BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ NGỌC HOÀN TOÁN TỬ NỬA ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn giúp hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới anh chị, bạn bè, động viên, giúp đỡ trình hoàn thành khóa học hoàn thiện luận văn. Qua xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ, anh trai người thân gia đình luôn tin tưởng khích lệ giúp hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Vũ Ngọc Hoàn Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử nửa đơn điệu không gian Banach ứng dụng” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Các trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Vũ Ngọc Hoàn Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Không gian Banach không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Toán tử liên tục, hoàn toàn liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Bậc tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Toán tử nửa đơn điệu ứng dụng . . . . . . . . . . 14 2.1. Toán tử nửa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn điệu . . . . . . . . 17 2.3. Phương trình toán tử nửa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4. Lý thuyết bậc cho toán tử nửa đơn điệu. . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Một số ứng dụng vào phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Bảng kí hiệu R Tập số thực E∗ Không gian liên hợp E E ∗∗ Không gian liên hợp E ∗ x, y ||x|| Tích vô hướng x y Chuẩn x Hội tụ yếu deg(f, Ω, p) Bậc tôpô ánh xạ f p theo miền Ω Deg(A, Ω, 0) Bậc tôpô tôpô suy rộng toán tử A X Bao đóng tập hợp X ∗ WF Bao đóng yếu* WF E ∗∗ B(0, r) Hình cầu đóng với bán kính r E ∗∗ Kết thúc chứng minh Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Trong Giải tích hàm phi tuyến, tính compact tính đơn điệu hai khái niệm quan trọng. Chúng có vai trò lớn nghiên cứu nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết tối ưu, . . . . Năm 1968, Browder [4] sử dụng kết hợp tính compact tính tăng trưởng (accretivity) để nghiên cứu phương trình toán tử, có tên phương trình toán tử nửa tăng trưởng (semi-accretive) không gian Banach. Từ đến khái niệm có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu sử dụng xem [6], [7] tài liệu dẫn đó. Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ ứng dụng toán giải tích, đặc biệt lý thuyết toán tử ứng dụng, chọn đề tài “Toán tử nửa đơn điệu không gian Banach ứng dụng” để làm luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ. 2. Mục đích Nghiên cứu toán tử nửa đơn điệu không gian Banach ứng dụng tính chất chúng vào nghiên cứu bất đẳng thức biến phân. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất ứng dụng toán tử nửa đơn điệu không gian Banach. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Toán tử không gian Banach. - Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa đơn điệu ứng dụng. 5. Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu tài liệu: Các báo đăng sách in liên quan mật thiết đến toán tử nửa đơn điệu ứng dụng. - Sử dụng phương pháp giải tích hàm, phương trình toán tử. 6. Đóng góp - Trình bày tổng quan toán tử nửa đơn điệu số ứng dụng. - Chứng minh số tính chất đơn giản toán tử nửa đơn điệu. Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm số kiến thức xem công cụ dùng đến chương sau. Những nội dung không chứng minh tìm thấy [1, 3, 9, 10]. 1.1. Không gian Banach không gian Hilbert Định nghĩa 1.1. Cho E không gian vectơ trường số thực. Một chuẩn E hàm x → ||x|| từ E vào R thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ E, λ ∈ R: (a1 ) ||x|| ≥ 0, ||x|| = ⇔ x = 0; (a2 ) ||λx|| = |λ| ||x||; (a3 ) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Định nghĩa 1.2. Một không gian định chuẩn không gian vectơ với chuẩn nó. Định lý 1.1. Chuẩn x → ||x|| hàm liên tục từ E vào R. Định lý 1.2. Giả sử E không gian định chuẩn. Khi ánh xạ (x, y) → x + y từ E × E vào E (λ, x) → λx từ R × E vào E liên tục. Định nghĩa 1.3. Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ. Định nghĩa 1.4. Cho E không gian vectơ trường số thực. Một dạng Hermite E hàm ϕ : E × E → R thỏa mãn: (a1 ) ϕ(x1 + x2 , y) = ϕ(x1 , y) + ϕ(x2 , y); (a2 ) ϕ(x, y1 + y2 ) = ϕ(x, y1 ) + ϕ(x, y2 ); (a3 ) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y); (a4 ) ϕ(x, λy) = λϕ(x, y); (a5 ) ϕ(x, y) = ϕ(y, x), với x, x1 , x2 , y, y1 , y2 ∈ E, λ ∈ R. Định nghĩa 1.5. Dạng Hermite ϕ E gọi dương ϕ(x, x) ≥ với x ∈ E. Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz). Nếu ϕ dạng Hermite dương E |ϕ(x, y)|2 ≤ ϕ(x, x) ϕ(y, y) với x, y ∈ E. Định nghĩa 1.6. Một dạng Hermite ϕ gọi xác định dương ϕ(x, x) > với x ∈ E, x = 0. Một dạng Hermite xác định dương gọi tích vô hướng. Bổ đề 1.2. Một dạng Hermite dương ϕ E tích vô hướng ϕ(x, y) = với y ∈ E x = 0. Bổ đề 1.3. (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu ϕ dạng Hermite dương với x, y ∈ E. ϕ(x + y, x + y) ≤ ϕ(x, x)+ ϕ(y, y) Định nghĩa 1.7. Một không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn, với chuẩn sinh tích vô hướng. Nếu E không gian tiền Hilbert thay cho ϕ(x, y) ta viết x, y gọi số tích vô hướng x y. Định lý 1.3. Từ định nghĩa tích vô hướng bất đẳng thức Minkowski ta có: x → ||x|| = x, x chuẩn E. Định lý 1.4. Nếu F không gian vectơ không gian tiền Hilbert E tích vô hướng E xác định tích vô hướng F. Với tích vô hướng ta gọi F không gian tiền Hilbert E. Định nghĩa 1.8. Một không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert. 1.2. Toán tử liên tục, hoàn toàn liên tục Định nghĩa 1.9. Giả sử E F không gian vectơ trường số thực, A : E → F ánh xạ tuyến tính nếu: i) A (x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với x1 , x2 ∈ E; ii) A (αx) = αAx với x ∈ E với số α ∈ R. Ở đây, gọn ta viết Ax thay cho A (x) để phần tử ứng với x ánh xạ A. Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính toán tử tuyến tính. 26 Định lý 2.9. Cho E không gian Banach phản xạ thực. A : E×E → E ∗ ánh xạ nửa đơn điệu A (u, ·) liên tục hữu hạn chiều với u ∈ E. Giả sử điều kiện sau đúng: lim u →∞ A (u, u) , u = +∞, u đó, A (u, u) : E → E ∗ toàn ánh. Chứng minh. Do E ⊂ E ∗∗ nên E × E ⊂ E ∗∗ × E ∗∗ . Áp dụng Định lý 2.5 Hệ 2.1 ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.10. Cho E không gian Banach thực. A : E ∗∗ × E ∗∗ → E ∗ ánh xạ nửa đơn điệu A (u, ·) liên tục hữu hạn chiều với u ∈ E ∗∗ , f : E → E ∗ ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử điều kiện sau đúng: lim A (u, u) + f (u) , u > 0. u →∞ Khi đó, A (u, u) + f (u) = có nghiệm E. Chứng minh. Cho F ⊂ E ∗∗ không gian hữu hạn chiều. Xét phương trình toán tử A (u, u) + f (u) = F, nghĩa ta hạn chế A f không gian F . Theo giả thiết, ta có lim A (u, u) + f (u) , u > 0. u →∞, u∈F Vì F không gian hữu hạn chiều, ta giả sử F không gian Hilbert coi A f ánh xạ không gian F vào nó. Thật vậy, A + f ánh xạ F vào E ∗ nên thuộc F ∗ . 27 Bậc Brouwer deg (A + f, B (0, r) , 0) = với r đủ lớn, B (0, r) hình cầu mở với bán kính r F. Do đó, tồn u0 ∈ F cho A (u0 , u0 ) + f (u0 ) = 0, F ∗ . (2.4) Nhân (2.4) với v − u0 , ta thu được: A (u0 , u0 ) + f (u0 ) , v − u0 = 0, ∀v ∈ F. Do A (u0 , v) , v − u0 ≥ A (u0 , u0 ) , v − u0 , ta có A (u0 , v) + f (u0 ) , v − u0 ≥ 0, ∀v ∈ F. (2.5) Kí hiệu F = {F ⊂ E∗∗ không gian hữu hạn chiều} WF = {u ∈ E ∗∗ , u ≤ r u thỏa mãn (2.5)}. ∗ Với F ∈ F, đặt W F bao đóng yếu* WF E ∗∗ . Dễ dàng thấy ∗ {W F , F ∈ F} có giao hữu hạn, ta có ∗ W F = ∅. F ∈F ∗ Lấy w0 ∈ F ∈F W F , với v ∈ E, lấy F ∈ F, cho v ∈ F, tồn wj ∈ WF cho wj w0 . Theo (2.5), ta có A (wj , v) + f (wj ) , v − wj ≥ 0, j = 1, 2, . . . . 28 Theo tính chất hoàn toàn liên tục A (·, v) f, ta có A (wjk , v) → A (w0 , v) , f (wjk ) → f (w0 ) jk → ∞ với dãy {jk } đó. Do A (w0 , w0 + tu) + f (w0 ) , u ≥ 0, ∀u ∈ E, t > 0. Cho t → 0+ , ta A(w0 , w0 ) + f (w0 , u ≥ 0, ∀u ∈ E. Từ A (w0 , w0 ) + f (w0 ) = 0. Định lý chứng minh. Định lý 2.11. Cho E không gian Banach thực. A : E ∗∗ × E ∗∗ → E ∗ ánh xạ nửa đơn điệu A (u, ·) không gian hữu hạn chiều với u ∈ E ∗∗ , f : E ∗∗ → E ∗ ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: lim u →∞ A (u, u) + f (u) , u = +∞. u Khi A (u, u) + f (u) = p∗ có nghiệm E ∗∗ với p∗ ∈ E ∗ . Chứng minh. Với p∗ ∈ E ∗ , đặt f1 (u) = f (u) − p∗ , u ∈ E. Khi A, f1 thỏa mãn điều kiện Định lý 2.10, A (u, u)+f1 (u) = có nghiệm E nên A (u, u) + f (u) = p∗ có nghiệm E ∗∗ . Khi E phản xạ, dùng chứng minh tương tự Định lý 2.10 Định lý 2.11, ta có điều sau Định lý 2.12. Cho E không gian Banach phản xạ thực. A : E × E → E ∗ ánh xạ nửa đơn điệu A (u, ·) liên tục hữu hạn chiều với 29 u ∈ E, f : E → E ∗ ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: lim A (u, u) + f (u) , u > 0, u →∞ A (u, u) + f (u) = có nghiệm E. Định lý 2.13. Cho E không gian Banach phản xạ thực. A : E × E → E ∗ toán tử nửa đơn điệu A (u, ·) liên tục hữu hạn chiều với u ∈ E, f : E → E ∗ ánh xạ hoàn toàn liên tục. Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: lim u →∞ A (u, u) + f (u) , u = +∞, u A (u, u) + f (u) = p∗ có nghiệm E với p∗ ∈ E ∗ . 2.4. Lý thuyết bậc cho toán tử nửa đơn điệu Trong mục này, E không gian Banach phản xạ thực, ta định nghĩa bậc tôpô suy rộng cho toán tử nửa đơn điệu, định nghĩa dựa bao đóng yếu mở tập bị chặn E. Xây dựng bậc w Cho Ω ⊂ E tập hợp mở bị chặn Ω bao đóng yếu Ω, J : E → E ∗ ánh xạ đối ngẫu. Ta có giả thiết E E ∗ không gian lồi địa phương. w w Định nghĩa 2.4. Giả sử A : Ω × Ω → E ∗ toán tử nửa đơn điệu Gu = A (u, u) demi-liên tục, nghĩa uj → u0 Guj Giả sử ∈ / G (∂Ω), tồn Gu0 . > 0, cho ∈ / [G + J] (∂Ω) . 30 Bổ đề 2.2. Nếu A nửa đơn điệu G demi-liên tục, A (u, u)+ Ju : Ω → E ∗ toán tử demi-liên tục thuộc lớp (S+ ) . Chứng minh. Giả sử uj u0 lim sup A (uj , uj ) + Juj , uj − u0 ≤ 0. j→∞ Vì A (uj , uj ) − A (uj , u0 ) , uj − u0 ≥ lim A (uj , u0 ) , uj − u0 = j→∞ theo tính chất hoàn toàn liên tục A (·, u0 ) , ta có: lim inf A (uj , uj ) , uj − u0 ≥ 0. j→∞ Do lim sup Juj , uj − u0 ≤ 0. j→∞ J toán tử lớp (S+ ) , uj → u0 Juj → Ju0 , A (uj , uj ) A (u0 , u0 ) . Do A + J toán tử demi-liên tục lớp (S+ ) . Theo chứng minh theo Bổ đề 2.2, ∈ / A (∂Ω, ∂Ω), tồn > cho ∈ / (A + J) (∂Ω) A + J toán tử liên tục lớp (S+ ) . Theo [5] bậc tôpô deg(A + J, Ω, 0) xác định với ∈ (0, ). Ta dễ dàng {A + t J + (1 − t) J}t∈[0,1] đồng luân lớp (S+ ) . Vậy bậc deg(A + J, Ω, 0) không phụ thuộc vào (0, ). 31 Định nghĩa 2.5. Ta gọi bậc tôpô suy rộng Deg (A, Ω, 0) toán tử nửa đơn điệu A là: Deg (A, Ω, 0) = lim+ deg (A + J, Ω, 0) . →0 Định lý 2.14. Bậc tôpô suy rộng định nghĩa có tính chất sau: (a) Nếu Deg(A, B (0, r) , 0) = 0, A (u, u) = có nghiệm B (0, r), B (0, r) = {u ∈ E : u < r} ; (b) Cho A1 A2 hai toán tử nửa đơn điệu cho uj → u0 tj → t0 ∈ [0, 1] , tj A1 (uj , uj )+(1 − tj ) A2 (uj , uj ) t0 A1 (u0 , u0 )+(1 − t0 ) A2 (u0 , u0 ) . Giả sử 0∈ / ∪ t∈[0,1] [tA1 + (1 − t) A2 ] (∂Ω), Deg (A1 , Ω, 0) = Deg (A2 , Ω, 0) ; (c) Cho Ω1 , Ω2 hai tập mở rời Ω. Giả sử có 0∈ / Ω − (Ω1 ∪ Ω2 ) , Ω − (Ω1 ∪ Ω2 ) , Deg (A, Ω, 0) = Deg (A, Ω1 , 0) + Deg (A, Ω2 , 0) ; (d) Deg (J, Ω, 0) = deg (J, Ω, 0) . 32 Chứng minh. (a) Nếu Deg (A, B (0, r) , 0) = 0, deg (A + J, B (0, r) , 0) = với ∈ (0, ) với số > đó. Ta có theo [5], A (u, u) + Ju = có nghiệm u ∈ B (0, r) với ∈ (0, ) . Cho → 0+ , ta giả sử u u0 . Vì u0 ≤ lim →0+ u , ta phải có u0 ∈ B (0, r) . Vì trái lại u0 ∈ ∂B (0, r), theo tính lồi địa phương E, ta có u → u0 . Vì A (u , u ) → A (u0 , u0 ) = 0, điều mâu thuẫn với 0∈ / A (∂B (0, r) , ∂B (0, r)). Vì A (u , u ) + Ju , v − u ≥ 0, A (u , v) + Jv, v − u ≥ 0, ∀v ∈ B (0, r) . Cho → 0+ , ta có A (u0 , v) , v − u0 ≥ 0, ∀v ∈ B (0, r) . (2.6) Với u ∈ E, u0 + tu ∈ B (0, r) với t > đủ bé, theo (2.6) ta có A (u0 , u0 + tu) , u ≥ với t > đủ bé . Từ A (u0 , u0 ) , u ≥ 0, ∀u ∈ E. 33 Do A (u0 , u0 ) = 0. (b) Dễ dàng thấy tồn > 0, cho 0∈ / ∪ [tA1 + (1 − t) A2 + J] (∂Ω) , t∈[0,1] ∀ ∈ (0, ) . Điều suy từ chứng minh Bổ đề 2.2 để kiểm tra {tA1 + (1 − t) A2 + J}t∈[0,1] phép đồng luân lớp (S+ ) . Theo [5] ta có deg(A1 + J, Ω, 0) = deg(A2 + J, Ω, 0) với ∈ (0, ) . Từ Deg (A1 , Ω, 0) = Deg (A2 , Ω, 0) . (c) Chứng minh: Xem ý (b) Định lý [5]. (d) Rõ ràng, deg ((1 + ) J, Ω, 0) = deg (J, Ω, 0), kết luận đúng. Định lý 2.15. Cho A : B (0, r) × B (0, r) → E ∗ toán tử nửa đơn điệu. Giả sử Gu = A (u, u) demi-liên tục A (u, u) , u ≥ 0, ∀u ∈ ∂B (0, r) , A (u, u) = có nghiệm B (0, r) . Chứng minh. Đặt A (u, v) = A (u, v) + Ju, u, v ∈ B (0, r) với > cho trước. Khi A toán tử nửa đơn điệu G (u, u) = A (u, u) demi-liên tục. Dễ dàng thấy 0∈ / ∪t∈[0,1] [tA + (1 − t) J] (∂B (0, r)). 34 Theo Định lý 2.14, (b) (d), ta có Deg (A , B (0, r) , 0) = Deg (J, B (0, r) , 0) = 1. Vì theo (a) Định lý 2.14, A (u, u) = có nghiệm u B (0, r), nghĩa A (u , u ) + Ju = 0. Ta giả thiết u u0 → 0+ . Nếu u0 ∈ ∂B (0, r), u → u0 , A (u , u ) → = A (u0 , u0 ) . Nếu trái lại, u0 ∈ B (0, r) . Khi đó, theo chứng minh phần (a) Định lý 2.14, có A (u0 , u0 ) = 0. Điều phải chứng minh. 2.5. Một số ứng dụng vào phương trình vi phân Trong phần này, ta đưa vài ứng dụng kết vào toán bất đẳng thức biến phân phương trình đạo hàm riêng. Ví dụ 2.2. Cho Ω ⊂ RN miền mở bị chặn với biên trơn. Cho (x, y, z) : RN × R × RN → R hàm liên tục, i = 1, 2, . . . , N , thỏa mãn điều kiện sau: (1) |ai (x, y, z)| ≤ bi |y| + ci |z| + gi (x), bi , cj > số, hàm gi (x) ∈ L2 (Ω) , i = 1, 2, .; (2) N i [ai (x, y, w) − (x, y, z)] (wi − zi ) ≥ 0, y ∈ R, x, w, z ∈ RN , w = (w1 , w2 , ., wN ), z = (z1 , z2 , ., zN ) ; (3) N j (x, y, w) wi ≥ α|w|2 − β, y ∈ R, x, w ∈ RN , w = (w1 , w2 , ., wN ), α > 0, β > số. 35 Cho ψ (x) hàm đo Ω. K = {v ∈ W01,2 (Ω) : v (x) ≥ ψ (x) , hầu khắp nơi x ∈ Ω} W01,2 (Ω) không gian Sobolev. Cho j : R → (0, +∞] hàm lồi nửa liên tục dưới. Khi ta có: Định lý 2.16. Giả sử K tập khác rỗng. Giả thiết j (u) ∈ L1 (Ω) với u ∈ K điều kiện (1),(2),(3) thỏa mãn. Khi đó, với f ∈ W −1,2 (Ω) tồn u0 ∈ K, cho N [j (u (x)) − j (u0 (x))] dx (x, u0 (x) , Du0 (x)) Di v (x) + i=1 Ω Ω ≥ f, v − u0 (x) , ∀v ∈ K, W −1,2 (Ω) không gian đối ngẫu W01,2 (Ω) . Chứng minh. Cho A : W01,2 (Ω) × W01,2 (Ω) → W −1,2 (Ω) định nghĩa N (x, u (x) , Dv (x)) Di w (x) dx, ∀u, v, w ∈ W01,2 (Ω) A (u, v) , w = Ω i=1 Theo giả thiết (1) ta có N | A (u, v) , w) | ≤ [bi |u| + ci |Di v| + g (x)] |Di w| dx Ω i=1 ≤ (B u + C v + C0 ) w , ∀u, v, w ∈ W01,2 (Ω) · chuẩn W01,2 (Ω) , B, C, C0 > số, A (u, ·) liên tục với u ∈ W01,2 (Ω) . Từ giả thiết (2) có A (u, v) − A (u, w) , v − w ≥ 0, ∀u, v, w ∈ W01,2 (Ω) . 36 Vì W01,2 (Ω) nhúng compact vào L2 (Ω), ta có A (·, v) hoàn toàn liên tục với v ∈ W01,2 (Ω) . Do đó, A toán tử nửa đơn điệu. Hơn nữa, (3) suy A (u, u) , u ≥ α Du − c0 , ∀u ∈ W01,2 (Ω) , C0 > số. Ta biết   Ω j (u (x)) dx, j (u) ∈ L (Ω) Gu =  +∞, trái lại, hàm lồi nửa liên tục dưới. Hơn nữa, tồn f ∈ W −1,2 (Ω) α > cho Gu ≥ (f , u) − α với u ∈ W01,2 (Ω) . Từ [8] ta có lim inf[ A (u, u) , u + Gu − (f, u)] > G0. u →∞ Theo Định lý 2.7, ta suy kết luận Định lý 2.16 đúng. Ví dụ 2.3. Ta xét trường hợp đặc biệt Ω = (0, 1). Cho A : W01,2 (0, 1) × W01,2 (0, 1) → W −1,2 (0, 1) xác định dv dw dx. dx dx (1 + u (x)) A (u, v) , w = Dễ dàng thấy A (u, v) − A (u, w) , v − w ≥ A (·, v) hoàn toàn liên tục với v cố định. Vì |u (x)| ≤ u với x ∈ [0, 1] u ∈ W01,2 (0, 1), ta có A (u, u) − f, u ≥ 1+ u −1− f u . 37 < 1, theo Định lý 2.5, tồn u0 ∈ W01,2 (0, 1) cho Giả sử f u0 (x) ≥ 0, hầu khắp x ∈ Ω du0 d (u0 − v) −f dx ≥ dx (1 + u20 (x)) dx ∀v ∈ W01,2 (0, 1) , v (x) ≥ với hầu khắp x ∈ (0, 1) . Ví dụ 2.4. Cho Ω ⊂ RN miền mở bị chặn với biên trơn. Cho (x, y, z) : RN × R × RN → R hàm liên tục, i = 1, 2, ., N , thỏa mãn điều kiện sau: (1) |ai (x, y, z)| ≤ bi |y|p−1 + ci |z|p−1 + gi (x), bi , ci > số, gi (x) ∈ Lq (Ω) , i = 1, 2, ., N, p > (2) N i=1 [ai (x, y, w) y ∈ R, p + q = 1; − (x, y, z)] (wi − zi ) ≥ 0, x, w, z ∈ RN , w = (w1 , w2 , ., wN ) , z = (z1 , z2 , ., zN ) . Cho f (x, y) : RN × R → R hàm Caratheodory cho |f (x, y)| ≤ L|y|p−1 + g (x) , g ∈ Lq (Ω) . Ta xét phương trình đạo hàm riêng sau  N    − D a (x, u, Du) = f (x, u), ∀x ∈ Ω, i i i=1 (2.7)    u(x) = 0, x ∈ Ω. Ta nói u ∈ W01,p (Ω) nghiệm suy rộng (2.7) thỏa mãn: N (x, u, Du) Di vdx = i=1 Ω f (x, u) vdx, Ω ∀v ∈ W01,p (Ω) . 38 Định lý 2.17. Giả sử (1) (2) điều kiện sau thỏa mãn: N [ai (x, u, Du)Di u − f (x, u) u (x)]dx Ω i=1 |Du|p dx − c, u ∈ W01,p (Ω). ≥a Ω Khi (2.7) có nghiệm suy rộng. Chứng minh. Cho A : W01,p (Ω) × W01,p (Ω) → W −1,p (Ω) định nghĩa N (x, u (x) , Dv (x)) Di w (x) dx, ∀u, v, w ∈ W01,p (Ω). A (u, v) , w = Ω i=1 Theo điều kiện (1), ta biết A xác định A (u, ·) liên tục với u ∈ W01,p (Ω) . Theo điều kiện (2) định lý nhúng compact W01,p (Ω) vào Lp (Ω) suy A nửa đơn điệu. Theo giả thiết Định lý 2.13 (2.7) có nghiệm W01,p (Ω) . Kết luận Trong chương trình bày số nội dung toán tử nửa đơn điệu, toán bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn điệu, sử dụng kết tính nửa đơn điệu, lí thuyết bậc toán tử để áp dụng vào số ứng dụng cụ thể. Kết luận Luận văn trình bày tổng quan số nội dung về: - Toán tử nửa đơn điệu; - Phương trình toán tử nửa đơn điệu; - Bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn điệu; - Lý thuyết bậc cho toán tử nửa đơn điệu; - Một vài ứng dụng. Vì khả điều kiện có hạn, luận văn tránh thiếu sót. Kính mong thầy cô bạn góp ý kiến để luận văn hoàn thiện tốt hơn. 39 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục. [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] S. Aizicovici and Y. Q. Chen (1998), Note on the topological degree of the subdifferential of a lower semi-continuous convex function, Proc. Amer. Math. Soc. 126, pp. 2905-2908. [3] H. Brezis (2010), Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer. [4] F. E. Browder (1968), Semicontractive and semiaccretive nonlinear mapping in Banach Spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 74, pp. 660-665. [5] F. E. Browder (1983), Fixed point theory and nonlinear problems, Bull. Amer. Math. Soc. 1, pp. 1-39. [6] Y. Q. Chen (1996), On accretive operators in cones of Banach spaces, Non. Anal. 27, 1125-1135. [7] Y. Q. Chen (1999), On the semi-monotone operator theory and applications, J. Math. Anal. Appl. 231, pp. 177-192. [8] K. Deimling (1984), Nonlinear Functional Analysis, SpringerVerlag, Berlin. 40 41 [9] D. O’Regan, Y. J. Cho and Y. Q. Chen (2006), Series in mathematical analysis and applications, volume 10: Topological degree theory and applications. [10] R. R. Phelps (1993), Lectures on maximal monotone operators, Lectures given at Prague/Paseky Summer School, Czech Republic, August 15-28, 1993. [11] R. E. Showalter (1997), Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations, Mathematical Surveys and Monographs, 49. American Mathematical Society, Providence, RI. [12] M. M. Va˘inberg (1973), Variational method and method of monotone operators in the theory of nonlinear equations, Translated from the Russian by A. Libin. Translation edited by D. Louvish. Halsted Press (A division of John Wiley and Sons), New York-Toronto, Ont.; Israel Program for Scientific Translations, Jerusalem-London, xi+356 pp. [13] Zeidler, Eberhard (1990), Nonlinear functional analysis and its applications. II/A.Linear monotone operators, Translated from the German by the author and Leo F. Boron. Springer-Verlag, New York, xviii+467 pp. [14] Zeidler, Eberhard (1990), Nonlinear functional analysis and its applications. II/B.Nonlinear monotone operators, Translated from the German by the author and Leo F. Boron.Springer-Verlag, New York. [...]... trong đó p∗ = np n−p Kết luận Chương này đã trình bày một số kiến thức có liên quan làm cơ sở như không gian Banach, không gian Hilbert, toán tử liên tục, hoàn toàn liên tục, không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu*, toán tử nửa đơn điệu, bậc tôpô và không gian Sobolev để trình bày các kiến thức trong chương tiếp theo Chương 2 Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng Chương này trình bày khái niệm toán tử. .. tử nửa đơn điệu trong không gian Banach, một số tính chất đặc trưng và ứng dụng của nó Các kết quả này được trình bày dựa trên tài liệu [7] Trong chương này, E là không gian Banach thực, E ∗ là không gian đối ngẫu của E và E ∗∗ là không gian đối ngẫu của E ∗ 2.1 Toán tử nửa đơn điệu Định nghĩa 2.1 Ánh xạ A : E ∗∗ × E ∗∗ → E ∗ gọi là nửa đơn điệu nếu A thỏa mãn: i) Với mỗi u ∈ E ∗∗ , A(u, ) là đơn điệu, ... ∗∗ ; ii) Với mỗi v ∈ E ∗∗ cố định, A (., v) là toán tử hoàn toàn liên tục, nghĩa là, nếu uj u0 trong tôpô yếu* của E ∗∗ , thì {A (uj , v)} có một dãy con A (ujk , v) → A (u0 , v) trong tôpô chuẩn của E ∗ Định lý 2.1 Cho A, B là các toán tử nửa đơn điệu, khi đó: 1) A + B cũng là toán tử nửa đơn điệu; 2) αA cũng là toán tử nửa đơn điệu ∀α ∈ R+ 14 15 Chứng minh 1) Thật vậy, i) ∀u, v, w ∈ E ∗∗ ta có:... liên tục được gọi là tôpô yếu* trên E ∗ 10 1.4 Toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.18 Một ánh xạ T từ một không gian Banach E vào E ∗ gọi là một toán tử đơn điệu nếu T x − T y, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ E Ví dụ 1.1 Cho C là một tập con không rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H và cho U (nói chung phi tuyến) là ánh xạ không giãn (nonexpansive) của C vào chính nó ||U (x) − U (y)|| ≤ ||x − y|| với... tuyến tính và ||A ◦ B|| ≤ ||A|| ||B|| 7 Định nghĩa 1.12 Cho E và F là các không gian định chuẩn Toán tử tuyến tính A : E → F được gọi là toán tử compact nếu ảnh A(B) của hình cầu đơn vị B trong E là compact tương đối trong F Như vậy, nếu A là toán tử compact thì A = sup A (x) = sup y : y ∈ A (B) < ∞, x∈B do đó A liên tục Toán tử compact nói chung là chặt chẽ hơn toán tử liên tục Do đó toán tử compact... 0, ∀u ∈ K (2.3) 25 2.3 Phương trình toán tử nửa đơn điệu Trong phần này, chúng ta xét sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử A (u, u) = g Định lý 2.8 Cho E là không gian Banach thực A : E ∗∗ × E ∗∗ → E ∗ là toán tử nửa đơn điệu và A (u, ·) là liên tục hữu hạn chiều với mỗi u ∈ E ∗∗ Giả sử lim u →∞ A (u, u) , u > 0 Khi đó A (u, u) = 0 có nghiệm trong E ∗∗ Chứng minh Theo Định lý 2.4, tồn tại w0... nghiệm trong E với mọi p∗ ∈ E ∗ 2.4 Lý thuyết bậc cho các toán tử nửa đơn điệu Trong mục này, E luôn là không gian Banach phản xạ thực, ta định nghĩa bậc tôpô suy rộng cho toán tử nửa đơn điệu, định nghĩa này dựa trên bao đóng yếu của mở tập con bị chặn của E Xây dựng bậc w Cho Ω ⊂ E là một tập hợp con mở bị chặn và Ω là bao đóng yếu của Ω, J : E → E ∗ là ánh xạ đối ngẫu Ta luôn có giả thiết rằng cả E và. .. còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục Định lý 1.8 Nếu A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F thì các mệnh đề sau đây tương đương: a) A compact; b) Nếu X là tập bị chặn trong E thì A(X) là tập compact tương đối trong F ; c) Nếu dãy {xn } là dãy bị chặn trong E thì tồn tại dãy con {xnk } để dãy {Axnk } hội tụ trong F 1.3 Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô yếu*... → ∞) trong tôpô chuẩn của E ∗ Vậy αA cũng là toán tử nửa đơn điệu Ví dụ 2.1 Cho ánh xạ A : R × R → R với A(u, v) = u2 v Khi đó A là toán tử nửa đơn điệu 17 Thật vậy, i) A(u, ) đơn điệu: Với mọi u, v, w ∈ R ta có A (u, v) − A (u, w) , v − w = u2 v − u2 w, v − w = (u2 v − u2 w)(v − w) = u2 (v − w)2 ≥ 0 ii) ∀v0 ∈ R, A(., v) là toán tử hoàn toàn liên tục: Với A(u, v0 ) = u2 v0 Lấy (xn ) bị chặn trong. .. không gian lồi đều địa phương w w Định nghĩa 2.4 Giả sử A : Ω × Ω → E ∗ là một toán tử nửa đơn điệu và Gu = A (u, u) là demi-liên tục, nghĩa là nếu uj → u0 thì Guj Giả sử rằng 0 ∈ G (∂Ω), thì tồn tại / 0 Gu0 > 0, sao cho 0 ∈ [G + J] (∂Ω) / 30 Bổ đề 2.2 Nếu A là nửa đơn điệu và G là demi-liên tục, khi đó A (u, u)+ Ju : Ω → E ∗ là một toán tử demi-liên tục thuộc lớp (S+ ) Chứng minh Giả sử uj u0 và . yếu*, toán tử nửa đơn điệu, bậc tôpô và không gian Sobolev để trình bày các kiến thức trong chương tiếp theo. Chương 2 Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng Chương này trình bày khái niệm toán tử nửa đơn. toán tử và ứng dụng, tôi chọn đề tài Toán tử nửa đơn điệu trong không gian Banach và ứng dụng để làm luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo Thạc sĩ. 2. Mục đích Nghiên cứu về toán tử nửa đơn điệu. nửa đơn điệu trong không gian Banach. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Banach. - Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng. 5. Phương