Bài tập giải tích 2

2 với D là miền giới hạn bởi 3 với D là miền giới hạn bởi ii Phương pháp đổi biến số Giả sử tích phân kép được biến đổi từ tọa độ Đề các vuông góc Oxysang tọa độ cong O’uv theo công thức

Bài tập giải tích 2

Chương 1 Hàm nhiều biến số

Bài 1 Tính các giới hạn (nếu có):

Bài 9 Phương trình xác định hàm số ẩn z= z(x, y).Chứng minh rằng

Bài 10 Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số sau:

Bài 12 Haỹ tìm cực trị có điều kiện của các hàm sau đây

a) với điều kiện

b) với điều kiện

c) Trong các hình chữ nhật có chu vi ,(p cho trước), hãy tìm hìnhchữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất

i) Phương pháp tích phân lặp (đưa trực tiếp tích phân về tích phânxác định)

a) với D là miền giới hạn bởi

b) với D là miền giới hạn bởi

Ví dụ 3 Miền lấy tích phân là miền hình thang cong

thì

a) với D là miền giới hạn bởi

b) với D là miền giới hạn bởi

Bài tập Tính các tích phân kép sau:

1) với D là chu vi tam giác có các đỉnh A(1,1), B(4,1),C(4,4)

2) với D là miền giới hạn bởi

3) với D là miền giới hạn bởi

ii) Phương pháp đổi biến số

Giả sử tích phân kép được biến đổi từ tọa độ Đề các vuông góc Oxysang tọa độ cong O’uv theo công thức biến đổi (*) thỏa mãn

ba điều kiện sau

a) Các hàm x(u,v) và y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trong miềnảnh D’ (trong tọa độ O’uv)

b) Jacôbiên của phép biến đổi không triệt tiêu trong D’:

c) Phép biến đổi (*) đơn trị một – một (nghĩa là các điểm khác nhau của

D’ tương ứng với các điểm khác nhau của D )

Trong trường hợp này tích phân hai lớp được tính theo công thức

Trường hợp riêng, đổi biến sang tọa độ cực: trong toànkhông gian có

thì |J|= r và

+) Nếu D là miền chứa gốc tọa độ thì

Trong đó là phương trình đường cực của đường cong giới hạnmiền D

*) Đổi biến sang tọa độ cực suy rộng đối với miền D là hình elíp

trong toàn không gian có Khi đó |J|= |ab|r và

(chú ý: Đường tròn là một trường hợp riêng của hình elíp)

Chú ý: Thực chất, có thể coi đổi biến sang tọa độ cực suy rộng là 2 lần

Bài 1 Tính các tích phân sau đây:

a) với D là miền hình tròn tâm (a/2,0) bán kính a

b)

c)

nhất

Bài 2 Tính diện tích hoặc thể tích các hình được cho dưới đây:

a) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường thẳng và

b*) Diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong

c) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng x = 0, y = 0, z = 0 x

= 4, y = 4 và

d) Tính diện tích phân mặt được cắt bởi hình trụ

e) Tính diện tích của phần mặt cầu được cắt bởi hình trụ

xác định và khả tích trên V

Ta có công thức tính tích phân

Sau khi tính xong tp ta thu được tích phân kép và tínhtích phân kép đó như đã biết.

Chú ý: Ngoài ra ta có thể tính tích phân bội ba theo công thức sau:

Trong đó S(x) là thiết diện của miền V với mặt phẳng vuông góc vớitrục Ox tại điểm có hoành độ x, ( )

j) Đổi biến số

Có thể đổi biến sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu

*) Tọa độ trụ ( ): Giả xử các biến mới liên hệ với các biến

cũ x, y, z bởi các hệ thức

trong toàn không gian ta có

Khi đó và

Trong đó V’ là miền biến thiên của tọa độ trụ tương ứng với V

Hoặc đổi sang tọa độ trụ suy rộng ( là các hằng số)

trong toàn không gian ta có

trong toàn không gian ta có

Chú ý: Có thể coi đổi sang tọa độ cầu suy rộng là đổi biến 2 lần

và

Bài tập:

Bài 1 Tính các tích phân sau

a) , trong đó V là một tứ diện giới hạn bởi các mặtphẳng x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1

b) , trong đó V là một tứ diện giới hạn bởi cácmặt phẳng x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1

c) , trong đó V là một tứ diện giới hạn bởi các mặtphẳng x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1

d) nếu V giới hạn bởi các mặt z = 0,

Bài 2 Tính các tích phân sau:

a) nếu V giới hạn bởi các mặt y = 0, z = 0, z =

2

b) , trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt

c) , trong đó V là nửa trên của elipxôit

d) , trong đó V là một tứ diện giới hạn bởi các mặt

Bài 3 Tính diện tích hoặc vật thể sau:

a) Tính thể tích Hình cầu tâm O(0,0,0) bán kính R

b) Tính thể tích Hình bị giới hạn bởi các mặt ,

c) Tính thể tích hình bị giới hạn bởi

d) Tính diện tích phần mặt bị cắt bởi hình trụ .e) Tính diện tích phần mặt cầu bị cắt bởi mặt trụ

Chương 3 Tích phân đường

3.1 Tích phân đường loại 1.

a) Đường cong trong mặt phẳng

Cần tính tích phân đường loại 1:

*) Đường cong cho bởi phương trình tham số

ứng với hai đầu mút A và B của đườngcong thì vi phân cung

Khi đó

*) Đường cong cho bởi phương trình ta có

*) Đường cong cho bởi phương trình trong tọa độ cực

ứng với hai đầu mút A và B của đường cong thì

vi phân cung

Khi đó

b) Đường cong trong không gian

Đường cong cho bởi phương trình tham số

ứng với hai đầu mút A và B của

Khi đó

Bài tập

Bài 1 Tính các tích phân đường sau

a) trong đó là chu vi tam giác có các đỉnh O(0,0);A(1,0); B(0,1)

b) trong đó là đường tròn

c) trong đó là đường thẳng nối O(0,0,0) và A(1,2,3)

d) trong đó là phần bé của đường tròn

giới hạn bởi các điểm A(0,0,R) và

3.2 Tích phân đường loại 2

a) Đường cong trong mặt phẳng

Cần tính tích phân đường loại 2

*) Đường cong cho bởi phương trình tham số

ứng với hai đầu mút A và B của đườngcong

Khi đó

*) Đường cong cho bởi phương trình ta có

Hoặc ngược lại thì

b) Đường cong trong không gian

Đường cong cho bởi phương trình tham số

ứng với hai đầu mút A và B của đường

Bài tập:

Bài 1 Tính các tích phân

a) theo các đường nối từ A(0,0) đến B(1,1) như sau:i) theo đường thẳng y = x

ii) Theo cung Parabôn

iii) Theo đường gấp khúc ACB biết C(1,0)

b) Tam giác ABC: A(0,0); B(0,2), C(2,2)

Bài 3 Áp dụng công thức Green để tính các tích phân đường sau:

Ta có công thức tính tích phân (chuyển từ tích phân mặt loại 1 sangtích phân kép)

c) , trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 nằmtrong góc phần tám thứ nhất.

e) trong đó S là phần mặt nón nằmtrong mặt trụ

(**)

Có 2 cách tính:

Cách 1: Đưa về tích phân mặt loại 1 bởi công thức (*) ở đó nếu S là

mặt có phương trình z = z(x, y) thì tọa độ của véctơ pháp tuyến đơn

vị là

Nếu ( , ) < thì là dấu “+”, nếu ( , ) > thì là dấu “- ’’

Cách 2: Ta có thể chia thành việc tính 3 tích phân sau

Sau đó tính

*) Chẳng hạn tính

khi véc tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Oz ( chú ý tích

phân tính theo hai biến dx, và dy “khuyết dz”) một góc nhọn, và

dấu “-” nếu nó là góc tù

*) Chẳng hạn tính

khi véc tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Ox ( chú ý tích

phân tính theo hai biến dy, và dz “khuyết dx”) một góc nhọn và

dấu “-” nếu góc đó là góc tù

*) Chẳng hạn tính

khi véc tơ pháp tuyến tạo với chiều dương trục Oy (chú ý tích

phân tính theo hai biến dx, và dz “khuyết dy”) một góc nhọn và

dấu “-” nếu góc đó là góc tù

b) Công thức Stoke: Công thức này thiết lập mối quan hệ giữa tích

phân đường lấy theo một phía xác định của mảnh mặt (S) giới hạnbởi chu tuyến đóng L với tích phân đường lấy theo chu tuyến đó

Hướng dương của chu tuyến L được quy ước như sau: nếu mộtngười quan trắc đứng trên phía được chọn của mặt (tức là hướng từchân lên đầu trùng với hướng của véc tơ pháp tuyến ) thì khi ngườiquan tắc di chuyển trên L theo hướng dương thì mặt luôn nằm phíabên trái đường đi

Hình vẽ

Nếu các hàm P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), và R = R(x,y,z) là nhữnghàm khả vi liên tục, còn L là chu tuyến đóng giới hạn bởi mặt haiphía (S) thì ta có công thức Stoke:

c) Công thức Ostrogradski: liên hệ giữa tích phân mặt loại hai va

tích phân bội ba

Giả sử V là miền đóng, giới nội trong không gian có biên là mặtkín, trơn từng mảnh S Nếu các hàm P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R

= R(x,y,z) và các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng V

Ta có công thức Ostrogradski sau:

Bài tập

Bài 1 Tính các tích phân sau:

a) , S là phía trên của phần mặt phẳng x + z– 1 = 0 nằm giữa hai mặt phẳng y = 0, y = 4 và thuộc phần tám thứnhất.

b) trong đó S là phía ngoài mặt nón

c) , S là phía dưới hình tròn

Bài 2 Tính các tích phân sau:

a) trong đó L là đường tròn và S là nửatrên của mặt cầu

b) trong đó S là phía ngoài mặt cầu

Chương 4 phương trình vi phân

4.2 Phương trình vi phân cấp cao

Bài 1 Giải các phương trình vi phân sau

7)

riêng Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện

Bài 5 Giải phương trình