BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGOAN VỀ SỐ PHẦN TỬ THỂ TÍCH HỮU HẠN XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ NGOAN VỀ SỐ PHẦN TỬ THỂ TÍCH HỮU HẠN XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS CUNG THẾ ANH HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội Qua xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường trang bị kiến thức tạo điều kiện tốt cho trình học tập nghiên cứu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS TS Cung Thế Anh, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ trình học tập Do thời gian trình độ hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Ngoan Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Về số phần tử thể tích hữu hạn xác định hệ Navier - Stokes hai chiều" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Ngoan Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev không gian hàm phụ thuộc thời gian 1.2 Giới thiệu hệ Navier-Stokes 1.3 Các không gian hàm toán tử 1.3.1 Các không gian hàm 1.3.2 Các toán tử 1.4 Đánh giá số hạng phi tuyến 11 1.5 Các kết tồn nghiệm đánh giá tiên nghiệm 13 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định hệ Navier – Stokes hai chiều 2.1 Khái niệm số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm 2.2 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm dừng 2.3 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm phụ thuộc thời gian 19 19 20 22 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 27 Mở đầu Lý chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes hệ phương trình học chất lỏng Việc nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ thời gian vô thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, xin xem chuyên khảo [1, 3, 4] Chúng ta biết dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier-Stokes hình hộp với điều kiện biên tuần hoàn xác định số hữu hạn phần tử thể tích hữu hạn xác định (determining finite volume elements), nghĩa phần tử thể tích hữu hạn xác định hai nghiệm hệ Navier-Stokes có dáng điệu tiệm cận giống hai nghiệm có dáng điệu giống thời gian vô cùng(xem [2, 5]) Việc đánh giá số phần tử thể tích hữu hạn xác định hệ Navier-Stokes hai chiều vấn đề quan trọng việc xác định dáng điệu tiệm cận hữu hạn chiều (finite-dimensional asymptotic behavior) hệ Navier-Stokes Bên cạnh việc đánh giá số mode xác định (determing modes), số nút xác định (determing nodes), cách tiếp cận hiệu cho toán xác định bậc tự (degrees of freedom) hệ Navier-Stokes Mục đích luận văn trình bày ước lượng [5, 6] số phần tử thể tích xác định hữu hạn hệ Navier-Stokes hai chiều trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Với mong muốn hiểu biết sâu hệ Navier-Stokes, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, chọn đề tài "Về số phần tử thể tích hữu hạn xác định hệ Navier-Stokes hai chiều" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc đánh giá số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm hệ Navier-Stokes hai chiều trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Nhiệm vụ nghiên cứu • Đánh giá chặn số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm dừng hệ Navier-Stokes hai chiều • Đánh giá chặn số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm phụ thuộc thời gian hệ Navier-Stokes hai chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier-Stokes hai chiều; • Phạm vi nghiên cứu: Đánh giá chặn số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều lí thuyết hệ Navier-Stokes Đóng góp luận văn Luận văn trình bày kết đánh giá chặn số phần tử thể tích xác định hữu hạn nghiệm dừng nghiệm phụ thuộc thời gian hệ Navier-Stokes hai chiều trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Ngoan Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau Các kết chủ yếu tham khảo [1, 3, 4] 1.1 Không gian Sobolev không gian hàm phụ thuộc thời gian Định nghĩa 1.1 Giả sử Ω miền bị chặn Rn Cho ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa không gian Lp (Ω) sau: • Với ≤ p < ∞, ta định nghĩa Lp (Ω) = |f (x)|p dx < ∞ f : f hàm đo Ω với chuẩn f p |f (x)|p dx = Ω p |f |p dx = p Ω • Với p = ∞, ta định nghĩa L∞ (Ω) = f : f hàm đo |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi, k > với chuẩn f ∞ = inf k > : |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi Định nghĩa 1.2 Cho k ≥ số nguyên không âm, ta định nghĩa không gian Sobolev H k (Ω) = u ∈ L2 (Ω) | Dα u ∈ L2 (Ω) , ∀ |α| = 0, , k , với chuẩn k u H k (Ω) |Dα u|2 dx = Ω |α|=0 Ở Dα u đạo hàm yếu cấp α u Định nghĩa 1.3 Ta định nghĩa không gian H01 (Ω) bổ sung đủ C0∞ (Ω), không gian hàm khả vi vô hạn có giá compact Ω, H (Ω) Trong H01 (Ω), ta thường sử dụng chuẩn tương đương sau u H01 (Ω) |∇u|2 dx = Ω Định nghĩa 1.4 Không gian đối ngẫu H01 (Ω) kí hiệu H −1 (Ω) Như vậy, f ∈ H −1 (Ω) f phiếm hàm tuyến tính bị chặn H01 (Ω) Nếu f ∈ H −1 (Ω) f H −1 (Ω) = sup f, u | u ∈ H01 (Ω), u H01 (Ω) ≤1 Ta viết f, u để kí hiệu giá trị f ∈ H −1 (Ω) u ∈ H01 (Ω) Định nghĩa 1.5 [[1]] Cho X không gian Banach thực với chuẩn · Không gian C ([0, T ] ; X) bao gồm tất hàm liên tục u : [0, T ] → X với u C([0,T ];X) := max u(t) < ∞ 0≤t≤T Định nghĩa 1.6 [[1]] Cho X không gian Banach thực với chuẩn · Không gian Lp (0, T ; X) bao gồm tất hàm đo u : [0, T ] → X với Bổ đề 1.4 Giả sử u ∈ L2 (0, T ; V ) Khi hàm Bu xác định Bu(t), v = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ V thuộc L1 (0, T ; V ) Chứng minh Với hầu khắp t ∈ [0, T ] , ta có Bu(t) ∈ V Hơn nữa, | Bu(t), v | = |b(u(t), u(t), v)| ≤ C u(t) Suy Bw V · v , ∀v ∈ V ≤ C w , với w ∈ V Do T t Bw V dt ≤ C w(t) V dt < +∞ Vậy Bu ∈ L1 (0, T ; V ) Từ ta có toán sau Bài toán Cho trước u0 ∈ H f ∈ L2 (0, T ; V ) Tìm hàm u ∈ L2 (0, T ; V ) thỏa mãn    u ∈ L1 (0, T ; V ) ,   u + νAu + Bu = f V với hầu khắp t ∈ (0, T ) ,     u(0) = u Bài toán Bài toán tương đương theo nghĩa u nghiệm toán nghiệm toán ngược lại 1.5 Các kết tồn nghiệm đánh giá tiên nghiệm Ta có kết tồn nghiệm toán (1.1) qua định lí sau Định lý 1.1 Cho trước u0 ∈ H f ∈ L2 (0, T ; V ) Khi Bài toán có nghiệm u thỏa mãn u ∈ C([0, T ]; H) ∩ L2 (0, T ; V ) 13 Chứng minh Ta chứng minh tồn nghiệm phương pháp xấp xỉ Galerkin Bước Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ Giả sử {wj }∞ j=1 sở V gồm toàn vectơ riêng toán tử A Với m ≥ 1, tìm nghiệm xấp xỉ dạng m m u (t) = gim (t)wi , i=1 gim thỏa mãn  m   du (t) , w + ν (um (t), w ) + b (um (t), um (t), w ) = f (t), w , j j j j dt   um (0) = u0m (1.4) với j = 1, , m Ở u0m = Pm u0 , với Pm phép chiếu từ H xuống span {w1 , , wm }, không gian sinh m vectơ riêng Từ lí thuyết phương trình vi phân thường suy nghiệm xấp xỉ um (t) tồn xác định [0, T ] Bước Xây dựng ước lượng tiên nghiệm {um } Nhân hai vế (1.4) với gjm (t), sau lấy tổng theo j từ đến m ta m u (t), um (t) + ν um (t) = f (t), um (t) Từ đây, sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta suy d m |u (t)| + 2ν um (t) dt ≤ f (t) um (t) ∗ ≤ ν um (t) + f (t) ν ∗ Do d m |u (t)| + ν um (t) ≤ f (t) 2∗ dt ν Lấy tích phân bất đẳng thức từ đến t, ≤ t ≤ T , ta t m m |u (t)| + ν u (s) t ds ≤ |u0m | + f (s) 2∗ ds ν T ≤ |u0 | + f (t) 2∗ dt ν 14 Từ suy ra: dãy {um } bị chặn L∞ (0, T ; H) dãy {um } bị chặn L2 (0, T ; V ) Dễ thấy {Aum } bị chặn L∞ (0, T ; V ), {Bum } bị chặn L2 (0, T ; V ) Vì dum = −νAum − Pm Bum + Pm f dt dum dt nên suy bị chặn L2 (0, T ; V ) Bước Chuyển qua giới hạn Từ ước lượng tiên nghiệm Bước 2, ta giả sử um u L2 (0, T ; V ); Aum Au L2 (0, T ; V ); du dum L2 (0, T ; V ) dt dt Bây ta cần chứng minh Bum Bu L2 (0, T ; V ) Sau đó, áp dụng Bổ đề Aubin-Lions, ta nhận dãy {um } mà ta kí hiệu {um } thỏa mãn um → u L2 (0, T ; H) Để qua giới hạn số hạng phi tuyến B, ta chứng minh kết sau Bổ đề 1.5 Giả sử um u L2 (0, T ; V ) um → u L2 (0, T ; H) Khi với w ∈ C (QT ) ta có T T m m b(u (t), u (t), w(t))dt → b(u(t), u(t), w(t), )dt 15 Chứng minh Ta có T T m m b (um , w,um (t))dt b(u (t), u (t), w(t))dt = − 0 T (um )i =− i,j=1 Ω ∂wj m (u )j dxdt ∂xi Do T T m m b(u , u , w)dt − b(u, u, w)dt = 0 T (um i − ui ) = i,j=1 Ω ∂wj ∂wj m uj + um (u − uj ) dxdt i ∂xi ∂xi j Bởi ta cần xét biểu thức dạng T (v m − v)wv m dxdt, Em = m Ω v → v L (0, T ; H), w ∈ L2 (0, T ; H) v m bị chặn L∞ (0, T ; H) Do wv m L2 (0,T ;H) ≤ w L2 (0,T ;H) vm L∞ (0,T ;H) nên Em → Từ suy bổ đề chứng minh Từ kết suy tồn hàm u ∈ L2 (0, T ; V ) ∩ L2 (0, T ; H) thỏa mãn du + νAu + Bu = f L2 (0, T ; V ) dt hay du (t) + νAu(t) + Bu(t) = f (t) V với hầu khắp t ∈ [0, T ] dt Để chứng minh u(0) = u0 , ta chọn hàm thử ϕ ∈ C ([0, T ]; V ) với ϕ(t) = 0, lấy tích vô hướng phương trình với ϕ, sau tích phân phần ta T − T (u(t), ϕ (t)) dt + ν T (u(t), ϕ(t)) dt+ T = (u (0) , ϕ (0)) + b (u(t), u(t), ϕ(t)) dt f (t) , ϕ (t) dt 16 Mặt khác, làm tương tự với nghiệm xấp xỉ Galerkin um ta có: T T m − (u (t), ϕ (t)) dt + ν T m b (um (t), um (t), ϕ(t)) dt (u (t), ϕ(t)) dt+ 0 T = (u (0) , ϕ (0)) + f (t) , ϕ (t) dt Sau chuyển qua giới hạn m → ∞ ta T − T (u(t), ϕ (t)) dt + ν T (u(t), ϕ(t)) dt+ b (u(t), u(t), ϕ(t)) dt T = (u (0) , ϕ (0)) + f (t) , ϕ (t) dt Từ suy (u (0) , ϕ (0)) = (u0 , ϕ (0)) với ϕ u(0) = u0 Bước Tính phụ thuộc liên tục nghiệm vào điều kiện ban đầu Giả sử u1 , u2 hai nghiệm toán cho với kiện ban đầu u01 , u02 Đặt u = u1 − u2 , ta có  u + νAu = −Bu + Bu  u (0) = u − u 01 02 Nhân hai vế phương trình với u ta có d |u (t)|2 + 2ν u (t) dt = −2b (u2 (t) , u2 (t) , u (t)) − 2b (u1 (t) , u1 (t) , u (t)) = −2b (u (t) , u2 (t) , u (t)) Sử dụng Bổ đề 1.2 ta có d |u (t)|2 + 2ν u (t) dt ≤ 2 |u (t)| u (t) ≤ 2ν u (t) Do u2 (t) + |u (t)|2 u2 (t) ν d |u (t)|2 ≤ |u (t)|2 u2 (t) dt ν 17 Suy t 2 |u (t)| ≤ |u (0)| exp Từ suy điều phải chứng minh 18 u2 (s) ds ν Chương Số phần tử thể tích hữu hạn xác định hệ Navier – Stokes hai chiều 2.1 Khái niệm số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm Xét hệ Navier – Stokes hai chiều (1.1) miền bị chặn Ω = (0, L) × (0, L) với điều kiện biên tuần hoàn Để biết dáng điệu trung bình địa phương vector tốc độ đặc trưng cho dòng chảy Ta chia miền L Ω thành N hình hộp có cạnh l = √ kí hiệu N Q1, Q2 , , QN Khi đó, giá trị trung bình nghiệm (1.1) hình hộp Qj N u Qj = u(x)dx, ≤ j ≤ N (2.1) L Qj Định nghĩa 2.1 Một tập hợp phần tử thể tích gọi xác định với hai nghiệm u v hệ (1.1) thỏa mãn lim ( u t→∞ Qj − v 19 Qj ) =0 ta có lim |u(t) − v(t)| = t→∞ 2.2 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm dừng Ở phần giả thiết lực f không phụ thuộc thời gian kí hiệu |f | Gr = G = λ1 ν Ta có định nghĩa nghiệm dừng hệ (1.1) sau Định nghĩa 2.2 Giả sử f ∈ H Hàm u ∈ D(A) thỏa mãn νAu + Bu = f H gọi nghiệm dừng hệ phương trình Navier -Stokes hai chiều (1.1) Nếu G đủ nhỏ hệ Navier -Stokes hai chiều (1.1) tồn nghiệm dừng nghiệm dừng ổn định mũ toàn cục (xem [1, trang 82 - 83]) Do ta giả sử thêm G >> Bổ đề 2.1 Với ω ∈ D(A) đặt γ (ω) = max | ω 1≤j≤N Qj | √ c1 L √ |Aω|; = sup |ω (x)| ≤ c 6N γ (ω) + ∞ N x∈Ω √ L2 |Aω|; |ω| ≤ 2Lγ (ω) + 6N √ L ω ≤ 6N γ (ω) + √ |Aω|, N √ 10 + với c1 = π ω Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Poincaré cho ω(x) ta có L2 |ω (x)| dx ≤ | ω N L2 Qj | + 6N |∇ω (x)|2 dx Qj Qj 20 (2.2) Lấy tổng theo j bất đẳng thức ta thu |ω|2 ≤ L2 γ (ω) + L2 ω 6N (2.3) Vì ω ≤ |ω||Aω| áp dụng bất đẳng thức Young ta thu (2.1) Áp dụng bất đẳng thức Agmon, ω 2∞ ≤ c21 |ω||Aω| áp dụng bất đẳng thức Young lần ta thu (2.1) Bây xét hệ Navier-Stokes hai chiều (1.1) với điều kiện biên tuần hoàn, tức số hạng phi tuyến thỏa mãn đồng thức (B (ω, ω) , Aω) = 0, ∀ω ∈ D (A) (2.4) Lấy đạo hàm theo hướng u đẳng thức theo biến ω ta thu đồng thức (B (u, ω) , Aω) + (B (ω, u) , Aω) + (B (ω, ω) , Au) = 0, ∀u, ω ∈ D (A) (2.5) Ta có kết sau Định lý 2.1 Cho u, v hai nghiệm dừng hệ (1.1) thỏa mãn u Khi đó, N ≥ Qj = v với ≤ j ≤ N Qj , √ √ 10 + 2π G u = v Chứng minh Đặt ω = u − v ω nghiệm phương trình sau νAω + B (u, ω) + B (ω, u) − B (ω, ω) = Lấy tích vô hướng với Aω sử dụng (2.4) ta ν|Aω|2 = − (B (ω, ω) , Au) Tiếp theo ta có ước lượng |(B (ω, ω) , Au)| ≤ Vì ν|Aω|2 ≤ √ √ ω 21 ω ∞ ∞ ω |Au| ω |Au| (2.6) Hơn nữa, (B (u, u) , Au) = nên |Au| ≤ |f | Từ (2.1) ý ν γ (ω) = 0, suy √ |Aω| ν − 2c1 L2 |f | 4νN ≤ 0, √ N ≥ c1 2π G từ bất đẳng thức ta suy |Aω| = 0, tức u = v Định lí chứng minh 2.3 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm phụ thuộc thời gian Trong phần mô tả dáng điệu nghiệm hệ NavierStokes (1.1) t → ∞ Trước tiên, ta chứng minh phiên tổng quát bất đẳng thức Gronwall Bổ đề 2.2 Cho α hàm giá trị thực khả tích địa phương (0, ∞), với < T < ∞ điều kiện sau thỏa mãn t+T α+ (τ ) dτ = γ > 0, lim inf t→∞ t t+T α− (τ ) dτ = Γ < ∞, lim sup t→∞ t với α− = max {−α, 0} Ngoài ra, cho β hàm giá trị thực khả tích địa phương (0, ∞) cho t+T β + (τ ) dτ = 0, lim t→∞ β + = max {β, 0} (2.7) t Giả sử ξ hàm không âm liên tục tuyệt đối (0, ∞) cho d ξ + αξ ≤ β dt h.k.n 22 (0, ∞) ξ (t) → t → ∞ Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, với < t ≤ t0   t  t t ≤ ξ (t) ≤ ξ (t0 ) exp − β + (τ ) exp − α (σ) dσ + t0  α (σ) dσ  dτ τ t0 Từ giả thiết α ta chọn t0 đủ lớn để với s ≥ t0 ta có s+T s+T α− (σ) dσ ≤ Γ + 1, α (σ) dσ ≥ s γ s Vì vậy, t0 ≤ τ ≤ t k nguyên cho τ + kT ≤ t ≤ τ + (k + 1) T ta có    τ +kT    t t exp − α (σ) dσ  = exp − α (σ) dσ  × exp − τ τ α (σ) dσ  τ +kT ≤ e−γk/2 eΓ+1 ≤ e−(γ/2)(t−τ )/2 eΓ+1+γ/2 = Γ e−(γ/2)(t−τ ) Chọn k0 nguyên cho t ≤ t0 + k0 T ≤ t + T Ta có t t0 +kT k0 β + (τ ) Γ e−(γ/2T )(t−τ ) dτ ≤ β + (τ ) Γ e−(γ/2T )(t−τ ) dτ k=1t +(k−1)T t0 t0 +kT k0 β + (τ ) Γ e−(γ/2T )(k0 T −kT −T ) dτ ≤ k=1t +(k−1)T t+T  eγ/2  β (τ ) dτ Γ e−1 + ≤ sup t≥t0  t Từ ta có t+T  t≥t0 eγ/2  β (τ ) dτ Γ e−1 + lim sup |ξ (t)| ≤ sup t→∞  t 23 Từ (2.7), t0 đủ bé nến đại lượng cuối làm bé tùy ý, bổ đề chứng minh Bây ta giả sử u, v tương ứng nghiệm phương trình NavierStokes du + νAu + B (u, u) = f (t) dt u (0) = u0 , dv + νAv + B (v, v) = g (t) dt v (0) = v0 Với f, g lực cho trước không gian L∞ (0, ∞; H) Ngoài ta giả sử lim |f − g| = t→∞ Định lý 2.2 Ngoài giả thiết trên, giả sử thêm lim t→∞ u Qj Khi đó, N≥ − v Qj = 0, ≤ j ≤ N √ 10 + 2 Gr2 , lim u (·, t) − v (·, t) t→∞ L2 (Ω) = Chứng minh Đặt ω = u − v, ω nghiệm phương trình sau dω + νAω + B (u, ω) + B (ω, u) − B (ω, ω) = f − g dt Lấy tích vô hướng (1.2) với Aw sử dụng (2.2), (2.4) - (2.6) ta có d w(t) dt |Aω|2 c L |Aω| √1 + ν |Au| − 2N ω ω ω √ ≤ c1 12N γ (ω) ω |Au| + |f − g||Au| Để áp dụng Bổ đề 2.2, ta đặt √ β(t) = c1 12N γ (ω) ω |Au| + |f − g||Au| 24 Tiếp theo từ ước lượng nghiệm trung bình thời gian |Au|, ta có t+T lim sup t→∞ T F2 F2 |Au| dτ ≤ + T ν λ1 ν t với T > từ giả thiết f, g u, v suy t+T β + (τ ) dτ → lim t→∞ t t → ∞ Đặt |Aω|2 c1 L |Aω| √ α=ν − |Au| 2N ω ω Cũng từ ước lượng trung bình thời gian |Au|, ta có t+T α− (τ ) dτ < ∞ lim sup (2.8) t→∞ t Tương tự, t+T lim inf t→∞ T α (τ ) dτ > (2.9) t N ≥ 4π c21 Gr2 với c1 cho Bổ đề 2.1 Vì áp dụng Bổ đề 2.2 suy ω → t → ∞ Định lí chứng minh 25 KẾT LUẬN Nội dung luận văn nghiên cứu việc đánh giá chặn số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Các kết luận văn bao gồm: Thiết lập kết đánh giá chặn số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm dừng Thiết lập kết đánh giá chặn số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm phụ thuộc thời gian Hà Nội, tháng 07 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Ngoan 26 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm, 2012 [A] Tài liệu Tiếng Anh [2] C Foias and E.S Titi, Determining nodes, finite difference schemes and inertial manifolds, Nonlinearity (1991), no.1, 135-153 [3] R Temam, Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, Second edition, SIAM, 1995 [4] R Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Second edition, Springer-Verlag, New York, 1997 [5] D.A Jones and E.S Titi, Determining finite volume elements for the 2D Navier-Stokes equations, Phys D 60 (1992), no.1-4, 165-174 [6] D.A Jones and E.S Titi, Upper bounds on the number of determining modes, nodes, and volume elements for the Navier-Stokes equations, Indiana Univ Math J 42 (1993), no.3, 875-887 27 ... Số phần tử thể tích hữu hạn xác định hệ Navier – Stokes hai chiều 2.1 Khái niệm số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm 2.2 Số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm dừng 2.3 Số phần tử. .. u2 (s) ds ν Chương Số phần tử thể tích hữu hạn xác định hệ Navier – Stokes hai chiều 2.1 Khái niệm số phần tử thể tích hữu hạn xác định nghiệm Xét hệ Navier – Stokes hai chiều (1.1) miền bị... xác định số hữu hạn phần tử thể tích hữu hạn xác định (determining finite volume elements), nghĩa phần tử thể tích hữu hạn xác định hai nghiệm hệ Navier- Stokes có dáng điệu tiệm cận giống hai