Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 Đề tài 15 tính diện tích mặt tròn xoay

Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về hình dạng của các đối tượng xung quanh va lam thế nào chúng ta có thé str dung toán học đề giải quyết những vấn đề thực tế.. Mục 8.2 trong sách của

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

Đào Huy Cường

Lớp L21, Nhóm 15

DANH SACH THANH VIEN

Stt Ho va tén Mã số sinh viên | Phân công công việc

Giai bai tap

2_| Nguyễn Thị Minh Oanh 2312560 Lý thuyết

Giai bai tap

3 Dang Cao Phi 2312609 Phan mém giải toán

Giai bai tap

Giai bai tap

5 Triệu Thanh Phong 2312632 Phân mêm giải toán

Giai bai tap

MUC LUC

LOL CAM GN ooo occ cece cece cee cee eects teat bet tit tt br title tit tistetetetententees LOL MG DAU cece cece cece cee cen tee ee ete ete tee teesteeteetette sittin tn tnt tinenen DANH MUC CAC HINH ANH 0.00000 cccccc cece cee cette cece tus tutetetenteseeeenes DANH MỤC BẢNG BIẾU 2 2222222221222

1.1 Định nghĩa 22.207 00 012n1 nh nh nh nh Thy sry xin 1.2 Ví dụ minh hoạ c co c2 ng nh kh nk nh nen kh ca 1.3 Diện tích mặt tròn xoay c cee ee kee nàn nh nh khe này

1.4 Tóm tắt công thứỨc các cóc cọc ch ĐT nn nh ch na nà kế nà nà nà

2.1 Tính diện tích mặt tròn xoay quay quanh trục Öx

=ˆ cece ee ee ee cee eee tee ee tne eee tonnes tonnes een cee tennis tenner een eeees

=8 ne en cee tenes ee tne ence tonnes tonnes sen cee tennis tenner tenner es

=0 — ee ee cee tenes ee cne ence tonnes ten eee sen cee tennis tenner tenner es 2.2 Tinh dién tich mat tron xoay quay quanh truc Oy

Bat 13 etn ttn tne etn tie nee iee tries tte tinines E0" rte tne tintin nee bee tries tierra 2.3 Dang Toan nang cao

05 ccc cccvecee eee cee see sevce vitae ct eteeetertersesevetitiievieiteetees :0 1Š

ts A 0 00000 00c nc nnn nh n nh n nh nhn nhe Tnhh kh kg xu

07 TT

: 6< vee veeteetustustvitittiveterieatereeres TÀI LIỆU THAM KHẢO c 2.2222 nề nh nh nh nà nh nh nhà TÔNG KẾT L2 22202202201 02212 TH nh TT HH tr Hàn tt tk sen

IH IV VỈÌ

10

12 15

17

19

21 23 25

27

31

34 35

LOI CAM ON

Trải qua một kì học tập ở trường Đại học Bách Khoa TPHCM, chúng em xin gửi lời

cảm ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu, quý thầy cô trong trường đã tạo điều kiện và truyền đạt những kiến thức quý báu cho chúng em trong quá trình học tập

Đặc biệt ở bộ môn Giải tích l chúng em chân thành biết ơn thầy Đào Huy Cường đã

luôn dành thời gian, công sức giảng dạy chúng em tận tình, luôn hỗ trợ và hướng dẫn

chúng em trong quá trình thực hiện bài báo cáo này Nhờ sự chỉ dẫn tận tâm của thầy,

chúng em đã có sự hiểu biết sâu sắc hơn về để tài mà chúng em nghiên cứu đồng thời cũng mở mang kiến thức, tư duy, phương pháp giải quyết vấn đề, phát triển kỹ năng

nghiên cứu và phân tích của mỗi cá nhân Chúng em rất vui khi có cơ hội được học tập dưới sự dẫn dắt của thầy

Một lần nữa, chúng em xin chân thành cảm ơn thây vì sự hỗ trợ quý báu

LOI MO DAU

Thể giới toán học là một thế giới tràn đầy những hiểu kỳ cùng với những vẻ đẹp ân sâu

mà ít ai khám phá được Cuôn sách “Calculus early transcendentals sixth edition” của James Stewart có thê được xem như là cánh cửa dẫn lối đến thế giới kỳ bí này Nơi đây

không chỉ là một loạt các số liệu và công thức mà đó là cơ hội dé chúng ta nhìn nhận toán học từ một góc độ hoàn toàn mới

Đã có bao giờ bạn đang ngắm nhìn một chiếc bánh xe lăn trên mặt đất Bạn lại tự hỏi không biết lam thé nào dé co thé "do" diện tích bề mặt của chiếc bánh xe đó không? Và

đó chính là câu hỏi mà chúng ta sẽ cùng nhau khám phá và giải đáp

Không giống như việc đơn thuần nhìn vào các chữ số và biểu đô, chúng ta sẽ cảm nhận

sự huyền bí và vẻ đẹp của tích phân và hình học Chúng ta sẽ không chí nhìn vào những con số phức tạp mà còn tìm hiểu cách áp dụng những ý tưởng này vào thực tế Điều này sẽ giúp chúng ta hiểu hơn về hình dạng của các đối tượng xung quanh va lam thế nào chúng ta có thé str dung toán học đề giải quyết những vấn đề thực tế

Mục 8.2 trong sách của James Stewart sẽ là chiếc chìa khoá chính đề giải đáp câu hỏi

về tính điện tích mặt tròn xoay mà chúng ta thắc mắc lâu nay Hãy cùng nhau mở cánh cửa cho cuộc hành trình này, để khám phá và đắm chìm trong thế giới tuyệt vời của tích phân và hình học, nơi mà chúng ta sẽ tìm thấy sự diệu kỳ của diện tích mặt tròn XOay

Hình ảnh giải bài bằng matlab còẶ cà cò cốc, Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ảnh giải bài bằng matlab còẶ cà cò cốc, Hình ảnh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ánh giải bài bằng WolữamAlpha Hình ảnh giải bài bằng matlab còẶ cà cò cốc, Hình 2.2.10 Hình ảnh giải bài bang WolframAlpha

Hình 2.2.11 Hình ảnh giải bai bang WolframAlpha

Hình 2.2.12 Hình ảnh giải bài bằng WolfamAlpha Hinh 2.2.14 Hinh anh giải bài bằng WolframAlpha

Hình 2.2.15 Hình ảnh giải bài bằng WolframAlpha - Hình 2.2.16 Hình ảnh giải bài bằng WolframAlpha - Hình 2.2.17 Hình ảnh giải bài bằng matlab cóc các cà cà sec Hinh 2.2.18 Hinh anh giải bài bằng WolframAlpha

Hinh 2.2.19 Hinh anh giải bài bằng WolframAlpha

Hinh 2.2.21 Hình ảnh giai bai bang matlab 000 cece cee cee creeeeeeeeeneeen Hinh 2.2.22 Hinh anh giai bai bằng matlab cc sò cà cóc

Hình 2.2.23 Hình ảnh minh hoạ 27722222 2n c2 nhé Hy nàn Hình 2.2.24 Hình ảnh minh hoa

DANH MUC BANG BIEU

Bang 1.3.3 Tóm tắt các công thức cà cà cọ nn nh nến nh nh HH na ren

vii

CHUONG 1: LY THUYET

1.1 Dinh nghia

Khi chúng ta xoay một đường cong quanh một trục, chúng ta sẽ tạo ra một bề mặt xoay Đề định nghĩa diện tích của bề mặt xoay một cách đơn giản, có thê hiểu rằng giả

sử chúng ta cần trang trí một bình hoa bằng cách sơn lớp màu lên bề mặt xung quanh

nó, lượng sơn sẽ tương đương với việc sơn một khu vực phẳng có diện tích là A Một mặt tròn xoay được hình thành từ một đường cong quay quanh một trục

Để tính diện tích của I mặt tròn xoay ta phải làm sao?

Đầu tiên ta hãy tính những diện tích của các hình mặt tròn xoay đơn giản Hãy cùng nhìn những ví dụ sau đây:

1.2 Vi du minh hoa

a) Hinh tru

Bắt đầu với hình trụ, gia sử bạn có một lon Coca hình trụ Bạn lột lớp vỏ lon va trai ra

thì nó sẽ là một hình chữ nhật với chiều rộng bằng chiều cao lon, chiều dài bằng chu vi

hình tròn của nắp lon khi nhìn từ trên cao xuống Và đó chính là diện tích mặt tròn

xoay cua lon Coca

Ví dụ thực tế trên để bạn có thê dễ dàng hình dung và nắm bắt hơn, dưới đây sẽ là

những công thức toán học

Chiều dài hình chữ nhật là chu vi đường tròn đáy 27r

Vậy diện tích của hình chữ nhật cũng như mặt tròn xoay là S = 2zrh

b) Hình nón

Hãy tưởng tượng bạn có một chiếc nón sinh nhật Khi bạn cắt nón thăng một đường tử

vành nón đến đỉnh nón, sau đó mở nó ra, khi đó bạn sẽ thu được một tờ giấy hình quạt, Diện tích của tờ giây này chính là diện tích mặt tròn xoay cua chiéc non

Ví dụ thực tế trên để bạn có thê dễ dàng hình dung và năm bắt hơn, dưới đây sẽ là

những công thức toán học

Ta biết rằng công thức tính diện tích hình quạt là S = si , theo hinh:

- 114 d6 dai cung tron tuong ứng là 27rr

- Rla ban kinh hinh quat tuong ung là |

Dựa vào đó ta tính được diện tích của hình quạt cũng như là hình nón S=z H

c) Hình nón cụt

Ta vẫn sẽ lấy minh hoạ trước đó là chiếc nón sinh nhật, nhưng lần này nó đã bị ai đó

cắt ngang mắt phần đỉnh đầu Nếu như ta vẫn áp dụng cách cũ như trên thì có vẻ như sẽ khá khó đề tính toán Nhưng nếu suy nghĩ thông minh hơn, ta sẽ biết được rằng mình

có thê dùng cách tính bù trừ đề giải quyết, lấy diện tích lúc chưa bị cắt trừ đi diện tích

phần đã bị cắt Sau khi trừ xong, đó chính là diện tích mặt tròn xoay của chiếc nón sinh

nhật đó

Ví dụ thực tế trên để bạn có thê dễ dàng hình dung và nắm bắt hơn, dưới đây sẽ là

những công thức toán học

Y tưởng sẽ là chia nhỏ hình nón cụt ra thành 2 phân:

- _ Hinh nón lớn với bán kính đáy F, và và chiều dài I+l 1

- _ Hình nón nhỏ với bán kính day la r, va chiéu dai |,

Hinh 1.2.5

Diện tích hình nón cụt được tính bằng cách lấy hiệu của diện tích hình nón lớn và nhỏ:

A=zr(+l)—zr] ,= z|( oa) aw L] (1) Theo tam giác đồng dạng ta có:

151 6 pL = (i + ) Se hẦn — n) =7l

T2 itl

Thay vào phương trình (1) ta được:

Vậy còn những hình phức tạp hơn thì sao?

Hãy tưởng tượng bạn có một đường cong và muốn tính diện tích bề mặt chính xác khi quay đường cong đó xung quanh một trục Thay vì xử lý trực tiếp hình dạng phức tạp nay, ta sẽ sử dụng một cách thông minh khác bằng cách xấp xỉ đường cong ban đầu bằng một loạt các đoạn thăng, tạo thành một đa giác Khi chúng ta quay từng đoạn thăng này quanh trục, nó tạo ra một hình dạng đơn giản hơn, và chúng ta có thê tính diện tích dé dàng hơn

Nói một cách đơn giản, chúng ta đang chia nhỏ vấn đề Thay vì xử lý toàn bộ đường cong, chúng ta xấp xỉ nó bằng các hình dạng đơn giản hơn, tính diện tích bề mặt của chúng, và sau đó cộng chúng lại Chúng ta càng sử dụng nhiều đoạn thăng đề xấp xỉ đường cong, kết quả ta tính sẽ càng gần với diện tích bề mặt thực tế hơn Đó là ý tưởng dang sau việc tính diện tích bề mặt của các hình xoay phức tạp hơn

Theo cách tính trên ta áp dụng vào tính diện tích hình sau

Hinh 1.3.1 Hinh nay duoc cau tao béi mét duong cong y =f( x voi a <« <kxoay quanh truc

Ox Dé tinh dién tich của nó, chung ta chia khoang [a, b] thanh n đoạn với các diém

Ta lay 2 điểm trên đường cong y =f( x la P(x, y), P{(X%,,Y,)

Để tính diện tích mặt tròn xoay trên khoảng giữa x; va X;41, ta co thé xap xi no bang một đoạn thăng nồi giữa P, với P_¡ và cho đoạn thăng đó quay quanh trục Ox Khi đó

ta nhận được một hình tương tự hình nón cụt Theo đó:

- D6 dai đường sinh của hình là khoảng cách của P, với B_¡: l= ~U a —U

- _ Bán kính 2 đáy lần lượt là Y,„, „

Ta có thê tính diện tích như sau:

Néu Ax cang nhỏ thì 3; =/(x) = f(x’) va Vi-1 = f(x.1) = f(x) Noi mot cach

dé hiéu thi do khoang cach qua nhé nén 2 diém y; va y;_ gan nhau do dé xap xi bang

Vậy diện tích của một mặt tròn xoay được tạo thành từ một đường cong y = f (x) xoay

quanh truc Ox voi f (x) dương và có đạo hàm liên tuc trén khoang [a, b] 1a:

S= 2nƒ(x¿ ) 14 [f'| x;* )]4Ax (3)

Theo kí hiệu dao ham cua Leibniz, céng thirc (3) trở thành:

S =f? 2nyv1+ (2) dx (4)

Nếu đường cong là x = ƒ () thì công thức (3) trở thành:

S = f 2nxds

1.4 Tóm tắt công thức

Diện tích mặt tròn xoay Công thức

Hình trụ quay quanh trục Óx S =2nrh

Hinh non quay quanh truc Ox S=nrl

Hinh non cyt quay quanh truc Ox S =2nrl

Duong cong y = f (x) quay quanh truc

Ox dưới ki hiéu dao ham cua Leibnit

b d 2

S=f 2nyÝ1 + (“2) dx

Duong cong y = f (x) quay quanh truc

€@y dưới kí hiệu đạo hàm của Lelbmt

b dy 2 S=f ƒ 2 Vi + (=) d 2mx dx)

a

Duong cong x = f (y) quay quanh truc

€@y dưới kí hiệu đạo hàm của Lelbmt

b dx \’

S= J 2nxV1 + ( 2y) dy

Bảng 1.3.3

CHUONG 2: BAI TAP

2.1 Bai giai muc 8.2 sach James Stewart

2.1.1 Tính diện tích mặt tròn xoay khi quay quanh trục Ôx

Bước 1: Nhập công thức theo cú pháp:

3š WolframAlpha :-:::::

[ rotate the curve y=x^3, 0<=x<=2 about the x-axis a |

Hinh 2.2.2 Bước 2: Kết quả trả ra được là:

€ > Se & matiab.mathworks.com a2* 2 OO:

l4 Gmai @B YouTube BP Mops @ Tintic OG} Dich

= Workspace ¡lo lĐO = ĐỀ (2/2

iiName ii Value Size

Bước 2: Kết quả trả ra được là:

€ > S & matiab.mathworks.com en 2oO@:

™ Gmail @@ YouTuse Ế Maps @ Tintic Op Dich

F " Zoom: 100% UTF-® CRLE seript La 1 Cọi 46

Bước 3: Hình vẽ minh họa

— axis of revolution

Hinh 2.2.12

2.1.2 Tính diện tich mat tron xoay khi quay quanh truc Oy

AB oO? > mass ome

C Files

# ®HQ@: UBL view

Bước 2: Kết quả trả ra được là:

€ > S & mitiab.mathworks.com ee 2 OO:

™M Gmail @@ YouTube =F Maps @& Tinnic @ Dich

2.1.3 Dạng toán nâng cao

Bài 25:

25.| If the region R = {(x, y)|x = 1, 0 < y < 1/x} is rotated

about the x-axis, the volume of the resulting solid is finite

(see Exercise 63 in Section 7.8) Show that the surface area is

infinite (The surface is shown in the figure and is known as

Bai 26:

26 If the infinite curve y = e *, x > 0, is rotated about the

x-axis, find the area of the resulting surface

Bai 28:

28 A group of engineers is building a parabolic satellite dish

whose shape will be formed by rotating the curve y = ax?

about the y-axis If the dish is to have a 10-ft diameter and a

maximum depth of 2 ft, find the value of a and the surface

is rotated about the x-axis to form a surface called an

ellipsoid, or prolate spheroid Find the surface area of this

ellipsoid

(b) If the ellipse in part (a) is rotated about its minor axis (the

y-axis), the resulting ellipsoid is called an oblate spheroid

Find the surface area of this ellipsoid

Dat u = b? sin( t);du = bŸ cos( tae

Bai 33:

33 Find the area of the surface obtained by rotating the circle

TAI LIEU THAM KHAO

[1] James Stewart, Calculus Early Transcendentals, 6e, Thomson Brooks/Cole, 2008 [2] Pham Thi Ngoc Yến, Lê Hữu Tinh, “Co sd Matlab va ung dung”, NXB Khoa hoc

TONG KET

Nhóm chúng em đã hoàn thành bài tập lớn chủ dé “Tinh dién tich mat tron xoay” Kết

quả tính toán ở các bài tập dựa trên cơ sở lí thuyết đúng với tính toán trên các phần mém khác

Tuy nhiên, vì chưa tìm hiểu được nhiều về các phần mềm nhu Matlab, Geogebra, WolfữamAlpha nên vẫn còn vài bài tập không thể áp dụng đề tính toán hay vẽ hình

Qua bài tập lớn, chúng em đã có thêm kinh nghiệm làm việc nhóm, rèn được kĩ năng

giao tiếp, kĩ năng lên kê hoạch và có cơ hội tìm hiệu về các phân mêm hồ trợ toán học

Chúng em đã cô găng hoàn thiện đề tài bài tập lớn này một cách hoàn chính nhất

nhưng vẫn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Chúng em rất mong nhận được

sự quan tâm và đóng góp ý kiến từ thầy đề hoàn thiện hơn đề tài này, đồng thời rút

kinh nghiệm cho những bài tập lần sau

35