Kiến thức cơ sở về đại số
Mở rộng trường
Trong tài liệu [18], khái niệm về trường và mở rộng trường được trình bày rõ ràng Cụ thể, nếu K là một trường và K là trường con của trường L, thì L được gọi là một mở rộng trường của K.
Không gian véctơ L trên trường K được xem là một mở rộng hữu hạn của K nếu chiều của L trên K là hữu hạn, ký hiệu [L : K] thể hiện bậc của mở rộng này Theo định nghĩa, một phần tử α ∈ L được coi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại một đa thức một biến khác không trong K[x] mà α là nghiệm của nó; ngược lại, α được gọi là phần tử siêu việt trên K.
2 ∈ R là đại số trên Q vì đa thức x 2 − 2 ∈ Q[x] nhận √
Mệnh đề 1.4 khẳng định rằng với một phần tử đại số α ∈ L trên trường K, tồn tại duy nhất một đa thức một biến bất khả quy trên K có bậc nhỏ nhất và hệ số cao nhất bằng 1 nhận α làm nghiệm Đa thức này được gọi là đa thức tối tiểu của phần tử α trên trường K Theo định nghĩa 1.5, một mở rộng L của K được xem là đại số nếu tất cả các phần tử của L đều là đại số trên K.
Mệnh đề 1.6 Nếu L là một mở rộng hữu hạn của K thì L là một mở rộng đại số trên K.
Cho K là một trường, L là một mở rộng của K và α ∈ L Ta ký hiệu K(α) là trường con bé nhất của L chứa K và α Ta có
Mệnh đề 1.7 Cho α là một phần tử đại số trên K Khi đó K(α) =K[α] và [K(α) : K] bằng bậc của đa thức tối tiểu của α trên K.
ChoK là một trường con củaLvàα 1 , , α n ∈ L Ký hiệuK(α 1 , , α n ) là trường con bé nhất của L chứa K và các phần tử α1, , αn Khi đó K(α 1 , , α n ) f(α 1 , , α n ) g(α1, , αn) |f, g ∈ K[x 1 , , x n ], g(α 1 , , α n ) 6= 0
. Định nghĩa 1.8 Mở rộng L của K được gọi là hữu hạn sinh trên K nếu tồn tại các phần tử α 1 , , α n ∈ L sao cho L = K(α 1 , , α n ).
Mệnh đề 1.9 Cho L là một mở rộng hữu hạn của K Khi đó L là hữu hạn sinh trên K.
Mệnh đề 1.10 khẳng định rằng nếu L = K(α1, , αn) là một mở rộng hữu hạn sinh trên K và các phần tử α1, , αn là đại số trên K, thì L cũng là một mở rộng hữu hạn trên K Định nghĩa 1.11 chỉ ra rằng một trường L được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức trong L[x] với bậc dương đều có nghiệm trong L.
Mỗi trường K đều sở hữu một mở rộng đại số và một đóng đại số Mở rộng này được gọi là bao đóng đại số của K và được ký hiệu là K.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét dãy mở rộng trường Q ⊂ Q(√p) ⊂ R ⊂ C, với p là một số nguyên tố Đặc biệt, chúng ta nhận thấy rằng dim Q Q(√p) = 2, với cơ sở là {1, √p}, và dim R C = 2, với cơ sở là {1, i}, trong đó i là đơn vị ảo thỏa mãn i² = -1 Hơn nữa, R được coi là một không gian véctơ vô hạn chiều.
Q. c) Tập Q tất cả các số phức đại số trên Q lập thành một trường và là bao đóng đại số của Q Mở rộng Q không là một mở rộng hữu hạn của Q.
Kết thức
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài liệu [8]. Định nghĩa 1.13 Cho hai đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương f =a m x m +ã ã ã+a 0 , a m 6= 0 g =b n x n +ã ã ã+b 0 , b n 6= 0.
Kết thức (resultant) của f và g đối với x, ký hiệu res(f, g, x), là định thức của ma trận Sylvester cấp (m+n) xác định như sau
, trong đó số dòng các hệ số của f là n và số dòng các hệ số của g là m.
Mệnh đề 1.14 Hai đa thức f, g ∈ K[x] có nhân tử chung trong K[x] khi và chỉ khi res(f, g, x) = 0.
Mệnh đề 1.15 Cho các đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương Khi đó tồn tại các đa thức A, B ∈ K[x] sao cho res(f, g, x) + Bg.
Hơn nữa, các hệ số của A, B là các đa thức nguyên theo các hệ số của f và g.
Kết thúc có thể được định nghĩa cho các đa thức nhiều biến bằng cách coi chúng như các đa thức một biến, trong đó hệ số thuộc vành các đa thức theo các biến còn lại.
Mệnh đề 1.16 Chof, g ∈ K[x1, , xn] là các đa thức có bậc dương theo x 1 Khi đó
2 res(f, g, x1) = 0 khi và chỉ khi f và g có một nhân tử chung trong K[x 1 , , x n ] có bậc dương theo x 1
Hệ quả 1.17 Cho f, g ∈ C[x] Khi đó res(f, g, x) = 0 khi và chỉ khi f, g có một nghiệm chung trong C.
Mệnh đề 1.18 Cho f, g ∈ C[x1, , xn] là các đa thức có bậc dương theo x 1 với các hệ số đầu theo x 1 lần lượt là a k , b l Nếu res(f, g, x 1 ) triệt tiêu tại (c 2 , , c n ) ∈ C n−1 thì hoặc
1 a k hoặc b l triệt tiêu tại (c 2 , , c n ), hoặc
2 tồn tại c 1 ∈ C sao cho f và g triệt tiêu tại (c 1 , c 2 , , c n ) ∈ C n Định nghĩa 1.19 Biệt thức (discriminant) của đa thức 1 biến f ∈ K[x] bậc m, ký hiệu disc(f), được xác định bởi disc(f) = (−1) m(m−1) 2 a m res(f, f 0 , x).
Ví dụ 1.20 a) Cho f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 Khi đó f 0 (x) = a 1 + 2a 2 x và disc(f) =− 1 a 2 a 2 a 1 a 0 2a2 a1 0
= a 2 1 −4a 0 a 2 b) Cho f(x) =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 Khi đó f 0 (x) = a 1 + 2a 2 x+ 3a 3 x 2 và ta có disc(f) =− 1 a 3 a 3 a 2 a 1 a 0 0
=−27a 2 0 a 2 3 −4a 0 a 3 2 −4a 3 1 a 3 +a 2 1 a 2 2 + 18a 0 a 1 a 2 a 3 Đặc biệt, đối với đa thức bậc ba dạng khuyết f(x) = x 3 + px + q, biệt thức của đa thức này là disc(f) =−4p 3 −27q 2
Đa thức f ∈ K[x] có nhân tử bội nếu và chỉ nếu disc(f) = 0 Trên trường số phức, một đa thức có nghiệm bội khi và chỉ khi biệt thức của nó bằng 0.
Đại số vi phân
Trường vi phân
Trong phần này, các khái niệm và kết quả được trình bày dựa trên tài liệu [3] Định nghĩa 1.22 nêu rõ rằng, với R là một vành, một phép đạo hàm trên R được xác định là một ánh xạ D: R → R, thỏa mãn các điều kiện đối với mọi x, y ∈ R.
Nói cách khác, D là một ánh xạ cộng tính và thỏa mãn quy tắc Leibniz.
Phép đạo hàm D có thể được áp dụng nhiều lần trên một phần tử, và với mỗi số tự nhiên n, đạo hàm cấp n của một phần tử a ∈ R được ký hiệu là a (n) và được xác định một cách quy nạp Cụ thể, a (0) = a và a (n) = D(a (n−1) ) với n≥ 1 Một cặp (R, D) được gọi là một vành vi phân, và nếu R là một trường thì (R, D) được gọi là một trường vi phân.
Nếu không có sự nhầm lẫn thì ta thường nói R là một vành (trường) vi phân thay cho cặp (R, D).
Ví dụ 1.24 Một vành bất kỳ là một vành vi phân với phép đạo hàm không, tức là đạo hàm của mọi phần tử đều bằng 0.
Ví dụ 1.25 Vành các đa thức một biến C[x] là một vành vi phân với phép đạo hàm thông thường d dx xác định như sau: d dx n
Ví dụ 1.26 Cho (R, D) là một vành vi phân Vành các đa thức một biến R[x] là một vành vi phân với phép đạo hàm κ D xác định như sau: κ D n
D(a i )x i là phép đạo hàm được thực hiện bằng cách áp dụng đạo hàm D lên tất cả các hệ số của đa thức trong R[x] Ví dụ, khi R = C[y] và sử dụng phép đạo hàm d dy, thì phép đạo hàm κ d dy trên C[y][x] tương đương với phép đạo hàm riêng ∂.
∂y Tương tự, trên vành đa thứcC[x][y] ta có κ d dx = ∂
Từ định nghĩa ta suy ra những tính chất đơn giản sau của phép đạo hàm.
Mệnh đề 1.27 Cho (R, 0 ) là một vành vi phân Khi đó
2 (a n ) 0 = na n−1 a 0 với mọi số nguyên n ≥ 1 và với mọi a ∈ R.
3 (a −1 ) 0 = −a 0 a 2 với mọi a ∈ R khả nghịch Từ đó suy ra (a n ) 0 = na n−1 (a) 0 với mọi số nguyên n.
= a 0 b−b 0 a b 2 , với mọi a, b ∈ R và b khả nghịch.
Chứng minh 1 Ta cú 1 0 = (1 ã1) 0 = 1 0 1 + 11 0 = 1 0 + 1 0 Suy ra 1 0 = 0. Tương tự, 0 0 = (0 + 0) 0 = 0 0 + 0 0 Suy ra 0 0 = 0.
2 Ta chứng minh quy nạp theo n nguyên dương Đẳng thức luôn đúng với n= 1 Giả sử đẳng thức đúng với n= k−1, tức là
3 Ta cú 0 = 1 0 = (aãa −1 ) 0 = a 0 (a −1 ) + (a −1 ) 0 a Từ đú suy ra
(a −1 ) 0 = −a 0 a −2 Giả sử n là một số nguyên âm, ta có
= a 0 b−b 0 a b 2 Định nghĩa 1.28 Cho (K, D) là một trường vi phân Tập hợp
C = {c ∈ K | Dc = 0} là trường các hằng của trường K Định nghĩa 1.29 nêu rằng, nếu (R, D) và (S, ∆) là các vành vi phân, thì (S, ∆) được coi là một mở rộng vi phân của (R, D) khi R là vành con của S và ∆a = Da cho mọi a ∈ R.
Mệnh đề 1.30 khẳng định rằng cho (R, D) là một miền nguyên vi phân và F là trường các thương của R, tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên F, sao cho (F, ∆) là một mở rộng vi phân của (R, D) Cụ thể, nếu x ∈ F và x = a/b với a, b ∈ R và b khác 0, thì phép đạo hàm này được xác định một cách rõ ràng.
Trường C(x) gồm các phân thức theo biến x được xác định là trường các thương của miền nguyên C[x] Do đó, phép đạo hàm thông thường d/dx của các đa thức có thể được mở rộng một cách duy nhất thành phép đạo hàm của các phân thức d/dx.
Giả sử L là một mở rộng đại số của trường vi phân (K, D), thì tồn tại một phép đạo hàm duy nhất ∆ trên L, mở rộng từ phép đạo hàm trên K Cụ thể, với mỗi phần tử α ∈ L, nếu P(x) là đa thức tối tiểu của α trên K, thì phép đạo hàm ∆ được xác định dựa trên P(x).
(α) , trong đó d dx và κ D là các phép đạo hàm được định nghĩa trong Ví dụ 1.25 và Ví dụ 1.26.
Giả sử α là một nghiệm của đa thức Y² - x trong C(x)[Y], biểu diễn hàm ±√x Khi đó, tồn tại duy nhất một phép đạo hàm d/dx mở rộng từ C(x) đến C(x)(α), tạo thành một mở rộng vi phân.
Mệnh đề 1.34 Giả sử (K, D) là một trường vi phân và t là siêu việt trên
K Khi đó với mỗi w ∈ K(t) tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên K(t) sao cho ∆t = w và (K(t),∆) là một mở rộng vi phân của (K, D). Áp dụng mệnh đề trên cho C(x), ta suy ra rằng d dx là phép đạo hàm duy nhất trên C(x) sao cho dc dx = 0 với mọi c ∈ C và dx dx = 1. Mệnh đề 1.35 Giả sử (L,∆) là một mở rộng vi phân của một trường vi phân (K, D) Khi đó
1 Nếu c ∈ L là đại số trên trường hằng C của K thì c là hằng.
2 Nếu c ∈ L là hằng và c đại số trên K thì c đại số trên trường hằng
Chứng minh 1 Giả sử P(X) là đa thức đơn cực tiểu của c trên C Đạo hàm đẳng thức P(c) = 0 ta suy ra
Vì (κ D P) = 0 và dP dx(c) 6= 0 nên ∆c = 0 Do đó c là một hằng.
2 Giả sử P(X) = X n +a n−1 X n−1 +ã ã ã+a 1 X +a 0 là đa thức đơn cực tiểu của c trên K Đạo hàm hai vế đẳng thức P(c) = 0 và sử dụng giả thiết ∆c = 0 ta suy ra
Do tính cực tiểu của P(X) nên điều này xảy ra khi mọi hệ số Da n−1 , ,
Da 1 , Da 0 đều bằng 0 Vì vậy a n−1 , , a 1 , a 0 là các hằng của K.
Nghiệm của đa thức vi phân
Các khái niệm và kết quả trong bài viết này được dựa trên tài liệu [30] ChoK được định nghĩa là một trường vi phân, trong khi y là một biến vi phân (differential indeterminate) trên K Bài viết cũng xem xét dãy các ký hiệu y = y0, y1, y2, cùng với dãy lồng nhau của các vành đa thức.
K[y 0 , y 1 , y 2 , , y n ] là một vành đối với các phép toán cộng và nhân các đa thức Hơn nữa,
K[y0, y1, y2, , yn] là một vành vi phân với phép đạo hàm “0” được xác định bởi y i 0 = y i+1 cho mọi i ∈ N Đối với mỗi p ∈ N, ta có y p = y p−1 0 = (y 0 p−2 ) 0 = = y 0 (p), trong đó y (p) 0 là đạo hàm cấp p của y 0 = y Do đó, ký hiệu y p thể hiện đạo hàm cấp p của y.
K[y 0 , y 1 , y 2 , , y n ], 0 ) được gọi là vành các đa thức vi phân, ký hiệu là K{y}.
Mỗi phần tử trong K{y} được gọi là đa thức vi phân Cấp của một đa thức vi phân được xác định bởi cấp của đạo hàm cao nhất có trong đa thức đó Một đa thức vi phân F thuộc K{y} có cấp p có dạng nhất định.
F = amy p m + a m−1 y p m−1 + ã ã ã + a1yp + a0, (1.3) trong đó a0, a1, , am ∈ K{y} là các đa thức vi phân có cấp không vượt quá p−1 và yp là đạo hàm cấp p của y Đa thức vi phân am trong (1.3) được gọi là hệ số đầu (initial) của F, ký hiệu là in(F) Đa thức vi phân S = ∂F.
∂y p được gọi là tách (separant) của F Đạo hàm cấp một của đa thức vi phân F được tính như sau
Khi đó cấp của F 0 là p+ 1, hệ số đầu của F 0 chính là ∂F
∂y p Vì bậc của y p+1 là 1 nên tách của F 0 cũng là ∂F
∂y p Vậy tách của F và tách của đạo hàm mọi cấp của F là như nhau.
Chẳng hạn, đa thức vi phân
F := (2xy+ 3x)y 2 1 + 3y 1 −2y −3x ∈ C(x){y} có hệ số đầu là 2xy+ 3x và tách là S = ∂F
L, d dx là một trường mở rộng vi phân của
Phần tử α ∈ L được gọi là một nghiệm của đa thức vi phân
F ∈ K{y} nếu F(α) = 0, ở đây F(α) là phần tử của trường L nhận được bằng cách thay y k bởi đạo hàm cấp k của α.
Ví dụ 1.39 Đa thức vi phân F := (y −x)(y 1 −1)−1 ∈ C(x){y} nhận α = x+ √
Nếu α là nghiệm của đa thức vi phân F thuộc K{y}, thì α cũng là nghiệm của tất cả các đạo hàm của F Điều này cho thấy α là nghiệm chung cho các đa thức vi phân có dạng tương tự.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét một đa thức vi phân có dạng Q 0 F + Q 1 F 0 +ã ã ã + Q k F (k), trong đó Q i thuộc K{y} với mọi i từ 0 đến k và k thuộc N Đạo hàm của đa thức vi phân này cũng giữ nguyên dạng, cho thấy rằng tập hợp tất cả các đa thức vi phân này là đóng đối với phép đạo hàm Theo Định nghĩa 1.40, trong một vành vi phân (R, 0), một iđêan I được gọi là iđêan vi phân nếu mọi phần tử a thuộc I đều có a 0 cũng thuộc I.
Ví dụ 1.41 Trong vành vi phân R với phép đạo hàm không, mọi iđêan của R đều là một iđêan vi phân.
Ví dụ 1.42 Trong vành vi phân
, chỉ có hai iđêan vi phân là
Trong không gian C[x], mỗi lý thuyết chính đều được tạo ra từ một đa thức f(x) Nếu f(x) khác không và không phải là hằng số, thì bậc của f(x) là n > 0 Khi đó, đạo hàm df/dx sẽ có bậc n−1, dẫn đến df/dx không thuộc vào lý thuyết hfi Điều này chứng tỏ rằng hfi không phải là một lý thuyết vi phân.
Giao của một họ các iđêan vi phân trong vành vi phân R là một iđêan vi phân của R Định nghĩa về iđêan vi phân của R được sinh bởi một tập con Σ của R được ký hiệu là [Σ], là giao của tất cả các iđêan vi phân của R chứa tập con Σ.
Trong toán học, tập hợp Σ tạo ra một iđêan vi phân của vành vi phân R, bao gồm Σ và tất cả các đạo hàm của các phần tử trong Σ Định nghĩa 1.45 chỉ ra rằng iđêan vi phân căn sinh bởi Σ, ký hiệu {Σ}, là căn của iđêan [Σ].
Trong trường hợp R = K{y} là vành các đa thức vi phân và Σ = {F} chỉ gồm một đa thức vi phân, ta ký hiệu {F} để chỉ iđêan vi phân căn sinh bởi tập một phần tử {F} Định lý 1.46, nổi tiếng trong đại số vi phân, cung cấp một phân tích của iđêan vi phân căn {F}, với điều kiện F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy.
{F}= ({F} : S)∩ {F, S}, trong đó S là tách của F và {F} : S là iđêan vi phân nguyên tố xác định bởi
{F}: S = {A ∈ K{y} |AS ∈ {F}}. Định nghĩa 1.47 Cho I là một iđêan vi phân của K{y} Tập nghiệm của I trong một mở rộng trường vi phân L của K là
Mệnh đề 1.48 Cho I và J là hai iđêan của K{y} Ta có
Z(I)∪Z(J) =Z(I ∩J) =Z(IJ), trong đó IJ là iđêan tích của I và J.
Theo Định lý 1.46 và Mệnh đề 1.48, một nghiệm của F có thể là nghiệm của {F} : S hoặc là nghiệm của {F, S} Định nghĩa 1.49 chỉ ra rằng nghiệm chung của F và S được gọi là nghiệm kỳ dị (singular solution) của phương trình vi phân F = 0 Theo Định nghĩa 1.50, ℘ là một iđêan vi phân nguyên tố của vành K{y}, và một nghiệm tổng quát (generic zero) của ℘ là phần tử η trong một mở rộng trường vi phân của K, sao cho một đa thức vi phân trong K{y} thuộc ℘ nếu và chỉ nếu đa thức đó triệt tiêu tại η.
Mệnh đề 1.51 Mọi iđêan vi phân nguyên tố ℘ của vành K{y} đều có một nghiệm tổng quát.
Chứng minh Gọi L là trường các thương của miền nguyên K{y}/℘ Khi đó L là một mở rộng vi phân của K qua các đồng cấu
Trong bối cảnh lý thuyết iđêan vi phân, nếu K là trường và L là một mở rộng của K, thì η được xác định là ảnh của phần tử y trong L Khi đó, η trở thành một nghiệm tổng quát của ℘ Theo định nghĩa, một nghiệm tổng quát của iđêan vi phân nguyên tố {F} : S được xem là nghiệm tổng quát của phương trình F = 0.
Giả sử η là một nghiệm tổng quát của phương trình F = 0 Khi đó, với mọi đa thức P thuộc K{y}, điều kiện P(η) = 0 xảy ra khi và chỉ khi P thuộc tập {F} : S Để kiểm tra điều này, ta sử dụng khái niệm phép giả chia vi phân và giả dư vi phân Ký hiệu prem(P, F) là phần dư của phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F, giúp xác định khi nào P thuộc tập {F} : S.
Mệnh đề 1.53 ([30]) P ∈ {F} : S nếu và chỉ nếu prem(P, F) = 0.
Đường cong đại số hữu tỷ
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản và kết quả quan trọng liên quan đến lý thuyết đường cong đại số hữu tỷ, được sử dụng trong Chương 4 Nội dung chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [32] Định nghĩa 1.54 đề cập đến một đa thức hai biến F ∈ C[x, y].
C(F) ={(a, b) ∈ C 2 |F(a, b) = 0} (1.4) là một đường cong đại số trên C. Định nghĩa 1.55 Một phép tham số hóa hữu tỷ của đường cong đại số
F(x, y) = 0 là một cặp hàm hữu tỷ x(t), y(t) ∈ C(t) sao cho
1 với hầu hết t 0 ∈ C trừ một số hữu hạn điểm, ta có (x(t 0 ), y(t 0 )) ∈ C(F);
2 với hầu hết (x 0 , y 0 ) ∈ C(F) trừ một số hữu hạn điểm, tồn tại t 0 ∈ C sao cho
(x(t 0 ), y(t 0 )) = (x 0 , y 0 ). Định nghĩa 1.56 Một đường cong đại số F(x, y) = 0 được gọi là hữu tỷ nếu nó có ít nhất một phép tham số hóa hữu tỷ.
Đường tròn với phương trình x² + y² = 1 là một đường cong đại số hữu tỷ có thể được tham số hóa bằng (x(t), y(t)) = (2t/(t² + 1), t² - 1/(t² + 1)), ngoại trừ tại điểm (0,1) do không có giá trị nào của t tương ứng với điểm này Theo định nghĩa, nếu x(t) = xₙ(t)/xₖ(t) ∈ C(t) có dạng tối giản, thì bậc của hàm x(t), ký hiệu degx(t), được xác định là degx(t) = max{degxₙ(t), degxₖ(t)}.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đa thức bậc 4 và bậc 3, cụ thể là 5t^4 + t^3 - 9 ∈ C(t) Từ đó, chúng ta xác định bậc của đa thức là degx(t) = max{degx n(t), degx d(t)} = 4 Định nghĩa 1.58 nêu rõ rằng cho P(t) = (x(t), y(t)) là một phép tham số hóa của một đường cong hữu tỷ, bậc của đường cong này được xác định là max{degx(t), degy(t)}.
Đường tròn có phương trình x² + y² = 1 được tham số hóa bởi ∈ C²(t) với x(t) = 2t/(t² + 1) và y(t) = (t² - 1)/(t² + 1), dẫn đến degx(t) = 2 và degy(t) = 2, do đó deg(P(t)) = max{degx(t), degy(t)} = 2 Một phép tham số hóa hữu tỷ (x(t), y(t)) của đường cong đại số F(x, y) = 0 được coi là thực sự nếu với hầu hết các điểm (x₀, y₀) trên đường cong, tồn tại duy nhất t₀ ∈ C sao cho (x(t₀), y(t₀)) = (x₀, y₀) Định lý 1.60 khẳng định rằng P(t) là thực sự nếu và chỉ nếu deg(P(t)) = max{deg x F, deg y F}.
Nếu P(t) là một hàm thực và x(t) khác không, thì deg x(t) = deg y F; tương tự, nếu P(t) là thực và y(t) khác không, thì deg y(t) = deg x F Định lý 1.61 chỉ ra rằng cho (x1(t), y1(t)) là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự của đường cong đại số F(x, y) = 0, thì với bất kỳ phép tham số hóa hữu tỷ nào (x2(t), y2(t)) của F(x, y) = 0, luôn tồn tại một hàm hữu tỷ R(t) thuộc C(t).
Hơn nữa, nếu (x 2 (t), y 2 (t)) là thực sự thì R(t) = at+b ct+d với a, b, c, d ∈ C và ad−bc 6= 0.
Ví dụ 1.62 Xét đường cong đại số
F(x, y) =−4x 2 + y−5 = 0 và các phép tham số hóa hữu tỷ
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai hàm số P(t) và Q(t) trong không gian C²(t) Đối với P(t), chúng ta thấy rằng bậc của P(t) là 2 và bậc lớn nhất giữa x và y là 2, cho thấy P(t) là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự Ngược lại, Q(t) có bậc là 4, khác với 2, dẫn đến kết luận rằng Q(t) không phải là một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự.
Trong trường hợp này, đặt R(t) = t
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình P(R(t)) = Q(t) với biểu thức 2(t² - 1) Lưu ý rằng các vấn đề liên quan đến đường cong đại số hữu tỷ đã được giải quyết thông qua các thuật toán, và những chi tiết này được trình bày rõ ràng trong tài liệu tham khảo [32].
Đường cong đại số F(x, y) = 0 được coi là hữu tỷ nếu và chỉ nếu giống của nó bằng không, điều này thể hiện tính tham số hóa hữu tỷ đặc trưng của đường cong.
2 Thuật toán tìm một phép tham số hóa hữu tỷ thực sự của đường cong hữu tỷ.
3 Nếu phép tham số hóa hữu tỷ là không thực sự thì ta có thể tham số hóa lại để được một phép tham số hóa thực sự.
Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một
Trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về các phép biến đổi tương đương trên phương trình vi phân đại số cấp một, với trọng tâm nghiên cứu là phép biến đổi M¨obius Chúng tôi giới thiệu một tính chất bất biến liên quan đến bậc tổng thể vi phân, đây là yếu tố quan trọng cho chương tiếp theo nhằm đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom Một số kết quả trong chương này đã được công bố trong bài báo [6].
Phép biến đổi tương đương
Khi nghiên cứu phương trình vi phân, mục tiêu chính là xác định xem hai phương trình có thể chuyển đổi qua lại bằng một phép đổi biến thích hợp hay không Nếu tồn tại phép biến đổi như vậy, chúng ta nói rằng hai phương trình là tương đương theo phép biến đổi đó.
Trong toán học, chúng ta thường xem xét một tập hợp các phép biến đổi tương đương tạo thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ Nhóm này tác động lên các phương trình vi phân, phân hoạch chúng thành các lớp tương đương Việc giải một phương trình trong lớp tương đương có thể được mở rộng để giải quyết tất cả các phương trình trong lớp đó.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các phép biến đổi điểm (point transformation) với công thức x = φ(t, u) và y = ψ(t, u), trong đó φ và ψ là các hàm khả vi Phương trình F(x, y, y') = 0 sẽ được chuyển đổi thành phương trình G(t, u, u') = 0, với các biến độc lập và phụ thuộc mới là t và u Vấn đề đặt ra là nghiên cứu một tập hợp các phương trình vi phân tương ứng.
F(x, y, y 0 ) = 0, các phép biến đổi điểm có thể xét có dạng như thế nào để phương trình biến đổi vẫn thuộc tập hợp đó?
F Schwarz đã đưa ra các định nghĩa về nhóm bất biến cấu trúc, bất invariant tuyệt đối và dạng chuẩn tắc hữu tỷ trong tài liệu [31] liên quan đến các phương trình vi phân cấp tùy ý Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày lại những vấn đề này nhưng áp dụng cho các phương trình vi phân đại số cấp một.
Mệnh đề 2.1 Tập các phương trình Riccati y 0 = a 2 (x)y 2 +a 1 (x)y +a 0 (x), với a i ∈ C(x) với mọi i = 0,1,2, là ổn định qua các phép biến đổi x = t, y = a(t)u+b(t) c(t)u+d(t), với a, b, c, d ∈ C(t) và ad−bc 6= 0.
Chứng minh Ta có y 0 = ad−bc (cu+d) 2 u 0 + (a 0 u+ b 0 )(cu+d)−(au+b)(c 0 u+ d 0 )
Suy ra phương trình Riccati đã cho được biến đổi thành u 0 = ˜a 2 (t)u 2 + ˜a 1 (t)u+ ˜a 0 (t) với các hệ số được xác định như sau
˜ a 2 = 1 ad−bc(a 2 a 2 +a 1 ac+a 0 c 2 + (ac 0 −a 0 c)), ˜ a 1 = 1 ad−bc(2a 2 ab+a 1 (ad+bc) + 2a 0 cd+ (ad 0 −a 0 d) + (bc 0 −b 0 c)), ˜ a 0 = 1 ad−bc(a 2 b 2 + a 1 bd+a 0 d 2 + (bd 0 −b 0 d)).
(2.1) Đây rõ ràng là một phương trình Riccati Vậy tập hợp các phương trình Riccati là đóng dưới tác động các phép biến đổi trên.
Lập luận tương tự ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2 Tập hợp các phương trình Abel loại một và loại hai y 0 = a 3 y 3 +a 2 y 2 +a 1 y +a 0 , y 0 = a3y 3 +a2y 2 +a1y +a0 y +b 0 là ổn định qua các phép biến đổi x = t, y = a(t)u+b(t) c(t)u+d(t),với a, b, c, d ∈ C(t) và ad−bc 6= 0.
Tập hợp các phương trình Abel loại một, có dạng y' = a3y^3 + a2y^2 + a1y + a0, cho thấy tính ổn định khi thực hiện các phép biến đổi x = t và y = a(t)u + b(t).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phương trình vi phân đại số cấp một tựa tuyến tính (quasilinear) có dạng y' = R(x, y), trong đó R(x, y) là hàm hữu tỷ theo y với các hệ số phụ thuộc vào x Chúng ta đã giới hạn điều kiện về bậc của đạo hàm bằng 1 Tuy nhiên, một tập hợp lớn hơn bao gồm các phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y') = 0 trên C(x) cho phép đường cong đại số tương ứng F(y, w) = 0 có giống bằng 0, tức là đường cong hữu tỷ Trong tập hợp này, chúng ta không giới hạn bậc của đạo hàm mà chỉ hạn chế tính chất tham số hóa hữu tỷ của đường cong đại số tương ứng.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các phương trình vi phân thường đại số (AODEs) cấp một có dạng F(y, y') = 0 trên một trường vi phân K, với K là một mở rộng hữu hạn của C(x) Chúng tôi tập trung vào việc tìm hiểu các nghiệm đại số tổng quát của các phương trình này và phát triển các thuật toán để tính toán tường minh một nghiệm cụ thể Mỗi phương trình được xem xét có liên quan đến một đường cong đại số được xác định bởi phương trình F(y, w) = 0, trong đó biến hàm và biến đạo hàm được coi là độc lập.
Chúng tôi nghiên cứu các phép biến đổi giữa các phương trình vi phân nhằm bảo toàn cấp độ của phương trình, giữ nguyên lũy thừa cao nhất của đạo hàm, duy trì tính chất có nghiệm đại số tổng quát, và bảo toàn hình dạng của đường cong đại số tương ứng.
Khi nghiên cứu các phương trình vi phân hữu tỷ y' = R(x, y), P Appell đã xem xét các phép biến đổi tương đương dưới dạng x = F(t), y(x) = P(t)u(t) + Q(t), trong đó t và u(t) là các biến độc lập và phụ thuộc mới, với F, P và Q là các hàm tùy ý thỏa mãn điều kiện F' ≠ 0 và P ≠ 0 Những phép biến đổi này cho phép một nghiệm đại số của phương trình ban đầu tương ứng với một nghiệm không đại số của phương trình sau và ngược lại Ví dụ, với phép biến đổi x = e^t và y(x) = u(t), nghiệm y(x) = x^2, đại số trên C(x), tương ứng với nghiệm u(t) = e^(2t), không đại số trên C(t).
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một nhóm các phép biến đổi có dạng x = t và y(x) = a(x)w + b(x) c(x)w + d(x), với điều kiện ad - bc ≠ 0 Chúng tôi sẽ phân tích tác động của các phép biến đổi này lên các phương trình vi phân đại số cấp một.
Khi xác định các phép biến đổi tương đương trên phương trình vi phân, bước tiếp theo là kiểm tra sự tương đương giữa hai phương trình đã cho thông qua phép biến đổi đó, đây được gọi là bài toán tương đương Một vấn đề liên quan là xác định xem một phương trình có thuộc vào một lớp tương đương nhất định hay không, được gọi là bài toán thành viên Để giải quyết các vấn đề này, chúng tôi tìm kiếm các bất biến của phương trình vi phân dưới tác động của các phép biến đổi Định nghĩa về các bất biến được nêu rõ trong tài liệu [31], trong đó một biểu thức Φ được coi là bất biến nếu nó thỏa mãn điều kiện Φ(˜a 1 , ,˜a N ) = Φ(a 1 , , a N ) cho phương trình vi phân F(x, y, y 0 ) = 0.
Phương trình vi phân autonom là loại phương trình mà tất cả các hệ số đều là hằng, và việc tìm nghiệm cho loại phương trình này thường dễ hơn so với các phương trình không autonom Do đó, các phương trình không autonom thường được biến đổi để trở thành dạng "gần autonom" nhất có thể Định nghĩa 2.4 nêu rõ rằng dạng chuẩn tắc hữu tỷ của một phương trình vi phân đại số là phương trình có số lượng hệ số khác hằng tối thiểu, đạt được từ phương trình ban đầu thông qua phép biến đổi theo biến phụ thuộc và biến độc lập.
Như vậy các phương trình vi phân autonom là dạng chuẩn tắc hữu tỷ của lớp tương đương autonom.
Phép biến đổi M¨ obius
Trong phần này, chúng tôi phân tích tác động của các phép biến đổi M¨obius đối với các phương trình vi phân đại số cấp một Các kết quả này đã được tác giả công bố trong bài báo [6].
Cho C(x) là trường vi phân của các hàm hữu tỷ theo biến x với phép đạo hàm thông thường d/dx = 0 K là một mở rộng trường hữu hạn của C(x) Trong trường hợp này, tồn tại duy nhất một phép đạo hàm trên K, mở rộng phép đạo hàm 0, giúp K trở thành một trường vi phân.
AODE (1) K = {F(y, y 0 ) = 0 | F ∈ K[y, w]} là tập tất cả các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K Một phép biến đổi M¨obius trên K là một hàm hữu tỷ có dạng
M(u) = au+b cu+d, trong đó a, b, c, d ∈ K và ad−bc 6= 0 Đặt
=Au 2 +Bu+C (cu+d) 2 , trong đó 0 ≤ deg u (Au 2 + Bu+ C) ≤ 2, A = a 0 c −ac 0 , B = a 0 d−ad 0 + b 0 c−bc 0 , C = b 0 d−bd 0 và
Lưu ý rằng A = 0 khi c = 0 hoặc a c là hằng số.
Tương ứng với M(u) ta có một ánh xạ hữu tỷ Φ M : K 2 99K K 2 được định nghĩa bởi ΦM(u, v)
Khi đó, ánh xạ đồng nhất Φ(u, v) = (u, v) thuộc dạng này (tương ứng với
M(u) =u) và ΦM là một ánh xạ song hữu tỷ và nghịch đảo của nó là ánh xạ song hữu tỷ liên kết với M −1 (u) = du−b
Ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5 khẳng định rằng tập hợp G K (1) của tất cả các phép biến đổi song hữu tỷ dạng Φ M tạo thành một nhóm dưới phép hợp thành các ánh xạ song hữu tỷ Nhóm này có cấu trúc đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi M¨obius trên K.
Chúng tôi tiếp tục khảo sát tác động của nhóm G K (1) lên tập hợp AODE (1) K, đặc biệt là các lớp tương đương của phương trình vi phân đại số cấp một với hệ số hằng Qua phép nghịch đảo y 7→ 1/y, phương trình vi phân với hệ số hằng có thể được chuyển đổi thành một phương trình tương tự Khi nghiên cứu các phương trình này, chúng tôi xem xét chúng dưới tác động của các phép biến đổi M¨obius trên K với hệ số c ≠ 0, tức là các phép biến đổi thực sự là một phân thức Để thể hiện tác động của nhóm G K (1) lên AODE (1) K, chúng tôi định nghĩa bậc tổng thể vi phân của một phần tử trong AODE (1) K.
F(y, y 0 ) =A 0 y 0m +A 1 y 0m−1 +ã ã ã+A m−1 y 0 +A m , trong đó m ∈ N ∗ , A i ∈ K[y] với mọi i = 0, , m, A 0 6= 0 Số δ F := max{2(m−i) + deg y A i | i = 0, , m} được gọi là bậc tổng thể vi phân (differential total degree) của F.
Nhắc lại rằng bậc tổng thể (total degree) của F được định nghĩa bởi dF := max{(m−i) + deg y Ai | i = 0, , m}.
Với đa thức vi phân bất khả quy F(y, y 0 ) = Q(x, y)y 0 −P(x, y) ta có δ F = max{2 + degQ,degP} Đặc biệt, bậc tổng thể vi phân của đa thức vi phân Riccati y 0 −A(x)y 2 −B(x)y −C(x) bằng 2.
Bậc tổng thể vi phân cũng có tính chất thông thường của bậc tương ứng với phép nhân của các đa thức vi phân, cụ thể như sau.
Mệnh đề 2.7 Cho F, G ∈ AODE (1) K khỏc khụng Khi đú δ F ãG = δ F +δ G
Chứng minh Giả sửF = P i,j b ij y i y 0j vàG = P k,l c kl y k y 0l thuộcAODE (1) K và khác không Khi đó δF = max{2j+i | bij 6= 0}, δG = max{2l +k | ckl 6= 0}.
Do đó δ F ãG = max{2(j +l) +i+k | b ij c kl 6= 0}
Tác động của nhóm G K (1) lên tập hợp AODE (1) K được định nghĩa bởi công thức Φ M •F = (−cy +a) δ F (F(Φ M −1 (y, y 0 ))), với mọi Φ M thuộc G K (1) xác định bởi M(u) = au+b cu+d và mọi F thuộc AODE (1) K Các tính chất liên quan đến định nghĩa này có thể được suy ra trực tiếp.
Tác động nhóm định nghĩa một quan hệ tương đương trên tập hợp AODE (1) K Cụ thể, với F, G ∈ AODE (1) K, ta nói rằng F tương đương với G, ký hiệu là F ∼ G, nếu tồn tại ΦM ∈ G K (1) sao cho ΦM •F = G.
Quan hệ tương đương trong phân hoạch tập AODE (1) K tạo ra các lớp tương đương vô hạn, mỗi lớp chứa vô hạn các phương trình tương đương Từ đây, khi đề cập đến một lớp autonom của các phương trình vi phân đại số cấp một, chúng ta hiểu là một lớp tương đương của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom nào đó.
Chúng tôi chứng minh rằng bậc tổng thể vi phân là một bất biến số của mỗi lớp tương đương, nghĩa là các phương trình vi phân đại số trong cùng một lớp đều có cùng bậc tổng thể vi phân Kết quả này được sử dụng để đưa ra một chặn bậc cho nghiệm đại số tổng quát của lớp autonom các phương trình vi phân đại số cấp một Theo Định lý 2.11, nếu F(y, y') = A₀y'ᵐ + + Aₘ₋₁y' + Aₘ ∈ K[y, y'], với A₀ ≠ 0 và G = Φₘ • F, trong đó Φₘ ∈ Gₖ(1), thì δF là bậc tổng thể vi phân của F.
Chứng minh 1 Giả sử M(y) = ay +b cy +d Ta có
(ad−bc) m (−cy+ a) 2m 6= 0 nên deg y 0 G = m = deg y 0 F.
2 Xét hệ số của y 0m−i ta có
, trong đó A,˜ B,˜ C˜ là các hệ số của tử số của ∂M ∂x −1 (y)
Gọi k = deg y ( ˜Ay 2 + ˜By + ˜C) ≤ 2 thì 0 ≤ k ≤ 2 Ta có các trường hợp của c như sau:
Nếu c bằng 0 thì deg y A j (M −1 (y)) = deg y A j Do đó deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y) ≤ max
0≤j≤i{deg y A j +k(i−j)} ≤δ F Nếu c khác 0 thì deg y A j (M −1 (y)) = 0 Do đó deg y (−cy + a) δ F −2(m−i) Bi(y) ≤ max
≤ δ F −2(m−i) ≤δ F Như vậy cả hai trường hợp ta đều có deg y G ≤ max i∈{0,1, ,m} n deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y)o ≤ δ F
3 Mặt khác, khi i = 0, ta có δ G = max
0≤i≤m{2(m−i) + deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y)} = δ F Định lý được chứng minh.
Có thể áp dụng tính chất thứ nhất và thứ ba của Định lý 2.11 như là điều kiện cần để xác định sự tương đương của hai phương trình vi phân đại số thông qua tác động của nhóm này.
Mệnh đề 2.13 xác định rằng cho đa thức P(x, y) = a0y^m + a1y^(m−1) + + am ∈ C[x][y] với a, b, c, d ∈ C[x] và điều kiện ad − bc ≠ 0, nếu deg a < n, i = 0, 1, , m và a, b, c, d là các đa thức có bậc nhỏ hơn N, thì tử số của P(x, ay + b, cy + d) sẽ là một đa thức theo x có bậc nhỏ hơn n + mN.
Chứng minh Cho P = P m i=0 a i y m−i Khi đó tử số của P(x, ay+b cy+d ) là
Ta có dega ≤N, degb ≤ N, deg(ay +b) ≤ N, deg(cy + d) ≤N.
Do đó dega i (ay +b) m−i (cy +d) i ≤ n+ (m−i)N +iN = n+mN.
Mệnh đề được chứng minh.
Phép biến đổi song hữu tỷ cho thấy rằng hầu hết các nghiệm của các phương trình tương đương có thể được chuyển đổi qua lại với nhau.
Hệ quả 2.14 Cho F ∈ AODE (1) K và Φ M ∈ G K (1) với M(u) = au+b cu+d Đặt
G= Φ M •F Khi đó một nghiệm khác −d c của F = 0 được biến đổi thành một nghiệm của G = 0 và một nghiệm khác a c của G = 0 được biến đổi thành một nghiệm của F = 0.
Trong chương 2, chúng tôi đã trình bày một số tính chất quan trọng của bậc tổng thể vi phân của các đa thức vi phân cấp một, bao gồm tính tương thích của bậc đối với phép nhân đa thức (Mệnh đề 2.7), tính tương thích của tác động nhóm với phép hợp thành các ánh xạ (Mệnh đề 2.9), và tính bất biến của bậc tổng thể vi phân dưới tác động của nhóm các phép biến đổi M¨obius (Định lý 2.11).
Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một
Trong chương này, chúng tôi khảo sát các tính chất bảo toàn nghiệm của các phương trình vi phân đại số cấp một dưới tác động của các phép biến đổi M¨obius Chúng tôi chứng minh rằng các nghiệm tổng quát đại số được bảo toàn, và từ đó kết hợp với tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân để đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp tương đương autonom Các kết quả này đã được công bố trong bài báo [6].
Nghiệm đại số
Định nghĩa 3.1 Cho K là một trường vi phân và F ∈ K{y} là một đa thức vi phân Một nghiệm đại số của F = 0 trên K là một nghiệm của
F và đồng thời là một phần tử đại số trên trường K.
Trong luận án này chúng tôi quan tâm đến việc tìm nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 trên K.
Mệnh đề 3.2 khẳng định rằng nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một, thì mọi nghiệm kỳ dị của phương trình F(y, y') = 0 đều là nghiệm đại số Bên cạnh đó, số lượng nghiệm kỳ dị của F(y, y') = 0 là hữu hạn.
Chứng minh Nhận xét rằng một nghiệm chung củaF = 0vàS = ∂F
Nếu y₀ = 0, thì y₀ có thể là nghiệm của biệt thức F (disc(F) = res(F, S, y₀)) hoặc là nghiệm của hệ số đầu của F Do F là một đa thức vi phân cấp một, cả disc(F) và in(F) đều là các đa thức một biến theo y với hệ số trên.
Mỗi nghiệm kỳ dị của phương trình F(y, y₀) = 0 đều là nghiệm đại số trên K Số lượng nghiệm đại số của F(y, y₀) = 0 không vượt quá tổng của bậc y của hàm phân biệt disc(F) và bậc y của hàm nội in(F).
Mệnh đề 3.3 Cho P(y) là đa thức tối tiểu của một nghiệm đại số η ∈ L của F(y, y 0 ) = 0 trên K Khi đó, mọi ξ ∈ L thỏa P(ξ) = 0 đều là nghiệm đại số của F(y, y 0 ) = 0.
Chứng minh Vì P là đa thức tối tiểu của η nên η là một nghiệm tổng quát của hPi Giả sử F(η) = 0, theo Mệnh đề 1.53, ta có prem(F, P) = 0.
Từ đó suy raS P k I P l F = Q 1 P 0 +Q 2 P, trong đó P 0 là đạo hàm của P, S P và
I P tương ứng là tách và hệ số đầu của P Chú ý rằng, với ξ thỏa P(ξ) = 0 ta có P 0 (ξ) = 0 và SP(ξ) 6= 0, IP(ξ) 6= 0 Do đó, F(ξ) = 0.
Trong luận án này, ta xét K = C(x) và tìm các nghiệm đại số của
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình F(y, y') = 0 trên trường cơ sở C(x) Việc tìm nghiệm đại số của F(y, y') thực chất là xác định đa thức tối tiểu của nó trong C(x) Một đa thức bất khả quy P(x, y) được coi là một nghiệm đại số của F(y, y') = 0 khi tồn tại một hàm đại số y(x) thỏa mãn P(x, y(x)) = 0, tức là y(x) là một nghiệm của F(y, y') = 0 Bậc của nghiệm đại số được định nghĩa là bậc của đa thức tối tiểu liên quan đến nghiệm đó.
Trong phần này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một autonom, như đã được J M Aroca và các cộng sự nêu ra Chúng tôi mở rộng các kết quả này cho các phương trình không autonom nhưng tương đương với một phương trình autonom Để tìm nghiệm tổng quát đại số của F(y, y') = 0 đối với các phương trình vi phân đại số cấp một autonom, chỉ cần tính một nghiệm đại số không tầm thường Theo định nghĩa, một nghiệm đại số P(x, y) = 0 của phương trình F(y, y') = 0 được xem là không tầm thường nếu deg x P > 0.
Mệnh đề 3.5 cho rằng nếu F ∈ C{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một với hệ số hằng và P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của F(y, y 0 ) = 0, thì P(x+c, y) = 0 sẽ là một nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0, với c là hằng số tùy ý.
Chặn bậc sau là cơ sở chính để phát triển thuật toán tìm nghiệm đại số không tầm thường cho phương trình vi phân đại số cấp một autonom Theo Định lý 3.6, nếu F thuộc Q[y, y'] là một đa thức bất khả quy trên Q và P là đa thức bất khả quy trong Q[x, y] với P(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân autonom F(y, y') = 0, thì có các điều kiện về bậc như sau: deg x P = deg y' F và deg y P ≤ deg y F + deg y' F.
Phương trình P(x + c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số cho phương trình F(y, y') = 0, và sự chặn bậc này có tính chất mịn Điều này cho phép xác định một phương trình vi phân tự trị F(y, y') = 0, trong đó sự chặn bậc đạt được dấu bằng.
Ví dụ 3.7 a) Cho phương trình vi phân đại số cấp một autonom
∂y 0 F(y, y 0 ) = 2y 0 , nghiệm kỳ dị của F = 0 là y = −9
8. Nghiệm tổng quát đại số của F = 0 là y = 1
2((x+ c) 2 + 3(x+ c)). Ở đây P(x, y) = 1 2 ((x+ c) 2 + 3(x+ c))−y Suy ra deg x P = deg y 0 F = 2 và deg y P = 1 thỏa mãn
1 = deg y P ≤ deg y F + deg y 0 F = 1 + 2 = 3. b) ([2, Example 3.9]) Cho n > m >0 và (m, n) = 1 Đặt
P(x, y) = y n −x m là đa thức bất khả quy Rõ ràng P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số
Khi đó ta có deg y P = deg y F + deg y 0F.
Một số tính chất bảo toàn của nghiệm
Định lý 3.8 Cho F, G ∈ AODE (1) K và giả sử F ∼ G Khi đó F có một nghiệm tổng quát đại số nếu và chỉ nếu G có một nghiệm tổng quát đại số.
Chứng minh Giả sử η là một nghiệm tổng quát đại số của F Giả sử tồn tại Φ M ∈ G K (1) xác định bởi M(y) = ay +b cy +d sao cho G = Φ M •F Khi đó
Suy ra M(η) là một nghiệm đại số của G vì cη +d 6= 0 Mặt khác, giả sử
H ∈ AODE (1) K sao cho H(ΦM(η, η 0 )) = 0, nghĩa là Φ M −1 •H ∈ AODE (1) K triệt tiêu tại η Vì η là một nghiệm tổng quát của F nên Φ M −1 •H ∈ {F} : S F , trong đó SF là tách (separant) của F Từ F = Φ M −1 •G ta suy ra
∂y S G (Φ M ) = (cy +d) δ G −2 (ad−bc)S G (Φ M ) và do đú (Φ M −1 •H)ãS F ∈ {F} hay là
Cho ΦM tác động lên tích ở trên, từ Mệnh đề 2.9 ta suy ra HSG ∈ {G}, tức là H ∈ {G} : S G Do đó M(η) là một nghiệm tổng quát đại số của
Để tìm nghiệm đại số không tầm thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom, ta có thể thay biến x bằng x+c với c là hằng số tùy ý, từ đó tạo ra nghiệm tổng quát đại số của phương trình Nghiệm tổng quát này có tính chất bảo toàn qua lớp tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một Một câu hỏi quan trọng đặt ra là cách hiểu "nghiệm đại số không tầm thường" trong bối cảnh của các phương trình vi phân đại số cấp một autonom Định nghĩa ánh xạ tịnh tiến cho hằng số c ∈ C sẽ giúp làm rõ vấn đề này.
Khái niệm phương trình autonom có thể được phát biểu lại dựa vào ánh xạ tịnh tiến T c như sau.
Mệnh đề 3.10 F ∈ AODE (1) K là autonom nếu và chỉ nếu T c ? F = F với mọi c ∈ C.
Nếu F là một đa thức tự do (autonom), thì mọi hệ số của F đều là hằng Điều này dẫn đến kết luận rằng T_c ? F = F với mọi c ∈ C Ngược lại, nếu giả sử T_c ? F = F với mọi c ∈ C, thì tồn tại một hệ số hằng a_{α,β}(x) tương ứng với đơn thức y^{α} y^{0β}, với bậc deg x^{a_{α,β}(x)} = k > 0 Vì T_c ? F - F = 0, nên mọi hệ số của đa thức hiệu đồng nhất bằng không, cụ thể là a_{α,β}(x+c) - a_{α,β}(x) = 0 với mọi c ∈ C Do đó, đa thức a_{α,β}(x+c) - a_{α,β}(x) có bậc k theo c và có vô hạn nghiệm c, điều này là không thể xảy ra Vì vậy, kết luận rằng mọi hệ số của F đều là hằng.
Ta thấy rằng F ∈ AODE (1) K thuộc một lớp autonom nếu tồn tại Φ M ∈
G K (1) sao cho Tc ?(ΦM •F) = ΦM •F, ∀c ∈ C, tức là Φ M −1 •(T c ?(Φ M •F)) =F, ∀c ∈ C Định nghĩa 3.11 nêu rằng, cho F ∈ AODE (1) K thuộc lớp autonom và Φ M là một phép biến đổi sao cho ΦM •F là autonom Một nghiệm đại số P(x, y) = 0 của F(y, y 0 ) = 0 trên C(x) được gọi là không tầm thường tương ứng với Φ M nếu deg x (Φ M •P) > 0.
Khi xem xét các phương trình vi phân đại số cấp một autonom với M là ánh xạ đồng nhất, định nghĩa này tương đồng với Định nghĩa 3.4 về nghiệm đại số không tầm thường trong tài liệu [2] Định lý 3.12 chỉ ra rằng với phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y') = 0 thuộc lớp autonom và phép biến đổi Φ M sao cho Φ M • F = 0 cũng là autonom, thì P(x, y) = 0 sẽ là một nghiệm đại số không tầm thường.
F(y, y 0 ) = 0 trênC(x)tương ứng với Φ M Khi đóΦ M −1 •(T c ?(Φ M •P)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình F(y, y 0 ) = 0, trong đó c là hằng số tùy ý.
Giả sử P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 tương ứng với ΦM Khi đó, phương trình vi phân ΦM • F = 0 là autonom và có một nghiệm đại số không tầm thường là ΦM • P = 0 Từ đó, T c ?(ΦM • P) = 0 trở thành một nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân ΦM • F = 0 Do đó, ΦM −1 •(T c ?(ΦM • P)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 Theo định lý 3.13, nếu phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 thuộc lớp autonom và P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường tương ứng với ΦM, thì giống của đường cong đại số P(x, y) = 0 bằng giống của đường cong đại số F(y, y 0 ) = 0.
Phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y') = 0 thuộc lớp autonom cho phép tồn tại phép biến đổi song hữu tỷ ΦM, biến đổi phương trình thành dạng autonom ΦM • F = 0 Khi đó, ΦM • P = 0 trở thành một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình này Theo [2, Lemma 3.5], giống của ΦM • P = 0 tương đương với giống của ΦM • F = 0 Vì ΦM là phép biến đổi song hữu tỷ, nên giống của P(x, y) = 0 và giống của F(y, y') = 0 là bằng nhau.
Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số
Theo [2, Theorem 3.4 và Theorem 3.8], bậc của một nghiệm đại số không tầm thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom
Chúng ta nghiên cứu phương trình vi phân đại số cấp một và tìm ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của nó trong lớp tương đương autonom Định nghĩa bậc của một nghiệm đại số là bậc của đa thức tối tiểu trên trường cơ sở Kết quả quan trọng trong nghiên cứu này là định lý 3.14, cho rằng nếu F thuộc AODE (1) K và tồn tại ΦM thuộc G K (1) sao cho ΦM • F là phương trình vi phân đại số autonom, thì bậc của nghiệm tổng quát đại số của phương trình F(y, y 0 ) = 0 trên K sẽ bị chặn bởi một giá trị nhất định.
Khi áp dụng các điều kiện cụ thể cho phương trình F(y, y 0 ) = 0, chúng ta có thể rút ra một số kết luận quan trọng về bậc của đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số Cụ thể, nếu K = C(x) và M(y) = ay +b cy +d, trong đó bậc của a, b, c, d nhỏ hơn N, thì bậc theo x của đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0 sẽ nhỏ hơn deg y 0F +N(δ F + deg y 0F).
Giả sử Q(x, y) là một đa thức bất khả quy liên quan đến nghiệm đại số không tầm thường y của phương trình G(y, y 0) = 0 trên C(x) Theo định lý trong [2, Theorem 3.8], phương trình vi phân đại số cấp một autonom G(y, y 0) = 0 cho phép suy ra rằng bậc của Q theo x (deg x Q) bằng bậc của G theo y 0 (deg y 0 G), và bậc của Q theo y (deg y Q) không vượt quá tổng của bậc G theo y và bậc G theo y 0, tức là deg y Q ≤ deg y G + deg y 0 G ≤ δ F + deg y 0 F.
Rõ ràng M −1 (ˆy) là một nghiệm đại số không tầm thường của F = 0 Giả sử M(y) = ay +b cy +d Khi đó (cM −1 (ˆy) +d) deg y Q Q(x, M(M −1 (ˆy))) = 0.
Suy ra M −1 (ˆy) là một nghiệm của đa thức (cy + d) deg y Q Q(x, M(y)), cho thấy M −1 (ˆy) là phần tử đại số trên K với bậc không quá deg y Q Bất đẳng thức (3.1) chứng minh rằng M −1 (ˆy) cũng là phần tử đại số trên K với bậc không quá (δ F + deg y 0F) Do bậc của nghiệm đại số không tầm thường và bậc của nghiệm tổng quát đại số của G= 0 bằng nhau, phần đầu của định lý đã được chứng minh.
Theo Mệnh đề 2.13, bậc theo x của đa thức tối tiểu của một nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0) = 0 nhỏ hơn deg y 0F + N(δ F + deg y 0F) Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các bậc của đa thức và nghiệm của phương trình vi phân, đồng thời khẳng định rằng phần sau của định lý đã được chứng minh.
Trong phương trình vi phân đại số cấp một autonom, bậc của nghiệm tổng quát đại số của F = 0 bị chặn bởi deg y 0 F + deg y F, với giá trị này nhỏ hơn hoặc bằng deg y 0 F + δ F Khi hạn chế đến các phương trình vi phân đại số cấp một autonom, chặn bậc sẽ cao hơn, điều này hợp lý vì nó áp dụng cho lớp phương trình rộng hơn, bao gồm cả phương trình autonom Để tìm nghiệm tổng quát đại số của phương trình F = 0 trong lớp autonom, có thể sử dụng Thuật toán 4.4 trong [2] để tính nghiệm đại số không tầm thường của Φ M • F Nếu Φ M • F không có nghiệm đại số không tầm thường, ta kết luận rằng "F = 0 không có nghiệm tổng quát đại số" Nếu Q(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của Φ M • F = 0, ta sẽ nhận được từ bước 1.
(−cy +a) deg y Q Q(x+C, M −1 (y)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của F = 0 với C là hằng số tùy ý.
Ví dụ 3.15 Xét phương trình không autonom
Ta có δ F = 7 Đặt M(y) = xy − 1 Biến đổi Φ M biến phương trình
G(y, y 0 ) = Φ M •F = x 7 [(1−2y 3 +4y 2 )y 02 +(−2y 5 −8y 2 +8y)y 0 +4−y 4 −4y] = 0, và phương trình này tương đương với phương trình autonom
Ta kiểm tra được phương trình G(y, y 0 ) = 0 có nghiệm đại số không tầm thường
Do đó, nghiệm tổng quát đại số của G(y, y 0 ) = 0 là
Q(x+c, y) = (x+ c)y 2 −y + (x+c) 2 + 1 = 0, với c là hằng số tùy ý Đa thức Φ M −1 •Q(x+ c, y) = Q(x+c, xy−1) =(cx 2 +x 3 )y 2 + (−2xc−2x 2 −x)y +x 2 +c+ x+ 2 + 2xc+c 2 là đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0.
Đường cong đại số Φ M −1 •Q(x+c, y) = 0 có bậc giống bằng 1, tương tự như đường cong đại số F(y, y 0 ) = 0 Trong trường hợp này, bậc của nghiệm tổng quát đại số là 2, với bậc chặn được tính là deg y 0F + δ F = 2 + 7 = 9.
Chú ý 3.16 Chúng tôi giả thiết rằng F(y, y 0 ) = 0 là tương đương với một phương trình autonom qua phép biến đổi Φ M Vấn đề xác định liệu
Vấn đề liệu F(y, y 0 ) = 0 có tương đương với một phương trình tự động hay không vẫn còn là một câu hỏi mở Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề này với giả thiết rằng F(y, y 0 ) = 0 là một phương trình tham số hóa hữu tỷ.
Trong chương 3, chúng tôi đã thiết lập một số tính chất bảo toàn liên quan đến nghiệm của phương trình vi phân đại số dưới tác động của nhóm các phép biến đổi M¨obius Cụ thể, chúng tôi chứng minh tính chất bảo toàn nghiệm tổng quát đại số (Định lý 3.8) và đưa ra phương pháp xác định một nghiệm tổng quát đại số từ một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom (Định lý 3.12) Ngoài ra, chúng tôi cũng chứng minh rằng giống của đường cong đại số xác định nghiệm tương đương với giống của đường cong liên quan đến phương trình vi phân nếu phương trình đó thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.13) Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của một phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.14).
Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hóa hữu tỷ được
Cho K là một mở rộng hữu hạn của trường vi phân C(x), tập hợp các phương trình vi phân hữu tỷ dạng y' = R(x, y) với R(x, y) là hàm hữu tỷ theo y có hệ số trên K, là đóng dưới các phép biến đổi M¨obius trên K Trong chương này, chúng tôi trình bày tiêu chuẩn kiểm tra sự tương đương của các phương trình vi phân đa thức dạng y' = P(x, y), với P là đa thức theo y có hệ số trên K Từ đó, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để kiểm tra sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hóa hữu tỷ.
Phương trình vi phân đa thức
Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b
Phương trình (4.1) được biến đổi thành z 0 = A n (x)z n +A n−1 (x)z n−1 + ã ã ã+ A 1 (x)z+ A 0 (x), (4.2) trong đó
Với i = 1, từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra b = A n−1 −a n−1 nan
. Thế b vào (n−2) phương trình tiếp theo, ta được, với mọi 2 ≤ i ≤n−1,
Kết hợp các hệ số của các đơn thức đồng dạng và chú ý rằng
Định lý sau đây cung cấp một công thức cho A n−i mà không có các hạng tử trộn, nghĩa là không chứa các hạng tử có sự xuất hiện đồng thời của nhiều biến Công thức này được thể hiện dưới dạng: A 2 n−1 a n − n, 2 n 2 a 2 n−1 a n + a n−2.
An−1 và an−1. Định lý 4.1 Với mọi 2 ≤i ≤ n−1, ta có
Để chứng minh công thức, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp theo i, với mọi 2 ≤ i ≤ n−1 Đầu tiên, công thức được xác nhận đúng cho trường hợp i = 2 Tiếp theo, giả sử công thức đúng cho trường hợp i−1, tức là với mọi 2 ≤ k ≤ i−1, công thức cũng phải đúng.
Thay a k n−1 vào hạng tử A i−k n−1 a k n−1 a i−1 n của (4.5), ta thu được i−1
= (−1) i−j−1 n−j i−j n i−j Đặt l = k−j, ta có thể viết lại tổng kép sau theo j và l: i−1
!A i−k n−1 a k n−1 a i−1 n vào phương trình (4.5) thì tổng kép bị triệt tiêu và thu được
+a n−i Định lý được chứng minh. Định lý 4.2 Ta có n
Chứng minh Thế b = A n−1 −a n−1 na n vào phương trình cuối cùng của (4.3), ta thu được
(−1) 1−j n−j k−j n j (k−1) n k a k−j n−1 a n−j a j−1 n nên khi thay a k n−1 vào hạng tử A n−k n−1 a k n−1 a i−1 n , ta thu được n−1
A n−k n−1 a k n−1 a n−1 n trở lại phương trình (4.7) thì tổng kép bị triệt tiêu và ta thu được
Vậy định lý được chứng minh.
Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw
Phương trình (4.2) được biến đổi thành w 0 = ˜an(x)w n + ˜a n−1 (x)w n−1 +ã ã ã+ ˜a1(x)w + ˜a0(x), (4.8) trong đó
Bằng cách khử a, ta suy ra một hệ phương trình các bất biến sau
Để chuyển đổi phương trình (4.2) thành phương trình (4.8) thông qua phép biến đổi z = aw, hệ số a được xác định bởi mối quan hệ ˜a n = A n a n−1 Do đó, a thường thuộc một mở rộng đại số của trường chứa các hệ số ˜ a n và A n.
Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b
Như đã phân tích ở trên, phép biến đổi y = aw + b được phân tích thành hợp của hai phép biến đổi đơn giản hơn là y = z + b và z = aw.
Ký hiệu a = (a0, a1, , an), A = (A0, A1, , An), ˜a = (˜a0,a˜1, ,˜an) là các bộ hệ số trong các phép biến đổi thành phần Khi đó ta có hai tập hợp các bất biến như sau:
1 Tập hợp các bất biến của phép biến đổi y = z+b:
2 Tập hợp các bất biến của phép biến đổi z = aw:
Ta sẽ kết hợp các bất biến này để suy ra các bất biến của phép biến đổi hợp thành.
Mặt khác, ta có các bất biến I i (A) = I i (a), A n = a n , J i (A) = J i (˜a) Từ đó suy ra, với 2 ≤i ≤ n−2,
Vì vậy ta tìm được một tập các bất biến của phép biến đổi y = aw +b, đó là, với mọi i = 2, , n−2,
A n Để kết hợp với các bất biến trong phép biến đổi z = aw, ta xét bất biến
Từ đó ta nhận được một bất biến nữa của phép biến đổi y = aw +b, đó là K 1 (a).
Tiếp theo ta tìm bất biến dựa vào I0(A) Với n≥ 3, ta có
Lập luận tương tự ta nhận được một bất biến nữa của phép biến đổi y = aw +b, đó là
1 n n−1I0(a), n≥ 3. Định lý 4.4 Với n≥ 3, hai phương trình vi phân đa thức (4.1) và (4.8) là tương đương qua phép biến đổi y = aw+b nếu và chỉ nếu
Để chứng minh định lý, ta cần xác minh phần đảo của nó Giả sử các bất biến đã được thỏa mãn, và định nghĩa α1 và β1 là các phần tử đáp ứng các phương trình liên quan.
Phép biến đổi y = α1u + β1 biến phương trình (4.1) thành u0 = un + ¯an−2un−2 + + ¯a1u + ¯a0, với ¯an−i = Ki(a) (2 ≤ i ≤ n−2), a¯1 = K1(a), ¯a0 = K0(a) Tương tự, chọn α2 và β2 sao cho 1 = ˜anαn−1 2, 0 = ˜annβ2 + ˜an−1, và phép biến đổi w = α2u + β2 biến phương trình (4.8) thành u0 = un + ¯bn−2un−2 + + ¯b1u + ¯b0, với ¯bn−i = Ki(˜a) (2 ≤ i ≤ n−2), ¯b1 = K1(˜a), ¯b0 = K0(˜a) Từ giả thiết về các bất biến, ta suy ra rằng hai phương trình (4.1) và (4.8) có thể được biến đổi về cùng một phương trình trung gian, do đó chúng là tương đương qua phép biến đổi y = α1α2w + β1(α2 − α1)β2/α2.
Từ chứng minh định lý trên chúng ta có ngay hệ quả sau.
Hệ quả 4.5 Phương trình vi phân đa thức (4.1), với n ≥ 3, là tương đương với dạng chuẩn tắc sau u 0 = u n +K n−2 (a)u n−2 +ã ã ã+K 1 (a)u+K 0 (a), qua phép biến đổi y = α1u+β1 với α n−1 1 = 1 a n , β1 = −a n−1 na n
Bảng 4.1: Cỏc bất biến cơ sở của phư ơ n g trỡnh vi phõn đa thức y 0 = a n y n + a n − 1 y n − 1 + ãã ã + a 1 y + a 0 y 0 = a 3 y 3 + a 2 y 2 + a 1 y + a 0 (Ab el) y 0 = a 2 y 2 + a 1 y + a 0 (Riccati) y = z + b I n ( a ) := a n I 3 ( a ) := a 3 I 2 ( a ) := a 2 I n − i ( a ) := a n − i + P i − 1 j =0 ( − 1) i − j n − j i − j n i − j a i − j n − 1 a n − j a i − j n I 2 ( a ) := a 1 − 1 3 a 2 2 a 3 (2 ≤ i ≤ n − 1) I 0 ( a ) := a 0 + P n j =1 ( − 1) j n j a j a j n − 1 a j n + 1 n a n − 1 a n
Phương trình vi phân Riccati
Trong phần này chúng tôi đi tìm bất biến của phương trình Riccati đối với phép biến đổi y = aw+b Với n = 2, ta có
A 2 2 là một bất biến đối với phép biến đổi y = z+b Do đó
A 2 0 cũng là một bất biến đối với phép biến đổi y = z +b Vì
2(a 1 + a 0 2 a 2 ) 0 là một bất biến của phương trình Riccati y 0 = a2y 2 +a1y+a0 đối với phép biến đổi y = aw+b.
Dựa vào bất biến, chúng ta có thể xác định sự tương đương giữa hai phương trình vi phân Riccati Theo Định lý 4.6, với n = 2, hai phương trình vi phân Riccati (4.1) và (4.8) sẽ tương đương thông qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu.
Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ lập luận ở trên Ngược lại, đặt a = ˜a2 a 2 , b = 1
Vì K˜ 0 (a) = ˜K 0 (˜a) nên ta suy ra ˜a 0 = 1 a(a 2 b 2 + a 1 b + a 0 −b 0 ) Các hệ số ˜a 2 ,˜a 1 ,a˜ 0 là các hệ số của phương trình vi phân Riccati nhận được qua phép biến đổi y = aw+b.
Ví dụ 4.7 Hai phương trình vi phân trong [15] (danh mục các phương trình vi phân của Kamke) no.1.140 : y 0 = −y 2 − 4 xy− 2 x 2 và no.1.165 : y 0 = − 1
2x−1 là tương đương bởi vì chúng có cùng bất biến vi phân K˜ 0 (a) = 0, qua phép biến đổi được xác định y = aw+b với a = 1
Trong nghiên cứu của Czy˙zycki và cộng sự, họ đã phân tích sự tương đương của các phương trình Riccati dưới tác động của các nhóm con thuộc nhóm Lie, liên quan đến các phép biến đổi tương đương Một trong những nhóm con quan trọng được đề cập là nhóm các phép biến đổi có dạng y = aw + b.
Trở lại với phương trình Riccati y 0 = a 2 y 2 + a 1 y +a 0 , bằng phép biến đổi y = aw +b với a = 1 a 2 và b = − 1
2a 2 (a 1 + a 0 2 a 2 ) phương trình Riccati đã cho được biến đổi về dạng chuẩn tắc hữu tỷ w 0 = w 2 + ˜K 0 (a).
Từ đó ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 4.9 chỉ ra rằng phương trình vi phân Riccati có thể được chuyển đổi thành phương trình vi phân tự động thông qua phép biến đổi y = aw + b, nếu và chỉ nếu bất biến vi phân K˜ 0 (a) là một hằng số.
Nếu K˜ 0 (a) là một hằng số thì nghiệm của phương trình Riccati có thể tìm được bằng phương pháp tách biến:
Phương trình Riccati có dạng w' = w² + ˜K₀(a) = x + C, với C là một hằng số tùy ý Nếu K˜₀(a) = 0, nghiệm tổng quát hữu tỷ của phương trình là w = -1/(x + C) Ngược lại, khi K˜₀(a) là một hằng số khác không, phương trình w' = w² + ˜K₀(a) sẽ có nghiệm tổng quát Liouville không đại số trên C(x): w = q.
Nếu K ˜ 0 (a) không phải là hằng số và phương trình Riccati được xác định trên C(x), việc tìm nghiệm đại số của phương trình Riccati có thể áp dụng thuật toán Kovacic (J Kovacic 1986) Mỗi nghiệm ω của phương trình Riccati w 0 = w 2 + r(x) tương ứng với nghiệm y = e R ω của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai y 00 + r(x)y = 0 Dựa vào lý thuyết Galois vi phân, Kovacic đã chứng minh rằng bậc nhỏ nhất của các nghiệm đại số trên C(x) của phương trình Riccati w 0 = w 2 + r(x), với r(x) ∈ C(x), có thể là 1, 2, 4, 6 hoặc 12.
Dựa trên phân loại nhóm Galois vi phân của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, F Ulmer và cộng sự (1996) đã chỉ ra các bậc khả thi của đa thức tối tiểu cho các nghiệm đại số của phương trình Riccati w' = w² + r(x) [33, Corollary 1.7].
A Zharkov (1995) đã chứng minh rằng nếu phương trình Riccati w 0 + w 2 = r, với r ∈ Q(x), có một nghiệm đại số, thì tồn tại một đa thức tối tiểu xác định nghiệm đó Đặc biệt, các hệ số của đa thức này nằm trong một mở rộng của trường Q và có bậc tối đa là 3.
Phương trình vi phân Abel
Phương trình vi phân Abel loại một có dạng y' = a3y^3 + a2y^2 + a1y + a0, với ai thuộc K Trong khi đó, phương trình vi phân Abel loại hai có dạng y' = a3y^3 + a2y^2 + a1y + a0 + b1y + b0, có thể được biến đổi về dạng thứ nhất thông qua phép đổi biến b1y + b0 = 1 Do đó, trong phần này, chúng ta chỉ tập trung vào các phương trình Abel loại một và thực hiện phép biến đổi y = aw + b trên các phương trình vi phân Abel, thay vì áp dụng các phép biến đổi M¨obius.
Qua phép biến đổi y = aw+b, phương trình Abel (4.12) được biến đổi thành w 0 = ˜a 3 w 3 + ˜a 2 w 2 + ˜a 1 w + ˜a 0 , trong đó
Trong mục 4.1, chúng ta đã nghiên cứu các bất biến vi phân của phương trình vi phân đa thức dạng y' = a_n y^n + a_{n-1} y^{n-1} + + a_1 y + a_0 khi áp dụng phép biến đổi y = aw + b Khi áp dụng kết quả này với n = 3, chúng ta rút ra các bất biến vi phân cho phương trình Abel.
Hệ quả 4.12 Hệ các bất biến vi phân cơ sở của phương trình Abel là
Dựa trên các bất biến vi phân cơ sở, chúng tôi đề xuất một tiêu chuẩn để kiểm tra sự tương đương giữa hai phương trình vi phân Abel.
Hệ quả 4.13 Hai phương trình vi phân Abel y 0 = a 3 y 3 +a 2 y 2 +a 1 y+a 0 và w 0 = ˜a 3 w 3 + ˜a 2 w 2 + ˜a 1 w+ ˜a 0 là tương đương qua phép biến đổi y = aw+b nếu và chỉ nếu
Chứng minh Điều kiện cần của định lý là rõ ràng vì K 0 (a) và K 1 (a) là các bất biến Ngược lại, ta đặt a s ˜ a 3 a3 và b = 1
Khi đó a˜3 = a3a 2 và ˜a2 = a(a2 + 3a3b) Vì K1(a) = K1(˜a) và K0(a) K 0 (˜a) nên ta suy ra a˜ 1 = 1 a(−a 0 + (2a 2 b+ 3a 3 b 2 +a 1 )a) và ˜a 0 = 1 a(−b 0 + a 3 b 3 + a 2 b 2 + a 1 b + a 0 ) Các hệ số ˜a 0 ,˜a 1 ,a˜ 2 ,˜a 3 là các hệ số của phương trình Abel được biến đổi qua phép biến đổi y = aw +b.
Ví dụ 4.14 Xét các phương trình vi phân Abel dt dx =−(t+x−1)((t+ x) 2 −5(t+ x) + 7)
Dựa vào Hệ quả 4.12, ta có thể tính các bất biến K1(a) = 0 và K0(a) = 0 Theo Hệ quả 4.13, các phương trình này tương đương thông qua phép biến đổi t = s - x + 1 Cần lưu ý rằng phép biến đổi này không phải là duy nhất; ví dụ, phép đổi biến t = -s + 3 - x cũng đáp ứng yêu cầu.
Theo phép chứng minh Hệ quả 4.13, các hệ số a và b trong phép biến đổi y = aw + b có thể thuộc một mở rộng bậc hai của trường hệ số K, điều này xác định các phương trình Abel Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm các dạng chuẩn tắc khả thi của phương trình vi phân Abel khi cho phép các phép biến đổi trên một mở rộng hữu hạn của trường cơ sở Định lý 4.15 chỉ ra rằng phương trình Abel có thể được đưa về dạng chuẩn tắc w₀ = w³ + K₁(a)w + K₀(a).
√a 3 để ˜a3 = 1. Khi đó phép biến đổi y = aw+b biến đổi phương trình Abel (4.12) thành w 0 = w 3 +K 1 (a)w +K 0 (a).
Nếu K 0 (a) và K 1 (a) là các hằng số, phương trình Abel trở thành tương đương với một phương trình vi phân tự động Trong trường hợp này, phương trình có thể được tích phân bằng phương pháp tách biến.
Nếu K 0 (a) = 0, phương trình (4.17) trở thành một phương trình vi phân Bernoulli Bằng cách áp dụng phép biến đổi u = 1/w^2, chúng ta có thể chuyển đổi phương trình (4.17) thành một phương trình vi phân tuyến tính, từ đó thực hiện tích phân và tìm ra nghiệm cho phương trình Bernoulli Để đưa phương trình Abel về dạng chuẩn tắc (4.17), cần sử dụng phép biến đổi xác định trên một mở rộng bậc hai của trường cơ sở Nếu giới hạn các phép biến đổi xác định trên trường cơ sở, sẽ xuất hiện hai dạng chuẩn tắc khác nhau của phương trình Abel, tùy thuộc vào việc K 0 (a) = 0 hay không.
K 0 (a) 6= 0. Định lý 4.18 Có hai dạng chuẩn tắc hữu tỷ khác nhau của phương trình Abel:
√˜a3 Có hai trường hợp như sau:
• Trường hợp K 0 (˜a) = 0, vì ˜a 3 6= 0 nên ta phải có ˜a 0 = 0 Chọn a = 1, khi đó a˜3 = a3 và ˜a1 = a1−1
3 a 2 2 a 3 Trong trường hợp này, phép biến đổi y = w − a 2
3a 3 biến đổi (4.12) thành dạng chuẩn tắc hữu tỷ w 0 = ˜a 3 w 3 + ˜a 1 w.
K 0 (˜a) Trong trường hợp này, phép biến đổiy = K 0 (˜a)
3a 3 biến đổi (4.12) thành dạng chuẩn tắc hữu tỷ w 0 = ˜a 3 w 3 + ˜a 1 w + 1. Định lý được chứng minh.
Chú ý 4.19: Trong nghiên cứu của P Appell (1889), các phép biến đổi như x = φ(t) và y(x) = a(t)w(t) + b(t) đã được đề cập, dẫn đến dạng chuẩn tắc của phương trình Abel là w' = w³ + J(t), trong đó J(t) là một bất biến của phép biến đổi Việc tìm nghiệm cho phương trình Abel dạng chuẩn tắc này trở nên phức tạp nếu J(t) không phải là hằng số.
Vấn đề xác định sự tương đương của hai phương trình Abel qua phép biến đổi như trên đã được E S Cheb-Terrab và cộng sự nghiên cứu trong
[7] Tuy nhiên, phép biến đổi dạng này không bảo toàn nghiệm đại số nếu φ không phải là một hàm đại số.
