Báo cáo bài tập lớn giải tích 2 Đề tài 12

Tích phân đường 1.1 Giả sử C là đường cong trơn trong R2 với điểm đầu A và điểm cuối B, f là hàm số xác định trên C... Khi ấy, ta suy ra ngay từ định nghĩa là tích phân đường của f theo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : Đào Huy Cường

NHÓM 12

Phân chia công việc :

công việc

Phần trăm hoàn thành

Trọng Hải

2051110 -Làm phần

lý thuyết -Trình bày word

- Báo cáo video

Mục lục

1 Tích phân đường 2

3 Tích phân đường của hàm vector : 5

4 Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II 8

5 Định nghĩa Green 8

6 Tích phân không phụ thuộc đường : 10

7 Bài tập 12

1 Tích phân đường

1.1 Giả sử C là đường cong trơn trong R2

với điểm đầu A và điểm cuối B, f là hàm số xác định trên C Phân hoạch T của đường cong C là một họ hữu hạn điểm trên đường cong A0=A1 , …, A n nối tiếp nhau (theo nghĩa khúc AA i là một phần của khúc AA i+1, với mọi i=1,2, , n-1) Ký hiệu ∆s k là độ dài đoạn cong

A k−1 A k và δ T là đường kính phân hoạch, tức là số lớn nhất trong các số ∆ s k , k=1,…,n Chọn c k (x k , y k) ∈ A k−1 A k và xét tổng

σ T=∑

k=1

n

f (x k¿, y k )∆ s k¿

Nếu như tổng σ T có giới hạn khi δ T → 0 và không phụ thuộc vào việc chọn các điểm c k thì giới hạn đó gọi là tích phân đường của hàm f ( hay còn gọi là tích phân đường loại I của f ) theo C và ký hiệu

∫

C

❑

f (x , y )ds= lim

δ T →0

σ T

Một số tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa :

Để tính tích phân đường loại I chúng ta xét phương trình tham số của C theo tham số tự nhiên x=x(s) , y=y(s) , 0≤ s ≤ l (C)

Phân hoạch T của C bởi

A0=A , A1, , A n =B sinh ra phân hoạch tương ứngcủa [0 ,l (C )]

Bởi 0=S0<S1 < S n =l(C) Điểmc k ∈ A k−1 A k ứng với τ k ∈ [s k−1 s k ] Khi ấy

NếuC được cho bởi phương trìnhtham số t bất kì

X=x(t) , y=y(t) , a ≤ t ≤ b thì như ta đã biết ds=√x '2 y ' dt

Nhận xét Hoàn toàn tương tự như trên, nếu C là đường cong không gian cho bởi phương trình tham số x=x(t), y=y(t) , z=z(t), a ≤ t ≤ b ,thì tích phân đường của hàm f trên C được tính theo công thức

C

❑

xyds=∫

0 1

t3√1+4 t2

dt=12

2.Ý nghĩa của tích phân đường loại 1 :

Ý nghĩa hình học : Giả sử C là đường

cong phẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, f

là hàm số biến x và y, nhận giá trị không

âm Khi ấy, ta suy ra ngay từ định nghĩa

là tích phân đường của f theo C là diện

tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và

đường cong không gian xác định như sau

x o=

M , y o=

M

3.Tích phân đường của hàm vector :

Nếu như trong tổng σ T khi định nghĩa tích phân đường loại I , ta thay

∆ s k bởi ∆ x k và ∆ y k thì ta sẽ thu được hai dạng tích phân đường nữa gọi là tích phân đường của f theo C đối với x và y Cụ thể là

f (u k , v k )∆ y k

Những tích phân này còn được gọi là tích phân đường loại II Khác với∆ s k

luôn dương, trong tích phân này giá trị ∆ x k và ∆ y k có thể âm, dương hay bằng 0, và phụ thuộc vào việc chọn điểm đầu , điểm cuối của đường cong Cho nên người ta còn viết rõ ∫

Nếu như đường cong C được cho bởi phương trình tham số x=x(t), y=y(t),

a ≤ t ≤ b ,thỏa mãn giả thiết x(t),y(t) liên tục trên [a,b] và hàm f liên tục trên C, thì do

Trong các ứng dụng, tích phân đường loại II thường xuất hiện dưới dạng tích

phân đường của hàm vectơ ( f, g) như sau :

∫

C

❑

f (x , y )dx+g (x , y dy)

Nếu C là đường cong không gian thì tích phân đường của hàm ba biến theo C đối với x, y, z cũng định nghĩa tương tự, và ta cũng có các công thức tính tương ứng khi C được cho bởi phương trình tham số.

Ví dụ :

4.Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II

Giả thiết rằng trong mặt phẳng R2 ta có một trường lực, tức là tại mỗi điểm (x,y)∈R2

có một lực tác động F(x,y)=f(x,y),g(x,y)) Hãy tính công khi điểm vật chất khối lượng đơn vị di chuyển theo đường cong C=AB trong R2Trước hết ta nhớ rằng công sinh ra bởi lực P khi điểm vật chất di chuyển được đoạn thẳng Q1Q2 là

W = P Q1Q2

Như vậy nếu dùng phân hoạch T của C bởi A0=A , A1, , A n =B thfi công sinh

ra khi điểm vật chất di chuyển trên mỗi cung nhỏ A k−1 , A k được xấp xỉ bởi

∆ A k =F (u k , v k ).(∆ x k , ∆ y k )=f (u k , v k )∆ x k +g (u k , v k)∆ y k trong đó (u k , v k )∈ A k−1 , A k Theo định nghĩa công sinh ra bởi F dọc theo G sẽ là : W= lim

σ T → 0∑

k=1 n

và không đi vào chi tiết kĩ thuật

a) Giả thiết U:={a≤ x ≤ b , φ1(x)≤ y ≤ φ2(x )}, trong đó φ1, φ2 liên tục trên [a,b], khi

(f ( x ,¿φ2 (x ))−f x , φ( 1 (x ))) dx¿

Đối với miền U mà có thể chia thành những miền con có dạng như đã nêu thìcông thức Green vẫn đúng vì tích phân kép ở vế phải là hợp của tích phân kép trên từng miền nhỏ, còn tích phân đường vế trái chỉ chứa những đường

là biên U (trên mỗi đoạn đường phụ bên trong như B B1 2 trên hình vẽ, tích phân được tính hai lần, một lần từ A đến B và một lần từ B đến A, nên chúng

triệt tiêu nhau)

Nhận xét : Định lý Green cũng có thể áp dụng cho miền có “lỗ hổng” với lưu

ý là lấy tích phân đường theo biên với hướng dương

Muốn chứng minh công thức trên chỉ cần tách U thành miền bao bởi C1, C2

và đoạn B1,B2 Tích phân đường dọc theoB1, B2 tham gia hai lần, một lần từ

B1đến B2 và một lần từ B2đến B1, nên triệt tiêu nhau Đối với miền có nhiều lỗ hổng, ta dùng cách tương tự

Ví dụ :

6.Tích phân không phụ thuộc đường :

Giả thiết A và B là hai điểm trong một miền mở U liên thông đường theo nghĩa hai điểm bất kỳ trong miền đều nối với nhau được bằng một đường cong trơn từng khúc Đường từ A tới B là đường cong trơn từng khúc nhận

A là điểm đầu, B là điểm cuối Định lý sau sẽ cho ta điều kiện khi nào tích phân đường không phụ thuộc vào đường nối A với B

Định lí : Giả thiết f và g liên tục trên U, A và B là hai điểm bất kỳ trong U Khi ấy

∫

C

❑

fdx gdy+

không phụ thuộc vào đường C nối A với B khi và chỉ khi tồn tại hàm khả vi

F trên U để F’(x,y)=(f(x,y),g(x,y))

Chứng minh : Giả sử tích phân không phụ thuộc đường, ta cố định (x0, y o) ∈

U và xây dựng F theo công thức : F(x,y) = ∫

x o , y o

x, y

fdx gdy+ Hiển nhiên F chỉ phụ thuộc vào ( x, y) và không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ (x0, y o) đến (x,y) Để tính đạo hàm riêng của F xét đường C1∪ C2 từ (x0, y o) đến (x+

∆ y→ 0

F (x +∆ x , y)− F (x)

∆ y = g(x,y)

Do f và g liên tục, ta kết luận F khả vi và F’(x,y)=(f(x,y),g(x,y))

Ngược lại, cho (f,g) = F’ Lấy hai điểm bất kỳ A và B trong U và C là đường cong nối A với B cho bởi phương trình tham số x=x(t) , y=y(t), a≤ t ≤b

Giả thiết C trơn ta có :

công sinh ra khi di chuyển hạt vật chất theo đường cong đóng (khi không có ma sát) bằng 0 Đây chính là hệ quả của định luật bảo toàn năng lượng

3) Định lý có thể mở rộng cho tích phân đường trong không gian một cách dễ dàng

7.Bài tập

Câu 3 ∫

C

x y ds4

, C: nửa bên phải đường tròn x + y = 16.2 2

Đặt x =4 cost , y=4 sint

Kiểm tra bằng Matlab:

% Khai báo biến t

% Tính tích phân từ -pi/2 đến pi/2

result = int(integrand, t, -pi/2, pi/2);

Kiểm tra lại bằng Matlab:

% Khai báo biến t

integrand1_y = (x1 - y1) * dy1;

integral1 = int(integrand1_x + integrand1_y, t, 0, 2);

integrand2_y = (x2 - y2) * dy2;

integral2 = int(integrand2_x + integrand2_y, t, 2, 3);

Kiểm tra bằng Matlab:

% Khai báo biến t

(14^(1/2)*(exp(6) - 1))/12

Câu 17 Cho F là trường vectơ như hình vẽ.

a) Nếu C là đoạn thẳng đứng từ điểm (-3,-3) đến điểm (-3,3), hãy xác định tích 1

Q (x , y dy)

Vì theo tia Oy, trường cùng chiều C nên F 1 ∫

b) Nếu C là đường tròn có bán kính 3 và tâm là gốc tọa độ, được định hướng 2

ngược chiều kim đồng hồ, hãy xác định tích phân đường ∫

C2

F d r là dương, âm hay bằng 0

Câu 18 Hình vẽ biểu diễn một trường vectơ và hai đường cong C và C Các 1 2

tích phân đường của trường vectơ trên C và C là dương, âm hay bằng F 1 2

không? Giải thích

Theo phương Oy, chiều trường cùng chiều đường C nên tích phân đường củaF 1

trường vectơ trên C là dương.F 1

Theo phương Ox, ở góc phần tư thứ nhất, chiều trường ngược chiều đường CF 2

nên tích phân đường của trường vectơ trên C là âm.F 2

Câu 21 Tính tích phân đường ∫

Kiểm tra bằng Matlab:

% Khai báo biến

=4 đi ngược chiều kim đồng hồ từ (2,0) đến (0,-2)

Tính tích phân đường của trên C.F

Đặt x =2 cost , y=2 sint ,t :0→32π

(t)+8 cos 2

(t)sint]dt=∫0 3π 2

Kiểm tra bằng Matlab:

% Khai báo biến

=4, với x ≥ 0 Nếu mật độ tuyến tính là một hằng số k, hãy tìm khối lượng

và tâm khối lượng của dây

Đặt x =2 cost , y=2 sint ,−2≤t ≤

Kiểm tra bằng Matlab:

% Khai báo biến

syms t

% Tham số hóa đường cong

x = 2 * cos(t);

% Tính tích phân để tìm tọa độ x của tâm khối lượng

x_bar_integral = int(x * k * ds, t, 0, pi);

% Tính tích phân để tìm tọa độ y của tâm khối lượng

y_bar_integral = int(y * k * ds, t, 0, pi);

% Tọa độ x của tâm khối lượng

Toạ độ x của tâm khối lượng là:

Kiểm tra bằng Matlab:

% Khai báo biến

Giá trị của tích phân là:

2*pi^2

Câu 48 Các thí nghiệm cho thấy rằng dòng điện đều trong một dây dẫn dài tạo

ra một từ trường tiếp tuyến với bất kỳ đường tròn nào nằm trong mặt phẳng vuông góc với dây dẫn và có tâm là trục của dây dẫn (như trong hình vẽ) Định luật Ampère liên kết dòng điện với các hiệu ứng từ trường của nó và phát biểu rằng:

Tài liệu tham khảo

+james stewart calculus :

https://www.fd.cvut.cz/department/k611/pedagog/K6 11GM_A_soubory/GMliteratura_soubory/

Stewart_Calculus_6ed.pdf