BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LÝ BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LÝ BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC ĐỐI VỚI HỆ NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Cung Thế Anh HÀ NỘI, 2017 Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Giới thiệu hệ Navier-Stokes 1.2 Các khơng gian hàm tốn tử 1.3 Đánh giá số hạng phi tuyến 1.4 Các kết tồn đánh giá nghiệm 1.4.1 Sự tồn nghiệm mạnh trường hợp hai chiều 1.4.2 Một số bất đẳng thức 12 Chương Bài toán đồng hóa liệu liên tục hệ Navier-Stokes hai chiều 15 2.1 Cách xây dựng nghiệm xấp xỉ 15 2.2 Chứng minh hội tụ nghiệm xấp xỉ nghiệm xác thời gian vô 18 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Cung Thế Anh định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K19 chuyên ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 08 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Lý Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Cung Thế Anh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Bài tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Navier-Stokes hai chiều" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 08 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Lý Mở đầu Lý chọn đề tài Hệ phương trình Navier-Stokes hệ phương trình học chất lỏng có nhiều ứng dụng quan trọng khoa học công nghệ Việc nghiên cứu tồn tại, tính chất nghiệm dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ thời gian vô thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học, xin xem chuyên khảo [1, 4, 5] Một vấn đề thời nghiên cứu tốn đồng hóa liệu hệ Navier-Stokes hệ phương trình khác học chất lỏng Vấn đề có nhiều ý nghĩa tốn dự báo khí tượng Bài tốn đồng hóa liệu liên tục mô tả sau Giả sử u1 (t) biểu diễn trạng thái thực hệ thời điểm t Ta biểu diễn phần đo u1 (t) thời điểm t Pλ u1 (t), Pλ phép chiếu trực giao có hạng hữu hạn Ở λ tham số biểu diễn độ xác thiết bị đo Giả sử u2 (t) nghiệm xấp xỉ u1 (t), nhận từ phép đồng hóa liệu liên tục phần đo Pλ u1 (t) khoảng thời gian τ ∈ [0, t] Chúng ta tìm điều kiện λ theo tham số vật lí hệ để đảm bảo nghiệm xấp xỉ u2 (t) hội tụ đến nghiệm xác u1 (t) t → ∞ Ở ta lấy u1 (t) nghiệm xác hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện ban đầu cho trước với điều kiện biên tuần hồn Mục đích luận văn trình bày kết [2, 3] tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Navier-Stokes hai chiều trường hợp điều kiện biên tuần hồn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Navier-Stokes hai chiều trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Nhiệm vụ nghiên cứu • Trình bày cách xây dựng nghiệm xấp xỉ u1 (t) từ phần đo Pλ u1 (t) nghiệm xác u1 (t) • Tìm điều kiện λ để nghiệm xấp xỉ u2 (t) hội tụ đến nghiệm xác u1 (t) t → ∞ Đánh giá tốc độ hội tụ Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier-Stokes hai chiều • Phạm vi nghiên cứu: Bài tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lí thuyết hệ động lực tiêu hao vơ hạn chiều, lí thuyết hệ Navier-Stokes lí thuyết đồng hóa liệu Đóng góp luận văn Thiết lập kết hội tụ nghiệm xấp xỉ, xây dựng phương pháp đồng hóa liệu liên tục, nghiệm xác hệ Navier-Stokes hai chiều trường hợp điều kiện biên tuần hoàn Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau Các kết chủ yếu tham khảo [1, 4, 5] 1.1 Giới thiệu hệ Navier-Stokes Xét hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều có dạng ∂u1 + (u1 · ∇) u1 − v u1 + ∇π1 = f, ∂t (1.1) ∇ · u1 = 0, với điều kiện ban đầu u1 (0) = u0 hình xuyến Ω = [0, L]2 chu kì L Ở u1 biểu diễn trường vận tốc Euler, ν độ nhớt động học, f ngoại lực, π1 áp lực vật lý Rõ ràng từ hệ (1.1) ta thấy Ω u1 (t) Ω u0 = Ωf = 0, = với thời điểm Vì thế, chúng tơi quan tâm tới nghiệm có trung bình khơng Theo đó, thời điểm t, trường vận tốc, ngoại lực, áp suất biểu diễn chuỗi Fourier a= ak φ k , F = { k∈F 2πm : m ∈ Z2 \ {0}}, L φk (x) = eik·x a ˆk = a ˆ−k (1.2) Chú ý hệ số Fourier tương ứng với vận tốc ngoại lực hàm giá trị vectơ C2 cho k · a ˆk = 0, hệ số tương ứng áp suất vô hướng Định nghĩa chuẩn L2 H a tương ứng là: 1/2 |ˆ ak |2 |a| = L 1/2 |k|2 |ˆ ak |2 a = L k∈F (1.3) k∈F Không gian Fourier cho ta biểu diễn để mô tả tốt phép chiếu trực giao mà ta cần nghiên cứu Với a mà |a| < ∞, ta định nghĩa a ˆk φk Qλ = I − Pλ Pλ a = (1.4) |k|2 ≤λ Vì vậy, với phép chiếu Pλ u1 (t) cho trên, đại lượng λ− biểu diễn cho tỉ lệ độ dài nhỏ dòng chất lỏng mà ta quan sát từ thiết bị đo lường giả định Lưu ý λ hạng N Pλ tỷ lệ cân hai chiều 1.2 Các không gian hàm tốn tử Trong phần này, ta mơ tả đặc trưng không gian H, V, V nghiên cứu phương trình Navier-Stokes phát biểu số bất đẳng thức kết ta cần phần sau Trước tiên, ta định nghĩa không gian Vα qua hạng tử chuỗi Fourier (1.2) sau Vα = ukφk : ||u||2λ < ∞, uk = uˆ−k , k · uˆk = 0, uˆ0 = u= k inf chuẩn u λ = L2 |k|2α |uk |2 k∈F (1.5) Từ định lí trên, ta thấy tính nghiệm Định lý (1.4) đảm bảo rằng, u1 (t) u2 (t) vài điểm khơng gian, điều cho tất thời điểm sau Đặc biệt, η = Qλ u0 u1 (t) = u2 (t) với t Bổ đề sau thiết lập chặn cho hội tụ đồng hóa liệu liên tục theo hạng tử thời gian trung bình nghiệm xác u1 Khi λ tăng dải nghiệm trở nên mịn Bởi vậy, ta mong muốn nghiệm u2 (t) trở thành nghiệm xấp xỉ tốt tốt nghiệm xấp xỉ u1 (t) λ → ∞ Bổ đề 1.3 [3] Cho u1 (t) u2 (t) nghiệm mạnh (1.20) với u0 = u1 (0) ∈ V, η = Qλ u2 (0), f ∈ L2loc ((0, ∞); H) cho trước Định lí 1.4 Khi c21 |u1 (t) − u2 (t)| ≤ |u1 (0) − u2 (t)| exp −νλt + ν t ||u1 (τ )||2 dτ (1.23) c21 |u1 (t) − u2 (t)| ≤ ||u1 (0) − u2 (t)|| exp −νλt + νλ t ||Au1 (τ )||2 dτ (1.24) 1.4.2 Một số bất đẳng thức • Bất đẳng thức Young: 1 Cho < p, q < ∞, + = Khi p q ab ap b q + , p q (a, b > 0) • Bất đẳng thức Young với : ab ap + C( )bq , 12 (a, b, > 0), với C( ) = ( p)−q/p q −1 • Bất đẳng thức nội suy với chuẩn Lp : Giải thiết s r ∞ t θ 1−θ = + Giả sử u ∈ r s t Ls (Ω) ∩ Lt (Ω) Khi u ∈ Lr (Ω) u t Ls (Ω) u Lr (Ω) u 1−θ Lt (Ω) • Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) hàm liên tục tuyệt đối [0, T ] thỏa mãn dx dt g (t) x + h (t) , với hầu khắp t, g(t) h(t) hàm khả tích [0; T ] Khi t x(t) x(0)eG(t) + eG(t)−G(s) h(s)ds, với t T , t G (t) = g (r) dr Nói riêng, a b số x (t) x (0) + dx dt ax + b, b at b e − a a • Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho ξ (t) hàm khả tích, không âm [0, T ] thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân t ξ (t) C1 ξ (s)ds + C2 , 13 với C1 , C2 số không âm Khi C2 + C1 teC1 t ξ (t) với hầu khắp t, t T • Bất đẳng thức Gronwall đều: Giả sử x, a b hàm dương thỏa mãn dx dt với t+r x (s)ds ax + b t+r X, t+r a (s)ds t A t với r > với t t t0 Khi x (t) với t b (s)ds X + B eA r t0 + r 14 B Chương Bài tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Navier-Stokes hai chiều Chương viết dựa tài liệu tham khảo [2, 3] 2.1 Cách xây dựng nghiệm xấp xỉ Trong mục chúng tơi trình bày tốn đồng hóa liệu liên tục hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều Để làm điều này, ta kí hiệu u1 (t) nghiệm xác nghiệm phương trình hai chiều không nén Navier-Stokes (1.1) Bây giờ, ta công nhận rằng, ta cho trước xác u0 , thời điểm t = 0, ta lấy tích phân phương trình Navier-Stokes từ thu xác u1 (t) cho t > Vì thế, việc khó ta khơng thể thu u0 xác phép đo Tuy nhiên, ta thu Pλ u1 (t) khoảng thời gian cần thiết đủ lớn Khi đó, câu hỏi trở thành, để thu u1 (t) từ Pλ u1 (t) Trong trường hợp tổng quát điều khơng thể, vậy, thay vào đó, ta tìm u2 (t) xấp xỉ tiệm cận tốt u1 (t) Để tìm u2 (t) ta viết lại phương trình Navier-Stokes (1.1) thành hệ gồm hai phương trình vi phân Ta đặt ui = pi + qi pi = Pλ ui qi = Qλ ui với i = 1, Vì Pλ Qλ phép chiếu lên không gian 15 hàm riêng toán tử ∆, chúng giao hoán với Tương tự Pλ Qλ giao hoán với div gradient Vì vậy, trước tiên thực phép chiếu (1.1) Pλ sau Qλ cho ta    ∂p1 + Pλ {(p1 + q1 ) ∇ (p1 + q1 )} − v∇p1 + ∇Pλ π1 ∂t ∂q   + Qλ {(p1 + q1 ) ∇ (p1 + q1 )} − v∇q1 + ∇Qλ π1 ∂t = Pλ f, ∇ · p1 = = Qλ f, ∇ · q1 = Vì p1 (t) cho trước phép đo, ta cần lấy tích phân phương trình thứ hai để tìm u1 (t) Tuy nhiên, ta khơng biết q1 (0), nên tích phân phương trình thứ hai khơng thể Vì thế, ta phải tính tốn xấp xỉ q2 (t) q1 (1) tích phân ∂q2 + Qλ {(p1 + q1 ) · ∇ (p1 + q1 )} − v∆q2 + ∇Qλ π2 = Qλ f, ∂t ∇ · q2 = (2.1) với điều kiện ban đầu q2 (0) = η η = Qλ η biểu diễn đoán ban đầu mode q1 (0) nghiệm xác Từ đó, tốn ta tốn ban đầu hóa, ta giải tốn ban đầu hóa tần số cao theo cách ta muốn sau lấy tích phân Đồng hóa liệu liên tục thực chất thuật toán đơn giản để xây dựng nghiệm gần u2 phù hợp cho việc xử lý lý thuyết phương pháp xác định mode Foias Prodi Trong luận văn này, ta xem u2 nghiệm hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều thay đổi nhỏ so với hệ gốc (1.1) Điều thực cách thêm phương trình tiến hóa với p1 (t) thành phương trình tiến hóa với q2 (t) Vì vậy, ta thu ∂u2 + (u2 ∇) u2 − ν∆u2 + ∇π2 = f2 , ∂t 16 ∇ · u2 = (2.2) với điều kiện ban đầu u2 (0) = Pλ u0 + η với η = Qλ η f2 = f + Pλ {(u2 · ∇) u2 − (u1 · ∇) u1 } (2.3) Chú ý f2 hàm phụ thuộc vào thời gian phụ thuộc vào u2 để đảm bảo Pλ u1 (t) = Pλ u2 (t) thời điểm t ≥ Tuy nhiên, lí thuyết xác định mode khơng đặt giả thiết lên u2 Do đó, ta nhớ u2 xây dựng đồng hóa liệu liên tục giả sử nghiệm khác hệ phương trình NavierStokes với hàm f2 (t) phụ thuộc thời gian Để tránh nhầm lẫn có, ta giả thiết nghiệm v1 v2 hệ Navier-Stokes (1.1) ứng với hàm ngoại lực tương ứng g1 g2 thảo luận lí thuyết tổng quát xác định mode Định nghĩa 2.1 [3] Số xác định mode hạng nhỏ phép chiếu Pλ cho với hai nghiệm v1 v2 (1.1) thỏa mãn |Pλ v1 (t) − Pλ v2 (t)| → t → ∞ ta có |v1 (t) − v2 (t)| → t → ∞ Ta kí hiệu λc giá trị nhỏ λ cho hạng Pλ với số xác định mode Nc Ta biết rằng, hệ Navier-Stokes hai chiều có số xác định mode hữu hạn Hơn nữa, số xác định mode phụ thuộc vào ngoại lực, độ nhớn độ lớn miền Để hiểu rõ hơn, ta định nghĩa số Grashof sau Định nghĩa 2.2 [3] Số Grashof định nghĩa Gr(f ) = L 2πν lim sup |f (t)| t→∞ 17 Như biết, số Grashof đóng vai trò quan trọng việc đánh giá số xác định mode hệ phương trình Navier-Stokes, ta cần tương đương dáng điệu ngoại lực Điều quan trọng hàm ngoại lực f2 đồng hóa liệu liên lục khơng với f 2.2 Chứng minh hội tụ nghiệm xấp xỉ nghiệm xác thời gian vơ Định lí 2.1 [3] Cho M1 = sup t>0 t 1/2 t ||f (τ )||2∗ dτ M2 = sup t>0 t 1/2 t |f (τ )| dτ Khi đó, cho trước tập bị chặn B0 ⊂ V f ∈ L2loc ((0, T ); H) với M2 < ∞, tồn số K1 K2 đủ lớn cho với u0 = u1 (0) ∈ B0 η = Qλ u2 (0) ∈ Qλ V, nghiệm u1 (t) u2 (t) (1.20) thỏa mãn: (i) Nếu tồn α cho < 2α ≤ νλ − c21 v −3 M12 |u1 (t) − u2 (t)| ≤ |u1 (0) − u2 (0)|K1 e−αt với t ≥ (ii) Nếu tồn α cho < 2α ≤ νλ − c21 (v λ)M22 |u1 (t) − u2 (t)| ≤ |u1 (0) − u2 (0)|K2 e−αt với t ≥ Chứng minh Đặt δ = u1 − u2 Để ước lượng |δ(t)|, ta thay (2.14) Bổ đề 2.4 vào (1.23) Bổ đề 1.3, để thu tc21 1 |δ(t)| ≤ |δ(0)| exp −νλt + ( |u0 |2 + M12 ) ν νt ν c1 c21 2 ≤ |δ(0)| exp |u0 | exp (−νλ + M1 )t ν2 ν 2 18 Do đó, < 2α ≤ νλ − c21 ν −3 M12 , |δ(t)| ≤ |δ(0)|K1 e−αt K1 chọn đủ lớn cho c21 K1 ≥ exp |u0 |2 ν2 với u0 ∈ B0 Để đánh giá ||δ(t)||, ta thay (2.15) Bổ đề 2.4 vào (1.24) Bổ đề 1.3 để tc21 ( ||u0 ||2 + M22 ) νλ νt ν c1 c21 2 ≤ ||δ(0)|| exp ||u0 || exp (−νλ + M22 )t ν λ ν λ ||δ(t)||2 ≤ ||δ(0)||2 exp −νλt + Do đó, < 2α ≤ vλ − c21 (v λ)M22 ||δ(t)|| ≤ ||δ(0)||K2 e−αt với K2 chọn đủ lớn cho c21 K2 ≥ exp ||u0 ||2 v λ với u0 ∈ B0 Định lí chứng minh Từ Định lí 2.1, ta thu hệ sau Hệ 2.1 [3] Dưới giả thiết Định lí 2.1, nghiệm xấp xỉ u2 hội tụ tới u1 L∞ ([0, ∞]; V ) λ → ∞ Chứng minh Vì K2 Định lí 2.1 chọn khơng phụ thuộc vào λ, nên ||u1 (t) − u2 (t)|| ≤ ||u1 (0) − u2 (0)||K2 e−αt ≤ K2 ||Qλ (u0 − η)|| → 0, t → ∞ Hay u2 hội tụ tới u1 L∞ ([0, ∞]; V ) λ → ∞ Định lí 2.2 [3] Cho u1 (1) nghiệm tập hút tồn cục phương trình Navier-Stokes hai chiều (1.1) với ngoại lực không phụ thuộc 19 vào thời gian f ∈ L2 (Ω) Cho u2 (t) xấp xỉ u1 (t) thu từ việc đồng hóa liệu liên tục (1.1) phép đo quan sát Pλ u1 (τ ) khoảng thời gian τ ∈ [0, t] Khi đó, tồn số K1 K2 không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu cho (i) Nếu tồn α cho < 2α ≤ νλ − c21 v − 3||f ||2∗ , |u1 (t) − u2 (t) | ≤ |u1 (0) − u2 (0) |K1 e−αt với t ≥ 0; (ii) Nếu tồn α cho < 2α ≤ νλ − c21 (v λ)−1 |f |2 , |u1 (t) − u2 (t) | ≤ |u1 (0) − u2 (0) |K2 e−αt với t ≥ Lưu ý rằng, Định lí 2.2 chứng tỏ rằng, hội tụ u2 tới u1 theo tốc độ mũ Điều dẫn đến định nghĩa sau Định nghĩa 2.3 [3] Tốc độ đồng hóa liệu liên tục cận tất α cho ||u1 (t) − u2 (t) || = O e(−λ)t với t → ∞ Trước tiên ta chứng tỏ phương trình đồng hóa liệu liên tục (1.1) đặt toàn cục Ở đây, ta ý đến nghiệm mạnh Sau đó, ta thiết lập bổ đề cuối chứng minh Định lí (2.2) Cuối cùng, ta thảo luận hệ phương trình (1.1) (2.2) tiêu hao Khi λ = 0, hệ tiêu hao trường hợp f2 = f số hạng phản hồi Pλ {(u2 · ∇)u2 − (u1 · ∇)u1 } = Vì vậy, u2 nghiệm phương trình Navier-Stokes hai chiều với ngoại lực f Với λ > min{c21 ν −4 f 2∗ , c1 ν −2 |f |} 20 (2.4) tính tiêu hao suy từ hội tụ u2 tới u1 Định lí 2.2 Tuy nhiên, tính tiêu hao với giá trị trung bình λ phương trình đồng hóa liệu liên tục chưa biết Chứng minh Định lí 2.2 Lưu ý trường hợp f không phụ thuộc vào thời gian, nghĩa có có M1 = ||f ||∗ M2 = |f | Định lí 2.1 Chứng minh Định lí 2.2 theo sau Định lí 2.1 tập hút tồn cục (2.6) bị chặn V Lưu ý chặn giá trị tới hạn λ mà việc đồng hóa liệu liên tục thực hiện, chặn phải bất biến phép đổi tỉ xích (1.8) để trở nên tốt Vì số sóng khơng gian Fourier gốc tăng lên gấp đặt u1 (x, t) = 2u1 (2x, 4t) f (x) = 8f (2x), phép đo quan sát Pλ u1 (t) tương đương với Pλ1 u(t) cách xác λ = 4λ Giả sử, trước tiên có chặn λ phụ thuộc vào ||f ||∗ mà chặn tốt Đặc biệt, giả sử λ ∼ C||f ||β∗ với số C β Vì ||f ||∗ = 4||f ||∗ nên ta viết lại λ ∼ C||f ||β∗ theo hạng tử λ f, ta có 4λ ∼ 4β C|f |6β Từ β = 1, λ ∼ C||f ||∗ Tuy nhiên, chặn thứ Định lí 2.1 phụ thuộc vào ||f ||2∗ , chặn khơng thể tốt Tương tự, λ ∼ C|f |β , ta đổi tỉ xích ˜ ∼ C|f˜|β , để thu 4λ ∼ C8β |f˜|β Do đó, trường hợp này, với λ β = 2/3 λ ∼ C|f |2/3 Vì vậy, tất các kết Định lí 2.1 bị chặn Ta kết thúc mục với kết tính tiêu hao phương trình đồng hóa dữa liệu liên tục (1.20) Liệu hệ có tiêu hao với giá trị nhỏ λ? Đây câu hỏi mở thú vị 21 Định lí 2.3 [3] Cho f ∈ H λ thỏa mãn (1.10), hệ phương trình (1.20) tiêu hao có hình cầu hấp thụ V Chứng minh Vì u1 thỏa mãn phương trình Navier -Stokes hai chiều thơng thường với f ∈ H hệ có hình cầu hấp thụ V Với u2 ta sử dụng Định lí 2.1 để đánh giá f2 sử dụng đánh giá để tìm hình cầu hấp thụ Để làm điều này, ta đặt δ(t) = u1 (t) − u2 (t) Khi đó, từ (2.4) suy |f1 − f2 | ≤ |Pλ B(u2 , u2 ) − Pλ B(u1 , u1 )| ≤ |Pλ B(δ, δ)| + |Pλ B(u1 , δ)| + |Pλ B(δ, u1 )| ≤ λ3/2 ||B(δ, δ)||−3 + ||B(u1 , δ)||−3 + ||B(δ, u1 )||−3 Với w ∈ V3 , nhờ phép nhúng Sobolev ta có ||∇w||L∞ ≤ C||w||3 , ta có | B(δ, δ), w | = | B(δ, w), δ | ≤ ||∇w||L∞ |δ|2 ≤ C||w||3 |δ| | B(u1 , δ), w | = | B(u1 , w), δ | ≤ ||∇w||L∞ |u1 ||δ| ≤ C||w||3 |u1 ||δ| | B(δ, u1 ), w | = | B(δ, w), u1 | ≤ ||∇w||L∞ |u1 ||δ| ≤ C||w||3 |u1 ||δ| Nếu λ thỏa mãn (1.10) Định lý 2.1 suy |δ(t)| → t → ∞ Do vậy, |f1 − f2 | ≤ C 3/2 |δ|2 + 2|u1 ||δ| → t → ∞ (2.5) Điều có nghĩa f2 có chặn theo thời gian Bây giờ, Định lý 2.1 suy rằng, với tập bị chặn B0 ⊂ V, tồn tại thời điểm s > cho với u0 ∈ B0 η ∈ Qλ V tương ứng với f2 cho |f2 (t)| ≤ 2|f | với t > s 22 Đặt B1 = {u2 (s) : u0 ∈ B, η ∈ Qλ B0 } Sự phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu cho Định lý 1.4 cho ta B1 bị chặn V Ta kí hiệu chặn M1 Bây ta đánh giá ||u2 (t)|| Nhân phương trình thứ hai (1.20) với Au2 để thu 1d ||u2 ||2 + v|Au2 |2 = (f2 , Au2 ) dt Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Young, ta có d ||u2 ||2 + v|Au2 |2 = |f2 |2 dt v Áp dụng bất đẳng thức Poincare (2.5) vào hạng tử thứ hai bên vế phải để thu d ||u2 ||2 + vλ1 ||u2 ||2 = |f2 |2 , dt v lấy tích phân đoạn [s, t] thu t −vλ1 (t−τ ) e |f2 (τ )|2 dτ ||u2 (t)|| ≤ ||u2 (s)|| e + v s 2|f |2 ≤ M12 e−vλ1 (t−s) + − e−vλ1 (t−s) v λ1 2 −vλ1 (t−s) Do đó, tồn tai T > s đủ lớn cho với u0 ∈ B0 η ∈ Qλ B0 nghiệm u2 phương trình (1.20) thỏa mãn ||u2 (t)||2 ≤ 3|f |2 với t > T v λ1 Điều chứng tỏ phương trình (1.20) tiêu hao Chú ý rằng, (2.5) chứng tỏ trường hợp đồng hóa liệu liên tục |u1 (t) − u2 (t)| → 0; t → ∞ có nghĩa |f1 (t) − f2 (t)| → 0, t → ∞ 23 điều chưa hai nghiệm u1 , u2 phương trình Navier-Stokes với hàm ngoại lực tương ứng phụ thuộc thời gian f1 f2 Thật vậy, ta xét ví dụ đơn giản sau Cho    cos x, u1 =  −1 (t + 1) sin(t + 1)  u2 =  (t + 1) −1 cos(t + 1)   cos y Khi đó, u1 u2 nghiệm (1.10) với    cos x, f1 =  −2 −1 2 cos(t + 1) − (t + 1) sin(t + 1) + ν(t + 1) sin(t + 1)  f2 =  −2 sin(t + 1) − (t + 1) −2 cos(t + 1) + ν(t + 1) −1 cos(t + 1) Rõ ràng u1 (t) − u2 (t) α   cos y → t → ∞ với α, nhiên |f1 − f2 |2 = |f1 |2 + |f2 |2 ∼ t → ∞ Do đó, |f1 (t) − f2 (t)| khơng hội tụ tới t → ∞ ||u1 (t) − u2 (t)||α → t → ∞ với α Điều có nghĩa Định lí 2.2 2.1 khơi phục tình giả thiết Định lí 1.2 sai Các ví dụ tương tự xây dựng cách sử dụng không gian giao động, thang độ dài giảm thời gian Ví dụ u1 − u2 → |Qλ f1 − Qλ f2 | không hội tụ tới với α 24 Kết luận Nội dung luận văn nghiên cứu toán đồng hóa liệu liên tục hệ Navier-Stokes hai chiều với điều kiện biên tuần hoàn Các kết trình bày luận văn bao gồm: Thiết lập cách xây dựng nghiệm xấp xỉ từ phần đo nghiệm xác phương pháp đồng hóa liệu liên tục Thiết lập kết hội tụ nghiệm xấp xỉ nghiệm xác đánh giá sai số 25 Tài liệu tham khảo [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lí thuyết hệ động lực vơ hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm, 2012 [2] A Azouani, E Olson and E.S Titi, Continuous data assimilation using general interpolant observables, J Nonlinear Sci 24 (2014), 277-304 [3] E Olson and E.S Titi, Determining modes for continuous data assimilation in 2D turbulence, J Statist Phys 113 (2003), 799-840 [4] R Temam, Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, second edition, SIAM, 1995 [5] R Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, second edition, Springer-Verlag, New York, 1997 26 ... giá tốc độ hội tụ Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hệ Navier- Stokes hai chiều • Phạm vi nghiên cứu: Bài tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Navier- Stokes hai chiều với điều kiện biên... nghiệm xác hệ Navier- Stokes hai chiều với điều kiện ban đầu cho trước với điều kiện biên tuần hồn Mục đích luận văn trình bày kết [2, 3] tốn đồng hóa liệu liên tục hệ Navier- Stokes hai chiều trường... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ LÝ BÀI TOÁN ĐỒNG HÓA DỮ LIỆU LIÊN TỤC ĐỐI VỚI HỆ NAVIER- STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số :