ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM KHÔNG ĐIỂM CHUNG CỦA MỘT HỌ HỮU HẠN TOÁN TỬ j-ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRƯƠNG MINH TUYÊN THÁI NGUYÊN-2015 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Trương Minh Tuyên, từ đáy lòng xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, thầy, cô khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy, cô tham gia giảng dạy, truyền thụ kiến thức quý báu cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Trường Tôi xin chân thành cảm ơn tới lãnh đạo Ủy ban Nhân dân tỉnh Hưng Yên, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Hưng Yên, Ban giám hiệu trường THPT Trần Hưng Đạo đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên thời gian học tập làm luận văn Tác giả ii Một số ký hiệu viết tắt E không gian Banach E∗ không gian đối ngẫu E R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 n→∞ x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị δE (ε) mô đun lồi không gian Banach E F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M o(t) vô bé bậc cao t iii Mục lục Lời cảm ơn Một số ký hiệu viết tắt Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị i iii 1.1 Không gian Banach lồi không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux 1.2 Ánh xạ đối ngẫu, toán tử j−đơn điệu giới hạn Banach 1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu 1.2.2 Toán tử j−đơn điệu 1.2.3 Giới hạn Banach 10 1.3 Một số bổ đề bổ trợ 10 Chương Một số phương pháp tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu 13 2.1 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 13 2.2 Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Mann 15 2.3 Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern 17 2.4 Phương pháp prox-Tikhonov kết hợp với phương pháp xấp xỉ mềm 20 2.5 Ví dụ số 33 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Cho E không gian Banach, toán xác định không điểm lớp toán tử loại đơn điệu có vai trò quan trọng lĩnh vực giải tích phi tuyến tối ưu hóa số ngành khoa học khác vật lý, kinh tế, y học Chẳng hạn toán chấp nhận lồi không gian Hilbert H, tìm phần tử x∗ ∈ ∩N i=1 Ci = ∅, đưa toán tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Ai , vi phân hàm tập Ci , hay toán tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn không gian Banach tương đương với toán xác định không điểm hột họ toán tử j-đơn điệu Do đó, vấn đề nghiên cứu phương pháp giải hệ phương trình với toán tử loại đơn điệu thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm toán giới Khi A : H −→ 2H toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert H (trong không gian Hilbert khái niệm j-đơn điệu đơn điệu trùng nhau), R T Rockafellar [17] đề xuất phương pháp điểm gần kề để xác định dãy {xn } sau: cn Axn+1 + xn+1 xn , x0 ∈ H, (0.1) cn > c0 > Tuy nhiên, việc áp dụng phương pháp lặp (0.1) thu hội tụ yếu dãy {xn } không điểm A Năm 2006 tác giả H K Xu [24] năm 2009 tác giả Y Song, C Yang [19] đề xuất nghiên cứu cải biên phương pháp điểm gần kề cho toán xác định không điểm toán tử đơn điệu cực đại A không gian Hilbert, ông hội tụ mạnh dãy lặp {xn } xác định xn+1 = JrAn (tn u + (1 − tn )xn + en ), n = 0, 1, 2, (0.2) với số điều kiện thích hợp đặt lên dãy số {tn } dãy sai số tính toán bước lặp {en }, JrAn = (I + rn A)−1 Việc nghiên cứu mở rộng kết H K Xu cho toán xác định không điểm hay hữu hạn toán tử j-đơn điệu thu hút quan tâm nhiều người làm toán, như: D D Sahu J C Yao [18], T M Tuyen [22, 11] Mục đích đề tài trình bày lại số phương pháp xác định không điểm họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu không gian Banach Cụ thể, đề tài tập trung giải vấn đề sau: Trình bày hội tụ yếu phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Mann hội tụ mạnh phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern cho toán xác định không điểm họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu không gian Banach với tính liên tục yếu theo dãy ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy; Trình bày phương pháp prox-Tikhonov hiệu chỉnh với phương pháp xấp xỉ mềm dựa toán tử Mier-Keeler co cho toán xác định không điểm họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu không gian Banach với chuẩn khả vi Gâteaux Luận văn chia làm hai chương Chương chương có tính chất chuẩn bị, nhằm trình bày số kiến thức không gian Banach lồi đều, không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều, ánh xạ đối ngẫu, toán tử j-đơn điệu giới hạn Banach Chương luận văn tập chung trình bày lại số phương pháp cải tiến phương pháp điểm gần kề cho toán tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu, với ví dụ số đơn giản tính toán phần mềm Matlab, nhằm minh họa thêm cho phương pháp Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương gồm mục Mục 1.1 giới thiệu không gian Banach lồi không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux Mục 1.2 trình bày ánh xạ đối ngẫu, toán tử j-đơn điệu giới hạn Banach, với số tính chất chúng Mục 1.3, giới thiệu số bổ đề cần sử dụng chứng minh định lý chương sau luận văn 1.1 Không gian Banach lồi không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux Trước hết, ta nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ E, tồn phần tử x thuộc E cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) với x∗ ∈ E Mệnh đề 1.1 [1] Cho E không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) E không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn E, có dãy hội tụ yếu Định nghĩa 1.2 Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ E, x = y mà x = 1, y = ta có x+y < Chú ý 1.1 Định nghĩa 1.2 phát biểu dạng tương đương sau: Không gian Banach E gọi lồi chặt với x, y ∈ SE thỏa x+y mãn = 1, suy x = y với x, y ∈ SE x = y ta có tx + (1 − t)y < với t ∈ (0, 1), SE = {x ∈ E : x = 1} Định nghĩa 1.3 Không gian Banach E gọi lồi với ε > 0, tồn δ(ε) > cho với x, y ∈ E mà x = 1, y = 1, x − y ≥ ε ta có x+y ≤ − δ(ε) Dễ thấy E không gian Banach lồi không gian Banach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ví dụ điều Ví dụ 1.1 [1] Xét X = c0 (không gian dãy số hội tụ không) với chuẩn β xác định ∞ x β = x c0 +β i=1 |xi |2 i2 1/2 , x = (xi ) ∈ c0 Khi đó, (X, β ), β > không gian lồi chặt không không gian lồi Để đo tính lồi không gian Banach E, người ta đưa vào khái niệm sau: Định nghĩa 1.4 Cho E không gian Banach Khi đó, hàm δE (ε) : [0, 2] −→ [0, 1] gọi mô đun lồi E x+y δE (ε) = inf − : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε Nhận xét 1.1 Mô đun lồi không gian Banach E hàm số xác định, liên tục tăng đoạn [0; 2] Không gian Banach E lồi chặt δE (2) = Ngoài ra, không gian Banach E lồi δE (ε) > 0, ∀ε > Mệnh đề 1.2 [1] Mọi không gian Banach lồi không gian phản xạ Định nghĩa 1.5 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn E gọi khả vi Gâteaux điểm x0 ∈ SE với y ∈ SE , tồn giới hạn d x0 + ty − x0 ( x0 + ty )t=0 = lim t→0 dt t (1.1) Định nghĩa 1.6 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó: a) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux khả vi Gâteaux x ∈ SE b) Chuẩn E gọi khả vi Gâteaux với y ∈ SE giới hạn (1.1) tồn với x ∈ SE Định nghĩa 1.7 Không gian Banach E gọi thỏa mãn điều kiện Opial với dãy {xn } ⊂ E thỏa mãn xn x ∈ E, ta có lim inf xn − x < lim inf xn − y , n→∞ n→∞ với y ∈ E mà y = x Ví dụ 1.2 Mọi không gian Hilbert H thỏa mãn điều kiện Opial 1.2 Ánh xạ đối ngẫu, toán tử j−đơn điệu giới hạn Banach 1.2.1 Ánh xạ đối ngẫu Dưới đây, giới thiệu khái niệm ánh xạ đối ngẫu tương ứng với hàm cỡ ϕ Định nghĩa 1.8 Một hàm liên tục, đơn điệu tăng ϕ : R+ −→ R+ gọi hàm cỡ ϕ(0) = limt→∞ ϕ(t) = ∞ Định nghĩa 1.9 Cho E không gian tuyến tính định chuẩn ϕ ∗ hàm cỡ Khi đó, ánh xạ Jϕ : E −→ 2E xác định Jϕ (x) = {f ∈ E ∗ : x, f = x f , f = ϕ( x )}, x ∈ E gọi ánh xạ đối ngẫu ứng với hàm cỡ ϕ Định nghĩa 1.10 Ánh xạ đối ngẫu Jϕ ứng với hàm cỡ ϕ không gian Banach E gọi có tính liên tục yếu theo dãy Jϕ đơn trị {xn } ⊂ E thỏa mãn xn x, Jϕ (xn ) hội tụ *yếu Jϕ (x) 25 {xn } hội tụ mạnh tới nghiệm phương trình Ai = Chú ý 2.5 Hệ 2.1 tổng quát kết Xu [24] (Định lý 3.3) Tiếp theo, mục này, giới thiệu số kết nghiên cứu J.K Kim T.M Tuyen tài liệu [11] cho toán xác định không điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux phương pháp xấp xỉ mềm dựa ánh xạ Meir-Keeler co Ta có định lí sau: Định lí 2.4 Cho E không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gˆateaux C tập lồi đóng E có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn Cho T ánh xạ không giãn C Khi đó, với φ ∈ ΣC với t ∈ (0, 1), tồn điểm bất động vt ∈ C ánh xạ Meir-Keeler co C v −→ tφvt + (1 − t)T vt {vt } hội tụ mạnh t → x∗ ∈ F (T ) nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ − φx∗ , j(x∗ − x) ≤ với x ∈ F (T ) Chứng minh Từ Bổ đề 1.2, ánh xạ C (2.26) v −→ tφvt + (1 − t)T vt Meir-Keeler co C Do đó, tồn phần tử vt ∈ C thỏa mãn vt = tφvt + (1 − t)T vt Ta {vt } bị chặn Thật vậy, lấy p ∈ F (T ) ε > Trường hợp vt − p ≤ ε Trong trường hợp này, dễ thấy {xt } bị chặn Trường hợp vt − p ≥ ε Từ Bổ đề 1.1, tồn r ∈ (0, 1) cho φvt − φp ≤ r vt − p Do đó, ta có vt − p = tφvt + (1 − t)T vt − p ≤ t φvt − φp + t φp − p + (1 − t) vt − p ≤ rt vt − p + t φp − p + (1 − t) vt − p Suy ra, vt − p ≤ φp − p 1−r 26 Từ đó, ta nhận {vt } bị chặn tập hợp {φvt }, {T vt } bị chặn Từ tính bị chặn {vt }, {φvt } {T vt }, ta có vt − T vt = t φvt − T vt −→ t → Giả sử tn → Đặt := vtn xác định ánh xạ ϕ : C −→ R+ ϕ(x) = LIMn − x , với x ∈ C đặt M = {y ∈ C : ϕ(y) = inf ϕ(x)} x∈C Vì E không gian phản xạ, ϕ(x) → ∞ x → ∞ ϕ hàm lồi liên tục, nên từ Barbu and Precupanu [2], ta nhận M khác rỗng Từ Takahashi [21], ta có M tập lồi, đóng bị chặn Với x ∈ M , từ − T →0 n → ∞, ta có ϕ(T x) = LIMn − T x ≤ LIMn ( − T + T − T x )2 ≤ LIMn T − T x ≤ LIMn − x 2 = ϕ(x) Do M bất biến T , tức là, T (M ) ⊂ M Từ giả thiết, ta có M ∩F (T ) = ∅ Lấy x∗ ∈ M ∩ F (T ) từ Bổ đề 1.3, ta nhận LIMn x − x∗ , j(vn − x∗ ) ≤ với x ∈ C (2.27) LIMn φx∗ − x∗ , j(vn − x∗ ) ≤ (2.28) Đặc biệt, Giả sử LIMn − x∗ ≥ ε > Từ (1.4), lim supn→∞ − x∗ đó, tồn dãy {vnk } {vn } cho vnk − x∗ ≥ ε0 với k ≥ 1, √ ε0 ∈ (0, ε) Từ Bổ đề 1.2, tồn r0 ∈ (0, 1) cho φvnk − φx∗ ≤ r vnk − x∗ ≥ ε Do 27 Từ T vnk − vnk , j(vnk − x∗ ) ≤ với k ≥ 1, ta có vnk − x∗ = t φvnk − x∗ , j(vnk − x∗ ) + (1 − t) T vnk − x∗ , j(vnk − x∗ ) ≤ t φvnk − x∗ , j(vnk − x∗ ) + (1 − t) vnk − x∗ , điều suy vnk − x∗ ≤ φvnk − x∗ , j(vnk − x∗ ) ≤ φvnk − x, j(vnk − x∗ ) + φx − x∗ , j(vnk − x∗ ) , với x ∈ C Do vậy, từ (2.27), ta nhận LIMn vnk − x∗ ≤ LIMn φvnk − x, j(vnk − x∗ ) + LIMn φx − x∗ , j(vnk − x∗ ) ≤ LIMn φvnk − x vnk − x∗ , với x ∈ C Đặc biệt, LIMn vnk − x∗ ≤ LIMn φvnk − φx∗ vnk − x∗ ≤ r0 LIMn vnk − x∗ , điều vô lý Vì vậy, LIMn − x∗ = tồn dãy {vnk } {vn } cho vnk → x∗ k → ∞ Giả sử {vnl } dãy khác {vn } cho vnl → y ∗ với y ∗ = x∗ Dễ thấy y ∗ ∈ F (T ) Từ Bổ đề 1.2, tồn r1 ∈ (0, 1) cho φx∗ − φy ∗ ≤ r1 x∗ − y ∗ (2.29) Chú ý | − φvn , j(vn − y ∗ ) − x∗ − φx∗ , j(x∗ − y ∗ ) | ≤ | − φvn , j(vn − y ∗ ) − x∗ − φx∗ , j(vn − y ∗ ) | + | x∗ − φx∗ , j(vn − y ∗ ) − x∗ − φx∗ , j(x∗ − y ∗ ) ≤ − φvn − (x∗ − φx∗ ) − y ∗ + | x∗ − φx∗ , j(vn − y ∗ ) − j(x∗ − y ∗ ) | 28 với n ∈ N Vì vnk → x∗ j norm-weak* liên tục đều, ta thu x∗ − φx∗ , j(x∗ − y ∗ ) ≤ Tương tự, ta có y ∗ − φy ∗ , j(y ∗ − x∗ ) ≤ Cộng hai bất đẳng thức trên, ta nhận x∗ − y ∗ − (φx∗ − φy ∗ ), j(x∗ − y ∗ ) ≤ 0, kết hợp với (2.29), suy x∗ − y ∗ ≤ r1 x∗ − y ∗ , vô lý Do {vtn } hội tụ mạnh x∗ Bây giờ, ta {vt } hội tụ mạnh x∗ t → Giả sử tồn dãy {sn }, sn ∈ (0, 1) với n sn → n → ∞ cho vsn → z ∗ n → ∞ Khi đó, z ∗ ∈ F (T ) Với t z ∈ F (T ), ta có vt − φvt , j(vt − z) = 1−t T vt − vt , j(vt − z) ≤ t Do đó, ta nhận vtn − φvtn , j(vtn − z ∗ ) ≤ 0, vsn − φvsn , j(vsn − x∗ ) ≤ 0, điều suy x∗ − φx∗ , j(x∗ − z ∗ ) ≤ and z ∗ − φz ∗ , j(z ∗ − x∗ ) ≤ Bởi lập luận tương tự trên, ta thu x∗ = z ∗ Suy {vt } hội tụ mạnh x∗ dễ thấy x∗ nghiệm bất đẳng thức biến phân x∗ − φx∗ , j(x∗ − x) ≤ với x ∈ F (T ) Định lí chứng minh Chú ý 2.6 Cho Q ánh xạ co rút không giãn từ C lên F (T ) Bởi tính Q bất đẳng thức (2.26), ta nhận Qφx∗ = x∗ 29 Định lí 2.5 Cho E không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gˆateaux cho T ánh xạ không giãn C với F (T ) = ∅ giả sử {xn } dãy bị chặn cho xn − T xn → n → ∞ Cho xt = tφxt + (1 − t)T xt với t ∈ (0, 1), φ ∈ ΣC Giả sử x∗ = limt→0 xt tồn Khi lim sup (φ − I)x∗ , j(xn − x∗ ) ≤ (2.30) n→∞ Chứng minh Đặt M = sup{ xn − xt : t ∈ (0, 1), n ≥ 0} Khi đó, ta có xt − xn = t φxt − xn , j(xt − xn ) + (1 − t) T xt − xn , j(xt − xn ) = t φxt − xt , j(xt − xn ) + t xt − xn + (1 − t) T xt − T xn , j(xt − xn ) + (1 − t) T xn − xn , j(xt − xn ) ≤ φxt − xt , j(xt − xn ) + t xt − xn + (1 − t) xt − xn 2 + M xn − T xn điều suy φxt − xt , j(xn − xt ) ≤ M xn − T xn t Cố định t cho n → ∞ ta nhận lim sup (φ − I)x∗ , j(xn − x∗ ) ≤ n→∞ Định lí chứng minh Tiếp theo, cho E không gian Banach phản xạ với chuẩn khả vi Gˆateaux cho C tập lồi đóng E có tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn Cho Ai : E −→ 2E toán tử j-đơn điệu, −1 = 1, 2, , N cho S = ∩N i=1 Ai = ∅ D(Ai ) ⊂ C ⊂ ∩r>0 R(I + rAi ) với i = 1, 2, , N Với φ ∈ ΣC , ta nghiên cứu hội tụ mạnh dãy lặp {zn } xác định z0 ∈ C, zn+1 = SN (αn φzn + (1 − αn )zn ) với n ≥ 0, (2.31) SN := a0 I + a1 J A1 + a2 J A2 + + aN J AN với a0 , a1 , , aN số thực nằm khoảng (0, 1) cho thực dương, điều kiện: N i=0 = {αn } ⊂ (0, 1) dãy số 30 (C1) limn→∞ αn = 0, (C2) ∞ n=1 |αn ∞ n=1 αn = ∞, − αn−1 | < ∞ limn→∞ |αn − αn−1 | = 0, αn Trước hết, ta có định lí sau: Định lí 2.6 Nếu dãy {αn } thỏa mãn điều kiện (C1)-(C2), dãy {xn } xác định xn+1 = SN (αn u + (1 − αn )xn ) với n ≥ 0, (2.32) hội tụ mạnh Qu, u ∈ C Q ánh xạ co rút không giãn theo tia từ C lên S −1 Chứng minh Từ Bổ đề 1.5, ta có F (SN ) = ∩N = ∅ Với p ∈ F (SN ), i=1 Ai ta có xn+1 − p = SN (αn u + (1 − αn )xn ) − SN (p) ≤ (1 − αn ) xn − p + αn u − p ≤ max{ xn − p , u − p } (2.33) ≤ max{ x0 − p , u − p } Do {xn } bị chặn giả sử max{sup xn , u } ≤ K Suy xn+1 − SN (xn ) = SN (αn u + (1 − αn )xn ) − SN (xn ) (2.34) ≤ αn f (xn ) − xn → 0, n → ∞ Từ (2.32), ta thu xn+1 − xn = SN (αn u + (1 − αn )xn ) − SN (αn−1 u + (1 − αn−1 )xn−1 ) ≤ (1 − αn ) xn − xn−1 + αn βn , |αn − αn−1 | Ta xét hai trường hợp sau: αn ∞ Trường hợp Điều kiện n=1 |αn − αn−1 | < ∞ thỏa mãn Khi đó, βn = 2K xn+1 − xn ≤ (1 − αn ) xn − xn−1 + σn , 31 ∞ n=1 σn < ∞ |αn − αn−1 | limn→∞ αn với σn = 2K|αn − αn−1 | Trường hợp Điều kiện = thỏa mãn Khi đó, xn+1 − xn ≤ (1 − αn ) xn − xn−1 + σn , vớiσn = αn βn σn = o(αn ) Từ trường hợp Bổ đề 1.8 suy xn+1 − xn → n → ∞ từ (2.34) ta nhận xn − SN xn ≤ xn+1 − xn + xn+1 − SN xn → n → ∞ (2.35) Đặt yn = αn u + (1 − αn )xn , ta có yn − xn = αn u − xn −→ n −→ ∞, điều suy yn − SN yn ≤ yn − xn + xn − SN xn + SN xn − SN yn ≤ yn − xn + xn − SN xn −→ n −→ ∞ Với t ∈ (0, 1), đặt xt = tu + (1 − t)SN xt Áp dụng Định lí 2.4 với φx = u c ∈ C, ta có {xt } hội tụ mạnh x∗ ∈ F (SN ) thỏa mãn Qu = x∗ Từ Định lí 2.5 suy lim supn→∞ u − x∗ , j(yn − x∗ ) ≤ Chú ý yn − x∗ = αn u + (1 − αn )xn ) − x∗ , j(yn − x∗ ) ≤ (1 − αn ) xn − x∗ yn − x∗ + αn u − x∗ , j(yn − x∗ ) − αn ( xn − x∗ + yn − x∗ ) + αn u − x∗ , j(yn − x∗ ) Do yn − x ∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ + 2αn u − x∗ , j(yn − x∗ ) Tiếp theo, ta có xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ + 2αn u − x∗ , j(yn − x∗ ) (2.36) Do vậy, áp dụng Bổ đề 1.8 vào (2.36) ta nhận điều phải chứng minh Định lí chứng minh 32 Sự hội tụ mạnh dãy lặp {zn } xác định (2.31) cho định lí đây: Định lí 2.7 Nếu dãy {αn } thỏa mãn điều kiện (C1)-(C2), dãy {zn } xác định (2.31) hội tụ mạnh x∗ ∈ S thỏa mãn Qφx∗ = x∗ , Q ánh xạ co rút không giãn theo tia từ C lên S Chứng minh Giả sử x∗ điểm bất động Qφ, tức Qφx∗ = x∗ Cho {xn } dãy xác định xn+1 = SN (αn φx∗ + (1 − αn )xn ) với n ≥ Từ Định lí 2.6, xn −→ Qφx∗ = x∗ n −→ ∞ Ta ra, zn −xn −→ n −→ ∞ Giả sử ngược lại lim supn→∞ zn − xn > Khi đó, chọn ε với ε ∈ (0, lim supn→∞ zn − xn ) Từ Bổ đề 1.2, tồn r ∈ (0, 1) thỏa mãn (1.5) Chọn n1 ∈ N cho r xn − x∗ < ε, 1−r với n ≥ n1 Ta xét hai trường hợp sau: (i) Tồn n2 ∈ N thỏa mãn n2 ≥ n1 zn2 − xn2 ≤ ε (ii) zn − xn > ε với n ≥ n1 Trong trường hợp (i), ta có zn2 +1 − xn2 +1 ≤ (1 − αn2 ) zn2 − xn2 + αn2 φzn2 − φx∗ ≤ (1 − αn2 ) zn2 − xn2 + αn2 max{r zn2 − x∗ , ε} ≤ max (1 − αn2 + rαn2 ) zn2 − xn2 + αn2 (1 − r) (1 − αn2 ) zn2 − xn2 + αn2 ε ≤ ε r xn − x∗ , 1−r 33 Bằng quy nạp, ta zn − xn ≤ ε với n ≥ n2 , điều mâu thuẫn với ε < lim supn→∞ zn − xn ) Trong trường hợp (ii), với n ≥ n1 , ta có zn+1 − xn+1 ≤ (1 − αn ) zn − xn + αn φzn − φx∗ ≤ (1 − αn ) zn − xn + αn φzn − φxn + αn φxn − φx∗ = [1 − αn (1 − r)] zn − xn + αn (1 − r) φxn − φx∗ 1−r Do vậy, từ Bổ đề 1.8, ta nhận limn→∞ zn − xn = 0, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Suy limn→∞ zn − xn = Do đó, ta thu lim zn − x∗ ≤ lim zn − xn + lim xn − x∗ = n→∞ n→∞ n→∞ Định lí chứng minh 2.5 Ví dụ số Tiếp theo, đưa ví dụ nhằm minh họa thêm cho tính đắn phương pháp lặp trình bày Ví dụ 2.1 Xét toán tìm phần tử x∗ ∈ S = argminx∈R3 f1 (x) ∩ argminx∈R3 f2 (x), f1 f2 định nghĩa fi (x) = Ai x, x + Bi , x + Ci , i = 1, với    1 −1 1      , A2 = 1 0 , A1 =  1 −1     −1 −1 0  B1 = −4 −4 , B2 = −4 −4 , C1 , C2 số tùy ý Ta có fi = 2Ai , i = 1, Do Ai ma trận nửa xác định dương nên fi hàm lồi R3 Ngoài ra, f1 , f2 hàm thường, liên tục R3 Suy ∂f1 , ∂f2 toán tử đơn điệu cực đại Như vậy, toán tương đương với toán sau: Tìm phần tử x∗ ∈ S = (∂f1 )−1 ∩ (∂f2 )−1 = ∅ 34 Dễ dàng kiểm tra tập nghiệm toán S = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 = 2, x3 = 0} - Áp dụng phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern; với 1 u = −1 , x ∈ R3 , αn = βn,1 = βn,2 = với n ≥ 0, có n hình sau: Hình 2.1: Nghiệm xác x∗ = (0.5, 1.5, 0) - Áp dụng phương pháp lặp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern; với u = −1 , x ∈ R3 với βn,1 = 1/4−1/(4(n+1)), βn,2 = 3/4+1/(4(n+1)) αn = với n ≥ 0, có hình sau: n Hình 2.2: Nghiệm xác x∗ = (0.5, 1.5, 0) - Áp dụng phương pháp prox-Tikhonov kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm; với 35 f (x) = u = −1 , x ∈ R3 với = n ≥ 0, có hình sau: 1 , (i = 0, 1, 2) αn = với n Hình 2.3: Nghiệm xác x∗ = (0.5, 1.5, 0) - Áp dụng phương pháp prox-Tikhonov kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm; với 1 f (x) = x/4 + u, u = −1 , x ∈ R3 với = , (i = 0, 1, 2) αn = n với n ≥ 0, có hình sau: Hình 2.4: Nghiệm xác x∗ = (1/3, 5/3, 0) 36 Kết luận Luận văn trình bày lại có hệ thống số phương pháp xấp xỉ không điểm chung họ hữu hạn toán tử j-đơn điệu không gian Banach Cụ thể là: • Sự hội tụ yếu phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Mann không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy; • Sự hội tụ mạnh phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp lặp Halpern không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy; • Một số định lý hội tụ mạnh dựa phương pháp prox-Tikhonov không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy hay không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux 37 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Barbu V., Precupanu Th (1978), Convexity and Optimization in Banach spaces, Editura Academiei R S R., Bucharest [3] Bruck R E (1973), "Properties of fixed point sets of nonexpansive mappings in Banach spaces", Trans Am Math Soc., 179, pp 251-262 [4] Chen R., Zhu Z (2006), "Viscosity approxomation fixed points for nonexpansive anh m-accretive operator", Fixed Point Theory and Appl [5] Goebel K., Reich S (1984), Uniform convexity, hyperbolic geometry and nonexpansive mappings, Marcel Dekker, New York and Basel [6] Gornicki J (1989), "Weak convergence theorems for asymptotically nonexpansive mappings in uniformly convex Banach spaces" Comment Math Univ Carol., 30, pp 249-252 [7] Guler O (1991), "On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization", SIAM J.Contr Optim., 29(2), pp 403-419 [8] Ha K.S., Jung J.S (1990), "Strong convergence theorems for accretive operators in Banach space", J Math Anal Appl., 147, pp 330-339 [9] Halpern B (1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull Allahabad Math Soc., 73, pp 957-961 [10] Hao Y (2010), "Some weak convergence theorems for a family of asymptotically nonexpansive nonself mappings", Fixed Point Theory Appl., 2010 38 [11] Kim J K., Tuyen T M (2015), "Viscosity approximation method with Meir-Keeler contractions for common zero of accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2015(9) [12] Lehdili N., Moudafi A (1996), "Combining the proximal algorithm and Tikhonov regularization", Optim., 37(3), pp 239-252 [13] Mann W R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 [14] Martinet B (1970), "Regularisation dinequations variationnelles par approximation successives", Rev PranMc-aise Informat Recherche operationnelle, 4, pp 154-158 [15] Moudafi A (2000), "Vicosity approximation methods for fixed point problems", J Math Anal Appl., 241, pp 45-55 [16] Rockafellar R T (1970), "On the maximal monotonicity of subdifferential mappings", Pacific J Math., 33, pp 209-216 [17] Rockaffelar R T (1976), "Monotone operators and proximal point algorithm", SIAM J Contr Optim., 14,pp 887-897 [18] Sahu D D., Yao J.C (2011), "The prox-Tikhonov regularization method for the proximal point algorithm in Banach spaces", J Global Optim., 51, pp 641-655 [19] Song Y., Yang C (2009), "A note on a paper: A regularization method for the proximal point algorithm", J Glob Optim., 43(1), pp 171-174 [20] Suzuki T (2007), "Moudafi’s viscosity approximations with Meir-Keeler contractions", J Math Anal Appl., 325, pp 342-352 [21] Takahashi W (2009), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory and Applications, Yokohama Publishers, Yokohama 39 [22] Tuyen T M (2012), "Strong convergence theorem for a common zero of m−accretive mappings in Banach spaces by viscosity approximation methods" J Nonl Func Anal Appl., 17(2), pp 187-197 [23] Xu H.-K., Lim T C (1994), "Fixed point theorems for asymptotically nonexpansive mappings", Nonl Anal., 22, pp 1345-1355 [24] Xu H.-K (2006), "A regularization method for the proximal point algorithm", J Glob Optim., 36(1), pp 115-125 [25] Xu H.-K (2006), "Strong convergence of an iterative method for nonexpansive and accretive operators", J Math Anal Appl., 314(2), pp 631-643 [26] Wang S., Li T (2014), "Weak and strong convergence theorems for common zeros of accretive operators", Journal of Inequalities and Appl., 2014: (282) ... Chương Một số phương pháp tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử j- đơn điệu Chương tập trung trình bày số phương pháp cải tiến phương pháp điểm gần kề cho toán tìm không điểm chung họ hữu hạn toán. .. Chương Một số phương pháp tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử j- đơn điệu 13 2.1 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ không giãn 13 2.2 Phương pháp điểm gần kề kết hợp với phương pháp. .. tập chung trình bày lại số phương pháp cải tiến phương pháp điểm gần kề cho toán tìm không điểm chung họ hữu hạn toán tử j- đơn điệu, với ví dụ số đơn giản tính toán phần mềm Matlab, nhằm minh họa