BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THANH HƯƠNG VỀ SỐ NÚT XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THANH HƯƠNG VỀ SỐ NÚT XÁC ĐỊNH ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Cung Thế Anh HÀ NỘI, 2017 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu hệ Navier-Stokes 1.2 Các không gian hàm toán tử 1.2.1 Các không gian hàm 1.2.2 Các toán tử 1.3 Đánh giá số hạng phi tuyến 1.4 Các kết tồn đánh giá nghiệm 11 1.5 Một số kết thường dùng 16 1.5.1 Một số ước lượng 16 1.5.2 Một số bất đẳng thức 18 Chương Số nút xác định hệ Navier-Stokes hai chiều 21 2.1 Khái niệm số nút xác định nghiệm 21 2.2 Một số bổ đề 22 2.3 Số nút xác định nghiệm dừng 25 2.4 Số nút xác định nghiệm phụ thuộc thời gian 28 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cung Thế Anh Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa Tốn thầy giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Trần Thanh Hương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài "Về số nút xác định hệ Navier-Stokes hai chiều" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Trần Thanh Hương Mở đầu Lý chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes hệ phương trình học chất lỏng Việc nghiên cứu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ thời gian vô thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, xem chuyên khảo [1, 6, 7] Chúng ta biết dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier-Stokes xác định số hữu hạn nút xác định (determining nodes), nghĩa hai nghiệm hệ Navier-Stokes có dáng điệu giống tập rời rạc giá trị nút hai nghiệm có dáng điệu giống điểm miền, thời gian vô [2] Việc đánh giá số phần tử nút xác định vấn đề quan trọng việc xác định dáng điệu tiệm cận hữu hạn chiều (finitedimensional asymptotic behavior) hệ Navier-Stokes Hơn nữa, số nút xác định hữu hạn tập hút toàn cục hệ động lực tương ứng giải tích, kết Friz Robinson [3], ta tham số hóa tập hút tồn cục (là tập compact bất biến không gian pha, thường không gian vô hạn chiều) số hữu hạn tham số Mục đích luận văn trình bày ước lượng [4, 5] số nút xác định hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Với mong muốn hiểu biết sâu tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier-Stokes, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, chọn đề tài "Về số nút xác định hệ Navier-Stokes hai chiều" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc đánh giá số nút xác định nghiệm hệ NavierStokes hai chiều trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Nhiệm vụ nghiên cứu • Đánh giá chặn số nút xác định nghiệm dừng hệ Navier-Stokes hai chiều • Đánh giá chặn số nút xác định nghiệm phụ thuộc thời gian hệ Navier-Stokes hai chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier-Stokes hai chiều • Phạm vi nghiên cứu: Đánh giá chặn số nút xác định nghiệm hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Phương pháp nghiên cứu • Sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều lí thuyết hệ Navier-Stokes Đóng góp luận văn Thiết lập kết đánh giá chặn số nút xác định nghiệm dừng nghiệm phụ thuộc thời gian hệ Navier-Stokes hai chiều trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau Các kết chủ yếu tham khảo [1, 4] 1.1 Giới thiệu hệ Navier-Stokes Giả sử Ω miền bị chặn R2 với biên ∂Ω trơn Xét toán biên ban đầu hệ Navier-Stokes hai chiều cho chất lỏng nhớt không nén với điều kiện biên tuần hoàn miền Ω = (0, L) × (0, L) Ta kí hiệu f = f (x, t) hàm thể tích lực, u = u(x, t) hàm vectơ vận tốc, p = p(x, t) hàm áp suất, ν = const > hệ số nhớt, ta có   ∂u   − ν∆ u + (u · ∇)u + ∇p = f R2 × (0, ∞)   ∂t     ∇ · u = R2 × (0, ∞) (1.1)    u(x1 , x2 , t) = u(x1 , x2 + L, t)       u(x1 , x2 , t) = u(x1 + L, x2 , t), giả sử tích phân u f Ω bị triệt tiêu tất thời điểm (nghĩa u f có trung bình Ω) 1.2 Các khơng gian hàm tốn tử 1.2.1 Các không gian hàm Đặt V = u : R2 → R2 hàm nhận giá trị vector lượng giác với chu kì L, ∇ · u = 0, udx = Ω Ta kí hiệu không gian hàm V =V (H01 (Ω))2 H=V (L2 (Ω))2 = bao đóng V (H01 (Ω))2 , = bao đóng V (L2 (Ω))2 , L2 (Ω) = H (Ω) H l (Ω) (l = 1, 2, ), không gian Sobolev Ta thấy H không gian Hilbert với tích vơ hướng chuẩn tương ứng xác định u(x) · v(x)dx, (u, v) = |u(x)|2 dx |u| = Ω 1/2 , Ω u(x) · v(x) tích vơ hướng Euclide thơng thường Nhờ bổ đề Poincaré, V khơng gian Hilbert với tích vơ hướng chuẩn tương ứng xác định ((u, v)) = i,j Ω ∂ ui ∂ vi dx, v ∂ xj ∂ xj 2 = i,j Ω ∂ vi dx, ∂ xj u = (u1 , u2 )T , v = (v1 , v2 )T Gọi H ⊥ phần bù trực giao H (L2 (Ω))2 , ta có H ⊥ = u ∈ (L2 (Ω))2 : u = grad p, p ∈ H (Ω) Bổ đề 2.3 ([4]) Giả sử u(t) nghiệm (1.2) u0 ∈ H Khi ta có ước lượng t u(t) u(s) + ν e−νλ1 (t−s) e−νλ1 (t−τ ) |f (τ )|2 d(τ ), (2.4) s với < s t; nói riêng, ta có lim sup u(t) F2 ν λ1 t→∞ Hơn t+T T t+T u(t) ν T |Au|2 dτ + ν T t |f (τ )|2 dτ, t với t, T > 0; nói riêng ta có t+T lim sup t→∞ T F2 F2 + 2, T ν λ1 ν |Au| dτ (2.5) t với T > Chứng minh Lấy tích vơ hướng (1.2) với Au sử dụng (B(u, u), Au) = 0, ta có 1d u + ν |Au|2 dt Áp dụng bất đẳng thức Young từ √ d u dt λ1 u |(f, Au)| |f ||Au| |f |2 , ν + ν |Au|2 (2.6) |Au|, ta d u dt + λ1 ν u 2 |f |2 2ν Bây từ bất đẳng thức Gronwall ta thu bất đẳng thức (2.4) Nếu lấy tích phân (2.6) khoảng(t, t + T ) ta thu (2.5) Bổ đề chứng minh 24 2.3 Số nút xác định nghiệm dừng Đầu tiên giả sử rằng, ngoại lực f không phụ thuộc vào thời gian Gr = G = |f |/λ1 ν Chú ý G đủ nhỏ động lực (1.1) tầm thường trường hợp tập hút tồn cục phương trình gồm điểm dừng ổn định mũ Định lí 2.1 ([4]) Giả sử u v hai nghiệm dừng hệ Navier-Stokes νAu + B(u, u) = f, (2.7) νAv + B(v, v) = f, (2.8) thỏa mãn u(xj ) = v(xj ), j = 1, , N Khi đó, tồn số α1 = α1 (ν, L, |f |), cho dN α1 hai nghiệm nhau, nghĩa u = v Chúng ta cần kết hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Cụ thể số hạng phi tuyến thỏa mãn đồng thức B((u, u), Au) = Lấy đạo hàm biểu thức theo biến u theo hướng v ta thu đồng thức (B(u, v), Av) + (B(v, u), Av) + (B(v, v), Au) = Chúng ta bắt đầu chứng minh định lí dựa vào mệnh đề sau 25 (2.9) Mệnh đề 2.1 Giả sử giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn Giả sử θ ∈ [0, 1), dN < (1 − θ) (4π c1 c3 c4 G)4/3 1/2θ L, u = v Chứng minh Đặt w = u − v Khi w nghiệm phương trình νAw + B(u, w) + B(w, u) − B(w, w) = Lấy tích vơ hướng với Aw sử dụng đồng thức (B(u, u), Au) = 0, ta ν |Aw|2 = −(B(w, w), Au) Bây có ước lượng |(B(w, w), Au)| c4 w ν|Aw|2 ∞ ∞ w |Au| Khi c4 w w |Au| Từ (2.1) (2.3) (chú ý η(w) = trường hợp này) ta thu 3θ/2 ν|Aw| L2−3θ/2 dN |Au|, c1 c3 c4 |Aw| (1 − θ)3/4 hay tương đương 3θ/2 L2−3θ/2 dN |Aw| ν − c1 c3 c4 (1 − θ)3/4 |Au| Bây lấy tích vơ hướng νAu + B(u, u) = f với Au sử dụng (B(u, u), Au) = 0, ta |f | ν |Au| 26 Như ta có 3θ/2 L2−3θ/2 dN |f | |Aw| ν − c1 c3 c4 (1 − θ)3/4 ν 0, |Aw| = (tức u= v ) ta chứng minh 3θ/2 L2−3θ/2 dN |f | ν − c1 c3 c4 > 0, (1 − θ)3/4 ν hay tương đương dN < (1 − θ) (4π c1 c3 c4 G)4/3 1/2θ L Mệnh đề chứng minh Từ chứng minh trên, để thu cận nhỏ số xác định nút, cần cực tiểu hàm h(θ) := (4π c1 c3 c4 G)4/3 (1 − θ) 1/θ , với θ ∈ [0, 1) Đặt c5 = 4π c1 c3 c4 Bây áp dụng ước lượng (1.8) với K = (c5 G)4/3 để thu định lí sau Định lí 2.2 ([4]) Giả sử giả thiết Định lí 2.1 thỏa mãn Nếu dN < L 2/3 ec5 G2/3 (1 + log(c5 G)2/3 )1/2 , u = v Nói riêng, tồn tập nút xác định trường hợp nghiệm dừng, số N nhỏ N < e2 (c5 G)4/3 (1 + log(c5 G)2/3 ) Chứng minh Các cận dN suy từ Mệnh đề 2.1 Để tồn tập nút xác định, chia miền Ω thành 27 hình vng có độ dài cạnh √ 2dN Sau đặt nút hình vng Chú ý rằng, hình vng nằm hình tròn √ bán kính dN Sau đó, phải lấy ([L/ 2dN ] + 1)2 hình vng để phủ miền √ ta nhận Ω Nếu yêu cầu L/dN > + 2, tức G ước lượng cho N 2.4 Số nút xác định nghiệm phụ thuộc thời gian Ở mục giải trường hợp nghiệm phụ thuộc thời gian Ở đây, ta giả sử f, g hai ngoại lực cho L∞ (0, ∞; H) biết |f (t) − g(t)| → t → ∞ Giả sử u nghiệm (1.2) v nghiệm toán dv + νAv + B(v, v) = g, dt v(0) = v0 , u0 v0 cho trước V Định lí 2.3 ([4]) Ngồi giả thiết nêu giả sử lim (u(xj , t) − v(xj , t)) = 0, t→∞ j = 1, , N Khi đó, tồn số α2 = α2 (ν, L, F ), cho dN α2 , 28 lim u(·, t) − v(·, t) t→∞ L∞ (Ω) = Để chứng minh định lí ta dựa vào mệnh đề sau Mệnh đề 2.2 Giả sử giả thiết Định lí 2.3 thỏa mãn Hơn nữa, giả sử θ ∈ [0, 1) dN < α2 = L 1−θ √ (2 c1 c4 Gr)2 1/2θ khẳng định Định lí 2.3 Chứng minh Ta đặt w = u − v Khi w thỏa mãn dw + νAw + B(u, w) + B(w, u) − B(w, w) = f − g dt Lấy tích vơ hướng với Aw sử dụng phương trình (2.9) đồng thức (B(u, u), Au) = 0, ta d w(t) dt + ν|Aw|2 Từ |(B(w, w), Au)| d w(t) dt c4 w(t) |B(w, w), Au| + |f − g||Aw| ∞ w(t) |Au|, sử dụng (2.1) ta có + ν |Aw|2 c4 η(w) w |Au| L1−θ θ + c1 c4 √ dN w |Aw||Au| + |f − g||Aw|, 1−θ hay tương đương d w(t) dt |Aw|2 L1−θ θ |Aw| + ν − c1 c4 √ dN |Au| w w 1−θ c4 η(w) w |Au| + |f − g||Aw| Bây áp dụng Bổ đề 2.2 Đặt β(t) = c4 η(w) w |Au| + |f − g||Aw| 29 w Do |Au|, |Av| bị chặn với t giả thiết f, g u, v, ta có β(t) → t → ∞ Bây đặt α=ν |Aw|2 L1−θ θ |Aw| √ − c c dN |Au| w w 1−θ Chú ý từ bất đẳng thức Young ta có α(t) |Aw|2 (c1 c4 L1−θ dθN |Au|)2 ν |Aw|2 − − ν w 2ν (1 − θ) w ν |Aw|2 c21 c24 L2−2θ d2θ N − |Au|2 w 2ν (1 − θ) νλ1 c21 c24 L2−2θ d2θ N − |Au|2 2ν (1 − θ) (2.10) Do ta có c21 c24 L2−2θ d2θ N |Au|2 2ν (1 − θ) α− Từ (2.5) thu t+T α− (τ )d(τ ) < ∞, lim sup (2.11) t→∞ t với T > Bây tập T > chọn sau từ (2.10) ta có 1+T T α(τ )d(τ ) νλ1 c21 c24 L2−2θ d2θ N − 2ν (1 − θ)T t t+T |Au(τ )|2 dτ, t (2.5) ta thu 1+T lim inf t→∞ T α(τ )d(τ ) νλ1 c21 c24 L2−2θ d2θ F2 F2 N − + 2ν (1 − θ) T ν λ1 ν t Chọn T = (νλ1 )−1 = L2 /4π ν, yêu cầu dN < α2 = 1−θ √ (2 2π c1 c4 Gr)2 30 1/2θ L ta thu 1+T lim inf t→∞ T α(τ )d(τ ) > (2.12) t Nhờ (2.11) (2.12), áp dụng Bổ đề 2.2 w(t) → t → ∞ Sử dụng bất đẳng thức nội suy thích hợp thu hội tụ chuẩn mạnh Nếu chọn tập nút xác định Định lí 2.2, sau ta thu chặn nhỏ N, cần cực tiểu hàm √ (2 2π c1 c4 Gr)2 1/θ , h(θ) := 1−θ √ với θ ∈ [0, 1) Đặt c6 = 2π c1 c4 áp dụng ước lượng (1.8) với K = (c6 Gr)2 ta thu định lí sau Định lí 2.4 ([4]) Giả sử giả thiết Định lí 2.3 thỏa mãn Nếu dN < L , ec6 Gr(1 + log(c6 Gr)2 )1/2 kết luận Định lí 2.3 Nói riêng, tồn tập nút xác định trường hợp nghiệm dừng, số N nút nhỏ N < (ec6 Gr)2 (1 + log(c6 Gr)2 ) Bây đưa ứng dụng cuối kết nghiệm tuần hồn Điều có nghĩa ta giả sử g hàm tuần hồn từ R vào H với chu kì T , ta giả sử g ∈ L∞ (R; H) 31 Giả sử f ∈ L∞ (0, ∞; H) |f (t) − g(t)| → t → ∞ Khi đó, ta có Định lí 2.5 ([4]) Cho f g Hơn nữa, giả sử dN < L ec6 Gr(1 + log(c6 Gr)2 )1/2 Giả sử t → ∞ với j = 1, , N, u(xj , t) − pj (t) → 0, pj : R2 −→ R2 hàm liên tục tuần hồn với chu kì T Khi tồn hàm ϕ tuần hồn theo thời gian với chu kì T thỏa mãn ϕ(xj , t) = pj (t), j = 1, , N, (2.13) dϕ + ν Aϕ + B(ϕ, ϕ) = g dt (2.14) mà u(t) − ϕ(t) → t → ∞ Chứng minh Đặt v(t) = u(t + s), t = t + s t ta có dv (t) + νAv(t) + Bv(t) = g(t) dt với g(t) = f (t ) = f (t − s) Đặt w = u − v, ta có dw + νAw + B(u, w) + B(w, u) = f − g dt 32 Lấy tích vô hướng với Aw ta 1d w dt + ν|Aw|2 = −(B(u, w), Aw) − (B(w, v), Aw) + (f − g, Aw) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có |(f − g, Aw)| |f − g||Aw| |f − g|2 + δν|Aw|2 , 4δν với δ > tùy ý Mặt khác |(B(u, w), Aw)| |B(u, w)||Aw| c7 |Au| w |Aw|, |(B(w, v), Aw)| c7 |Av| w |Aw| Suy 1d w dt + ν|Aw|2 c7 (|Au| + |Av|) w |Aw| + |f − g|2 + δν|Aw|2 4δν |f − g|2 c7 γ w |Aw| + + δν|Aw|2 , 4δν (2.15) với γ = |Au| + |Av| Mà theo (2.3) ta có w nên c7 γ w |Aw| c2 √ Lθ − θ dθN 1/2 η(w) + c3 √ Lθ − θ c2 c7 γ dθN 1/2 L2−θ dθN √ 1−θ 1/2 |Aw|, L2−θ dθN η(w)|Aw|+c3 c7 γ √ 1−θ 1/2 |Aw|2 Khi (2.15) trở thành 1d w dt 2 + (1 − δ)ν|Aw| √ Lθ − θ c2 c7 γ dθN L2−θ dθN + c3 c7 γ √ 1−θ 33 1/2 1/2 η(w)|Aw| |f − g|2 |Aw| + , 4δν hay tương đương d w dt √ Lθ − θ c2 c7 γ dθN + 2(1 − δ)ν|Aw| 1/2 η(w)|Aw| 1/2 L2−θ dθN + c3 c7 γ √ 1−θ |Aw|2 + |f − g|2 4δν (2.16) Đặt ν = 2(1 − δ)ν √ 1/2 Lθ − θ L2−θ dθN h(t) = c2 c7 γ η(w)|Aw| + c3 c7 γ √ dθN 1−θ |f − g| Bây (2.16) trở thành 4δν d w dt + ν Aw 1/2 |Aw|2 + h Giả sử λ1 giá trị riêng A Thế d w dt + νλ1 w h Bây t − t = s bội T , t − t = kT, k ∈ N, |f (t + kT ) − f (t)| |f (t + kT ) − g(t + kT )| + |g(t) − f (t)|, g(t + kT ) = g(t), biểu thức hội tụ tới t → ∞ Tương tự u(xj , t + kT ) − u(xj , t) → t → ∞, với j = 1, , N, trường hợp h(t) → t → ∞ Do đó, với ε > 0, tồn t0 = t0 (ε) cho h(t) 34 ε t ε, miễn t − t bội T Khi đó, với t t0 t = t + s d w dt t0 ta có 2 + νλ1 w ε Nhờ Bổ đề Gronwall ta thu w(t) w(t0 ) exp(−νλ1 (t − t0 )) + ε (1 − exp(−νλ1 (t − t0 ))), νλ1 hay tương đương u(t)−u(t ) với t t w(t0 ) exp(−νλ1 (t−t0 ))+ t0 Khi t t → ∞ ta có lim sup u(t) − u(t ) t,t →∞ Giả sử t ε (1−exp(−νλ1 (t−t0 ))), νλ1 t ε νλ1 t0 t − t = kT, k ∈ N Ta viết lại bất đẳng thức với t = τ + lT t = τ + mT, (m u(τ + lT ) − u(τ + mT ) l 0, l, m ∈ N), t0 τ t0 + T : u(t0 ) − u(t0 + (m − l)T ) · exp(−νλ1 lT ) ε (1 − exp(−νλ1 (l + 1)T )) (2.17) + νλ1 Giả sử um hạn chế u khoảng [t0 +mT, t0 +(m+1)T ] Khi đó, bất đẳng thức (2.17) u dãy Cauchy C([0, T ]; H) t → ∞ Giả sử ϕ giới hạn Rõ rằng, ϕ(0) = ϕ(T ) mở rộng tuần hồn ϕ (với chu kì T ) R, thu hàm liên tục từ R vào H, tuần hồn với chu kì T Sự hội tụ diễn tả lại sau u(t) − ϕ(t) → t → ∞ 35 Bây ta thấy hàm ϕ Thật vậy, giả sử ϕ1 nghiệm mà thỏa mãn (2.13) (2.14) Khi w = ϕ − ϕ1 Chú ý w(xj , t) = với t Bây ta áp dụng Định lí 2.4 với f = g, u = ϕ, ν = ϕ1 Khi lim ϕ(·, t) − ϕ1 (·, t) t→∞ L∞ (Ω) = Hơn nữa, ϕ ϕ1 tuần hoàn ϕ(·, t) = ϕ1 (·, t) với t 36 Kết luận Luận văn nghiên cứu việc đánh giá chặn số nút xác định nghiệm hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Các kết luận văn bao gồm: Thiết lập kết đánh giá chặn số nút xác định nghiệm dừng Thiết lập kết đánh giá chặn số nút xác định nghiệm phụ thuộc thời gian 37 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Cung Thế Anh (2012), Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] C Foias and R Temam (1984), Determination of the solutions of the Navier-Stokes equations by a set of nodal values Math Comp 43, no 167, 117-133 [3] P.K Friz and J.C Robinson (2001), Parametrising the attractor of the two-dimensional Navier-Stokes equations with a finite number of nodal values, Phys D 148, no 3-4, 201-220 [4] D.A Jones and E.S Titi (1992), On the number of determining nodes for the 2D Navier-Stokes equations, J Math Anal Appl.168, no 1, 72-88 [5] D.A Jones and E.S Titi (1993), Upper bounds on the number of determining modes, nodes, and volume elements for the Navier-Stokes equations, Indiana Univ Math J 42, no 3, 875-887 [6] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Anal-ysis, second edition, SIAM [7] R Temam (1997), Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, second edition, Springer-Verlag, New York 38 ... giá chặn số nút xác định nghiệm dừng hệ Navier- Stokes hai chiều • Đánh giá chặn số nút xác định nghiệm phụ thuộc thời gian hệ Navier- Stokes hai chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng... đề tài "Về số nút xác định hệ Navier- Stokes hai chiều" làm luận văn tốt nghiệp khóa học thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu việc đánh giá số nút xác định nghiệm hệ NavierStokes hai chiều trường... điệu tiệm cận nghiệm hệ Navier- Stokes xác định số hữu hạn nút xác định (determining nodes), nghĩa hai nghiệm hệ Navier- Stokes có dáng điệu giống tập rời rạc giá trị nút hai nghiệm có dáng điệu