Bài tập môn giải tích 2

PHEP TINH VI PHAN HAM NHIEU BIEN 1.. Xét tính liên tục của các hàm số 4.. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số 5.. Tìm vi phân toàn phần của các hàm số 7.. Tính vi phân cấp hai của hàm

¬ Chương 1 PHEP TINH VI PHAN HAM NHIEU BIEN

1 Tìm tập xác định của hàm sô

a) u=x+/y b) „=N1—xˆ +VJ1—ÿyŸ c) ø=Alx”+y” —1 d) u=Inxy

2 Tìm giới hạn của hàm sô

a) u=—5— khi (x; y) > (0;0) b) ø=—— khi (x; y) > (0;0)

c) ¬ = 7 khi (x; y) — (400; +00) d) w=(x+y)sin- khi (x; y) —> (0;0)

e) w=(@2+y2)”” khi Œ,y) —> (00) ÐĐu= TS” ?7 khi y) 90)

x+y?

8) u=(x + ) khi (x; y) —> (+œ; +œ) h) u= khi (x,y) —> (0;3)

3 Xét tính liên tục của các hàm số

4 Tính các đạo hàm riêng của các hàm số

5 Tinh các dao ham riéng cua ham s6 tai O(0;0)

x 4+2y°

0 khi (x;y) =(0;0) tr @y)=(0:9)

6 Tìm vi phân toàn phần của các hàm số

7 Kiểm tra xem hàm số ø = $|x` + y”` có khả vi tại Ó(0;0) hay không ?

8 Sử dụng vi phân toàn phần để tính gần đúng

9, Tính đạo hàm, đạo hàm riêng của các hàm ân xác định bởi phương trình

a) xe” + ye"—e” =0 b) (+?+y?)? =3x?y- yÌ tính y'(0) bist y(0)=0 c) xt ytz=e

d) xe* + y’e’ —ze’ =0 e) xe” + yz—ze” =0 tại điểm (1;1)

10 Tính các đạo hàm riêng cap hai

2 2

x+y

rang f,,(0;0) # f;.(0;0)

12 Tính vi phân cấp hai của hàm số

13

14

15

16

17

18

19

20

a) u=x`+3xy?— yÌ b) ø =vx +y”+z”, chứng minh đˆ„ > 0

c)ø=x?+y?°—3zÌ+xy+3xz tại điểm A⁄(1;1;1), tìm ma trận của dạng toàn phương d’u(M) với các

bién dx, dy,dz

Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba

Chứng minh

3) yz'+xz!, =0 với z= ƒ@2—y2) và ƒ() là hàm khả vì

(xy)

x+y d) z",, Zz" —(z" 4) =0 với z=y.ƒ(x/y) và ƒ() có đạo hàm cấp hai liên tục

Tìm hàm z = z(x, y) thỏa mãn

8)z',=2+4yể”, z',=3+4xe”, z(0;1) =0 b) z', =x? -2xy’ +3, Zz", = y’-2x’y+3 c) z", =12x*y+2, z', =x" —30xy”, z(0;0)=1, z(1;1) =-2

Tính đạo theo hướng của vector v tai diém M

a) u=ajx°+y”, M(;I),v=(;4 b)w=xy'z!, M(;2;3),v=(;2;245)

Tìm cực trị của hàm số

a) u=x`+3xy”—30x—18y b) „=4(x— y)—x7 — y? C) #—=x+ y— xe”

đ) ø„=x”`+3xy? —-15x—12y e)u=x'+y'—x?-2xy-y’ f) u„= xyÌn(x° + y”)

)ø=x°+3y7-z°+12y+8z+2 — m)øu=x +y +z7+l2xy+2z

Tìm cực trị có điều kiện của các hàm số

a) wu=x”— y với x”+ y =1 b) „=x+yŸ với xy—y`+3=0

x+y=l

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong miền tương ứng

2 2

c) u=x’y+xy? +3xy trong mién 0< x <4,0< y<3

d) u=3xy—2x? -2y’ trong miền D={(x,y)ix +" <9}

Ð „=x+y+z trong miền x?+ y” <z<I

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

a) y`+4xy—5y+x`—12=0 tại điểm M(1;2) b) x+(x+y)e” — y) =0 tại điểm M(0;1)

c) x=2/?,y=3t(,z=e"} tại điểm M⁄(2;3;1), viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện

3

21 Tìm tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong

a) x°+3y?—2z? =0 tại điểm M(1;1;V2) b) xy—z=0 tại đểm M(:1;1)

Chương 2

TICH PHAN BOI

1 Tinh cac tich phan

a 1 = || (x’ +xy)dxdy với D giới hạn bởi y= x, y = 2x,x =2 (Ds I =10)

D

b 1 |[>ydedy với D giới hạn bởi x—y+4=0,x? =2y (Đs 7 =90)

9ln2

c [= | Ï — “—-dwdy với D là tam giác có các đỉnh là O(0,0), A(3,3),B(,0) — (Đs7= )

x +y

d 1 [fost pa với D xác định bởi D={0<x<z,0< y<z-—>} (Đs7 =z)

x?

f 1=|[(x’ + y)dxdy với D giới hạn bởi y=x”,x= yŸ (Ds s I=)

D

2 Đôi thứ tự lây tích phân

y?

;

2

1 42x

b.J=|d | ƒGy)# (Ds I= jay Ỉ /0Me+ Ï] 76140

0 x—x?

3 Doi biến để tính tích phân

a I = (| dxdy với D giới hạn bởi y=1—x,y=2—x,y=2x—l,y=2x—3 (D/s 1=.)

D

b 1 =[[xdxdy với D xác định bởi x< y<x+3,~2x+l< y<-2x+5 (DS 7=2)

D

C 1= [|(x+y))(— y} ax4y với D giới hạn bởi x+ y=l,x—y=l,x+y=3,x-y=-Ll (Đs =>)

D

d I= [[(4x-3-x? — y*)dxdy voi D gidi han boi x7 + y?-4x+3=0 (Ds =>)

D

6 7= [|Ind+x? + y?)dx4y với D xác định bởi x? + y? <1,x.y>0 (Ds [= [2n2-1])

D

f =|] (4-x?- ye" dedy v6i D xac dinh boi 1< x7 +y? <4

D

g I= JJ xydxdy với D là nửa trên của hình tròn (x—2)” + y” <4 (Ds [= ->)

h.I= lạ với D xác định bởi x” + y <2y,x< y (Ds I==z~4+42)

k.7=[[Í2; .J/=lÏ _a1+*†y dxdy với D xác định bởi 1< x? + y? <2 xảy với D xác định bởi l< x“ + yˆ <S2x (Ds Đ/ 42,12 =2 +12)

D

L7=|[@œ+D sin./x? + y°dváy với D xác định bởi z?<x?+y?<4z? (Đs I=-6z?)

D

m [= JÏN* +?dxảy với D là miền giới hạn bởi

D

x +y =4a

1) Đường hai cánh z = asin 20, a > 0 (Ds I -*)

4 Tính điện tích hình phẳng giới hạn bởi

a y`=x,y=2x-x7

222

3⁄ra?

e y=Ova một nhịp của đường cycloid x = a(t—sint), y= a(l-cost),0<t<2z,a>0

(Đs §=3za?)

2

h.r=asin29 a>0

5, Tinh diện tích của phần mặt:

2 2

a

C Za tí nam trong mat 2 tel voi a,b >0

a

d x+y’? +z? =a’ nam trong mat (x? +y’ =a’(x’-y’) a>0

e z?=x”+y? nằm trong hình trụ x?+ y? <1

6 Tính thể tích

a Phần hình nón zˆ > x? + y? nằm trong mặt trụ x” + y” =1

5

c Vật thê giới hạn bởi và x? + y? +z” =a? và mặt (x?+y?)}*=a?(x—y”) a>0

71 Xác định trọng tâm của bản phẳng đồng chất giới hạn bởi các đường

L.7= |[[(+?+y?+z?)dx4»dz với V giới bạn bởi 3(+” + y?)+z” =34`,a > 0

V

m T= |[f x+y? +2%ddyde v6i V là miền x' + y' +(2-5] <7

n [= lÏ (x?+y?)dxdvdz — với V là miền a2” <x?+y?+z?<b”,z>0

V

O 1= [||xj1—x?— y) dxdydz với V giới hạn bởi z =xjx” + y’,z=a,0<a<]l

V

p.l= JÏÏ4>' +yˆ +z? dxdyđz với V giới hạn bởi x” + y”+z” =z

V

2 2

8 Tính các tích phân

a T= |[[ 2x? + y°zdxdydz với V giới hạn bởi x? + y? =z,z=1 si =S”)

V

b I= [ff xyVzdxdydz với V giới hạn bởi z =0,z = y,y = x2, y =1 (Ds I=—2)

V

c T= ||| x’dxdydz [fran voi V 9161 han b61 —+—~—+—=1 sci tyn bi a Ds [= ,

d I= [[[\ 22 |dxdydz với V giới hạn bởi x?+y?=z,z=4 (Ds J =32)

V

e I= | [| 2°dxdydz v6i V xde dinh boi x24 y? +22 <4,x2+y? +2? <4z(Ds [= 27)

V

2

Vy

ợ I= ||| zdxdyde với V xác định bởi 0<x<2,x<y<2x,0<z<3[I—#) =>? (=2)

V

h I= ([[[zyx’-y’dxdydz với V giới hạn bởi x°+y”=2x,z=0,z=a>0 (Ds I= 6đ 3

V

i T= [ff Vx? + y? +2°dedydz voi V la mién x+y? +27 <x (Ds 1 =1)

V

j T=[[[@? + y?)dxdydz — với V giới hạn bởi x°+y?=2z,z=2 (Ds r=)

V

2

k I= [[[ Vx? +2? dedyde với V giới hạn bởi y=wxˆ+z7,y=VWl-x-zỐ (I= a —*)

V

(Ds 1-26 —a°))

7

Ds [ =—

g I= [[f@?+y? +2*)dxdydz voi V là miền ———+-^— <1

V

a 3a° ~

T r=|lfz dxdydz với V là miên x“ + yˆ +z“ <4 (Ds f=)

V

s 1= [|| Gy+Z+xz)4xdyđz với V là miền x? + y? +2? <4

V

t T= |[[ ydxdydz với V gidi han boi y=Vx2 +27, y=a>0

V

9 Hãy tính tích phân sau bằng cách chuyển sang

a.I=[dx | dy[z\j|x°+y 4z hệ tọa độ trụ (Bis =)

0 0 0

b.I=[dx [ dy | Z?4z hệ tọa độ cầu

10 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi

11 Xác định trọng tâm của vật thé đồng chất giới hạn bởi

a x+y =2az,x°+y’ +z =3a’,z>0,a>0

b xt y=lz=x’+y’,x=0,y=0,z7=0

Chuong3

TICH PHAN DUONG VA TICH PHAN MAT

1 Tính các tích phần đường loại Ï

2 2

a) [= [ade với L'; 744 =1

T

V+ y tz =a’

x+y+z=0

x*+yˆ+z°=a”

c) I=[(x+2y)4/ với T:

d) J= | V2vde với C la duong cong x =t, y=

e) I= [avde với C là cung elip Sun =1 nằm trong góc x,y >0

Cc

f) I= [xe voi C la duong cong x= acost,y=bsint,z=ct,0<t <>

C

2 Tính khối lượng đường cong

a) y= 3£ + elo <x <a biét khối lượng riêng 1a p(x, y) = +

y

b) x =acost, y=asint,z=bt,0<t<2z biét khdi lugng riéng 14 p(x, y,z) = 2°

3 Tìm chiều đài và trọng tâm của các đường đồng chất

a) x= a(— sin£), y = a(1— cos/),0 <f < 27

b) x=acost,y=bsint,z=ct,0<t<a

4 Tính tích phân đường loại II

a) [= [@ —2xy)dx+(y’ —2xy)dy voi T la duong y=x* néi A(-1;1) va ð(;1)

T

2 2

b) 1=|(x+y)de+(x—y)dy voi F la duong elip + a =1, lấy hướng đương

a

T

2

e) = | (ay-lde+x°ydy AB là đường x” +=! nối 4(1;0) và B(O;2)

AB

f) [= [ey +x+y)dx+(xy+x—y)äy vớiC: x?+ y? =2x Tính trực tiếp và sử dụng công thức Green

C

g) T= | x’dx+y’dy voi AB la dudng tron x” + y? =2x nối 4(0;0) và 8(2;0)

AB

h) [= [2@’ +y’)dx+(x+y)dy v6iT latam gidc ABC trong đó A(1;1), B(2;2),C(1;3)

T

3

i) [= J (x* + ycos xy)dx + C+ xy’ —x+xcosxy)dy voi AB là cung tròn x” + y =4 và

AB

A(—2; 0), B(2;0)

pi= $ [a + ye y| ay tin( x+y +9") fey

(x-1)? +(y-1)?=1

3

k) [= $ cot 42 + yoosayyte | ay? arco}

x?+y?=l

x?

l) [= $ Gy+8z+2g)4x+| y~2x—Š lp

x?+y?=4

m) J = $ (xy+x+y)dx+(xy+x-y)dy

x?+y?=4x

n) [= $ (—x7y)dx + xy”dy n’) „1ˆ với C là đường cong kín đơn không qua Ó(0;0)

(-2;0)

o)Ï= | e” [(d+x+ y)dx+(1-x- y)dy]

(2;0)

p) /= | + yz?dy— zx”đz trong đó C là đoạn thăng nỗi O(0;0), 8(—2;4;5)

Cc

x ; =4

q) Vần tính tích phân trong p) với C là đường tròn trong không gian cho bởi b ry 5 °

x+y=

1) I= | zdx + xdy + ydz trong đó C là đường

C

x*+y +z=l

x+z=l

s) [= $ợ? +Z?)dx+(2? + x?)dy+(x? + y?)đz với C là giao tuyến của các mặt x? + y? +z” =4y và

C

x?+y? =2y,z >0 Tích phân lẫy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z >0

x?+y?ˆ+zˆ=9

t) [= $( y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz với C là giao tuyến của các mặt | Tích phân

lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía x > 0

u) = $-3 ydx+3dy+zdz với C là đường tròn ‘i 7 Tích phân lây theo chiêu ngược chiêu

kim đồng hồ nếu nhìn từ phía z > 0

Cc

chiều kim đồng hồ khi nhìn từ gốc tọa độ O

2

x°+y +zˆ=4 z=y

5 Tinh tich phan mat loai I

a) T= [[(e+2x+ as trong d6 S la mat ~+2+7=1 vi x,y,z>0

b) T= || yds trong đó S là mặt z= x+ y? với 0<x<1,0< y<2

Ss

c) 1= |[(œ°+y?xk trong đó S là mặt z? =x? + y? với 0<z<1

Ss

d) J= [[@+y+2ds với S là phần mặt 2x+22y+z =2 nằm trong góc x, y,z > 0

Ss

e) [= lÏz y?+1đs với S là phần mặt yˆ +4z =16 cắt bởi x= 0,x =l,z =0

6 Tìm khối lượng và trọng tâm của mặt z = x” + y?,z <1 nếu khối lượng riêng là p(x, y,z) =z

7 Tính tích phân mặt loại II

a) [= {| xyzdxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x? + y?+z” =l;x,y>0

Ss

b) [= i) xdydz + dzdx + xz’dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt cầu x? + y? +z” =l;x,y,z>0

Ss

Ss

d) Tinh tich phan nhu trong c) với S là phía ngoài của mặt nón zŸ = x + y”,0<z<4

©) 1= || x4ydz + ydzdx + zdxảy với S là phía ngoài mặt paraboloid z =x” + y`,z <1

Ss

f) 1 = || xzdydz + yzdzdx + dxdy với S là phía ngoài của chôm cdu x” + y? +z? =25 cat boi z=3 Ss

1

10

I1 y

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

g) I= i) xdydz + ydzdx + zdxdy trong a6 S là phía ngoài của mặt cầu xˆ?+ y”+z? =4

Ss

h) [= fj x°dydz + y’dzdx + zdxdy trong dé S là phía ngoài của mặt cầu x? + y? +z” =9

Ss

i) J= lÏ xzdyđz + yx°dzdx + zy”dxdy trong đó S là phía ngoài của mặt x” + y” =9,z =0,z =9

Ss

2 2 k) J= [| @ -2dydz + (2 - x)dzdx + (x - y)dedy trong đó S là phía ngoài của mặt x =2 +0 <x<l

Ss

Chương 4

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

y'cos2y—sin y = 0

y'= : +1

x—y

y'=cos(x— y)

xJl+ y?dx+yv1+x' dy =0, y(0)=1

(x°+)y'=y' +4, yl) =2

_ sinx—cos2x+2

y +1

xa yt (yy

(y—x)dx+(x+ y)dy =0

_x-yrl

x+y+3

xảy— yảx = 2|x” + yˆdx

y+2xy =xe™

(l+x’)y'—2xy =(1+x’)

(l+x°)y'txy=1, y(0)=0

(x+ y+ldx+(x—-y’* +3)dy =0

]

‘ys

Wry ry

y-@# =0

(@} +y =3y'

y=x(y} +}

xy'=xe" +2

yy't+xy=x°

x—y"e” +y"=0

1

ns

10

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

4y"=2x»"=( ~]

yy"+(y'y-y"” =0

yy" (vy -(y? — 0

(y m2 + 2xy"— y' =0

sin x

y "Ay tt y=0 biết nghiệm riêng là y = x

y"-4y'tyax

y"-6y'+8y =e" +e"

y"+4y =xsin2x

y"+y=sinx

y H 2y — Axe"

Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận y, = x, y; =x” làm hệ nghiệm cơ bản

Lập phương trình tuyến tính thuần nhất cấp hai nhận y, =sin x, y„ =cosx làm hệ nghiệm cơ bản y'=3y-2z

z'=2y-z

yi=z+l

z'=y

Da

z'=y+2z

y'=2y—Z

Z

y'=y+2z

y =y-Z

y'=y+3z

y'=2y-—z+2e

z'=3y—2z+4e”

y'=y—-Z+x

z'=-y+5z

1]

BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỶ

1 Xét tính liên tục của hàm số

2x°(x* —2y’)

a) f(x y)= x*-4y!

khi x? #2yŸ

2 1 1 x” sin—cos——

b) flay)ale nd khi x,y #0

x —4y° 9 9

SI"—>—— khix +} z 0

| khi x” + y? =0

( 2_ 4,2

——————zkhi(x,y) # (0,0)

d) f(xy) =) x.y +(x+2y)

L 0 khi (x, y) =(0,0)

©) (x)= ”) x+y

._ Tìm cực trị của hàm số

a) u=x'+y*-2(x-y)

2 2 2

b) u=~4247242 (x,y,z >0)

2 2x y Z

c) u=xt+y +z°-3x°4+2y

d) u=3x’y+x-y*

e) ø=arctanx”— y”`—2y

f) wu=x7+yˆ+z”—-2x+4y+6z

._ Tìm cực trị có điêu kiện của hàm sô

2

a) ứ=x?+y?+z? với điều kiện Ngã =1

b) w(x,y,z}=x+y”+z với điêu kiện | 7

z+xy=l

c) =xy+yz với điều kiện Ì y (x,y,z >0)

y+z=4

2

đ) =2x—y—z với điều kiện xˆ tt =9

_ Tìm giá trỊ lớn nhât, nhỏ nhât của hàm sô

a) ứ=2x?y+xy?—3xy trong miền đóng 0< x<Il,0< y<2

12

b) u=4x’+y’?-2x-2y trong miềnD:x>0,y>0,2x+y<2

c) u=x?+y?+12x+16y trong mién D = {(x,y): x’ + y’ <36}

Tinh vi phan, dao ham theo hudéng cua ham nhiéu bién, dao ham cua ham an

a) Cho z là hàm ấn xác định bởi z+ ye”” =0 Tính đz(0;—1)

b) Cho u= in(1 +Alx°+4y?+4z7 | va diém A(1;1;-1), B(0;3;1) Tinh dao ham cia u tại điểm A theo

a hướng 4 Tìm giá trị lớn nhất của

>

c) u=xsin(3yz) X4c dinh Grad u va = tai M,(1;1;0) voi 2 =i +27 -2k

d) z=z(x,y) 1a ham 4n hai bién xdc dinh béi hé thitc: yz+e’ —xe” =0 Tinh dz(1;0) Ap dụng tính

gần đúng z(0,95;0,05)

3

e) y = y(x) là hàm số ân xác định từ biểu thức: at ~xy—-1=0 Tinh d’y tai diém x=0

Tinh tich phan bdi

x+y 42° <4 z> jx ty"

b) {| (x+y) (x-y)dxdy với D là miền được giới han bởi các đường thẳng

D

a) [|] ze" dxdyde voi V xác định bởi

V

x+y=l, x+y=3, x—-y=-—Ì, x-y=l

©) fl 2x

b \4+xˆ+y

2

2

d) i} xyzdxdydz với V là miền srarz <1

dxảy D là miền x?°+ y? <4, x>0, y>0

©) ify x +4y’+9z*dxdydz , trong đó V là miền x?+4y?+9z?<1, x,y,z>0

V

f) lÏ zx’ + y? dxdyđz trong đó V là miền giới hạn bởi mặt trụ x” + y” =2x, 0<z <4

V

._ Tính thể tích vật thê giới hạn bởi các mặt

8) z=x +y —1l va z=3

b) x+y +z’ =2%xyz nằm trong góc x,y,z >0

c z=x +y,2y+z=8

e) 2z=x7+y,z=8-xˆ_-y?

Ð (x-2Ý+y`=4,x +y +z” =l6

g) x+y =4 va x42’ =4

Tinh dién tích

a) Hình phăng giới hạn bởi đường cong (x? + y?)” =2x°

13