Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 Đề tài Đạo hàm

ln n a a Yêu cầu bài toán: Chuyển động của lò xo chịu tác dụng của lực ma sát hoặc lực cản chẳng hạn như bộ giảm xóc trong ô tô thường được mô hình hóa bằng tích của hàm số mũ và hàm sin

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

···☼···

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

DANH SÁCH THÀNH VIÊN THỰC HIỆN

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

PHẦN NỘI DUNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2

I ĐỊNH NGHĨA 2

II Ý NGHĨA HÌNH HỌC 2

III ĐẠO HÀM MỘT PHÍA 2

IV TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM SỐ 2

V ĐẠO HÀM CỦA NHỮNG HÀM SƠ CẤP 3

VI CÁC QUY TẮC CỦA ĐẠO HÀM 4

VII ĐẠO HÀM HÀM HỢP 5

VIII ĐẠO HÀM HÀM NGƯỢC 5

IX ĐẠO HÀM HÀM LŨU THỪA - MŨ 6

X ĐẠO HÀM CỦA THAM SỐ 6

XI ĐẠO HÀM CẤP 2 6

XII ĐẠO HÀM CẤP n 6

VÍ DỤ VỀ ĐẠO HÀM 7

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích 1 là môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng và sinh viên các ngành khối khoa học kỹ thuật – công nghệ nói chung Do đó, việc dành cho môn học này một khối lượng thời gian nhất định và thực hành là điều tất yếu để giúp cho sinh viên có được cơ sở vững chắc về các môn Khoa Học Tự Nhiên và làm tiền đề để học tốt các môn khác trong chương trình đào tạo.

Ở bài tập lớn này, nhóm thực hiện khái quát lại những kiến thức trọng tâm của phần Đạo Hàm Và đưa ra một số ví dụ về đạo hàm nói chung và ví dụ về một số chuyên nghành nói riêng, kèm theo đó là hình ảnh chạy kết quả trên chương trình Matlab.

1

III ĐẠO HÀM MỘT PHÍA

- Đạo hàm trái của y =f(x) tại x0 là giới hạn trái ( nếu có):

VI CÁC QUY TẮC CỦA ĐẠO HÀM

- Nếu hàm số u =u(x) có đạo hàm hữu hạn u '(x0) tại điểm x0 thì hàm số

y =cu cu= (x) với C ∈ R cũng có đạo hàm hữu hạn y ' tại điểm x0, lúc này ta có đẳngthức:

y ' =c u c u '

= '(x0)

- Nếu hàm số u =u(x) và v =v(x) có đạo hàm hữu hạn u ' =u '(x) và v ' =v '(x) tại điểm

x0∈ X thì tại điểm này hàm số y =u ± v u= (x)± v(x cũng có đạo hàm hữu hạn y ' tại điểm x0, lúc này luôn có đẳng thức:

y ' =u ' ± v '=u '(x0)± v '(x0)

- Nếu hàm số u =u(x) và v =v(x) có đạo hàm hữu hạn u =u(x) và v =v (x) tại điểm

x0∈ X thì tại điểm này hàm số y =u v u= (x) v(x) cũng có đạo hàm hữu hạn y ' tại điểm x0, lúc này luôn có đẳng thức:

y '

=u ' v +u v '

- Nếu hàm số u =u(x) và v =v(x) có đạo hàm hữu hạn u ' =u '(x) và v ' =v '(x) tại điểm

x0∈ X sao cho v(x0)≠ 0 thì tại điểm này hàm số

=z y '

⋅ y x '

- Cho hàm số y =f(x) tăng ( hoặc giảm ), liên tục trên khoảng X ∁ lên toàn R

khoảng Y ∁ và đạo hàm hữu hạn R f '(x0) ≠ 0 tại điểm x Khi đó hàm ngược x =0

g(y) = f−1( y )có đạo hàm hữu hạn tại điểm tương ứng y = 0 f(x0) ∈ Y, và luôn có đăng thức:

5

f '

(x0)⇔ x y=

y x '

IX ĐẠO HÀM HÀM LŨU THỪA - MŨ

- Cho hàm số u = u(x) > 0 và v = v(x) xác định trên cùng 1 tập hợp X ∁ khi đóR

hàm số y = u v = ( u (x ) v ( x)

¿ được gọi là hàm lũu thừa-mũ

- Nếu hàm số u = u(x) > 0 và v = v(x) tại một số điểm x ∈ X có đạo hàm hữu hạn u ' = u '(x) và v ' = v '(x) thì hàm số y = u v = ( u (x ) v ( x)

¿ tại điểm x này cũng có đạo hàm hữu hạn và lức này luôn có đẳng thức

y ' =u v lnu v ' v u+ v−1

u'

- Cho hàm số x = x(t) xác định trong lân cận của điểm t Nếu x(t), y(t) có đạo 0

hàm tại t và x’(t ) 0 0 ≠0 thì hàm y = f(x) có đạo hàm tại x = x(t ) và 0 0

y '

(x0)=y ' t (T0 )

x ' t (t0)

XI ĐẠO HÀM CẤP 2

- Nếu đạo hàm f ’(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì đạo hàm của nó được gọi

là đạo hàm cấp 2 của f(x) Vậy f ”(x) = (f ’(x))’

MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN

1 (a x¿(n)=a x

ln n a

a) Yêu cầu bài toán:

Chuyển động của lò xo chịu tác dụng của lực ma sát hoặc lực cản (chẳng hạn như bộ giảm xóc trong ô tô) thường được mô hình hóa bằng tích của hàm số mũ

và hàm sin hoặc hàm cosin Giả sử phương trình chuyển động của một điểm trênmột lò xo là:

s(t) = 2e −1.5 t sin 2 πt

Trong đó, s(t) là quãng đường được tính bằng cm, t là thời gian được tính bằng giây Hãy tìm vận tốc sau t giây và vẽ đồ thị cả hai hàm vị trí và vận tốc với 0 ≤ t ≤ 2

b) Giải quyết bài toán và vẽ đồ thị bằng phần mềm:

Trong bài toán này, ta sẽ áp dụng 2 công thức sau:

(f ∘ g)'(x)=f'(g(x))⋅ g ' (x)

7

a) Yêu cầu bài toán:

Lượng điện tích Q được tính bằng coulomb (C) đi qua qua một điểm trên dây dẫn đến thời điểm t (t tính bằng giây) được cho bởi công thức:

Q(t)= −t3 2t2+6 t+2

Tìm cường dòng điện khi (a) t = 0.5 s và (b) t = 1 s Cường độ dòng điện ở thời điểm nào là thấp nhất?

b) Giải quyết bài toán:

Trong yêu cầu thứ nhất của bài toán này, ta sẽ áp dụng công thức:

Ví dụ 3

a) Yêu cầu bài toán:

9

Tìm hai số x, y sao cho chúng có hiệu là 100, và tích của chúng là nhỏ nhất.b) Giải quyết bài toán:

Giả sử với x > y, ta có: x − y =100 hay x =100+ y

a) Yêu cầu bài toán:

Một mô hình được sử dụng để tính năng suất Y của cây nông nghiệp theo hàm lượng nitơ N trong đất (được đo bằng đơn vị thích hợp) có công thức như sau:

, trong đó K là hằng số dương Mức nitơ nào cho năng suất tốt nhất?

b) Giải quyết bài toán:

Trong bài toán này, ta sẽ áp dụng công thức sau:

Vậy với N=1 thì năng suất cây trồng đạt cực đại

a) Yêu cầu bài toán

Một người nông dân có hàng rào dài 10m và muốn rào lại một cánh đồng hình chữ nhật Hỏi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là bao nhiêu để thửa ruộng có diện tích lớn nhất?

b) Giải quyết bài toán

Gọi x, y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x, y > 0)Theo đề bài, ta có:

Để Smax , ta cần giải phương trình S’ = 0, nghiệm của phương trình chính là vị trí S đạt giá trị lớn nhất

a) Yêu cầu bài toán:

Trong một trại nuôi cá, một số lượng cá được đưa vào nuôi trong một ao và được thu hoạch đều đặn Một mô hình cho biết tốc độ biến thiên của số lượng cáđược cho bởi phương trình

(c) Điều gì xảy ra khi β lên đến 5%?

b) Giải quyết bài toán:

(a) Khi số lượng cá trong ao bền vững, tức là số lượng cá không tăng và không giảm, hay tốc độ biến thiên số lượng cá trong ao bằng 0

Số lượng cá trong ao sẽ giảm về 0.

a) Yêu cầu bài toán:

Nếu trong Ví dụ 4, một phân tử của sản phẩm C được tạo thành từ một phân tử của chất phản ứng A và một phân tử của chất phản ứng B, và nồng độ ban đầu của A và B có giá trị chung [A]=[B] = a mol/L, thế thì:

(c) Điều gì xảy ra với nồng độ khi t → ∞ ?

(d) Điều gì xảy ra với tốc độ phản ứng khi t→ ∞ ?

(e) Các kết quả ở phần (c) và (d) có nghĩa gì theo quan điểm thực tế.b) Giải quyết bài toán:

(a) Đạo hàm (1) theo t, ta được tốc độ phản ứng tại thời điểm t:

k(a −x)2

=k(a−a

2

kt akt+1)2

Ví dụ 8

a) Yêu cầu bài toán:

Chi phí, tính bằng đô-la, để sản xuất x yard một loại vải nào đó là

(a) Tìm hàm chi phí cận biên

(b) Tìm C’(200) và giải thích ý nghĩa của nó Nó dự đoán điều gì?(c) So sánh C’(200) với chi phí làm ra yard vải thứ 201

b) Giải quyết bài toán:

(a) Hàm chi phí cận biên = C '(x)=12−0,2 x +0,0015 x2 (đô-la/ yard vải)

(b) Thay x = 200 vào C '(x), có

Ý nghĩa: Giá trị C’(200) cho chúng ta biết chi phí sản xuất yard vải tiếp theo sau yard thứ 200, từ đó ta suy ra, chi phí sản xuất yard vải thứ 201 là 32 đô-la

(c) Chi phí làm ra yard vải thứ 201 = C(201)−C(200)=3632,2005−3600=32,2đô-laNhận thấy, chi phí sản xuất yard vải thứ 201 nhiều hơn 0,2 đô-la (2 cent) so với kết quả C’(200) nhưng ta có thể cho rằng C '(200)≈ C(201)−C(200)

Vẽ bằng phần mềm:

Vẽ đồ thị C’(x) bằng trang web Wolframalpha.

Vẽ đồ thị C’(x) x trong đoạn từ 150 đến 300, nhận thấy đồ thị đang đi lên, chứng

tỏ chi phí sản xuất cho 1 yard vải tiếp theo tăng lên mỗi khi 1 yard vải mới được làm ra

hàm, giúp mọi người thấy được số km mà mình đang chạy Trường hợp nếu kimchỉ số 0 nghĩa là quãng đường không giảm hay tăng lên, hoặc bạn đang ngừng chuyển động.

2, Đạo hàm và ứng dụng trong xây dựng

Trong xây dựng, việc ứng dụng đạo hàm sẽ giúp các nhà thầu tính toán sao cho chi phí xây dựng và thiết kế một công trình là thấp nhất Cách tính cũng sẽ tương tự như một bài toán cực tiểu của hàm số

Ví dụ:

 Tính toán độ dốc

Đạo hàm được sử dụng để tính toán độ dốc của một đường thẳng hoặc đường cong Điều này có thể được sử dụng để xác định độ nghiêng của một mái nhà, mặt đường, hoặc bất kỳ bề mặt nào khác cần có độ dốc nhất định

Ví dụ, để tính toán độ dốc của một mái nhà có chiều cao 10 mét và chiều dài 20 mét, chúng ta có thể sử dụng công thức sau:

Ví dụ, để tính toán lực căng của một sợi dây có chiều dài l và trọng lượng P, chúng ta có thể sử dụng công thức sau:

f(x) = x2

f'(x) = 2x

Tại x = l, f'(l) = 2l

Vậy lực căng của sợi dây là 2Pl

3, Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế

Có một điều thú vị về ứng dụng của đạo hàm chính là được áp dụng cả trong kinh tế, khi chúng hỗ trợ tính toán tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa ra nhữngquyết định đầu tư đúng đắn Mọi người sẽ sử dụng hàm số mô tả đại lượng về kinh tế đang quan tâm, rồi tiếp đến chỉ cần áp dụng công thức tính đạo hàm để đạo hàm nó để có thể dự đoán được tốc độ tăng trưởng của doanh nghiệp trong tương lai

Ngoài ra, trong lĩnh vực kinh tế, đạo hàm còn ứng dụng tuyệt vời trong việc dự đoán xem hàm số cần tính toán đạt giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất ở đâu, để từ đó giúp doanh nghiệp tối ưu hóa các hoạt động khác nhau một cách hiệu quả

Ví dụ, nếu hàm lợi nhuận P(x) được mô tả bởi P(x)=a x2

+bx c+ với a,b,c là các hằng số, ta có thể tính đạo hàm của P(x) theo x như sau:

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Giáo trình giải tích 1 – ĐHQG TP.HCM

19