ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ THƯƠNG XẤP XỈ KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA HAI TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2017 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, thầy, cô giáo khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên tận tình giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn học viên lớp Cao học Toán K9A bạn đồng nghiệp động viên, khích lệ trao đổi chuyên môn suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thiện luận văn iii Mục lục Lời cảm ơn iii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach 1.2 Một số phương pháp tìm không điểm toán tử j-đơn điệu 1.2.1 Phương pháp điểm gần kề 10 1.2.2 Phương pháp lặp kiểu Halpern 11 1.2.3 Phương pháp xấp xỉ mềm 12 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 13 Xấp xỉ không điểm chung hai toán tử j-đơn điệu 15 2.1 Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm 15 2.2 Tính ổn định phương pháp 25 2.3 Ứng dụng ví dụ số minh họa 30 2.3.1 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi 30 2.3.2 Bài toán chấp nhận lồi 32 2.3.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân 33 2.3.4 Bài toán cân 35 2.3.5 Ví dụ số 36 Kết luận 39 iv Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị ρE (τ ) mô đun trơn không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vô bé bậc cao t v Mở đầu Bài toán xác định không điểm toán tử j-đơn điệu có ý nghĩa quan trọng nhiều lĩnh vực khác nhau, khoa học vật lí, tối ưu hóa, toán kinh tế, toán tài Ở đây, ta quan tâm đến toán sau: Xác định phần tử x∗ ∈ E cho: ∈ A(x∗ ), (0.1) A : E −→ 2E toán tử j-đơn điệu xác định không gian Banach E Ta biết E không gian Hilbert toán tử j-đơn điệu gọi toán tử đơn điệu Khi A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert H, R T Rockafellar [24] đề xuất phương pháp điểm gần kề để xác định dãy {xn } sau: xn ∈ cn Axn+1 + xn+1 , x0 ∈ H, (0.2) cn > c0 > Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.2) thu hội tụ yếu dãy {xn } không điểm A Trong năm gần đây, xuất phát từ số mô hình toán thực tế tối ưu hóa vật lý, toán tìm không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại hay toán tìm không điểm chung hai toán tử kiểu đơn điệu tổng quát toán tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử kiểu đơn điệu, thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới Năm 2005, H H Bauschke, P L Combettes S Reich [4] đề xuất kết hợp phương pháp điểm gần kề phương pháp lặp luân phiên cho toán xác định không điểm hai toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Tuy nhiên, họ thu hội tụ yếu Năm 2016 tác giả J.K Kim T.M Tuyên cải tiến phương pháp lặp luân phiên Bauschke, P L Combettes S Reich dựa phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern [12] Mục đích luận văn trình bày lại kết J.K Kim T.M Tuyên tài liệu [12] cho toán tìm không điểm chung hai toán tử j-đơn điệu không gian Banach Nội dung luận văn chia làm hai chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach, số phương pháp tìm không điểm toán tử kiểu đơn điệu (phương pháp điểm gần kề, phương pháp lặp kiểu Halpern phương pháp xấp xỉ mềm) số bổ đề bổ trợ cần sử dụng chứng minh định lý đề cập chương luận văn Chương Xấp xỉ không điểm chung hai toán tử j-đơn điệu Chương trình bày lại kết J.K Kim T.M Tuyên tài liệu [12] phương pháp lặp luân phiên kết hợp với phương pháp lặp Halpern cho toán tìm không điểm chung hai toán tử j-đơn điệu không gian Banach, với ứng dụng Ngoài ra, xây dựng ví dụ số đơn giản nhằm minh họa thêm cho phương pháp Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao bồm mục, đó: Mục 1.1 giới thiệu sơ lược số đặc trưng cấu trúc hình học không gian Banach Mục 1.2 đề cập đến số phương pháp tìm không điểm toán tử j-đơn điệu, bao gồm phương pháp điểm gần kề, phương pháp lặp kiểu Halpern phương pháp xấp xỉ mềm Mục 1.3 trình bày số bổ đề bổ trợ cần sử dụng đến chứng minh định lý đề cập Chương luận văn 1.1 Một số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach Cho E không gian Banach E ∗ không gian đối ngẫu Để cho đơn giản thuận tiện hơn, thống sử dụng kí hiệu để chuẩn E E ∗ toàn luận văn Trong luận văn này, thường xuyên sử dụng tính chất không gian Banach phản xạ Mệnh đề 1.1 (xem [1] trang 41) Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Tiếp theo, mục đề cập đến số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach, như: tính lồi, tính trơn, mô đun lồi, mô đun trơn Định nghĩa 1.1 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x = y mà x = 1, y = ta có x+y < Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.1 phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa x+y mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x = y ta có tx + (1 − t)y < với t ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : x = 1} Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta có x+y ≤ − δ(ε) Dễ thấy E không gian Banach lồi không gian Banach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ điều Ví dụ 1.1 (xem [1] trang 54) Xét E = c0 (không gian dãy số hội tụ không) với chuẩn β xác định ∞ x β = x c0 +β i=1 |xi |2 i2 1/2 , x = (xi ) ∈ c0 Khi đó, (E, β ), β > không gian lồi chặt không không gian lồi Để đo tính lồi không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau: Mô đun lồi không gian Banach E hàm số δE (ε) = inf − x+y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε Nhận xét 1.1 Mô đun lồi không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng đoạn [0; 2] Không gian Banach E lồi chặt δE (2) = (xem [1] trang 59) Ngoài ra, không gian Banach E lồi δE (ε) > 0, ∀ε > (xem [1] trang 60) Mệnh đề 1.2 (xem [1] trang 56) Mọi không gian Banach lồi không gian phản xạ Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E gọi trơn với x ∈ SE , tồn fx ∈ E ∗ cho x, fx = x fx = Định nghĩa 1.4 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux điểm x ∈ SE với y ∈ SE , tồn giới hạn d x + ty − x ( x + ty )t=0 = lim t→0 dt t (1.1) Định nghĩa 1.5 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó: a) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux x ∈ SE b) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới hạn (1.1) tồn với x ∈ SE c) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet với x ∈ SE , giới hạn (1.1) tồn với y ∈ SE d) Chuẩn E gọi khả vi Fréchet giới hạn (1.1) tồn với x, y ∈ SE Định lý 1.1 (xem [1] trang 92) Cho E không gian Banach Khi đó, ta có khẳng định sau: a) Nếu E ∗ không gian lồi chặt E không gian trơn b) Nếu E ∗ không gian trơn E không gian lồi chặt Định nghĩa 1.6 Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định ρE (τ ) = sup{2−1 x + y + x − y −1: x = 1, y = τ } Nhận xét 1.2 Mô đun trơn không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng khoảng [0; +∞) (xem [1] trang 95) Ví dụ 1.2 [1] Nếu E không gian lp Lp (Ω), ta có   (1 + τ p )1/p − < τ p , < p < 2, p ρE (τ ) = p − p−1   τ + o(τ ) < τ , p ≥ 2 (1.2) Định lý cho ta biết mối liên hệ mô đun trơn không gian Banach E với mô đun lồi E ∗ ngược lại Định lý 1.2 (xem [8] trang 70) Cho E không gian Banach Khi ta có τε − δX (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > τε b) ρX (τ ) = sup{ − δX ∗ (ε) : ε ∈ [0, 2]}, τ > a) ρX ∗ (τ ) = sup{ Nhận xét 1.3 Từ Định lý 1.2, suy ε0 (E ∗ ) ε0 (E) ρ0 (E) = ρ0 (E ∗ ) = , 2 ε0 (E) = sup{ε : δE (ε) = 0}, ρ0 (E) = limτ →0 ρE (τ ) τ Định nghĩa 1.7 Không gian Banach E gọi trơn ρE (τ ) = τ →0 τ lim Từ Nhận xét 1.3, ta có định lý đây: Định lý 1.3 (xem [8] trang 70) Cho E không gian Banach Khi ta có khẳng định sau: a) Nếu E không gian trơn E ∗ không gian lồi đều; b) Nếu E không gian lồi E ∗ không gian trơn Ví dụ 1.3 Mọi không gian Hilbert, không gian lp hay Lp (Ω) với < p < +∞ không gian Banach lồi trơn (xem [1]) 28 Từ (2.33), tồn τn ∈ An dn cho A ξn − τn ≤ gA ( dn )hA n ≤ gA (L)hn , (2.43) với L = supn { dn } < ∞ Từ (2.42), ta có βn (ζn − τn ),j(vn − dn ) + βn (τn − ξn ), j(vn − dn ) + dn − = un − zn , j(vn − dn ) Vì βn (ζn − τn ), j(vn − dn ) ≥ từ (2.43), ta thu dn − ≤ zn − un + gA (L)hA n βn (2.44) Kết hợp (2.41) (2.44), ta nhận B ln − wn ≤ zn − un + gA (L)hA n βn + gB (K)hn γn (2.45) zn+1 − αn f (dn ) un+1 − αn f (vn ) − − αn − αn zn+1 − un+1 αn ≥ − f (dn ) − f (vn ) − αn − αn zn+1 − un+1 αn c ≥ − dn − − αn − αn (2.46) Ta có ln − w n = Từ (2.45) (2.46), suy B zn+1 − un+1 ≤ [1 − αn (1 − c)] zn − un + gA (L)hA n βn + gB (K)hn γn (2.47) Do vậy, từ Bổ đề 1.6, ta có zn − un → 0, kết hợp với zn → x∗ , ta nhận un → x∗ Định lý chứng minh Ta có hệ đây: Hệ 2.3 Cho E không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gâteaux cho tập lồi, compact yếu E có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn Cho C tập lồi, đóng khác rỗng E 29 Cho A : D(A) ⊆ C −→ 2E An : D(An ) ⊆ E −→ 2E , n = 1, 2, , toán tử j-đơn điệu thỏa mãn S = A−1 = ∅, D(A) ⊂ C ⊂ ∩r>0 R(I + rA) D(A) = D(An ) với n Cho {αn } ⊂ (0, 1) {βn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; iii) βn ≥ r > với n ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞ Khi đó, dãy {zn } xác định n zn+1 = αn f (zn ) + (1 − αn )JβAn zn , z0 ∈ C, n = 0, 1, 2, (2.48) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S thỏa mãn QS f (x∗ ) = x∗ Ta biết rằng, không gian Hilbert, A toán tử m-j-đơn điệu, A toán tử đơn điệu cực đại Do đó, ta có định lý đây: Định lý 2.6 Cho H không gian Hilbert Cho A : H −→ 2H B : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại với S = A−1 ∩ B −1 = ∅ Cho f : H −→ H ánh xạ co H Cho {αn } ⊂ (0, 1), {βn } {γn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; iii) βn ≥ r > 0, γn ≥ r > với n, ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞ ∞ n=0 |γn+1 − γn | < ∞ Khi đó, dãy {zn } xác định (2.27) (2.28) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ , PS : H −→ S phép chiếu mêtric từ H lên S Hệ 2.4 Cho H không gian Hilbert Cho A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại với S = A−1 = ∅ cho f : H −→ H ánh xạ co H Cho {αn } {βn } hai dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: 30 i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 |αn+1 ii) ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; ∞ n=0 |βn+1 iii) βn ≥ r > với n − βn | < ∞ Khi đó, dãy {un } xác định u0 ∈ H un+1 = αn f (un ) + (1 − αn )JβAn un , n = 0, 1, , (2.49) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ , PS : H −→ S phép chiếu mêtric từ H lên S 2.3 Ứng dụng ví dụ số minh họa 2.3.1 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi Trước hết, giới thiệu ứng dụng cho toán cực tiểu phiếm hàm lồi Định lý 2.7 Cho H không gian Hilbert cho f1 , f2 : H −→ (−∞, ∞] hai hàm lồi, thường nửa liên tục với S = (∂f1 )−1 0∩(∂f2 )−1 = ∅ Cho f : H −→ H ánh xạ co Cho {αn }, {βn } {γn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; iii) βn ≥ r > 0, γn ≥ r > với n, ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞ ∞ n=0 |γn+1 − γn | < ∞ Khi đó, dãy {xn } xác định x0 ∈ H xn − x 2βn f2 (x) + yn − x 2γn yn = argminx∈H f1 (x) + , n = 0, 1, 2, (2.50) zn = argminx∈H , n = 0, 1, 2, (2.51) xn+1 = αn f (yn ) + (1 − αn )zn , n = 0, 1, 2, (2.52) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ , PS : H −→ S phép chiếu mêtric từ H lên S 31 Chứng minh Ta biết toán tử vi phân ∂f1 ∂f2 đơn điệu cực đại H (xem [22]) Ta có yn = argminx∈H f1 (x) + tương đương với βn ∂f1 (yn ) + yn xn , tức yn = JβAn xn , với A = ∂f1 zn = argminx∈H f2 (x) + tương đương với γn ∂f2 (zn ) + zn x − xn 2βn yn − x 2γn yn , tức zn = JγBn yn , với B = ∂f2 Do đó, xn+1 = αn f (yn ) + (1 − αn )JγBn yn Từ Định lý 2.6, suy dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ Định lý chứng minh Hệ 2.5 Cho H không gian Hilbert cho h : H −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường nửa liên tục với S = (∂h)−1 = ∅ Cho f : H −→ H ánh xạ co Cho {αn } {βn } hai dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; iii) βn ≥ r > với n ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞ Khi đó, dãy {xn } xác định x0 ∈ H yn = argminx∈H h(x) + xn − x 2βn , n = 0, 1, xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )yn , n = 0, 1, (2.53) (2.54) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ , PS : H −→ S phép chiếu mêtric từ H lên S 32 2.3.2 Bài toán chấp nhận lồi Cho C tập lồi đóng không gian Hilbert H Hàm C xác định  0 x ∈ C iC (x) = ∞ x ∈ / C, nón pháp tuyến C điểm x ∈ C xác định NC (x) = {z ∈ H : y − x, z ≤ với y ∈ C} Ta biết iC hàm lồi, thường, nửa liên tục argmin iC = C Do toán tìm phần tử thuộc giao hai tập lồi đóng C1 , C2 không gian Hilbert H tương đương với toán tìm phần thử thuộc tập hợp S = argmin iC1 ∩ argmin iC2 Từ Định lý 2.7, ta có kết đây: Định lý 2.8 Cho H không gian Hilbert cho C1 , C2 hai tập lồi, đóng khác rỗng H cho S = C1 ∩ C2 = ∅ Cho f : H −→ H ánh xạ co Cho {αn } {βn } hai dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = Khi đó, dãy {xn } xác định x0 ∈ H yn = PC1 xn , n = 0, 1, 2, (2.55) xn+1 = αn f (yn ) + (1 − αn )PC2 yn , n = 1, 2, (2.56) hội tụ mạnh phần tử x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ , PS : H −→ S phép chiếu mêtric từ H lên S Chứng minh Trước hết, ta có S = argmin iC1 ∩ argmin iC2 Do đó, áp dụng Định lý 2.7 cho f1 = iC1 f2 = iC2 sử dụng đẳng thức (I + r∂iC )−1 = (I + rNC )−1 = PC với tập lồi, đóng C H r > 0, ta thu điều phải chứng minh 33 2.3.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân Trong mục này, ta đề cập đến ứng dụng Định lý 2.6 để tìm nghiệm chung toán cực tiểu phiếm hàm lồi toán bất đẳng thức biến phân Cho C tập lồi, đóng khác rỗng không gian Hilbert H cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, h-liên tục Khi đó, phần tử u ∈ C gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân tương ứng với A y − u, Au ≥ với y ∈ C Ta sử dụng ký hiệu V I(C, A) để tập nghiệm bất đẳng thức biến phân tương ứng với A Định lý 2.9 Cho H không gian Hilbert cho h : H −→ (−∞, ∞] hàm lồi, thường, nửa liên tục Cho C tập lồi, đóng khác rỗng H cho A : C −→ H toán tử đơn điệu, h-liên tục thỏa mãn S = (∂h)−1 ∩ V I(C, A) = ∅ Cho f : H −→ H ánh xạ co H Nếu {αn }, {βn } {γn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; iii) βn ≥ r > 0, γn ≥ r > với n, ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞ ∞ n=0 |γn+1 − γn | < ∞, dãy {xn } xác định x0 ∈ H yn = argminx∈H h(x) + xn − x 2βn , n = 0, 1, 2, (2.57) zn = V I(C, γn A + I − yn ), n = 0, 1, 2, (2.58) xn+1 = αn f (yn ) + (1 − αn )zn , n = 0, 1, 2, (2.59) hội tụ mạnh x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ , PS : H −→ S phép chiếu mêtric từ H lên S Chứng minh Ta xác định ánh xạ T ⊂ H × H  Ax + N (x), x ∈ C C Tx = ∅, x ∈ / C 34 Rockafellar [23] T toán tử đơn điệu cực đại T −1 = V I(C, A) Ngoài ra, ta có zn = V I(C, γn A + I − yn ) y − zn , γn Azn + zn − yn ≥ với y ∈ C, tức −γn Azn − zn + yn ∈ γn NC (zn ) Suy zn = JγTn yn Từ Định lý 2.6 chứng minh Định lý 2.7, ta thu điều phải chứng minh Từ Định lý 2.6 chứng minh tương tự Định lý 2.9, ta có định lý sau: Định lý 2.10 Cho Ci , i = 1, hai tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert H cho Ai : Ci −→ H, i = 1, hai toán tử đơn điệu, h-liên tục thỏa mãn S = V I(C1 , A1 ) ∩ V I(C2 , A2 ) = ∅ Cho f : H −→ H ánh xạ co H Nếu {αn }, {βn } {γn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; iii) βn ≥ r > 0, γn ≥ r > với n, ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞ ∞ n=0 |γn+1 − γn | < ∞, dãy {xn } xác định x0 ∈ H yn = V I(C1 , βn A1 + I − xn ), n = 0, 1, 2, (2.60) zn = V I(C2 , γn A2 + I − yn ), n = 0, 1, 2, (2.61) xn+1 = αn f (yn ) + (1 − αn )zn , n = 1, 2, (2.62) hội tụ mạnh x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ , PS : H −→ S phép chiếu mêtric từ H lên S Ta có hệ đây: Hệ 2.6 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng H cho A : C −→ H toán tử đơn điệu h-liên tục thỏa mãn V I(C, A) = ∅ Cho f : H −→ H ánh xạ co H Nếu {αn }, {βn } dãy số thực dương thỏa mãn điều kiện: 35 i) limn→∞ αn = 0, ii) ∞ n=0 |αn+1 ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; iii) βn ≥ r > với n ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞ , dãy {xn } xác định x0 ∈ H yn = V I(C, βn A + I − xn ), n = 0, 1, 2, (2.63) xn+1 = αn f (xn ) + (1 − αn )yn , n = 0, 1, 2, (2.64) hội tụ mạnh x∗ ∈ V I(C, A) thỏa mãn PV I(C,A) f (x∗ ) = x∗ 2.3.4 Bài toán cân Trong mục này, luận văn giới thiệu ứng dụng cho việc giải toán cân Cho C tập lồi, đóng khác rỗng H Cho F song hàm từ C × C vào R Bài toán cân phát biểu sau: Tìm x ∈ C cho F (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (2.65) Để nghiên cứu toán (2.65), ta cần đặt số giả thiết lên song hàm F : (A1) F (x, x) = với x ∈ C; (A2) F đơn điệu, tức F (x, y) + F (y, x) ≤ với x, y ∈ C; (A3) với x, y, z ∈ C, ta có limt↓0 F (tz + (1 − t)x, y) ≤ F (x, y); (A4) với x ∈ C cố định, hàm y −→ F (x, y) lồi nửa liên tục Ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.1 [25] Cho F song hàm từ C × C vào R thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) cho AF ánh xạ đa trị từ H vào xác định  {z ∈ H : F (x, y) ≥ y − x, z , ∀y ∈ C}, x ∈ C AF x = ∅, x ∈ / C 36 Khi đó, AF toán tử đơn điệu cực đại thỏa mãn D(AF ) ⊂ C, EP (F ) = AF−1 0, EP (F ) tập nghiệm (2.65) toán tử giải Tr = (I + rAF )−1 xác định Tr x = {z ∈ C : F (z, y) + y − z, z − x ≥ 0, ∀y ∈ C}, ∀x ∈ H r Từ Bổ đề 2.1 Định lý 2.6, ta có định lý đây: Định lý 2.11 Cho C tập lồi, đóng khác rỗng H Cho Fi : C × C −→ R, i = 1, hai song hàm thỏa mãn điều kiện (A1)-(A4) cho S = EP (F1 ) ∩ EP (F2 ) = ∅ Cho f : H −→ H ánh xạ co H Nếu {αn }, {βn } {γn } dãy số thực dương thỏa mãn i) limn→∞ αn = 0, ∞ n=0 |αn+1 ii) ∞ n=0 αn = ∞; − αn | < ∞ limn→0 αn+1 /αn = 1; iii) βn ≥ r > 0, γn ≥ r > với n, ∞ n=0 |βn+1 − βn | < ∞ ∞ n=0 |γn+1 − γn | < ∞, dãy {xn } xác định x0 ∈ H yn = Tβn xn , n = 0, 1, 2, (2.66) xn+1 = αn f (yn ) + (1 − αn )Tγn yn , n = 0, 1, 2, (2.67) hội tụ mạnh x∗ ∈ S thỏa mãn PS f (x∗ ) = x∗ , PS : H −→ S phép chiếu mêtric từ H lên S 2.3.5 Ví dụ số Dưới luận văn giới thiệu ví dụ số đơn giản nhằm minh họa thêm cho Định lý 2.7 Ví dụ 2.1 Xét toán tìm phần tử x∗ ∈ S = argminx∈R3 f1 (x) ∩ argminx∈R3 f2 (x) f1 f2 xác định fi (x) = Ai x, x + Bi , x + Ci , i = 1, 37 với     −1 1     A1 =  1 −1 , A2 = 1 0 , −1 −1 0 1 B1 = −4 −4 , B2 = −4 −4 , C1 , C2 số Ta có fi = 2Ai , i = 1, Do Ai ma trận nửa xác định dương nên fi hàm lồi R3 Ngoài ra, f1 , f2 hàm thường, liên tục R3 Suy ∂f1 , ∂f2 toán tử đơn điệu cực đại Như vậy, toán tương đương với toán xác định không điểm chung hai toán tử đơn điệu cực đại sau: Tìm phần tử x∗ ∈ S = (∂f1 )−1 ∩ (∂f2 )−1 = ∅ Dễ dàng kiểm tra tập nghiệm toán S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 = 2, x3 = 0} - Áp dụng Định lý 2.7 với f (x) = u, với u = −1 f (x) = x/4 với x ∈ R3 , αn = 1/(n + 1), βn = γn = với n ≥ 0, ta nhận kết số đây: f (x) = u TOL 10−3 10−4 10−5 10−6 f (x) = x/4 TOL 10−3 10−4 10−5 10−6 n 2801 28007 280067 2800671 xn − x∗ 9.99 × 10−4 9.99 × 10−5 9.99 × 10−6 9.99 × 10−7 xn (0.500133, 1.500133, −0.000981) (0.500013, 1.500013, −9.81 × 10−5 ) (0.500001, 1.500001, −9.81 × 10−6 ) (0.5, 1.5, −9.81 × 10−7 ) n 2693 35233 586563 11637961 xn − x∗ 9.99 × 10−4 9.99 × 10−5 9.99 × 10−6 9.99 × 10−7 xn (0.999282, (0.999919, (0.999991, (0.999999, Bảng 2.1 1.000020, −0.000696) 1.000027, −5.32 × 10−5 ) 1.000004, −3.19 × 10−6 ) 1, −1.61 × 10−7 ) 38 Sự hội tụ dãy lặp {xn } xác định Định lý 2.7 mô tả hình vẽ đây: Hình 2.1 Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach; số phương pháp lặp để xấp xỉ không điểm toán tử j-đơn điệu (phương pháp điểm gần kề, phương pháp lặp kiểu Halpern phương pháp xấp xỉ mềm); • Trình bày lại kết J.K Kim T.M Tuyên tài liệu [12] phương pháp lặp luân phiên kết hợp với phương pháp lặp Halpern cho toán tìm không điểm chung hai toán tử j-đơn điệu không gian Banach 39 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Aoyama K., Kimura Y., Takahashi W., Toyoda M (2007), “Approximation of common fixed points of a countable family of nonexpansive mappings in Banach spaces”, Nonlinear Anal., 67, pp 2350-2360 [3] Barbu V (1976) Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Space, Noordhoff, Groningen [4] Bauschke H H., Combettes P L., and Reich S (2005), “ The asymptotic behavior of the composition of two resolvents”, Nonlinear Anal., 60(2), pp 283-301 [5] Bregman L M (1965), “The method of successive projection for finding a common point of convex sets”, Sov Math Dokl., 6, pp 688-692 [6] Chen R., Zhu Z (2006), “Viscosity approximation fixed points for nonexpansive and m-accretive operators”, Fixed Point Theory Appl., 2006, pp 1-10 [7] Chen R., Zhu Z (2008), “Viscosity approximation method for accretive operator in Banach spaces”, Nonlinear Anal., 69, pp 1356-1363 [8] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [9] Goebel K., Reich S (1984), Uniform convexity, hyperbolic geometry and nonexpansive mappings, Marcel Dekker, New York and Basel 40 41 [10] Guler O (1991), “On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization”, SIAM J Contr Optim., 29(2), pp 403-419 [11] Hundal H (2004), “An alternating projection that does not converge in norm”, Nonlinear Anal., 57(1), pp 35-61 [12] Kim J.K., Tuyen T.M (2016), “Approximation common zero of two accretive operators in Banach spaces”, Appl Math and Comp., 283, pp 265-281 [13] Jung J.S (2006), “Viscosity approximation methods for family of finite nonexpansive mappings in Banach spaces”, Nonlinear Anal Appl., 64, pp 25362552 [14] Jung J.S (2010), “Convergence of composite iterative methods for finding zeros of accretive operators”, Nonlinear Anal., 71, pp 1736-1746 [15] Jung J.S (2010), “Strong convergence of viscosity approximation methods for finding zeros of accretive operators in Banach spaces”, Nonlinear Anal., 72, pp 449-459 [16] Kim T.H., Xu H K (2005), “Strong convergence of modified Mann iterations”, Nonlinear Anal., 61, pp 51-60 [17] Martinet B (1970), “Regularisation dinequations variationnelles par approximations successives”, Rev FranMc-aise Informat, Recherche Operationnalle., 4, 154-158 [18] Moudafi A (2000), “Viscosity approximation methods for fixed-points problems”, J Math Anal Appl., 241, pp 46-55 [19] Petryshn W.V (1970), “A characterization of strictly convexity of Banach spaces and other uses of duality mappings”, J Funct Anal., 6, pp 282-291 [20] Qin X., Su Y (2007), “Approximation of a zero point of accretive operator in Banach spaces”, J Math Anal Appl., 329, pp 415-424 [21] Reich H H., Matou E.ˇskov´a, Reich S (2004), “Projection and proximal point methods convergence results and counterexamples”, Nonlinear Anal., 56, pp 715-738 42 [22] Rockafellar R.T (1966), “Characterization of the subdifferentials of convex functions”, Pacific J Math., 17, pp 497-510 [23] Rockafellar R.T (1970), “On the maximality of sums of nonlinear monotone operators”, Trans Amer Math Soc., 149, pp 75-88 [24] Rockaffelar R T (1976), “Monotone operators and proximal point algorithm”, SIAM Jour on Contr and Optim., 14, pp 887-897 [25] Takahashi S., Takahashi W., Toyoda M (2010), “Strong convergence theorems for maximal monotone operators with nonlinear mappings in Hilbert spaces”, J Optim Theory Appl., 147, pp 27-41 [26] Von Neumann J (1930), Best approximation in inner product space, N 22 in Annals of Math Studie Princeton Uninversity Press [27] Xu H K (2006), “Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators”, J Math Anal Appl., 314(2), pp 631-643 [28] Xu H K (2004), “Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings”, J Math Anal Appl., 298, pp 279-291 ... phần tử x∗ ∈ E cho: ∈ A(x∗ ), (0.1) A : E −→ 2E toán tử j- đơn điệu xác định không gian Banach E Ta biết E không gian Hilbert toán tử j- đơn điệu gọi toán tử đơn điệu Khi A : H −→ 2H toán tử đơn điệu. .. } không điểm A Trong năm gần đây, xuất phát từ số mô hình toán thực tế tối ưu hóa vật lý, toán tìm không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại hay toán tìm không điểm chung hai toán tử kiểu đơn. .. v ∈ A(y) (1.3) Chú ý 1.4 Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu toán tử j- đơn điệu trùng Định nghĩa 1.14 Toán tử j- đơn điệu A : D(A) ⊂ E −→ 2E gọi m -j ơn điệu R(I + λA) = E với λ