Báo cáo bài tập lớn giải tích 2

MATLAB cho phép tính toán số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

I.GIỚI THIỆU MATLAB

MATLAB là một môi trường tính toán số

và lập trình, được thiết kế bởi công ty MathWorks MATLAB cho phép tính toán

số với ma trận, vẽ đồ thị hàm số hay biểu

đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác MATLAB giúp đơn giản hóa việc giải quyết các bài toán tính toán kĩ thuật so với các ngôn ngữ lập trình truyền thống như C, C++,

và Fortran Vì vậy, đối với những bài toán trong môn Giải Tích, đặc biệt là các bài toán tích phân, vẽ

đồ thị , ta có thể sử dụng các ứng dụng tính toán của MATLAB để giải quyết theo cách đơn giản và dễ hiểu nhất, giúp chúng ta làm quen và bổ sung thêm

kỹ năng sử dụng các chương trình, ứng dụng cho sinh viên

II.NỘI DUNG BÁO CÁO

Câu 1: Vẽ mặt Hyperbolic Paraboloid , với

a, b nhập từ bàn phím

Cơ sở lí thuyết:

1 Phương trình : z= x^2/(a^2)-y^2/b^2

2 Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho

x = 0, y = 0 thì được 2 giao tuyến với 2 mặt tọa độ

là 2 đường Parabol và cho z=c ta được đường còn lại là 1 đường Hyperbol

Nếu 2 trong 3 giao tuyến với các mặt tọa độ hoặc các mặt song song với các mặt tọa độ là 2 Parabol, giao tuyến còn lại là 1 Hyperbol thì ta gọi mặt S là Paraboloid Hyperbolic

Đoạn code:

syms x y

a=input('nhap a: ');

b=input('nhap b: ');

z=(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2);

t=linspace(-5,5);

[x,y]=meshgrid(t,t);

z=char(z);z=strrep(z,'*','.*');z=strrep(z,'^','.^');

z=eval(z);

set(surf(x,y,z),'FaceColor','r','FaceAlpha','0,3','Edg eColor','r');

rotate3d on;

Câu 2: Tính , với D được giới hạn bởi

Vẽ miền D

Cơ sở lí thuyết:

Cho hàm f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D Chia miền D thành n phần không dẫm lên nhau là D1, D2, D3,

…(các phần không có phần chung)

tương ứng có diện tích là ΔS1, ΔS2, ΔS3,

… Trên mỗi miền Dk ta lấy 1 điểm

Mk(xk,yk) tùy ý Lập tổng (gọi là tổng

tích phân kép của hàm f(x,y))

Hiển nhiên tổng trên phụ thuộc vào cách chia miền D và cách lấy điểm Mk

Cho n→∞ sao cho max{d(D)} →0 (d(D)

là kí hiệu đường kính của miền D tức là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm bất kỳ thuộc D) Nếu khi ấy tổng Sn tiến đến giới hạn hữu hạn S không phụ thuộc vào cách chia miền D cũng như cách lấy

điểm Mk thì giới hạn S được gọi là tích phân kép của hàm f(x,y) trên miền D và

kí hiệu là

Tức là

Hàm f(x, y) được gọi là hàm dưới dấu tích phân, D là miền lấy tích phân, ds là yếu tố diện tích Khi ấy, ta nói hàm f(x, y) khả tích trên miền D

Chú ý:Nếu f(x, y) khả tích trên D thì ta

có thể chia D bởi các đường thẳng song song với các trục tọa độ Lúc đó Dij sẽ là hình chữ nhật với các cạnh là nên

ΔSij = và ds được thay bởi

dxdy Vì vậy, ta thường dùng kí hiệu

Điều kiện khả tích :

Định nghĩa đường cong trơn : Đường

cong C có phương trình tham số

y = y(t), x = x(t) được gọi là trơn nếu các đạo hàm x’(t), y’(t) liên tục và

không đồng thời bằng 0 Đường cong C được gọi là trơn từng khúc nếu có thể chia nó thành hữu hạn các cung trơn.

Định lý: Hàm liên tục trên 1 miền đóng,

bị chặn và cóbiên trơn từng khúc thì khả tích trên miền đó.

Cách tính tích phân kép ( Định lý

Fubini):

Cho hàm f(x,y)liên tục trên miền đóng

và bị chặn D

+) Giả sử D xác định bởi:

+)Giả sử D xác định bởi:

Đổi sang tọa độ cực

Công thức đổi sang tọa độ cực

Trong đó

=

Đoạn code:

syms x y

I=int(int(exp(x/y),x,0,y^2),y,0,1) syms x

y1=sqrt(x);

y2=-sqrt(x);

y3=0*x+1;

set(ezplot(char(y1),[-5,5,-5,5]),'Color','blue','LineWidth',2)

set(ezplot(char(y2),[-5,5,-5,5]),'Color','blue','LineWidth',2)

set(ezplot(char(y3),[-5,5,-5,5]),'Color','blue','LineWidth',2)

plot([0,0],[-5,5],'Color','blue','LineWidth',2) X=linspace(0,1,100);

f=subs(y1,x,X);

fill([0,X,0],[0,f,1],'g');

hold off

Câu 3: Tìm phương trình mặt phẳng tiếp diện với

Paraboloid Elliptic

syms x y;

z=2*x^2+y^2

disp('phuong trinh mat tiep dien là: ')

z=subs(diff(z,x),[x,y,z],[1,1,3])*(x-1)+subs(diff(z,y),[x,y,z],[1,1,3])*(y-1)-3

Câu 4: Cho hàm ẩn thỏa phương trình

Tính

Cơ sở lí thuyết :

Hàm ẩn 1 biến (Đã biết) : Cho hàm y=y(x) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y)=0 Ta tính đạo hàm y’ bằng cách lấy đạo hàm 2 vế phương trình F(x,y)=0 theo x:

Ta tính từ đẳng thức này để được công thức

Hàm ẩn nhiều biến: Cho hàm z=z(x,y) xác định từ phương trình hàm ẩn F(x,y,z)

= 0 Ta phải tính 2 đạo hàm riêng.Tương

tự hàm ẩn 1 biến, ta có công thức tính đạo hàm

Để có đạo hàm cấp 2, ta lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1, và nhớ rằng z là hàm, biến còn lại là hằng số

Đoạn code :

syms x y z

f=x*cos(y)+y*cos(z)+z*cos(x)-1

fx=diff(f,x)

fz=diff(f,z)

fy=diff(f,y)

zy=-fy/fz

zxy=diff(zx,z)*zy+diff(zx,y)

zn=solve(subs(f,[x y],[0 0])==0,z) subs(zxy,[x y z],[0 0 1])

Câu 5 : Tính tổng chuỗi số

Cơ sở lí thuyết

Định nghĩa: Cho dãy số {un} Ta gọi tổng tất cả

các số hạng của dãy (TỔNG VÔ HẠN) là chuỗi số

Ta gọi:

 là số hạng tổng quát của chuỗi

 Tổng riêng thứ n của chuỗi là tổng n – số hạng đầu tiên :

 Tổng của chuỗi là giới hạn hữu hạn (nếu có)

Khi đó, ta nói chuỗi hội tụ Ngược lại, tức là hoặc không tồn tại giới hạn hoặc giới hạn ra vô tận thì ta nói chuỗi phân kỳ Vậy khi chuỗi hội tụ, chuỗi có tổng

Đoạn code :

syms n

S = symsum ((3*(n^3)-4*(n^2)+5)/(4^n) ,n ,1 ,inf)

S = 97/27