Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 Đề số 1

LỚI NÓI ĐẦU Giải tích I là một trong những môn học nên tảng ở trình độ Đại học đóng góp một vai trò vô cùng quan trọng, tạo cơ sở dé học và nghiên cứu các ngành kỹ thuật.. Môn học được á

ĐẠI HỌC QUÓC GIA TP HỎ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

BK

TP.HCM

BAO CAO BAI TAP LON MÔN GIẢI TÍCH 1

GV hướng dẫn: TS Huỳnh Thái Duy Phương

& Dé tài số: 04

& Lép: LO1

4 Nhóm: 04

+ Danh sách sinh viên thực hiện:

STT Họ & tên MSSV | Đánh giá công việc

2| Phan Tran Duy Minh 2312108 Hoàn thành

3 Nguyén Bui Héng Phuoc | 2312771| Chua hoan thanh 4_ | Võ Tán 2313073 Hoàn thành

Thanh phé Hé Chi Minh, tháng 12, nam 2023

LỚI NÓI ĐẦU

Giải tích I là một trong những môn học nên tảng ở trình độ Đại học đóng góp một vai trò vô

cùng quan trọng, tạo cơ sở dé học và nghiên cứu các ngành kỹ thuật Môn học được áp dụng phô biến trong các lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng toán học:

e© Hiểu rõ hơn về biến đối và biến thiên: Giải tích giúp chúng ta hiệu rõ hơn về sự biến thiên của các đại lượng, như độ dốc, tốc độ, gia tốc và tý lệ thay đổi của chúng Điều này cung cấp cho chúng ta cái nhìn sâu sắc về các quy luật tự nhiên và quá trình biến đôi trong thể giới thực

e© Ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật: Giải tích là công cụ cơ bản trong nhiều lĩnh vực

khoa học và kỹ thuật, bao gồm vật ly, hóa học, kỹ thuật điện, khoa hoc may tính và nhiều

lĩnh vực khác Nó giúp mô hỉnh hóa và phân tích các hiện tượng tự nhiên và xây dựng các

mô hình toán học đề giải quyết cac van dé thực tế

¢ Ung dung trong kinh té va tài chính: Giải tích được áp dụng rộng rãi trong lĩnh vực kinh

tế và tài chính đề phân tích và dự đoán các xu hướng, tối ưu hóa quyết định và định giá tài sản, Các công cụ giải tích như vị phân và tích phân dong vai trò quan trọng trong việc phân tích hàm số và tính toán các chỉ số kinh tế

¢ Phat trién tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề: Học Giải tích đòi hỏi sự logic, quyết đoán và khả năng giải quyết vấn đề Nó giúp phát triển tư duy phân tích và khả năng

áp dụng các phương pháp toán học đê giải quyết các vấn đề phức tạp

e Đóng góp vào sự phát triển của toán học: Giải tích là một trong những lĩnh vực cơ bản

và quan trọng nhất của toán học Nó đã và đang đóng góp rất nhiều vào sự phát triển của toan hoc va mang lại những khảm phá và ý tưởng mới cho ngành nay

Tóm lại, Giải tích không chỉ mang lại những kiến thức cơ bản về biến thiên và biến đổi, mà còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau Nó cung cấp một cách tiếp cận toán học sâu sắc và phát triển tư duy logic và giải quyết van dé

LỜI CẢM ƠN

Nhóm 04 lớp L01 xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Khoa học Ứng dựng nói chung và Thay Hữu Thái Duy Phương nói riêng đã luôn công hiến, giảng dạy hết mình đê xây dựng môn học Giới tích 7, làm nền tảng cho bao thé hé ky su tài năng nước Việt Nam Trong quá trình viết bài báo cáo, chúng em cũng mắc ít nhiều sai sót cần có sự giúp đỡ từ phía giảng viên bộ môn Đồng thời, cũng không thẻ thiếu tỉnh thần đoàn kết của các thành viên trong nhóm Đề hoàn thành được bài tập lớn này, không phải là công sức của riêng ai mà đó là sự nỗ lực của cả nhóm Tuy có ít cơ hội được ngồi làm việc trực tiếp với nhau, nhưng các bạn trong nhóm vẫn tận tình giúp đỡ nhau qua những cuộc gặp gỡ trực tuyến, qua những dòng tin nhắn trao đối, thảo luận và giải quyết những vấn đề chung của nhóm dé co duoc bai bao cao chin chu như ngày hôm nay

Tuy vậy, do vẫn còn hạn chế về mặt kiến thức nên nhóm sẽ gặp phải những sai sót không đáng

có Nhóm luôn sẵn sảng tiếp nhận những ý kiến đóng góp và sửa chữa Kính mong được nhận góp ý từ Thầy đề giúp nhóm chúng em phát triển hơn

Một lần nữa, chúng em - nhóm 04 lớp L0I - xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất dén Thay và xin chúc 7ẩy có nhiều sức khỏe, thành công trong sự nghiệp

TOM TAT NOI DUNG BAO CÁO

4 Đề tài báo cáo

1 Thiết lập các phương trình vi phân mô tả sự lây lan dịch tế

2 Đưa ra ví dụ thực tế cụ thê đề nêu rõ ý nghĩa nghiệm của phương trình

3 Nhập n và hàm = f(x) thỏa Ù My Việt đoạn code timy* (dao ham cap)

y =

% Kiến thức cần có

e - Sứ dụng các kiến thức cơ bản trong Giải tích 1 (giải phương trình vi phân cấp 1, .)

e - Có kiến thức cơ bản về lập trình trên phần mém MATLAB

+ Vận dụng

Những kiến thức, kinh nghiệm và ý nghĩa thực tế được rút ra trong quá trình nghiên cứu đè tài

MỤC LỤC

Đề mục

LỜI NÓI ĐẦU -.- 1 SE 1111 1 E11121111 1111 1111111111111 0111111111111 1111111 k1 T111 1kg TT re LO] CAM ON 0oeeececececccecececcscsceseceececeececesevecsesecaeesevaveesusecavseesvavaceucesausuesvevacausevavesesvevsereeveveneetenas TOM TAT NOI DUNG BAO CAO

MUC LUC

Yíu cầu 1 Thiết lập câc phương trình vi phđn mô tả sự lđy lan dịch tễ 1

1.1 Mô hình SIR

1.2 Mô hình SIR được biểu diễn bằng hệ phương trình vi phđn

1.3 Ước tính số người đê nhiễm bệnh sau khi dịch bệnh kết thúc

031i noc na a 3

Yíu cầu 2 Đưa ra ví dụ thực tế cụ thể để níu rõ ý nghĩa nghiệm của phương trình

2.1 Ví dụ 1

2.1.1 Lời giải

2.12 Ý nghĩa

2.2 Ví dụ 2

2.2.1 Lời giải

PA) N PS h.- ,ÔỎ 6 Yíu cầu 3 Viết đoạn code tìm đạo hăm cấp

3.3 Câc lệnh được sử dụng trong chương trÌnÏ - sgk HƯU 8

3.4 Câc khói lệnh được sử dụng trong chương trình

Ko )0)¡00 (0100 (0000000) V090 44 , 9 Săn Ầ 9 3.5.2 Phản lập trình

TĂI LIỆU THAM KHẢO

<3 TRUONG BAI HOC BACH KHOA

Yêu cầu 1 Thiết lập các phương trình vi phân mô tả sự lây lan dịch tễ

1.1 Mô hình SIR

Mô hình SIR là một mô hình toán học trong epidemiology (dich té hoc) duoc su dung dé m6

tả và dự đoán sự lan truyền của các bệnh truyền nhiễm trong một quản thê

Cu thé, SIR đại diện cho ba nhóm chính của quản the:

e - S (Suscepiible): Những người trong nhóm này chưa mắc bệnh nhưng có thẻ mắc nếu tiếp xúc với người nhiễm bệnh

e 1 (Infected): Những người trong nhóm nay đã mắc bệnh và có khả năng lây nhiễm cho những người khác

e _R (Recovered/Removed): Những người trong nhóm này đã hồi phục hoặc bị loại bỏ khỏi

quá trình lây nhiễm, có khả năng miễn dịch và không thê lây nhiễm nữa

Mô hình SIR giả định rằng quá trình lây nhiễm diễn ra theo một só luật lệ cơ bản, bao gồm tỷ

lệ tiếp xúc giữa những người khỏe mạnh và người nhiễm bệnh, tý lệ chuyền đổi từ người khỏe

mạnh sang người nhiễm bệnh, và tỷ lệ hồi phục

Một số biến thẻ của mô hình SIR bao gém các yếu tố như tỉ lệ tử vong, sự gia tăng tự nhiên của dân só, việc áp dụng biện pháp kiêm soát (như cách ly, tiêm chủng), và thậm chí là sự biến đổi của bệnh dịch theo thời gian

Mô hình SIR cung cáp một cách tiếp cận cơ bản nhưng hữu ích đề hiểu và dự đoán sự lan truyền của các bệnh truyền nhiễm trong các quản thẻ, và nó đã được sử dụng rộng rãi trong việc đánh giá và lập kế hoạch phòng chóng dịch bệnh

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Khóa K23 Trang 1/9

3 TRUONG DAI HOC BACH KHOA

1.2 Mô hình SIR dugc biéu dién bang hé phương trình vi phân

s=-B>”

; SỔ

I= By - dl

R = al

Trong đó:

B: là hệ số truyền nhiễm

a: là hệ số hỏi phục

S,I,R': là tốc độ biến đổi của các nhóm theo thời gian

Xét † = 0 là thời điểm xuất hiện những người đầu tiên bị nhiễm bệnh:

S(0) = So, l(0) = lo, So + lo= N

Nhận tháy S(t) và R(t) là hàm đơn điệu theo † và bị chặn giữa 0 và N Ta nhận được kết quả S

và R hội tụ khi t — +œ Do đó R — 0,I — 0 và có thê hiệu rằng dịch luôn chám dứt 1.3 Ước tính số người đã nhiễm bệnh sau khi dịch bệnh kết thúc

Số lượng người từng bị bệnh ta ước lượng R„, giới hạn của R khi t ¬ +œ

Ta nhân cho mỗi về với exp C-R)sau dé lay tich phan hai vé ta được:

S exp (—R) =C (1)

Do Ho = 0 nên C = So

Ta cho t > +0 va S, =N-R, > (N- Ro) exp CER) =Sy

Đặt về trái là F(R„) Ta có F là một hàm giảm

Với R„ 0 —R¿<0 ~Sg=N- Ry <N

Ro > N>R, SN ¬S5s=N- Rạ >0

Suy ra, phương trình có nghiệm duy nhất nằm giữa 0 và N

Nghiệm này có thẻ tính xáp xi bằng phương pháp số

Tổng két: R.„ cho ta biết tổng số người từng bị bệnh sau khi dịch bệnh chám dứt

@ 3 TRUONG BAI HOC BACH KHOA

1.4 Ước lượng đỉnh dich

Đỉnh dịch là thời điêm mà số người mắc bệnh đạt giá trị lớn nhát hay còn gọi là lmax

| giam khi và chỉ khi S <

I tang khi va chi khi S > 3

Vsip= =

4 (ty suat tai tao co ban)

Néup<1 > 5 >S 1 luôn giản hay dịch bệnh sẽ không bùng phat

Nói cách khac, Imax = lo

Néup >1va*<s, > 188 ting cho đến khi § = Ÿ

Khi đó, Imax khi và chỉ khi § =—`

` Thay giá trị này của S vào (1) ta được:

2: XP (ER) =S)>R= In C9)

Ta cól=N—S-H

1 1 Si

Suy ra, Imax = NỈ1 =z- „In >9]

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Khóa K23 Trang 3/9

<3 TRUONG BAI HOC BACH KHOA

1.5 Cac bién thé va m6 hinh phat trién

Mô hình SIR đã là một công cụ quan trọng trong dịch tế học và y té công cộng, nhưng trong quá trình phát triên, nhiều biến thê và mô hình mở rộng hơn đã được tạo ra đề cải thiện khả năng dự đoán và đáp ứng với các tình huống y té phức tạp hơn

Các biến thẻ và mô hình phát triển từ mô hình SIR bao gồm:

e - Mô hình SEIR: Mở rộng từ SIR, mô hình này bao gồm một giai đoạn tiềm ân (Exposed) trước khi người nhiễm bệnh trở nên lây nhiễm Điều này cho phép mô hình mô tả sự chuyên đôi từ khi mắc bệnh đén khi trở nên lây nhiễm

e Mô hình SIRD: Thêm một phản tử 'Removed' được chia thành hai phần, một cho những người đã hôi phục và một cho những người đã qua đời, đê mô tả sự biến đổi của dịch bệnh

và tỷ lệ tử vong

e Mô hình Agent-Based Models (ABM): Đây lả một loại mô hình mô phỏng dựa trên đối tượng, mô phỏng từng cá nhân trong quản thẻ ABM cho phép mô phỏng các chỉ tiết cụ thê hơn về hành vi cá nhân, tiếp xúc và phản ứng với biện pháp kiêm soát, giúp hiêu rõ hơn về

sự lan truyền của bệnh

e - Mô hình mạng lưới (Network Models): Su dụng đẻ mô phỏng mói quan hệ giữa các cá nhân hoặc cộng đồng thông qua mạng lưới Các mô hình này có thẻ áp dụng đề phân tích

sự lan truyền của bệnh trong các môi trường mạng lưới phức tạp như các mạng xã hội

se Mô hình dự đoán sử dụng Machine Learning và AI: Các phương pháp học máy và tri tuệ nhân tạo được áp dụng đề dự đoán sự lan truyền của dịch bệnh dựa trên dữ liệu lịch sử

và các yếu tó biến đôi, giúp cải thiện khả năng dự đoán và quản lý dịch bệnh

Những mô hình này cung cáp cái nhìn sâu hơn và linh hoạt hơn trong việc mô phóng, dự đoán

và đánh giá các biến đôi phức tạp của dịch bệnh trong y tế cộng đồng Sự phát triên của các mô hình này làm gia tăng khả năng hiệu biết và quản lý trong việc ứng phó với các tình huống y tế khan cap

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Khóa K23 Trang 4/9

@ 3 TRUONG BAI HOC BACH KHOA

Yêu cầu 2 Đưa ra ví dụ thực tế cụ thể để nêu rõ ý nghĩa nghiệm của phương trình 2.1 Ví dụ 1

Tốc độ lây lan của một dịch bệnh tỷ lệ với số người nhiễm bệnh và số người không nhiễm bệnh Ở một thị trần có 5000 người, vào lúc đầu tuần thì có 160 người mắc bệnh, đến cuối tuần thi con đã đạt 1200 người Sau bao lâu thì 80% dân cư nhiễm bệnh?

(Gợi ý: x tỷ lệ với u và v tức là x-kuy)

2.1.1 Lời giải

Gọi y(†) là số người nhiễm bệnh theo † (ngày)

Suy ra” 500 —y(t là số người chưa nhiễm bệnh

at la toc dé lay lan và

vì 500 —y(t nên:

at lệ với y và

dy _ it ky (500-y)<= ¬ 1 kdt > Sood"

als kt+C (tích phân hai vé)

y(8000-y y— 5000

0)=160

Với yO) , ta có hệ:

y(7) =1200

5000 In ¬- =0K+C C= 5000!” Gaz

— In} —* Nk = an

1 y _ 1 363 1 4

5000 ft 5 = aol = 35000." 3a! * S000 —

Yêu cau bai toán tương đương:

5000 -” l5000 «80% — 50001 ~ 35000." 3g t 5000 7

©tz14,9 (ngày)

2.1.2 Ý nghĩa

Sau gan 14,9 ngay thi 80% dân cư nhiễm bệnh

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Khóa K23 Trang 5/9

* TRUONG BAI HOC BACH KHOA

2.2 Vi du 2

Trong một cộng đồng dân cư có n người, khi dịch cúm xuất hiện, tốc độ lây lan bệnh (tóc độ biến động số người mắc bệnh theo só ngày) tỷ lệ thuận với số người nhiễm bệnh và só người

chưa nhiễm bệnh

Giả sử cộng đồng có 2000 người và ban đầu có 1 người nhiễm bệnh, sau 20 ngày, số người mắc bệnh là 15

Xác định số người nhiễm bệnh sau 2 thang?

2.2.1 Lời giải

Gọi y(†) là số người nhiễm bệnh theo † (ngày)

Suy r~Ÿ n—y() là số người chưa nhiễm bệnh với n =2000

¿ là tốc độ lây lan và

Vì 2000 — nên:

at lệ với y và

2ˆ _ _ { A 7A 1 y _

= y(2000-9) = kdte› tích phân hai vẻ ta được In [al =Kt+C (1)

a= ky (2000- y)

t=O y=1

Tal y ta có hệ:

t=20 y= TẾ

700 2 ml =0K+€ C= 2000 In 1999

son In|—” 5 | =20K+C K= 000 n

Thé C và K vào phương trình (1) ta duoc:

1 y 1 5997 1 1

—]n |—_ = —]n — t + —In —

2000 + |y—2000] 40000 397 2000

1999

Sau hai thang t= 60 (ngay) ta dugc:

1 y 1 1 5997 1, 1

200g 1 | ein In 3o; :00+zpạg1n ——

1999

© yz1266 (người)

2.2.2 Ý nghĩa

Só người nhiễm bệnh sau 2 tháng là gần bằng 1266 người

Bài tập lớn môn Giải tích 1 Khóa K23