Báo cáo bài tập lớn giải tích 1

Toa độ cực được sử dụng trong hệ tọa độ cực, các điểm được xác định bằng bán kính r và góc 8 mà vector từ gốc tọa độ đến điểm đó tạo với trục x đương trong một mặt phăng.. Tọa độ Descart

Thành phố Hỗ Chí Minh, ngày 19 tháng 12 năm 2023

1

Danh sách nhóm 3:

Cau 1: Cách xác định I điểm trong tọa độ cực

Câu 2: Mối liên hệ giữa tọa độ cực và tọa độ Descartes

Câu 3: Cách tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ cực Yêu cầu:

* Xây dựng lại công thức tính tích phân từ tông Riemann

* Vận dụng được công thức để tính diện tích miền phẳng.

NOE dung .ddAẬấ

Phan chung: Vé lai hinh mau

Phan riéng:

Caw bane ene cee nh nhe nhe KH He ke ky kh kh kg TH ng tr erred

8) Tông kết cọ 02 n2 n2 TT nh TH HH Đến Đến Đế Đến Hy TT Hy nh Ty nà Tài liệu tham khảo cọ nh nnn nHn nh nh nh nh khe nh HH nhe he HH

PHAN CHUNG: VE LAI HINH MAU

Tự vẽ lại hình bên đưới bằng bất kỳ phần mềm nào đã biết

Giải:

Hình được vẽ bằng ứng dụng Geogebra với hàm số:

fSurface((kt+a sin(v)) sin(u),(k+a sin(v)) cos(u),ut+a cos(v),u,0,6 2,v,0,2 2)

Hệ tọa độ cực là một hệ tọa dé hai chiều, trong đó một điểm MI bất kỳ được biêu diễn băng trục

« =r >0, ta chọn điểm M sao cho OM=r sau đó quay cạnh ƠM 1 góc 6

© << 0,†a xác định điểm M'(, 8) sau đó lấy đối xứng M(r, 6 ) với M” qua O

« Ø >0 :quét theo chiều ngược kim đồng hồ

« Ø > 0:quét theo chiều kim đồng hồ

D(-3, - =)

Lưu ý: r=0, 6 tùy ý thì điểm đó vẫn năm ở gốc tọa độ O

Ví dụ 2: Chuyên tọa độ cực Cr) thanh diém

Toạ độ cực và toạ độ Descartes được dùng đề xác định vị trí của một điểm trong không gian

Toa độ cực được sử dụng trong hệ tọa độ cực, các điểm được xác định bằng bán kính (r) và góc (8) mà vector từ gốc tọa độ đến điểm đó tạo với trục x đương trong một mặt phăng

Tọa độ Descartes được sử dụng trong hệ tọa độ Descartes, các điểm được xác định bằng cách chí ra khoảng cách từ điểm đó đến hai trục x và y

Mối quan hệ giữa toạ độ cực và toạ độ Descaries có thẻ được thẻ hiện thông qua các phép biến đôi giữa hai hệ tọa độ này

4

10

Hinh vé biéu dién diém P

Điểm duoc biéu dién bang toa dé cuc cé thé duoc chuyén sang toa dé Descartes bang các công

thức dưới đây:

x=rcos0 y=rsin9

Ngược lại, điểm được biểu diễn bằng toạ đệ Descartes có thê được chuyên sang toa độ cực băng

các công thức sau:

r=vx?+y?

0 = arctan( = )

Mới quan hệ giữa tọa đệ cực và tọa độ Decaries cho phép chuyên đôi giữa hai hệ tọa độ và tìm kiếm mối liên hệ giữa chúng thông qua các phép biến đôi và biểu diễn của cùng một điểm

Ví dụ: Điểm P có tọa độ Descartes là (6, 8)

Điều này có nghĩa là điểm P cách gốc tọa độ O một khoảng 6 đơn vi theo chiều dương của trục

x và một khoảng 8 đơn vị theo chiều đương của trục y

Điều này có nghĩa là điểm Q cách gốc tọa độ O một khoảng 2 đơn vị và có góc là * đô so với „ đệ

1 Các khái niệm về tích phân:

Bài toán tính điện tích miễn phẳng:

ya

Giả sử cho miền phẳng có điện tích S như trên được giới hạn bởi y=f(x), y=0,x=a,x=b va yéu

cầu tính diện tích S

> Tổng Reiman trong tính diện tích miền phẳng:

-_ Khi đó để tính được diện tích S của miền phẳng trên nhà toán học người Đức, Bernhard Riemann (1826-1866), đã đề suất việc phân hoạch miền trên thành vô số miền nhỏ hơn khi thức hiện việc chia đoạn [a,b] thành vô số khoảng con Ax, từ đó diện tích 3 sẽ được xáp xi bằng tổng diện tích của vô số hình chữ nhật với chiều rộng là Ax ([x; — +;_¡ ]) và chiều đài tương ứng lšƒ(@rong

đó +; là một điểm mẫu trên mỗi đoạn [x;-1, +;] tương ứng) Và để cho phép tính thêm phản chính xác khi đây là một phép tính xáp xi tông diện tích của các hình chữ nhật trên sẽ được đưa vào

bài toán tính giới hạn, khi đó:

s=lim3* fOr) dx =f) f@)adx

NO 4 (mién S cang dugc chia nho thành càng nhiều hình chữ nhật thì kêt quả càng thêm phân chính xác)

12

Phép toán này được gọi là Tông Reiman đề vinh danh nhà toán học người Đức,và sau này được

liên kết với công thức của Leibniz rút gọn lại thành kí hiệỦ: ƒ ƒ(x)đãng như là giới thiệu bài toán tích phân xác định

Tuy nhiên với cách làm như vậy sẽ thường xuyên xảy ra sai số khi †a chiều dài tương ứng của các hình chữ nhật là cạnh trái hay cạnh phải, từ đó cho ra kết quả tương ứng là Tông Reiman trái

và Tông Reiman phải, trong đó giá trị thực của S sẽ luôn nằm giữa hai giá trị này và gần nhất với giá tri của Tông Reiman trung tâm khi ta lấy chiêu dài của các hình chữ nhật là các đường nam trên trục đối xing cua ching

Tầng Reimamn trong tính diện tích trong tọa độ cục:

Tính diện tích trong miễn phẳng hoặc trong tọa đệ cực nhìn có vẻ khác nhau thế nhưng chúng lại

có một điểm chung là đều phân chia phần diện tích cân

tính ra những mánh nhỏ hơn Sau đó tính tông những

phản diện tích nhỏ, ta được tổng Reimann Từ đó, ta ứ “đ

giới hạn của tong Reimann dé duoc tich phan xac dinh T

Điểm khác biệt lớn nhất giữa tổng Reimann trong toa dé sector

cực và miền phăng chính là hình dạng các mảnh change” ˆ

ta chia nhỏ, trong tọa độ cực, những mảnh nhỏ diện tích circle angle = 27m

Băng các phép tính tí lệ ta sẽ có được công thức :

Điện tích của 1 phần góc (S oƒ sector angle) 9

Gia sir ta can tính diện tích của phần tơ đậm màu vàng như hình bên đưới trong hệ tọa độ Cực Ta sẽ phái phân chia miền ø thành n gĩc nhỏ hơn À Khi đĩ diện tích tơng của phần

MỘT SỐ HÀM CƠ BẢN SỬ DỤNG TRONG MATLAB:

Sử dụng các hệ số của một của một đa thức

dé tinh toán ra nghiệm Hàm này trả về các

gia tri cua bién déc lap ma khi dat vao da

Sử dụng để lặp lại một khối mã nhiều lần

Được sử dụng để tạo và điền màu vào các hình da giác hoặc vùng được xác định bởi

các điểm trong không gian 2D và 3D

Sử dụng để hiện thị thông tin hoặc giá trị

của biên lên màn hình

Hàm tạo tên cho đỗ thị

Ví dụ 1: Tinh diện tích giới hạn bởi đường cong y = 5x2 — 9 với trục hoảnh, a < x < b (với

a,b là nghiệm của y=0), bằng tổng Reimamn trái khi đùng 20 hình chữ nhật dé xấp xỉ diện tích

x_rect = [a + (¡ - 1) Ýh, a+iYh,a+i*Yh, a+ (i- 1) Yh];

y rect = [Ø, 0, f(a+ (i - 1) *h), f(a + (¡ - 1) *h)];

fi1l(x rect, y rect, [0.5 0.5 9.5], ‘EdgeColor’, [0.5 0.5 0.5], 'FaceAlpha', 0.5);

end

% Tính diện tích sử dụng phương pháp Riemann trái

area_riemann_left = h * sum(f(a + (@:n_subintervals-1) * h));

So sánh với phương pháp sử dụng tích phân:

Phương trình hoành độ giao điểm của y và trục hoành là:

5x*-9=0=>x= +05

3V5

S= [.5,(5x" — 9)dx ~ -16, 09969

5

Vậy dựa vào kết quả trên khi tinh điện tích S bang tong Reimann trai thi ta thay két qua xap xi

gần đúng khi tinh diện tích S bằng phương pháp tích phân đã được nêu ở trên

17

tong Reimamn trung tâm với 10 đoạn phân hoạch trên mỗi khoảng nghiệm

% Vẽ đa giác nén cho khoang [a, b]

fill([a, x_midpoints_ab, b], [@, y_midpoints_ab, 0], [0.5 @.5 0.5], ‘EdgeColor’, ‘none’, 'FaceAlpha', @.3);

% Vẽ đa giác nền cho khoảng [b, c]

fiII({b, x midpoints_bc, c], [Ø, y midpoints_bc, 0], [Ø.5 0.5 0.5], 'EdgeColon', 'none', 'FaceAlpha', 0.3);

% Vẽ các hình chữ nhật biểu thị đoạn phân hoạch

for i = 1:n_subintervals

x_rect_ab = [a + (i - 1) * hab, a + i * hab, a+ i * hab, a + (i - 1) * hab];

y_rect_ab = [@, @, #(x_midpoints_ab({i)), f(x midpoints_ab(1))];

fill(x_rect_ab, y_rect_ab, [0.5 @.5 @.5], ‘EdgeColor’, [@.5 @.5 @.5], ‘FaceAlpha’, 0.5);

x_rect_be = [b + (i - 1) * h_bc, b+ i * hbe, b+ i * h_bc, b+ (i - 1) * bbe];

y_rect_bc - [0, 0, f(x midpoints_bc(1)), f(x midpoints_bc(1))];

fill(x_rect_be, y_rect_bc, [@.5 @.5 9.5], 'EdgeColor', [Ø@.5 0.5 0.5], 'FaceAlpha', 0.5);

18

disp(['Diện tích (Riemann) giữa [a, b]: ', num2str(area ab)]);

disp(['Diện tích (Riemann) giữa [b, c]: ', num2str(area_bc)]);

disp(['Tổng diện tích: ', num2str(total_area) ]);

Dién tich (Riemann) gitta [a, b]: 5.344

Diện tích (Riemann) giữa [b, c]: -21.2436

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong y và trục hoành:

x3— 6x? + 5x +3 =0=>x = 48385 vx = 1.5592 vx = —0.3977

4.8385 1.5592 (

1.5592

S=Ƒ gag„;(x) — 6x? + 5x + 3) dx + Í xỶ — 6x2 + 5x + 3)dx =-15.8205

Vậy dựa vào kết quả trên khi tính diện tích S bằng tông Reimamn trung tâm thì ta thấy kết qua

xấp xi gân đúng khi tính diện tích Š băng phương pháp tích phân đã được nêu ở trên

20

Ví dụ I: Tính diện tích giới hạn bởi đường cong r =3 + 2cos(Ø) và trục hoành, lẫy phần diện tích trên trục hoành

Figure 4

>> % Tính điện tích giới hạn bởi đường cong r = 3 + 2*cos(theta) và trục hoành (lấy phần trên trục hoành)

% Định nghĩa hàm (theta)

r = @(theta) 3 + 2*cos(theta);

% Xác định giới hạn của theta

a = 0; % Giới hạn dưới của theta

b = pi; % Giới hạn trên của theta

% Tính diện tích bằng công thức tích phân

syms theta sym; % Khai bảo biến kỷ hiệu theta

area_sym = 0.5 * int(r(theta sym)^2, theta_sym, a, b); % Tính diện tích bằng công thức tích phân

% Chuyến đối kết quả từ biếu thức ký hiệu sang số

area = double(area_sym) ;

% In két qua

fprintf('Diện tích giới hạn bởi đường cong r = 3 + 2*cos(theta) và trục hoành là: %.2f\n', area);

% Vẽ đồ thị của đường cong

theta = linspace(8, 2*pi, 1898); % Tạo một mang theta tir @ đến pi với 1088 điểm

r_values = r(theta); Tính giá trị của r(theta) tương ứng với mồi gid tri theta

polarplot(theta, r_values); % Vẽ đồ thị polar của đường cong

title( "Đường cong œ = 3 + 2?cos(theta)'); % Đặt tiêu đề cho đồ thị

Diện tích giếi hạn bởi đường cong r = 3 + 2*cos(theta) và trục hoành 1

% Tỉnh điện tích giữa đường tron và đường cong

S = 0.5 * integral(@(theta) R_circle*2 - n(theta).^2, ô, 2*pi);

fprintf('Diện tích giữa đường trồn và đường cong: %.2f\n', S);

polarplot(ax, theta_vals, r_vals, ‘LineWidth', 2, 'DisplayMame', '§r(\theta) = 1 + \sin(\theta)$");

*LineMidth", 2, "DisplayName', "Đường tron ban kinh 2");

Biện luận kết quả:

Hình tròn có bán kính bằng r=2 và đường cong dạng r =Í+sin Ø

Qua bài tập lớn này, nhóm chúng em xin rút ra được những kết luận sau:

Nhóm em hiểu thêm được về mối quan hệ giữa hệ tọa độ cực và tọa độ Decartes trong toán học Nhóm em đã hiểu được cách tính diện tích của một đường cong bát kì, có thẻ áp dụng phương

pháp tổng Reimann dé tính toán diện tích ở những hình phức tạp hơn ở trong tọa độ cực

Nhóm em đã áp dụng được matlab đẻ giải một số bài toán đơn giản vẻ tích phân, cũng như biết

cách sử dụng Geogebra đề vẽ các điểm, hình học trong tọa độ Decartes và tọa độ cực Nhóm đã thực sự được rèn luyện khả năng làm việc nhóm trong môi trường giảng đường đại

học

Kho khăn của nhóm:

Do khả năng của nhóm em còn hạn chế về các kiến thức vẽ các hình ánh 3D cũng như việc sử

dụng các công cụ vẽ hình học trong không gian nên ở Phần chung nhóm em vẫn chưa hoàn

thành được yêu cầu đề bài đưa ra là vẽ lại hình theo mẫu hoàn chinh Nhóm chi tham khảo được hàm só của hình đó từ nguồn Internet dé có thê vẽ ra được 1 hình có hình dạng như vậy thế nhưng lại bị ngược chiều

25

Trong quá trình thực hiện, nhóm chúng em đã luôn có hết mình, hé tro lẫn nhau, phân công nhiệm vụ rõ ràng cho từng thành viên nhằm tạo nên sự hiệu quả, tối ưu năng suất để làm được bài đúng thời hạn được giao Và qua bài báo cáo này, nhóm em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Ngọc Quỳnh Như, giảng viên da tan tam day bao tui em trong hoc ky 231 vừa qua và cũng là người hướng dan dé tài này Nhờ có sự hướng dẫn tận tình của cô mà chúng

em đã hoàn thành được đúng tiễn độ bài báo cáo và giải quyết tốt được các vấn đề gặp phải trong qua trình thực hiện

Cuối cùng em xin một lân nữa gửi lời biết on chân thành đến các thành viên trong nhóm bai tập lớn, giảng viên hướng dẫn đã dành thời gian quý báu để chỉ dẫn cho nhóm Chính sự hỗ trợ này đã tạo nên nguồn động lực to lớn giúp nhóm em đạt được kết qua này

26

Polar System, trong phan 9.4, 9.5, Soo T.Tan Single variable - Calculus early transcendentals

Giáo trình Giai tich 1 — Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Lê Xuân Đại, Nguyễn Ba Thi, Tran Ngọc Diễm, Ngô Thu Lương, Đặng Văn Vĩnh, Nguyễn Hữu Hiệp, Hoàng Hai Hà, Phùng

Trọng Thực, Đậu Thé Phiệt, Nguyễn Thị Xuân Anh

Angles in degrees and radians (n.d.) Retrieved from

27