fermat-Torricelli suy rộng Khi đó, m 0∈ (3.1) Ai (¯ x), i=1  x¯ − Π(¯ x; Ωi )    d(¯ x; Ωi ) Ai (¯ x) :=    N (¯ x; Ωi ) x¯ ∈ / Ωi , x ∈ Ωi ∩ B∗ , với i = 1, 2, , m Nếu thêm giả thiết Ωi (i = 1, 2, , m.) tập lồi, (3.1) điều kiện đủ để x¯ ngiệm toán Fermat-Torricelli suy rộng Chứng minh Giả sử x¯ nghiệm toán Fermat-Torricelli suy m rộng Khi đó, theo qui tắc Fermat, ∈ ∂T (¯ x) Vì T (x) = m d(x; Ωi ) Lipschitz nên ∂T (¯ x) ⊂ d(x; Ωi ) i=1 ∂d(¯ x; Ωi ) Mặt khác, i=1 ∂d(¯ xi , Ω) ⊂ Ai (¯ x), 34 với i = 1, 2, , m Từ ta suy ∈ m x) i=1 Ai (¯ Trong trường hợp Ωi (i = 1, 2, , m.) tập lồi, ta có d(x; Ωi ) (i = 1, 2, , m) hàm lồi liên tục Theo Định lý Moreau - Rockafellar, m ∂T (¯ x) = ∂d(¯ x; Ωi ) i=1 Hơn thế, ∂d(¯ xi , Ω) = Ai (¯ x) với i = 1, 2, , m Để ý toán Fermat-Torricelli suy rộng lúc tốn qui hoạch lồi Do đó, điều kiện cần cực trị (3.1) điều kiện đủ 3.2.4 Hệ Giả sử Ω1 , Ω2 , Ω3 ba tập đóng, khác rỗng, rời Rn x¯ nghiệm toán Fermat-Torricelli suy rộng với m = Khi đó, khẳng định sau (i) Nếu x¯ ∈ Ω1 tồn a2 ∈ A2 (¯ x) a3 ∈ A3 (¯ x) cho a2 , a3 − − a2 − a3 ∈ N (¯ x; Ω1 ) (3.2) (ii) Nếu x¯ ∈ / Ωi tồn ∈ Ai (¯ x) (i = 1, 2, 3) cho i=1 , aj = − với i = j i, j ∈ {1, 2, 3} (3.3) Hơn thế, thêm giả thiết Ω1 , Ω2 , Ω3 tập lồi, (3.2) (3.3) điều kiện đủ để x¯ nghiệm toán Fermat-Torricelli suy rộng Chứng minh Giả sử x¯ nghiệm toán Fermat-Torricelli suy rộng Theo Định lý 3.2.3, ∈ A1 (¯ x) + A2 (¯ x) + A3 (¯ x), (3.4)  x¯ − Π(¯ x; Ωi )    d(¯ x; Ωi ) Ai (¯ x) :=    N (¯ x; Ωi ) x¯ ∈ / Ωi , (3.5) x ∈ Ωi ∩ B∗ , 35 với i = 1, 2, (i) Giả sử x¯ ∈ Ω1 Vì Ω1 , Ω2 , Ω3 ba tập rời nên x¯ ∈ Ω2 x¯ ∈ Ω3 Nhờ (3.3) (3.3), tồn a2 ∈ A2 (¯ x) a3 ∈ A3 (¯ x) thỏa mãn a2 = a3 = − a2 − a3 ∈ N (¯ x; Ω1 ) ∩ B Vì a2 + a3 = a2 + a2 , a3 + a3 (3.6) = + a2 , a3 , nên −a2 − a3 ∈ B ⇔ a2 + a3 ⇔ a2 , a3 1 − Do đó, điều kiện (3.2) thay cho điều kiện (3.4) Ωi Khi đó, nhờ (3.3) (3.4), tồn ∈ Ai (x) (ii) Giả sử x¯ ∈ / i=1 (i = 1, 2, 3) thỏa mãn a1 = a2 = a3 = a1 + a2 + a3 = Do đó, a1 , a3 + a2 , a3 = a1 + a2 , a3 = − a3 , a3 = −1 Tương tự, ta có a1 , a2 + a1 , a3 = −1 a1 , a2 + a2 , a3 = −1 Từ đẳng thức thiết lập trên, ta suy a1 , a2 = a2 , a3 = a1 , a3 = − Như vậy, khẳng định (ii) chứng minh Trong trường hợp Ω1 , Ω2 , Ω3 lồi, toán Fermat-Torricelli suy rộng toán qui hoạch lồi Tương tự Định lý 3.2.3, ta có x¯ nghiệm toán (3.2) (3.3) thỏa mãn 36 3.2.5 Nhận xét Với kết vừa thiết lập, quay lại xét tốn Fermat-Torricelli cổ điển 1) Nếu (3.3) xẩy ra, chứng minh a1 = −−→ −−→ −−→ M A, a2 = M B a3 = M C MA MB MC Do đó, (3.3) điều kiện AM B = BM C = CM A = 1200 (nó xẩy max{A; B; C} < 1200 ) 2) Nếu (3.2) xẩy ra, M ≡ A, a2 = điều kiện A 1200 −→ −→ AB , a3 = AC (3.2) AB AC Như vậy, ta thu lại nghiệm toán Fermat-Torricelli cổ điển phương pháp khác với phương pháp trình bày Mục 3.1 37 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Hệ thống hóa chứng minh chi tiết kết liên quan đến ước lượng vi phân Fréchet vi phân qua giới hạn hàm khoảng cách mở rộng 2) Trình bày chứng minh mối quan hệ vi phân Fréchet, vi phân qua giới hạn hàm khoảng cách nón pháp tuyến tương ứng 3) Dựa kết liên quan đến ước lượng vi phân hàm khoảng cách số kết lý thuyết tối ưu, khảo sát toán Fermat-Toricelli suy rộng 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J F Bonnans, A Shapiro (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer, New York [2] J M Borwein, Q J Zhu (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, New York [3] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Generalized Differentiation, Volume I: Basic Theory, Springer, Berlin [4] B S Mordukhovich, N M Nam (2005), Subgradient of distance functions with applications to Lipschitzian stability, Math Program Ser.B 104, 635 - 668 [5] B S Mordukhovich, N M Nam (2011), Applications of variational analysis to a generalized Fermat-Torricelli problem, J Optim Theory Appl 148, 431-454 [6] R T Rockafellar, R J.-B Wets (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin ... VI PHÂN FRÉCHET CỦA HÀM KHOẢNG CÁCH Chương trình bày số ước lượng vi phân Fréchet hàm khoảng cách mở rộng chúng, mối quan hệ nón pháp tuyến Fréchet tập hợp với vi phân hàm khoảng cách tương ứng. .. hóa chứng minh chi tiết kết liên quan đến ước lượng vi phân Fréchet vi phân qua giới hạn hàm khoảng cách mở rộng 2) Trình bày chứng minh mối quan hệ vi phân Fréchet, vi phân qua giới hạn hàm khoảng. .. "Vi phân suy rộng hàm khoảng cách ứng dụng" Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương Chương dành cho ước lượng khác vi phân Fréchet hàm khoảng cách