Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 Đề tài 9

Đồng thời gửi lời biết ơn sâu sắc đến sự hơp tác của tất cả các thành viên nhóm để hoàn thành bài báo cáo Bài Tập Lớn Giải Tích 2.. Tích phân đường loại 1 dùng để tính tổng giá trị của h

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM –

ĐH QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC & KỸ THUẬT MÁY TÍNH

-BÁO CÁO

BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 9

Giảng viên hướng dẫn: ĐÀO HUY CƯỜNG

Ngày 06 tháng 06 năm 2023

2

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

2213402 Nguyễn Thanh Anh Thư

Phân chia công việc, tổng hợp và trình bày word, tìm cơ

sở lý thuyết về tham số hóa đường cong, tích phân đường loại 1, loại 2, làm bt phần 3, 7, 11, 17

2213335 Phan Nguyễn Phú Thông Ứng dụng phần mềm giải bt liên quan đến chủ đề, tìm cơ sở lý thuyết về tích phân đường trong không gian,

làm bt phần 33, 39, 48

2213362 Nguyễn Vũ Thuận Viết phần mvề tích phân đường trong trường vectoở đầu, kết thúc cho bài, tìm cơ sở lý thuyết , làm bt phần 18,

21, 27

Đề tài 9:

Cơ sở lý thuyết

Tổng hợp kiến thức về "Tích phân đường"

Bài tập

Giải các bài tập 3, 7, 11, 17, 18, 21, 27, 33, 39, 48, mục 16.2, sách James Stewart.

3

MỤC LỤC

LỜI M Ở ĐẦU 4

1 Tham số hóa đường cong: 5

2 Tích phân đường loại 1 5

Tính chất của tích phân đường loại 1 6

3 Tích phân đường loại 2 7

Tính chất của tích phân đường loại 2 7

4 Tích phân đường trong không gian: 7

5 Tích phân đường trong trường vecto: 9

Giải bài tập 11

Tài li u tham kh ệ ảo 18

TỔNG K T Ế 19

4

LỜI MỞ ĐẦU

Trong suốt quá trình thực hiện bài báo cáo, nhóm cũng xin gửi lời tri ân chân thành, sâu sắc nhất đến thầy Cường, là giảng viên hướng dẫn cho đề tài bài tập này Nhờ có thầy hết lòng chỉ bảo mà nhóm đã hoàn thành bài báo cáo đúng hạn và giải quyết tốt những khó khăn trở ngại

Đồng thời gửi lời biết ơn sâu sắc đến sự hơp tác của tất cả các thành viên nhóm để hoàn thành bài báo cáo Bài Tập Lớn Giải Tích 2 Đây chính là sức mạnh, niềm tin, nguồn động lực to lớn để nhóm có thể cùng nhau hoàn thành bài báo cáo

5

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

1 Tham số hóa đường cong:

Tương tự tích phân hàm một biến trên đoạn [a, b], ta xây dựng tích phân trên đường cong C, tích phân đó được gọi là tích phân đường Xét đường cong C cho bởi phương trình tham số

1/ đường thẳng A(a1,a2) và B(b1,b )2

2/ Đường cong y = f(x)

3/ Hình tròn: (x - a)²+(y - b)² = R²

4/ Hình elip:

2 Tích phân đường loại 1 (dùng để tính tổng giá trị của hàm trên đường):

Định nghĩa Nếu f là phương trình của 2 biến cùng liên tục trên miền chứa C, khi đó ta có thể xác : định được tích phân đường của f dọc theo đường cong C là

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑠𝑐 ) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞∑ 𝑓(𝑥𝑛𝑖=1 𝑖∗, 𝑦𝑖∗)𝛥𝑠𝑖 (2)

6

Nếu giới hạn tồn tại

Sử dụng các phương trình tham số để biểu thị x và y theo t và viết ds dưới dạng

ds = √(𝑑𝑥

𝑑𝑡)2+ (𝑑𝑦𝑑𝑡)2 dt

Vậy ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑠𝑐 ) = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡𝑎𝑏 ), 𝑦( ))𝑡 √(𝑑𝑥

𝑑𝑡)2+ (𝑑𝑦𝑑𝑡)2ⅆ𝑡 (3)

Chú ý: đường cong C được giả thiết là trơn Xét trường hợp C là đường cong trơn từng khúc (C

là hợp hữu hạn các đoạn đường cong trơn C1, , Cn), ta có thể định nghĩa tích phân đường của

f trên đường cong C là tổng các tích phân đường của f trên các đường cong Ci

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝑠𝑐 = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑠𝑐𝑖 ) + ⋯ + ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑠)

𝑐𝑖

Tính chất của tích phân đường loại 1

Tích phân đường loại một không thay đổi qua phép đổi biến Nếu chúng ta lấy tích phân theo độ dài đường cong, giá trị của tích phân đường không thay đổi khi chúng ta đảo ngược hướng của đường cong:

7

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑠−𝑐 ) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑠)

𝑐

3 Tích phân đường loại 2 (dùng để tính tổng thành phần trường cùng chiều đường đi):

Giả sử trên đường C xác định hai hàm số P(x, y) và Q(x, y) Tích phân đường loạ 2 của P(x, y) i

và Q(x, y) trên cung C xác định bởi công thức:

x = x(t), y = y(t), dx = x'(t) dt, dy = y'(t) dt

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝑥𝑐 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡𝑎𝑏 ), 𝑦( ))𝑡 x′( )t ⅆ𝑡

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) ⅆ𝑦𝑐 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡𝑎𝑏 ), 𝑦( ))𝑡 y′( )t ⅆ𝑡

𝐼 = ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑥𝑐 ) + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑦𝑐 ) = ∫ (𝑃(𝑥(𝑡𝑎𝑏 ), 𝑦( ))𝑥′(𝑡)𝑡 + (𝑄(𝑥 , 𝑦 )𝑦(𝑡) (𝑡) ′(𝑡))) ⅆ𝑡

Tính chất của tích phân đường loại 2

Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên đường cong C

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑥−𝑐 ) = −∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑥𝑐 ) ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑦−𝑐 ) = − ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦 ⅆ𝑦)

𝑐 Nếu đường cong AB được chia thành AC và CB và P, Q khả tích trên AB thì ta có:

4 Tích phân đường trong không gian:

• Ta cho C là một đường cong trong không gian được xác định bởi các phương trình tham

số sau:

▪ x = x(t);

▪ z = z(t);

hoặc được xác định bởi phương trình véc-tơ:

𝑟(𝑡) = 𝑥 𝑖 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝑘(𝑡) (𝑡) (𝑡)󰇍

Nếu f là phương trình của 3 biến cùng liên tục trên miền chứa C, khi đó ta có thể xác định

được tích phân đường của f dọc theo đường cong C (theo độ dài đường cong) tương tự

với các mặt cong:

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 ⅆ𝑠𝑐 ) = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞∑ 𝑓(𝑥𝑛 𝑖∗, 𝑦𝑖∗, 𝑧𝑖∗)𝛥𝑠𝑖

𝑖=1

• Ta có thể tính nó với công thức tương tự công thức 3:

∫𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⅆ𝑠( )

𝑐 = ∫ 𝑓(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )(𝑡) (𝑡) (𝑡)

𝑏 𝑎

√(ⅆ𝑥ⅆ𝑡)2+ (ⅆ𝑦ⅆ𝑡)2+ (ⅆ𝑧ⅆ𝑡)2ⅆ𝑡

• Chú ý rằng các tích phân ở công thức 3 và có thể viết gọn hơn dưới dạng véc-tơ:9

∫𝑓(𝑟(𝑡))|𝑟′( )|𝑡 ⅆ𝑡 𝑏

𝑎 Trường hợp đặc biệt 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 1) , Ta có:

∫ⅆ𝑠 𝑐

= ∫|𝑟′(𝑡)| ⅆ𝑡 𝑏 𝑎

= 𝐿 Với L là độ dài của đường cong C

• Tích phân đường dọc đường cong C theo x, y, z cũng có thể xác định Ví dụ:

∫𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⅆ𝑧( )

𝑐 = 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞∑ 𝑓 𝑥(𝑖∗, 𝑦𝑖∗, 𝑧𝑖∗)𝛥𝑧𝑖

𝑛

𝑖=1 = ∫ 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑦 , 𝑧 )𝑎𝑏 (𝑡) (𝑡) 𝑧′( )𝑡 ⅆ𝑡

• Do đó, như tích phân đường ở mặt phẳng, ta có thể tính được tích phân dưới dạng:

∫ 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⅆ𝑥( ) 𝑐

+ 𝑄(𝑥𝐽𝑦, 𝑧) ⅆ𝑦 + 𝑅 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⅆ𝑧( ) Bằng cách viết (𝑥,𝑦, 𝑧, ⅆ𝑥, ⅆ𝑦, ⅆ𝑧) theo tham số t

5 Tích phân đường trong trường vecto:

Nhắc lại kiến thức, công thực hiện khi tác dụng một lực f(x) để di chuyển một chất điểm từ a đến

b dọc theo trục x là W = ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥𝑎𝑏 Và trong môn vật lí, ta đã được học rằng công thực hiện để

di chuyển một vật từ P đến Q bằng một lực F không đổi là W = F  D, trong đó D = 𝑃𝑄󰇍󰇍󰇍󰇍󰇍, là tích 

vô hướng của 2 vector

Giả sử = P + Q + R là một trường lực liên tục trong R Chúng ta muốn tính toán công F i j k 3 của lực này để di chuyển một phân tử theo đường cong C

Ta chia C thành n các đoạn nhỏ Pi-1Pi (1 ≤ i ≤ n) có khoảng cách bằng nhau là si chọn một điểm P i * (x i * ,y i * ,z i * ) trên miền C đã chia tương ứng với giá trị tham số t Nếu i* si rất nhỏ, thì phân tử di chuyển từ điểm P đến P i-1 i dọc theo miền cong C có thể xấp xỉ theo hướng của T(ti*), vector tiếp tuyến tại điểm P Vì vậy, công thự hiện để di chuyển một phân tử bằng một lựi* c c F

từ P đến P là:i-1 i

𝑭(𝒙𝒊∗,𝒚𝒊∗,𝒛𝒊∗) [𝒔 𝑻𝒊 (𝒕𝒊∗)] [= 𝑭(𝒙𝒊∗,𝒚𝒊∗, 𝒛𝒊∗)𝑻(𝒕∗𝒊)]𝒔𝒊

và tổng công thực hiện trên đường cong C là:

∑[𝑭(𝒙𝒊∗, 𝒚𝒊∗, 𝒛𝒊∗)𝑻(𝒙𝒊∗, 𝒚𝒊∗, 𝒛𝒊∗)]

𝒏 𝒊=𝟏

𝒔𝒊 (∗)

Ta thấy khi n càng lớn thì xấp xỉ này càng chính xác Vì vậy, ta định nghĩa công W thực hiên bởi trường lực F là giới hạn của tổng Riemann trong công thức (*), cụ thể:

𝑊 =∫ 𝑭(𝐶 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∙ 𝑻 𝑥, 𝑦, 𝑧 ⅆ𝑠) ( ) = ∫ 𝑭 ∙ 𝑻 ⅆ𝑠𝐶 (∗∗)

Công thức trên nói rằng: Công là tích phân đường đối với độ dài cung của thành phần tiếp tuyến của lực

Nếu đường cong C được cho bởi phương trình vector 𝑟(𝑡) = 𝑥( )𝑖 + 𝑦( )𝑗 + 𝑧( )𝑘𝑡 𝑡 𝑡 , thì

𝑇(𝑡) = 𝑟′(𝑡)/|𝑟′( )| Thay (𝑡𝑡 𝑇 ) và ⅆ𝑠 = |𝑟′( )|ⅆ𝑡 vào công thức (**) ta được: 𝑡

𝑊 = ∫ [𝑭(𝒓(𝒕))𝑏 |𝒓𝒓′(𝒕)′(𝒕) ] |𝒓| ′(𝒕)|𝒅𝒕

𝑎

Tích phân này thường được viết tắt thành ∫ 𝑭.ⅆ𝒓𝐶 và xuất hiện trong các lĩnh vực vật lí khác Vì vậy, chúng ta đưa ra định nghĩa sau cho tích phân đường của bất kì trường vector liên tục nào

Định nghĩa: Với F là trường vector liên tục được định nghĩa trên đường cong trơn C được cho bởi hàm vector r(t), a ≤ t ≤ b Tích phân đường của F theo C là:

∫𝐹 ⅆ𝑟

𝐶 = ∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) 𝑟′( )𝑡 ⅆ𝑡 = ∫ 𝐹 𝑇ⅆ𝑠

𝐶 𝑏

𝑎 Khi sử dụng định nghĩa trên, nhớ rằng 𝐹(𝑟 )(𝑡) là viết tắt của 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦( ), 𝑧(𝑡))𝑡 , vì vậy để

có được 𝐹(𝑟 )(𝑡) ta chỉ cần thay 𝑥 = 𝑥(𝑡) 𝑦 = 𝑦(𝑡) 𝑧 = 𝑧(𝑡), , vào 𝐹(𝑥, 𝑦,𝑧)

Ví dụ: Tìm công thực hiện bởi trường lực 𝐹(𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝒊 −) 2 𝑥𝑦𝒋 khi di chuyển một chất điểm dọc theo góc phần tư đường tròn 𝑟(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝒊 + 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝒋, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋/2

Giải:

Vì 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑡, ta có:

𝐹(𝑟 ) = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 2𝑡 𝒊 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝒋

𝑟′(𝑡) = −𝑠𝑖𝑛𝑡 𝒊 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝒋 Vậy công thực hiện là: ∫ 𝐹(𝑟(𝑡)) 𝑟′(𝑡)ⅆ𝑡 =∫𝜋/2(−2𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑠𝑖𝑛𝑡)ⅆ𝑡2

𝜋/2 0

• Chú ý: Mặc dù ∫ 𝐹ⅆ𝑟𝐶 = ∫ 𝐹 𝑇ⅆ𝑠𝐶  và tích phân đối với chiều dài vòng cung không thay đổi khi hướng đi bị đổi ngược, nó vẫn đúng rằng:

∫ 𝐹ⅆ𝑟

𝐶 Bởi vì vector tiếp tuyến đơn vị T bị đổi dấu khi C được thay thế bởi -C

Cuối cùng, đó là mối liên hệ giữa tích phân đường trong trường vector và trong trường vô hướng Trong , cho 𝑅3 𝐹 = 𝑃𝑖 + 𝑄𝑗 + 𝑅𝑘, ta sử dụng định nghĩa tích phân đường trong trường vector được:

∫𝑭 ⅆ𝒓

𝐶 = ∫ 𝑭(𝒓(𝑡)) 𝒓𝑏 ′( )𝑡 ⅆ𝑡

𝑎

= ∫ (𝑃𝒊 + 𝑄𝒋 + 𝑅𝒌𝑏 )(𝑥′(𝑡)𝒊 + 𝑦′(𝑡)𝒋 + 𝑧′(𝑡) )𝒌 ⅆ𝑡

𝑎

= ∫ [𝑃(𝑥(𝑡), 𝑦 , 𝑧 )𝑥𝑏 (𝑡) (𝑡) ′(𝑡)+ 𝑄(𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )𝑦(𝑡) (𝑡) (𝑡) ′(𝑡)+ 𝑅(𝑥 ,𝑦 , 𝑧 )𝑧(𝑡) (𝑡) (𝑡) ′(𝑡)]ⅆ𝑡 𝑎

Và đây chính xác là tích phân đường trong không gian, vì vậy ta có:

∫ 𝑭ⅆ𝒓 = ∫ 𝑃ⅆ𝑥 + 𝑄ⅆ𝑦 + 𝑅ⅆ𝑧 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐹 = 𝑃𝒊 + 𝑄𝒋 + 𝑅𝒌đó

𝐶 𝐶

Giải bài tập

Câu 3: ∫ 𝑥y𝐶 4 ⅆ𝑠, C là nửa bên phải của đường tròn x + y = 16.2 2

Giải Phương trình tham số của C là x = 4cost, y = 4sint, −𝜋2 ≤ t ≤ 𝜋

2

∫ 𝑥y𝐶 4 ⅆ𝑠 = ∫ 𝜋2

−𝜋2(4 cost) (4 sint)4√(−4 sint)² + (4 cost)² dt

= ∫ 𝜋2

− 𝜋

245 cost sin t4 √16 (sin² + cos² t) dt = 4 5∫ 𝜋2

− 𝜋 2

(sin t cost) (4) dt = (4) 4 6[ 1

5sin5t] |−𝜋 2

𝜋

2

= 2.46

5 = 1638.4

Câu 7: ∫ 𝐶xydx + (x − y) dy, C chứa các đường thẳng từ (0, 0) đến (2, 0) và từ (2, 0) đến (3, 2)

Giải

C = C₁ + C₂

Trên C₁: x = x, y =12 x → dy = 12 dx, 0 ≤ x ≤2

Trên C : x = x, y = 3 - x → dy = -dx, 2≤ x ≤3.2

∫ 𝐶 (x+2y) dx + x² dy = ∫ C₁(x+2y) dx + x²dy + ∫ C2(x+2y) dx + x² dy

= ∫ 02[x + 2 (1

2x) + x² (12)] dx + ∫ 23[x + 2 (3 - x) + x² (-1)] dx

= ∫ 02(2x + 1

2 x²) dx + ∫ 23(6 - x - x²) dx

= [x² + 1

6x³] |0 + [6x − 21x² − 13x ]3 |2= 163− 0 + 92− 223 = 5

2

Câu 11: ∫ 𝐶 𝑥ⅇyzds, C là đoạn thẳng từ (0, 0, 0) đến (1, 2, 3)

Giải Phương trình tham số của C là r = t, y = 2t, z = 3t, 0 ≤ t≤ 1

] |0 = √14 12 ( – 1)ⅇ6

dt = √14 ∫ 01tⅇ dt = √14 [121ⅇ Vậy ∫ 𝐶𝑥ⅇyzds = tⅇ (2t)(3t)

Câu 17: Gọi F là trường vectơ như hình bên

(a) Nếu C , là đoạn thẳng đứng từ (-3, -3) đến (-3, 3), xác định xem 1 ∫ 𝐹 ⅆ𝑟 C₁ dương, âm hay bằng không

(b) Nếu C₂ là đường tròn ngược chiều kim đồng hồ có bán kính bằng 3 và căn giữa gốc tọa độ, xác định xem ∫ 𝐹 ⅆ𝑟 C2 dương, âm hay bằng không

Giải (a) Dọc theo đường thẳng x = -3, các vectơ của F có các thành phần y dương, do đó đường đi hướng lên nên tích phân F · T luôn dương Vậy ∫ 𝐹 ⅆ𝑟 C₁ = 𝐹 𝑇 ⅆ𝑠 ∫C₁ dương

(b) Tất cả các vectơ (khác không) dọc theo đường tròn có bán kính bằng 3 đi theo chiều kim đồng hồ, nghĩa là ngược chiều với hướng đường đi Vậy F · T âm

Vậy ∫ 𝐹 ⅆ𝑟 C2 = ∫C2𝐹 𝑇 ⅆ𝑠 âm

Câu 18: Hình bên cho ta trường vector F và 2 đường cong C và C Tích phân đường 1 2 của F qua C và C là âm hay dương hay bằng 0 Giải thích 1 2

Giải

Ta có: Trong khoảng [a,b] nếu 𝑓(𝑥) ≤ 0 thì ∫ 𝑓(𝑥)ⅆ𝑥 ≤ 0𝑎𝑏

và ngược lại

Vì vậy: ∫ 𝑭ⅆ𝒓𝐶 = ∫ 𝑭(𝒓 )𝑎𝑏 (𝑡)  𝒓′( )𝑡 ⅆ𝑡≤ 0 𝑭(𝒓(𝑡)) trái dấu

với 𝑟′(𝑡) hay chiều của vector và đường cong ngược nhau

Tương tự, tích phân đường trong trường vector dương khi và chỉ khi 𝑭(𝒓(𝑡)) cùng dấu với 𝑟′(𝑡) hay chiều của vector và đường cong cùng nhau

Qua hình vẽ ta dễ dàng thấy được tích phân đường của F qua C sẽ dương và qua C sẽ 1 2

âm

Câu 21: Tính ∫ 𝑭ⅆ𝒓𝐶 trong đó 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝒊 + 𝑐𝑜𝑠𝑦𝒋 +) 𝑥𝑧𝒌, và C được cho bởi hàm vector 𝑟(𝑡) = 𝑡 𝒊 − 𝑡 𝒋 + 𝑡𝒌,0 ≤ 𝑡 ≤ 13 2

Giải

Ta có: 𝑥 = 𝑡 , 𝑦 = −𝑡3 2, 𝑧 = 𝑡  𝐹(𝑟(𝑡)) = sin(𝑡3)𝒊 +cos(−𝑡 𝒋 + 𝑡2) 4𝒌

𝑟′(𝑡) = 3𝑡 𝒊 − 2𝑡𝒋 + 1𝒌2

∫𝑭 ⅆ𝒓

𝐶 = ∫ sin1〈 (𝑡3) , cos(−𝑡2), 𝑡4〉 〈3𝑡2, −2𝑡, 1 ⅆ𝑡〉

0

= ∫ (1

0 3𝑡2sin(𝑡3) − 2𝑡cos(−𝑡2) + 𝑡4)ⅆ𝑡

= [−cos(𝑡3)− 𝑠𝑖𝑛(𝑡2) +𝑡5 ]5

0

1

=65 − 𝑐𝑜𝑠1 − 𝑠𝑖𝑛1

Câu 27: Sử dụng hình vẽ của trường vector F và đường cong C để dự đoán tích phân đường của

F qua C là âm, dương hay bằng 0 Tính kết quả tích phân đó

Với 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 𝑦 𝒊 +) 𝑥𝑦𝒋 và C là đường tròn có phương trình 𝑥2+ 𝑦 = 42 đi ngượ chiều c kim đồng hồ từ điểm (2,0) đến (0,−2)

Giải

Qua hình vẽ, ta có thể ấy đường cong C đi qua 3 góc phần tư và trong đó 2 góc phần tư I và II th cùng chiều với trường vector nên ta có thể dự đoán tích phân đường này dương

Tính toán:

Tham số hóa đường tròn 𝑥2+ 𝑦 = 42 bằng cách đặt 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤3𝜋2 Suy ra 𝑟(𝑡) = 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝒊 + 2𝑠𝑖𝑛𝑡𝒋  𝑟′(𝑡) = −2𝑠𝑖𝑛𝑡𝒊 + 2𝑐𝑜𝑠𝑡𝒋

𝐹(𝑟 ) = 2𝑐𝑜𝑠𝑡 − 2𝑠𝑖𝑛𝑡 𝒊 + 4𝑠𝑖𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡𝒋(𝑡) ( )

∫𝑭 ⅆ𝒓

𝐶 = ∫3𝜋/2[−2𝑠𝑖𝑛𝑡(2𝑐𝑜𝑠𝑡 − 2𝑠𝑖𝑛𝑡) + 2𝑐𝑜𝑠𝑡(4𝑠𝑖𝑛𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡 ⅆ𝑡 = 3𝜋 +)] 23 0

Câu 33: Một sợi dây mỏng uốn cong theo dạng bán nguyệt có phương trình

𝑥2+ 𝑦 = 4,𝑥 ≥ 02 Nếu mật độ tuyến tính là hằng số , tìm khối lượng và trọng tâm của sợk i dây

Ta có : 𝑚 = 𝑘 ⅆ𝑙∫𝑤

Đặt: 𝑥 = rcos(𝑡),𝑦 = rsin(𝑡) −𝜋

2≤ 𝑡 ≤𝜋2 , 𝑟 = √𝑥2+ 𝑦2= 2

Ta viết lại tích phân theo t: 𝑚 = ∫ 𝑘√(ⅆ𝑥)2+ ( )ⅆ𝑦2

𝑤 = ∫ 𝑘 ⋅ √𝑥𝜋2 ′( )𝑡2+ 𝑦′(𝑡)2ⅆ𝑡

−𝜋2

=∫ 𝑘2 ⅆ𝑡𝜋2

Để tìm tọa độ khối tâm ta dùng công thức:

𝑅󰇍 =𝑀 ∫ 𝑘𝑟𝑟 ⅆ𝑡1 𝑤 𝑅󰇍 =𝑘2𝜋 ∫ 𝑘1 [𝑟 cos(𝑡); 𝑟 sin(𝑡)]𝑟 ⅆ𝑡

𝜋 2

−𝜋2

=𝑘2𝜋1 ∫ 4𝑘𝜋2 cos(𝑡)𝑖 + 4𝑘sin(𝑡)𝑗 ⋅ ⅆ𝑡

Vậy tọa độ khối tâm của đoạn dây nằ ở m (𝜋4; 0)

Câu 39: Tìm công thực hiện bởi trường lực

để dịch chuyển 1 vật dọc đường cong cycloid:

(𝑡 − sin 𝑡 𝒊 + 1 − cos 𝑡 𝒋 , 0 ≤ t ≤ 2π ( )) ( ( ))

Ta có: 𝑊 = ∫ 𝐹(𝑡)|𝑟′(𝑡)|ⅆ𝑡

𝐹(𝑡) = 𝑡 − sin 𝑡 𝑖 + (3 − cos 𝑡 𝑗 ( ( )) ( ))

𝑊 =∫ [2𝜋𝑡 − sin(𝑡); 3 −cos(𝑡)][1 −cos(𝑡); sin(𝑡)]ⅆ𝑡

0

= 2𝜋2

Câu 48: Thí nghiệm cho thấy dòng điện không đổi I trong ống dây dài tạo ra từ trường B tiếp

tuyến với bất kì vòng tròn nào nằm trên mặt phẳng vuông góc với dây và tâm của nó nằm trên trục của sợi dây (như hình vẽ) Định luật Ampere cho thấy mối quan hệ:

∫ 𝐵 ⋅ ⅆ𝑟 𝐶

= 𝜇0𝐼 Với I là thông lượng dòng đi qua bất kì bề mặt nào giới hạn bởi đường cong kín C là hằng số 𝜇0

độ từ ẩm trong không gian gian mở Cho C là một vòng tròn bán kính r, chứng minh độ lớn củth a

B = |B| của từ trường tại khoảng cách r tính từ ục dây là:tr

𝐵 =𝜇0𝐼 2𝜋𝑟

Đặt: 𝑟 = 𝑟cos(𝜑)𝑖 + 𝑟 sin(𝜑) Ta được: ⅆ𝑟 = 𝑟𝑗 ′(𝜑)ⅆ𝜑

Từ định luật Ampere: ∫ 𝐵𝑟2𝜋 ′(𝜑)ⅆ𝜑

0

∫ 𝐵[−𝑟 sin(𝜑2𝜋 ) ,𝑟 cos( )]ⅆ𝜑𝜑 0

∫ 𝐵𝑟 ⅆ𝜑 2𝜋

0 2𝜋𝐵𝑟 = 𝜇0𝐼

Từ đó: 𝐵 =𝜇0 𝐼

2𝜋𝑟

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATLA ĐỂ B KI ỂM TRA KẾT QUẢ

clear all

close all

clc

syms u v x y a b t g h

disp('Nhap cac ham de tinh tich phan')

disp('Duong di co dang: r(t)=a(t)i+b(t)j')

disp('Truong luc F(t)=u(t)i+v(t)j')

for i=0:1

a=input('Nhap a:');

b=input('Nhap b:');

u=input('Nhap u:');

v=input('Nhap v:');

if i==1 break

else h=[u v];

g=[diff(a) diff(b)];

s=sum(h.*g);

l=input('Can duoi:');

m=input('Can tren:');

f=int(s,l,m);

disp('Cong cua luc:') disp(f);

[t]=meshgrid(0:0.5:7);

t=linspace(l,m,50);

disp('Nhap lai de ve do thi');

i=i+1;

end;

end;

plot(a,b);

hold on;

quiver(a,b,u,v)

Tài liệu tham khảo

• James Stewart, Calculus Early Transcendentals, 6e, Thomson Brooks/Cole, 2008

• Nguyễn Đình Huy và nnk, Giáo trình Giải Tích 2, NXB Đại học Quốc Gia, 2018

TỔNG KẾT

Qua nội dung lý thuyết và một vài bài tập về tích phân đường nói trên, ta có thể ấy rằng th tích phân đường có rất nhiều ứng dụng thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực vật lý Dù trải qua nhiều khó khăn trong quá trình tìm hiểu nhưng cuối cùng nhờ công sức của cả nhóm nên đã hoàn thành bài báo cáo về đề tài được giao Qua đó, mỗi thành viên trong nhóm được củng cố lại kiến thức, hiểu rõ hơn cũng như ứng dụng của phần lí thuyết trong việc mô tả các hiện tượng ngoài thực tế, quan trọng hơn là học được cách làm việc nhóm sao cho hiệu quả nhấ Chúng em rất vui vì đã t được giao làm phần nội dung này, nó đã bổ sung rất nhiều kiến thức liên quan đến các chuyên ngành đối với một trường kĩ thuật như của ta Một lần nữa cảm ơn thầy Cường rất nhiều vì đã giúp

đỡ chúng em trong thời gian qua Cuối cùng, cảm ơn các bạn sinh viên nhóm 18 đã dành thời gian

để nghiên cứu đề tài và hoàn thành tốt tất cả các việc đã đảm nhiệm