B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI ====== Lấ TH HNG TNH HT TRONG THI GIAN HU HN I VI H VI PHN CP PHN S Cể TRNG LUN VN THC S TON HC H NI, 2017 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI ====== Lấ TH HNG TNH HT TRONG THI GIAN HU HN I VI H VI PHN CP PHN S Cể TRNG Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS TS Trn ỡnh K H NI, 2017 LI CM N Nhõn dp lun c hon thnh em xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS TRN èNH K ó tn tỡnh hng dn em quỏ trỡnh thc hin lun ny Em xin chõn thnh cm n Ban Giỏm Hiu, Phũng sau i hc, cựng ton th cỏc thy giỏo, cụ giỏo Khoa Toỏn Trng i Hc S Phm H Ni ó ng viờn giỳp v to iu kin thun li em cú iu kin tt nht sut quỏ trỡnh hc tp, thc hin ti v nghiờn cu khoa hc Do thi gian v kin thc cú hn nờn lun khụng trỏnh nhng hn ch v thiu sút nht nh Em xin chõn thnh cm n ó nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy giỏo, cụ giỏo v cỏc bn hc viờn H Ni, ngy 19 thỏng 06 nm 2017 Tỏc gi Lờ Th Hng LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca PGS.TS Trn ỡnh K, lun tt nghip Tớnh hỳt thi gian hu hn i vi h vi phõn cp phõn s cú trng c hon thnh bi s nhn thc ca chớnh bn thõn tỏc gi v khụng trựng vi bt k lun no khỏc Trong quỏ trỡnh lm lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, ngy 19 thỏng 06 nm 2017 Tỏc gi Lờ Th Hng Mc lc M U 1 Kin thc chun b 1.1 Mt s khỏi nim ca lý thuyt na nhúm 1.2 Gii tớch phõn th cú trng 1.3 o khụng compact v ỏnh x nộn 5 11 iu kin tn ti nghim 14 2.1 Trng hp di tuyn tớnh 14 2.2 Trng hp trờn tuyn tớnh 17 Tớnh hỳt thi gian hu hn 19 3.1 Mt s iu kin 19 3.2 ng dng cho phng trỡnh o hm riờng 23 KT LUN 25 TI LIU THAM KHO 26 ii M U Lý chn ti Lý thuyt n nh cỏc h vi phõn xut phỏt t cỏc bi toỏn thc t, cú lch s phỏt trin hng th k t cụng trỡnh ca Lyapunov v ó t c nhng thnh tu quan trng Mt nhng hng phỏt trin ca lý thuyt ny l xem xột khỏi nim n nh thi gian hu hn Lý thuyt n nh cỏc h vi phõn thi gian hu hn ó tr thnh ch nghiờn cu sụi ng nhng nm gn õy Vi mong mun tip cn hng nghiờn cu ny, chỳng tụi chn ti Tớnh hỳt thi gian hu hn i vi h vi phõn cp phõn s cú trng Mc tiờu c th l xột tớnh hỳt thi gian hu hn ca im cõn bng ca h vi phõn bc phõn s dng D, u(t) = Au(t) + f (u(t)), t (0, T ], (0.1) ú D, l o hm Caputo cp (0, 1) vi trng w(t) = et , A l phn t sinh ca mt C0 -na nhúm trờn khụng gian Banach X v f l mt hm phi tuyn Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu tớnh hỳt v hỳt m thi gian hu hn ca nghim u = ca h vi phõn (0.1) Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu lý thuyt n nh thi gian hu hn cho cỏc h vi phõn; Tỡm hiu gii tớch bc phõn s, lý thuyt im bt ng cho cỏc ỏnh x nộn; Nghiờn cu tớnh hỳt v hỳt m ca h (0.1) i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờu cu: h vi phõn bc phõn s cú trng Phm vi nghiờn cu: iu kin m bo tớnh hỳt v hỳt m Phng phỏp nghiờn cu Lun s dng mt s cụng c ca gii tớch hm: Lý thuyt na nhúm; Gii tớch phõn th; Lý thuyt im bt ng D kin úng gúp mi Trỡnh by mt s kt qu gn õy v tớnh hỳt cho phng trỡnh vi phõn cp phõn s cú trng t Nhng nghiờn cu v h ng lc thi gian hu hn ó phỏt trin mnh hai thp k qua Lý u tiờn l xem xột cỏc h vi phõn dng x (t) = f (t, x(t)), (0.2) ta ch thu thp c thụng tin ca h mt khong thi gian hu hn t [t0 , t1 ] Ngay c cú c thụng tin ca h (0.2) trờn c na trc thi gian, vic nghiờn cu dỏng iu nghim mt khong thi gian ngn t [t0 , t1 ] cng l mt ch thỳ v Khi nghiờn cu cỏc bi toỏn phỏt sinh t cỏc mng húa-sinh hc, x lý tớn hiu (vớ d, cỏc cụng trỡnh [9, 20, 22]), dỏng iu thi gian ngn ca trng thỏi úng vai trũ quan trng v cú ý ngha hn so vi dỏng iu tim cn t Cỏc nghiờn cu gn õy v a bt bin, tớnh cht lng phõn ca h ng lc sinh bi cỏc h vi phõn khong thi gian hu hn c trỡnh by cỏc cụng trỡnh [4, 7, 8, 11, 12, 15] Ngoi mt s kt qu v s m Lyapunov cho cỏc h ng lc thi gian hu hn ó c cp [9, 11, 25] Trong bi bỏo [10], Giesl v Rasmussen ó xut khỏi nim tớnh hỳt thi gian hu hn cho nghim ca phng trỡnh (0.2) trờn on [0, T ] vi hm trng thỏi x(ã) ly giỏ tr Rn C th, mt nghim ca (0.2) c gi l hỳt trờn on [0, T ] nu tn ti > cho vi mi nghim x(ã, ) ca (0.2) ng vi d kin ban u , ta cú x(T, ) à(T, à(0)) < à(0) , B (à(0))\{à(0)}, ú B (x0 ) l hỡnh cu tõm x0 bỏn kớnh Nu ta cú lim sup sup x(T, ) à(T, à(0)) < 1, B (à(0)) thỡ nghim c gi l hỳt m trờn on [0, T ] Mc ớch ca lun l nghiờn cu tớnh hỳt ca nghim ca lp phng trỡnh vi phõn D0, x(t) = Ax(t) + f (x(t)), (0.3) trờn on [0, T ], ú hm trng thỏi x(ã) nhn giỏ tr trờn mt khụng gian Banach X , D0, , (0, 1), > 0, l o hm cp phõn s cú trng loi Caputo (nh ngha 1.6 phn sau), A l mt toỏn t úng trờn X sinh mt na nhúm liờn tc mnh, f : X X l mt hm phi tuyn Gn õy, phng trỡnh vi phõn cp phõn s cú trng ó c s dng cỏc nghiờn cu v a-vt lý, vt liu xp, thy (xem [18, 19, 13]) Ngoi ra, cụng trỡnh [23] ó trỡnh by mt bi toỏn, ú gii tớch phõn th c m rng bng cỏch thờm hm trng cú th mụ t chớnh xỏc hn cỏc quỏ trỡnh ngu nhiờn Mt s kt qu v tn ti nghim v tớnh toỏn s cho phng trỡnh vi phõn cp phõn s cú trng ó c cp cỏc cụng trỡnh [2, 5, 16, 31] Tuy nhiờn, nhng kt qu v dỏng iu nghim cho lp phng trỡnh ny cũn ớt c bit n Trong lun ny, chỳng tụi s s dng nhng khỏi nim v h ng lc thi gian hu hn trỡnh by [10, 21] nghiờn cu dỏng iu nghim ca (0.3) Chng Kin thc chun b Gi s (X, ã ) l mt khụng gian Banach Sau õy, ta dựng ký hiu Lp (0, T ; X), p 1, ch khụng gian cỏc hm ly giỏ tr X , kh tớch bc p theo ngha Bochner trờn on [0, T ] Tp D Lp (0, T ; X) c gi l b chn tớch phõn nu tn ti hm Lp (0, T ) := Lp (0, T ; R) cho f D, f (t) (t) vi hu khp t [0, T ] Ký hiu L(X) l khụng gian Banach cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t X vo chớnh nú Mt h toỏn t {V (t)}t0 L(X) c gi l liờn tc theo chun nu hm t V (t) L(X) liờn tc trờn (0, ) 1.1 Mt s khỏi nim ca lý thuyt na nhúm nh ngha 1.1 Ta núi rng {S(t)}t0 l mt na nhúm cỏc ỏnh x tuyn tớnh b chn trờn X nu S(t) L(X) vi mi t v i) S(0) = I; ii) S(t)S(s) = S(t + s), t, s Na nhúm S(t) gi l mt C0 -na nhúm (hay na nhúm liờn tc mnh) nu lim S(t)x = x, x X t0+ (1.1) nh ngha 1.2 Gi s {S(t)}t0 l mt C0 -na nhúm trờn X Ta nh ngha toỏn t sinh A ca nú nh sau: D(A) = x X : lim v Ax = lim h0+ h0+ S(h) I x tn ti X h S(h) I d+ (S(t)x) x= |t=0 , x D(A) h dt Chng iu kin tn ti nghim Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc kt qu v tn ti nghim tớch phõn cho bi toỏn Cụ-si Cỏc kt qu c trỡnh by da trờn ti liu [32] 2.1 Trng hp di tuyn tớnh Chỳng ta a cỏc iu kin sau cho phng trỡnh (0.3) (A) Na nhúm {S(t)}t0 sinh bi A liờn tc theo chun v b chn ton cc, tc l tn ti M cho S(t)x M x , t 0, x X; (F) Hm f : X X liờn tc v tha cỏc iu kin sau: (1) iu kin tng trng f (v) a + b v , v X, vi hu khp t [0, T ], ú a, b l cỏc s khụng õm; (2) Nu S(ã) khụng compact thỡ vi mi X , ta cú (f ()) k (), ú k R+ Chỳ ý 2.1 Chỳ ý rng iu kin (F)(2) c tha nu f liờn tc tuyt i (tc bin cỏc b chn thnh cỏc compact tng i) hoc l ỏnh x k -Lipschitz (xem [1]) 14 Vi X , ta nh ngha toỏn t nghim : C([0, T ]; X) C([0, T ]; X) nh sau t t (y)(t) = e (t s)1 e(ts) P (t s)f (y(s)) ds, S (t) + (2.1) hay tng ng, (y)(t) = et S (t) + Q Nf (y)(t), vi Q xỏc nh bi (1.9) v Nf (y)(t) = f (y(t)) vi y C([0, T ]; X) D dng kim tra c rng u l nghim tớch phõn ca (0.3) ng vi d kin ban u nu v ch nu nú l im bt ng ca toỏn t nghim Nh cỏc gi thit cho f , ta thy l mt ỏnh x liờn tc trờn C([0, T ]; X) B sau giỳp ta chng minh tớnh nộn ca B 2.1 Gi s cỏc gi thit (A) v (F) tha Khi ú t (()) (t s)1 e(+L)(ts) P (t s) sup 4k t[0,T ] ds (), vi mi b chn C([0, T ]; X) Chng minh Gi s l b chn C([0, T ]; X) Vi x , ta cú (x)(t) = et S (t) + Q Nf (x)(t); ú t (t s)1 e(ts) P (t s)f (x(s)) ds Q Nf (x)(t) = S dng Mnh 1.3, ta thy Q Nf () l liờn tc ng bc C([0, T ]; X) bi Nf () b chn tớch phõn t iu kin (F)(1) Do vy modC (()) = modC (Q Nf ()) = Mt khỏc, ta cú (()(t)) (Q Nf ()(t)), t Nh Mnh 1.6, ta nhn c t (t s)1 e(ts) (P (t s)f ((s)) ds (Q Nf ()(t)) 15 (2.2) Nu na nhúm S(ã) compact thỡ P (ã) cng compact theo Mnh 1.1 Khi ú biu thc cui trit tiờu Trng hp na nhúm khụng compact, theo (F)(2), ta cú t (t s)1 e(ts) P (t s) (Q Nf ()(t)) ã (f ((s)))ds t (t s)1 e(ts) P (t s) 4k ã ((s))ds T ú suy t Lt e (t s)1 e(+L)(ts) P (t s) (()(t)) 4k sup eLt ((t)) ds t[0,T ] (2.3) Kt hp (2.2) v (2.3), ta nhn c t (()) (t s)1 e(+L)(ts) P (t s) sup 4k t[0,T ] ds () B c chng minh Bõy gi ta chn s L (1.10) cho t (t s)1 e(+L)(ts) P (t s) 4k sup t[0,T ] ds < Sau õy l kt qu chớnh v tớnh gii c ca phng trỡnh (0.3) nh lý 2.2 Gi s cỏc gi thit (A) v (F) tha Khi ú bi toỏn Cụ-si ng vi phng trỡnh (0.3) cú nghim khỏc rng v compact Chng minh Theo B 2.1, l -nộn Hn na, vi mi x C([0, T ]; X), ta cú t (x)(t) et S (t) (t s)1 e(ts) P (t s) + f (x(s)) ds M et + M () t (t s)1 e(ts) (a + b x(s) ) ds Vỡ vy et (x)(t) M + aM bM I(t) + () () 16 t (t s)1 es x(s) ds, õy t (t s)1 es ds I(t) = (2.4) Chỳ ý rng t I(t) e t (t s)1 ds = t t e , ta nhn c t t e (t s)1 es x(s) ds, (x)(t) C1 + C2 (2.5) ú C1 = M + bM aM T T e , C2 = ( + 1) () t M = {x C([0, T ]; X) : et x(t) (t), t [0, T ]} ú l nghim nht ca phng trỡnh tớch phõn t (t s)1 (s)ds (t) = C1 + C2 Khi ú M l mt li, úng v b chn C([0, T ]; X) Ngoi ra, t iu kin (2.5) ta cú (M) M p dng nh lý 1.7 cho : M M, ta kt lun Fix() l khỏc rng v compact nh lý c chng minh 2.2 Trng hp trờn tuyn tớnh Chỳ ý rng, (F)(1) ta gi thit f tng trng di tuyn tớnh Trong trng hp ngc li ca f , ta cú kt qu sau õy nh lý 2.3 Gi s cú cỏc gi thit (A), (F)(2) Nu (F)(1) tn ti mt hm thc liờn tc, khụng gim cho f (v) ( v ), v X v s R > cho ( + 1)R M, ( + 1) + T (R) thỡ bi toỏn Cụ-si ng vi (0.3) cú ớt nht mt nghim tớch phõn 17 Chng minh Ta ch cn chng minh toỏn t nghim gi bt bin hỡnh cu BR C([0, T ]; X) Tht vy, vi x BR , ta cú t (x)(t) et S (t) + (t s)1 e(ts) P (t s) ( x(s) ) ds M (R)et I(t) M et + () MT M + (R) R, t [0, T ], ( + 1) ú I(t) c cho (2.4) Bt ng thc cui chng t (x) BR Mt ln na, ta cú kt lun nh ỏp dng nh lý 1.7 Chỳ ý 2.2 iu kin (F)(1) cho phộp hm phi tuyn tng trng trờn tuyn tớnh Vớ d, vi (r) = r2 , iu kin ny chuyn thnh M T R2 ( + 1)R + M ( + 1) Khi ú ta cú th chn R cho ( + 1) + ( + 1) R , MT MT = ( + 1) M T ( + 1) , l M T ( + 1) 18 Chng Tớnh hỳt thi gian hu hn Cỏc kt qu v tớnh hỳt thi gian hu hn s c trỡnh by chng ny, da trờn ti liu [32] 3.1 Mt s iu kin Ta s chng minh tớnh hỳt thi gian hu hn ca nghim khụng ca phng trỡnh (0.3) Ký hiu S() l nghim ca (0.3) ng vi d kin ban u Chỳ ý rng iu kin (F) khụng m bo tớnh nht nghim ca bi toỏn Cụ-si, ú S() cú th l hp a im Do ú ta s s dng khỏi nim hỳt thi gian hu hn cho nghim ca (0.3) nh sau nh ngha 3.1 Gi s : [0, T ] X l mt nghim ca phng trỡnh (0.3) (i) c gi l hỳt trờn [0, T ] nu tn ti > cho x(T, ) à(T, à(0)) < à(0) , (3.1) vi mi B (à(0))\{à(0)} v x S() (ii) c gi l hỳt m trờn on [0, T ] nu lim sup sup sup x(T, ) à(T, à(0)) < B (à(0)) xS() (3.2) D dng thy tớnh hỳt m suy tớnh hỳt B sau cho ta mt iu kin m bo tớnh hỳt m B 3.1 Cho C([0, T ]; X) l mt nghim ca (0.3) Khi ú hỳt m trờn on [0, T ] nu lim sup sup xS(à(0)+) x(T, à(0) + ) à(T, à(0)) < 19 (3.3) Chng minh Ta cú sup sup x(T, ) à(T, à(0)) B (à(0)) xS() = sup sup < xS(à(0)+) sup sup < xS(à(0)+) x(T, à(0) + ) à(T, à(0)) x(T, à(0) + ) à(T, à(0)) Do ú lim sup sup sup x(T, ) à(T, à(0)) B (à(0)) xS() lim sup sup xS(à(0)+) x(T, à(0) + ) à(T, à(0)) Vy bt ng thc (3.3) chớnh l iu kin cho tớnh hỳt m Trc tiờn ta xem xột trng hp n gin, ú l hm f cú tớnh cht Lipschitz C th ta gi s: (F*) hm f : X X tha tớnh cht f (x) f (y) k x y , x, y X nh lý 3.2 Gi s cỏc gi thit (A) v (F*) c tha Khi ú mi nghim ca (0.3) hỳt trờn [0, T ] nu ta cú M eT E (M kT ) < (3.4) Chng minh Chỳ ý iu kin (F*) suy (F)(1) v (F)(2) C th, ta thy f (x) k x + f (0) , x X, (f ()) k () vi mi b chn X Do ú vi mi X , tn ti nghim x(ã, ) ca (0.3) vi d kin ban u x(0) = theo nh lý 2.2 Gi s x(ã, ) v y(ã, ) l cỏc nghim ca (0.3) Khi ú x(t, ) y(t, ) M et + M () M e t t (t s)1 e(ts) f (x(s, )) f (y(s, )) ds Mk + () 20 t (t s)1 e(ts) x(s, ) y(s, ) ds Do vy e t Mk x(t, ) y(t, ) M + () t (t s)1 es x(s, ) y(s, ) ds S dng bt ng thc Gronwall k d, ta cú et x(t, ) y(t, ) M E (M kt ) Bt ng thc cui chng t tớnh nht nghim ca (0.3) Hn na ta cú x(T, ) y(T, ) M eT E (M kT ) Vy mi nghim ca (0.3) hỳt thi gian hu hn, nh iu kin (3.4) Bõy gi ta xột trng hp f kh vi Frộchet, thay vỡ tha iu kin Lipschitz (F**) Hm f C (X) tha 1) f (0) = 0; 2) iu kin (F)(2); 3) iu kin (F)(1) cho bt phng trỡnh v(t) t M () (t s)1 (v(s)) ds, t [0, T ], ch cú nghim v = trờn [0, T ] Mnh 3.3 Gi s (A) v (F**) c tha Khi ú lim sup sup x(t, ) = xS() vi mi t [0, T ] Núi riờng, S(0) = {0} Chng minh Vi x S(), ta cú t t x(t, ) e S (t) (t s)1 e(ts) P (t s) f (x(s, )) ds + M M + () t (t s)1 ( x(s, ) ) ds, t [0, T ] Do vy lim sup sup xS() M x(t, ) () t (t s)1 (lim sup sup 0 21 xS() x(s, ) ) ds, bi vỡ (ã) khụng gim t v(t) = lim sup sup v(t) x(t, ) , ta cú xS() t M () (t s)1 (v(s)) ds, t [0, T ] S dng (F**)(3), ta cú v(t) = 0, t [0, T ] Mnh c chng minh S dng Mnh 3.3, ta s chng minh kt qu sau nh lý 3.4 Gi s (A) v (F**) c tha Khi ú nghim khụng ca (0.3) hỳt m trờn on [0, T ] nu M eT E (M Df (0) T ) < (3.5) Chng minh T nh lý giỏ tr trung bỡnh (xem [6, nh lý 3.2.7]), ta cú f (x) f (y) sup Df (y + (x y))(x y) [0,1] Thay y = 0, ta nhn dc f (x) f (0) sup Df (x) x (3.6) [0,1] Vi x S() thỡ t t x(t, ) = e (t s)1 e(ts) P (t s)[f (x(s, )) f (0)]ds S (t) + Do ú et x(t, ) S (t) t (t s)1 es P (t s) + sup Df (x(s, )) x(s, ) ds [0,1] M + t M () (t s)1 es sup Df (x(s, )) x(s, ) ds [0,1] bi ta cú ỏnh giỏ (3.6) Vy et x(t, ) xS() lim sup sup M+ M () t es x(s, ) ds, xS() (t s)1 Df (0) lim sup sup 0 22 Mnh 3.3 S dng bt ng thc Gronwall k d mt ln na, ta nhn c et x(t, ) M E (M Df (0) t ), t [0, T ] xS() lim sup sup T ú suy lim sup sup xS() x(T, ) M eT E (M Df (0) T ), v ta cú iu phi chng minh 3.2 ng dng cho phng trỡnh o hm riờng Gi s RN l mt b chn cú biờn trn Xột phng trỡnh o hm riờng sau õy: t, u(x, t) = x u(x, t) + f(u(x, t)), (0, 1), t [0, T ], (3.7) vi iu kin biờn u = trờn , (3.8) u(x, 0) = (x), x (3.9) v iu kin ban u Trong mụ hỡnh ny, t, l o hm Caputo bc cú trng theo bin t, x l toỏn t Laplace theo bin x Xột X = C0 () = {v C() : v = trờn }, vi chun v = sup |v(x)| t A = vi xỏc nh x D(A) = {v C0 () H01 () : v C0 ()} Khi ú A sinh mt na nhúm gii tớch v compact {S(t)}t0 trờn X , tha S(t) 1, t (xem [27]) Khi ú, na nhúm {S(t)}t0 liờn tc theo chun v gi thit (A) c tha Xột hm f : R R, ta gi s N1) f C (R); N2) |f(z)| k ã z , z R, vi k > 23 Xột hm phi tuyn f : C0 () C0 () nh sau f (v)(x) = f(v(x)), v C0 () Khi ú f C (C0 ()) (xem [26][B 4.13]) Ngoi ra, (Df (v)h)(x) = f (v(x))h(x), v, h C0 (), f (v) k v vi mi v C0 () Do vy (F**) c tha vi k nh Hn na, d dng kim tra f (0) = 0, t ú suy Df (0) = Vy iu kin (3.5) c tha Vi cỏc iu kin t nh trờn cho (3.7), nghim khụng ca nú l hỳt trờn on [0, T ] vi mi T > 24 Kt lun Lun trỡnh by mt s kt qu v tớnh gii c v tớnh hỳt thi gian hu hn ca mt lp phng trỡnh vi phõn cp phõn s cú trng C th: Chng minh s tn ti nghim tớch phõn di cỏc gi thit khỏc v tng trng ca hm phi tuyn a iu kin cho tớnh hỳt ca nghim khụng di iu kin Lipschitz hoc iu kin kh vi ca hm phi tuyn ng dng cỏc kt qu nờu trờn cho mt lp phng trỡnh o hm riờng cp phõn s cú trng Lun cú th tip tc phỏt trin theo hng nghiờn cu tớnh hỳt,hỳt m thi gian hu hn ca cỏc h vi phõn cp phõn s cha tr 25 Ti liu tham kho [1] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii, Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin, 1992 [2] M.S Alrawashdeh, J.F Kelly, M.M Meerschaert, Applications of inverse tempered stable subordinators, Comput Math Appl (2016), doi:10.1016/j.camwa.2016.07.026 [3] N.T Anh, T.D Ke, Decay integral solutions for neutral fractional differential equations with infinite delays, Math Methods Appl Sci 38 (2015), 1601-1622 [4] A Berger, On finite-time hyperbolicity, Commun Pure Appl Anal 10 (2011), 963-981 [5] M Chen, W Deng, Discretized fractional substantial calculus, ESAIM Math Model Numer Anal 49 (2015), 373-394 [6] P Drỏbek, J Milota, Methods of Nonlinear Analysis Applications to Differential Equations, Birkhăauser Advanced Texts, Birkhăauser, Basel, 2007 [7] L.H Duc, S Siegmund, Hyperbolicity and invariant manifolds for planar nonautonomous systems on finite time intervals, Internat J Bifur Chaos 18 (2008), 641-674 [8] L.H Duc, S Siegmund, Existence of finite-time hyperbolic trajectories for planar Hamiltonian flows, J Dynam Differential Equations 23 (2011), 475-494 [9] L.H Duc, J.P Chỏvez, D.T Son, S Siegmund, Finite-time Lyapunov exponents and metabolic control coefficients for threshold detection of stimulus-response curves, J Biol Dyn 10 (2016), 379-394 26 [10] P Giesl, M Rasmussen, Areas of attraction for nonautonomous differential equations on finite time intervals J Math Anal Appl 390 (2012), 27-46 [11] G Haller, Distinguished material surfaces and coherent structures in three-dimensional fluid flows, Phys D 149 (2001), 248-277 [12] G Haller, A.C Poje, Finite time transport in aperiodic flows, Phys D 119 (1998), 352-380 [13] A Hanyga, Wave propagation in media with singular memory, Math Comput Model 34 (2001) 1399-1421 [14] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca, Condensing multivalued maps and semilinear differential inclusions in Banach spaces, de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2001 [15] D Karrasch, Linearization of hyperbolic finite-time processes, J Differential Equations 254 (2013), 256-282 [16] C Li, W.H Deng, L.J Zhao, Well-posedness and numerical algorithm for the tempered fractional ordinary differential equations, arXiv preprint arXiv:1501.00376, 2015 [17] F Mainardi, Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity, Imperial College Press, 2010 [18] M.M Meerschaert, F Sabzikar, M.S Phanikumar, A Zeleke, Tempered fractional time series model for turbulence in geophysical flows, Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment 14 (2014) 1742-5468 [19] M.M Meerschaert, Y Zhang, B Baeumer, Tempered anomalous diffusion in heterogeneous systems, Geophys Res Lett 35 (2008) L17403 [20] T Peacock, J Dabiri, Introduction to Focus Issue: Lagrangian Coherent Structures, Chaos 20 (2010), 017501 [21] M Rasmussen, Attractivity and Bifurcation for Nonautonomous Dynamical Systems, Lecture Notes in Mathematics 1907 Springer, Berlin, 2007 [22] K Rateitschak, O Wolkenhauer, Thresholds in transient dynamics of signal transduction pathways, J Theoret Biol 264 (2010), 334-346 27 [23] F Sabzikar, M.M Meerschaert, J.H Chen, Tempered fractional calculus, J Comput Phys 293 (2015), 14-28 [24] T.I Seidman, Invariance of the reachable set under nonlinear perturbations, SIAM J Control Optim 25 (5) (1987), 1173-1191 [25] S.C Shadden, F Lekien, J.E Marsden, Definition and properties of Lagrangian coherent structures from finite-time Lyapunov exponents in twodimensional aperiodic flows, Phys D 212 (2005), 271-304 [26] F Trăoltzsch, Optimal Control of Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 2010 [27] I.I Vrabie, C0 -Semigroups and Applications North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2003 [28] R.-N Wang, D.-H Chena, T.-J Xiao, Abstract fractional Cauchy problems with almost sectorial operators, J Differential Equations, 252 (2012), 202-235 [29] H Ye, J Gao and Y Ding, A generalized Gronwall inequality and its application to a fractional differential equation, J Math Anal Appl 328 (2007), 1075-1081 [30] Y Zhou, F Jiao, Existence of mild solutions for fractional neutral evolution equations, Comput Math Appl 59 (2010), 1063-1077 [31] Y Wang, J Xu, P.E Kloeden, Asymptotic behavior of stochastic lattice systems with a Caputo fractional time derivative, Nonlinear Anal 135 (2016), 205-222 [32] T.V Tuan, T.D Ke, Finite-time attractivity for semilinear tempered fractional differential equations, preprint 28 ... thi gian hu hn Lý thuyt n nh cỏc h vi phõn thi gian hu hn ó tr thnh ch nghiờn cu sụi ng nhng nm gn õy Vi mong mun tip cn hng nghiờn cu ny, chỳng tụi chn ti Tớnh hỳt thi gian hu hn i vi h vi. .. gian Banach X v f l mt hm phi tuyn Mc ớch nghiờn cu Nghiờn cu tớnh hỳt v hỳt m thi gian hu hn ca nghim u = ca h vi phõn (0.1) Nhim v nghiờn cu Tỡm hiu lý thuyt n nh thi gian hu hn cho cỏc h vi. ..B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM H NI ====== Lấ TH HNG TNH HT TRONG THI GIAN HU HN I VI H VI PHN CP PHN S Cể TRNG Chuyờn ngnh: Toỏn Gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S