Ki‚n thức cỡ sð v• ⁄i sŁ
Mð rºng tr÷íng
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa trên tài liệu [18] Định nghĩa 1.1: Cho K là một trường Nếu K là trường con của một trường L, thì L là một trường mở rộng của K.
L là một không gian vector trên K, trong đó chiều của L tràn K lớn hơn Khi L là một mảng rỗng của K, chiều của không gian vector L tràn K sẽ nhỏ hơn Nếu L là một mảng rỗng của trường K, phần tử 2L được gọi là một phần tử đại diện tràn K, nếu có một a thuộc một biến kháng không trong K[x] thì nó mang nghĩa; ngược lại, 2L là phần tử siêu việt tràn K.
V‰ dử 1.3 Phƒn tò p 2 R l ⁄i sŁ trản Q v… a thức x 2 2 2 Q[x]
Mằnh 1.4 đề cập đến việc cho 2 L l một phần tò ⁄i sŁ trản K, trong đó a thức mºt bi‚n bĐt khÊ quy trản K cõ b“c b† nhĐt và cõ hằ sŁ cao nhĐt b‹ng 1 nh“n l m nghiằm A thức trong mằnh trản ữổc gồi là a thức tŁi ti”u cıa phƒn tò trản trữớng K Ành nghắa 1.5 mô tả mð rºng L cıa K ữổc gồi là ⁄i sŁ n‚u mồi phƒn tò cıa L l ⁄i sŁ trản K.
Mằnh • 1.6 N‚u L l mºt mð rºng hœu h⁄n cıa K th… L l mºt mð rºng ⁄i sŁ trản K.
Cho K l mºt trữớng, L l mºt mð rºng cıa K v 2 L Ta kỵ hiằu K( ) l trữớng con b† nhĐt cıa L chứa K v Ta cõ f( )
K( ) = j f; g 2 K[x]; g( ) =6 0 : g( ) Mằnh • 1.7 Cho l mºt phƒn tò ⁄i sŁ trản K Khi õ K( ) = K[ ] v [K( ) : K] b‹ng b“c cıa a thức tŁi ti”u cıa trản K.
Cho K l mºt trữớng con cıa L v 1 ; : : : ; n 2 L Kỵ hiằu K( 1 ; : : : ; n) l trữớng con b† nhĐt cıa L chứa K v cĂc phƒn tò 1; : : : ; n Khi õ :
1 ; : : : ; n ) 6= 0 f( 1; : : : ; n) ành nghắa 1.8 Mð rºng L cıa K ữổc gồi l hœu h⁄n sinh trản K n‚u tỗn t⁄i cĂc phƒn tò 1 ; : : : ; n 2 L sao cho L = K( 1 ; : : : ; n ).
Mằnh • 1.9 Cho L l mºt mð rºng hœu h⁄n cıa K Khi õ L l hœu h⁄n sinh trản K.
Mằnh • 1.10 Cho L = K( 1 ; : : : ; n ) l mºt mð rºng hœu h⁄n sinh trản K.
N‚u 1 ; : : : ; n l ⁄i sŁ trản K th… L = K( 1 ; : : : ; n ) l mð rºng hœu h⁄n trản K. ành nghắa 1.11 Mºt trữớng L ữổc gồi l õng ⁄i sŁ n‚u mồi a thức trong L[x] vợi b“c dữỡng cõ nghiằm trong L.
Mồi trữớng K •u cõ mºt mð rºng ⁄i sŁ v nhữ th‚ ữổc gồi l bao õng ⁄i sŁ cıa K v âng ⁄i sŁ Mºt mð rºng kỵ hiằu l K:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét không gian mở rộng Q Q(p p) R C, nơi mà nó chứa một số tính chất quan trọng Đầu tiên, kích thước của Q Q(p p) được xác định bằng 2 với một cỡ số là f1; p pg; và kích thước của R C cũng được xác định bằng 2 với cỡ số là f1; ig, i 2 = 1 Không gian R là một không gian vật thể vô hạn chiều trong Q Tập Q được định nghĩa là tập hợp các số phức trong không gian tràn Q, tạo thành một trường hợp bao gồm cả số thực trong Q Mở rộng Q không chỉ là một mở rộng hữu hạn của Q mà còn có những đặc điểm quan trọng khác.
K‚t thức
CĂc khĂi niằm v k‚t quÊ trong phƒn n y ữổc tr…nh b y dỹa theo t i liằu [8]. ành nghắa 1.13 Cho hai a thức f; g 2 K[x] cõ b“c dữỡng f =a m x m + + a 0 ; a m 6= 0 g =b n x n + + b 0 ; b n 6= 0:
K‚t thức (resultant) cıa f v g Łi vợi x, kỵ hiằu res(f; g; x), l cıa ma tr“n Sylvester c§p (m + n) x¡c ành nh÷ sau
C A b 0 trong õ sŁ dặng cĂc hằ sŁ cıa f l n v sŁ dặng cĂc hằ sŁ cıa g l m.
Mằnh • 1.14 Hai a thức f; g 2 K[x] cõ nhƠn tò chung trong K[x] khi v ch¿ khi res(f; g; x) = 0.
Mằnh • 1.15 Cho cĂc a thức f; g 2 K[x] cõ b“c dữỡng Khi õ tỗn t⁄i cĂc a thức A; B 2 K[x] sao cho res(f; g; x) = Af + Bg: v g.
Kỹ thức có thể thành nghĩa cho các thức nhiều biến bằng cách xem các thức nhiều biến như là các thức một biến với hàm số thuộc về các thức theo các biến cạnh lãi.
Mằnh • 1.16 Cho f; g 2 K[x 1 ; : : : ; x n ] l cĂc a thức cõ b“c dữỡng theo x 1 Khi â
2 res(f; g; x 1 ) = 0 khi vch¿ khi f v g cõ mºt nhƠn tò chung trong K[x 1 ; : : : ; x n ] câ b“c d÷ìng theo x 1
Hằ quÊ 1.17 Cho f; g 2 C[x] Khi õ res(f; g; x) = 0 khi v ch¿ khi f; g cõ mºt nghiằm chung trong C.
Mằnh • 1.18 Cho f; g 2 C[x 1 ; : : : ; x n ] l cĂc a thức cõ b“c dữỡng theo x 1 vợi cĂc hằ sŁ ƒu theo x 1 lƒn lữổt l a k ; b l N‚u res(f; g; x 1 ) triằt tiảu t⁄i (c 2 ; : : : ; c n ) 2 C n 1 th… ho°c
2 tỗn t⁄i c 1 2 C sao cho f v g triằt tiảu t⁄i (c 1 ; c 2 ; : : : ; c n ) 2 C n ành nghắa 1.19 Biằt thức (discriminant) cıa a thức 1 bi‚n f 2 K[x] b“c m, kỵ hiằu disc(f), ữổc xĂc ành bði
3 a 1 a 2 °c biằt, Łi vợi a thức b“c ba d⁄ng khuy‚t f(x) = x 3 + px + q, biằt thức cıa a thức n y l disc(f) = 4p 3 27q 2 :
1.21.a thức f 2 K[x] cõ nhƠn tò bºi (tức l f chia h‚t cho K[x] cõ b“c dữỡng) khi v ch¿ khi disc(f) = 0 Trản trữớng sŁ a thức cõ nghiằm bºi khi v ch¿ khi biằt thức cıa nõ b‹ng 0.
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày một số kiến thức cơ sở về hành vi phân, trường vi phân và ảnh hưởng vi phân Những khái niệm này được sử dụng để xây dựng khái niệm nghiêm ngặt, nhằm ký giải các phương trình vi phân Nội dung của phần này được tham khảo từ các tài liệu [30, 16, 3] Xuyên suốt luận án, các vấn đề liên quan đến giao hoán, cận và các trường ưu cũng sẽ được sử dụng khổng lồ.
Tr÷íng vi ph¥n
CĂc khĂi niằm v k‚t quÊ trong phƒn n y ữổc tr…nh b y dỹa v o t i liằu [3]. ành nghắa 1.22 Cho R l mºt v nh Mºt ph†p ⁄o h m trản R l mºt Ănh x⁄
D : R ! R sao cho vợi mồi x; y 2 R thọa mÂn cĂc i•u kiằn
Nõi cĂch khĂc, D l mºt Ănh x⁄ cºng t‰nh v thọa mÂn quy t›c Leibniz.
Phân tích hàm số là một phần quan trọng trong toán học Để xác định tính chất của hàm số, chúng ta thường sử dụng định nghĩa và quy tắc cụ thể Cụ thể, nếu a(n) là giá trị của hàm tại n, thì a(0) = a và a(n) = D(a(n-1)) với n > 1 Định nghĩa này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các giá trị của hàm số Trong trường hợp R là một miền vi phân, thì cặp (R; D) có thể được coi là một miền vi phân.
N‚u khổng cõ sỹ nhƒm lÔn th… ta thữớng nõi R l mºt v nh (trữớng) vi ph¥n thay cho c°p (R; D).
V‰ dử 1.24 Mºt v nh bĐt ký l mºt v nh vi phƠn vợi ph†p ⁄o h m khổng, tức l ⁄o h m cıa mồi phƒn tò •u b‹ng 0.
V‰ dử 1.25 V nh cĂc a thức mºt bi‚n C[x] l mºt v nh vi phƠn vợi d ph†p ⁄o h m thổng thữớng dx xĂc ành nhữ sau: dx a i x i ! = ia i x i 1 : d X n X n i i=0 =0
V‰ dử 1.26 Cho (R; D) l mºt v nh vi phƠn V nh cĂc a thức mºt bi‚n R[x] l mºt v nh vi phƠn vợi ph†p ⁄o h m DxĂc ành nhữ sau:
X X i i=0 =0 tức l ph†p ⁄o h m ữổc thỹc hiằn b‹ng cĂch Ăp dửng ph†p ⁄o h m D lản tĐt cÊ cĂc hằ sŁ cıa a thức cıa R[x] Chflng h⁄n, x†t R = C[y] vợi ph†p ⁄o h m thổng thữớng d Khi õ ph†p ⁄o h m d trản C[y][x] dy dy
@ cụng ch‰nh l ph†p ⁄o h m riảng @y Tữỡng tỹ, trản v nh a thức C[x][y] ta cõ d =
Tł ành nghắa ta suy ra nhœng t‰nh chĐt ỡn giÊn sau cıa ph†p ⁄o h m.
Mằnh • 1.27 Cho (R; 0 ) l mºt v nh vi phƠn Khi õ
1 a 0 vợi mồi sŁ nguyản n 1 v vợi mồi a 2 R:
3 (a 1 ) 0 = a 0 vợi mồi a 2 R khÊ nghàch Tł õ suy ra a 2
(a n ) 0 = na n 1 (a) 0 vợi mồi sŁ nguyản n. a 0 ab ba
4 b = 0 0 , vợi mồi a; b 2 R v b khÊ nghàch. b 2 Chứng minh 1 Ta cõ 1 0 = (1 1) 0 = 1 0 1 + 11 0 = 1 0 + 1 0 : Suy ra 1 0 = 0: T÷ìng tü, 0 0 = (0 + 0) 0 = 0 0 + 0 0 : Suy ra 0 0 = 0.
2 Ta chứng minh quy n⁄p theo n nguyản dữỡng flng thức luổn úng vợi n = 1 GiÊ sò flng thức úng vợi n = k 1, tức l
3 Ta câ 0 = 1 0 = (a a 1 ) 0 = a 0 (a 1 ) + (a 1 ) 0 a Tł â suy ra
GiÊ sò n l mºt sŁ nguyản Ơm, ta cõ
= 0 0 : b b 2 ành nghắa 1.28 Cho (K; D) l mºt trữớng vi phƠn T“p hổp
C = fc 2 K j Dc = 0g l mºt trữớng con cıa trữớng K v ữổc gồi l trữớng cĂc h‹ng cıa K. ành nghắa 1.29 Cho (R; D) v (S; )
(S; ) l mºt mð rºng vi ph¥n cıa (R; D) v a Da vợi mồi a 2 R. l c¡c v nh vi ph¥n Ta nâi n‚u R l mºt v nh con cıa S
Mằnh • 1.30 Cho (R; D) l mºt mi•n nguyản vi phƠn v F l trữớng cĂc thữỡng cıa R Khi õ tỗn t⁄i duy nhĐt mºt ph†p ⁄o h m trản F sao cho (F; ) l mºt mð rºng vi phƠn cıa (R; D) Cử th”, n‚u x 2 F v x = a b vợi a; b 2 R , b
Trữớng C(x) là một hàm số được định nghĩa theo biến x, và nó thể hiện các thữỡng d của miền nguyản C[x] Việc sử dụng phép toán đạo hàm tổng quát cho các hàm số này cho phép chúng ta áp dụng các quy tắc đạo hàm một cách nhất quán, từ đó giúp phân tích và tính toán các hàm số phức tạp hơn.
Mằnh • 1.32 GiÊ sò L l mºt mð rºng ⁄i sŁ cıa mºt trữớng vi phƠn (K; D). Khi õ tỗn t⁄i duy nhĐt mºt ph†p ⁄o h m trản L mð rºng ph†p ⁄o h m trản K.
Cử th”, vợi mỉi 2 L, giÊ sò P (x) 2 K[x] l a thức tŁi ti”u cıa trản K Khi õ
= D (P)( ) ; dx P ( ) d d D l cĂc ph†p ⁄o h m ữổc ành nghắa trong V‰ dử 1.25 trong â v dx v V‰ dử 1.26.
V‰ dử 1.33 GiÊ sò l mºt nghiằm cıa a thức Y 2 x 2 C(x)[Y ], tức p d l bi”u di„n h m x Khi â câ duy nh§t mºt ph†p ⁄o h mdx mð d rºng ph†p ⁄o h m dx trản C(x) ” C(x)( ) l mºt mð rºng vi phƠn cıa C(x) v d dx = 2 1
Mằnh • 1.34 GiÊ sò (K; D) l mºt trữớng vi phƠn v t l siảu viằt trản
K Khi õ vợi mỉi w 2 K(t) tỗn t⁄i duy nhĐt mºt ph†p ⁄o h m trản K(t) sao cho t = w v (K(t); ) l mºt mð rºng vi ph¥n cıa (K; D). p dửng mằnh • trản cho C(x), ta suy ra r‹ng d l ph†p ⁄o h m dx duy nhĐt trản C(x) sao cho dc = 0 vợi mồi c 2 C v dx = 1. dx dx
Mằnh • 1.35 GiÊ sò (L; ) l mºt mð rºng vi phƠn cıa mºt trữớng vi phƠn (K; D) Khi â
1 N‚u c 2 L l ⁄i sŁ trản trữớng h‹ng C cıa K th… c l h‹ng.
2 N‚u c 2 L l h‹ng v c ⁄i sŁ trản K th… c ⁄i sŁ trản trữớng h‹ng C cıa K.
Chứng minh 1 GiÊ sò P (X) l a thức ỡn cỹc ti”u cıa c trản C ⁄o h m flng thức P (c) = 0 ta suy ra dP
V… ( D P ) = 0 v dx ( c) =6 0 nản c = 0 Do õ c l mºt h‹ng.
2 GiÊ sò P (X) = X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 l a thức ỡn cỹc ti”u cıa c trản K ⁄o h m hai v‚ flng thức P (c) = 0 v sò dửng giÊ thi‚t c = 0 ta suy ra
Do t‰nh cỹc ti”u cıa P (X) nản i•u n y xÊy ra khi mồi hằ sŁ Dan 1; : : : ;
Da 1 ; Da 0 •u b‹ng 0 V… v“y an 1; : : : ; a1; a0 l c¡c h‹ng cıa K.
Nghiằm cıa a thức vi phƠn
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa trên tài liệu [30] Cho K là một trường vi phân và y là một biến vi phân (differential indeterminate) trên K Xét dãy các kỳ hạn y = y₀; y₁; y₂; và dãy lỗng nhau của các biến đại số.
Mằnh • 1.36 K[y 0 ; y 1 ; y 2 ; :::; y n ] l mºt v nh Łi vợi cĂc ph†p toĂn
Phương trình liên quan đến các hàm số và biến thể của chúng Hơn nữa, dãy số [y0; y1; y2; :::; yn] được xác định bởi các giá trị y_i và y_{i+1} với mỗi i thuộc N Chú ý rằng, với mỗi p thuộc N, ta có y_p = y_0, và y_{p+1} = y(p) là hàm số cấp p của y_0 Như vậy, việc hiểu rõ về y_p chính là hiểu biết về hàm số cấp p của y.
S K[y 0 ; y 1 ; y 2 ; :::; y n ]; 0 ành nghắa 1.37 V nh vi phƠn ( ) ữổc gồi l n=0 f g v nh cĂc a thức vi phƠn, kỵ hiằu l K y
Mỉi phƒn tò cıa Kfyg ữổc gồi l mºt a thức vi phƠn, với cĐp cıa mºt a thức vi phƠn được xác định là cĐp cıa ⁄o h m cao nhĐt xuĐt hiằn trong a thức vi phƠn õ Mºt a thức vi phƠn F 2 Kfyg cĐp p cõ d⁄ng.
F = a m y p m + a m 1y p m 1 + + a 1y p + a 0 ; (1.3) trong õ a 0 ; a 1 ; : : : ; a m 2 Kfyg l cĂc a thức vi phƠn cõ cĐp khổng vữổt qu¡ p 1 v y p l ⁄o h m c§p p cıa y. a thức vi phƠn a m trong (1.3) ữổc gồi l hằ sŁ ƒu (initial) cıa F ,
@F kỵ hiằu l in(F ) a thức vi phƠn S = @y p ữổc gồi l tĂch (separant) cıa F ⁄o h m cĐp mºt cıa a thức vi phƠn F ữổc t‰nh nhữ sau
Khi õ cĐp cıa F 0 l p + 1, hằ sŁ ƒu cıa F 0 ch‰nh l l 1 nản tĂch cıa F 0 cụng l @F V“y tĂch cıa F
@y p mồi cĐp cıa F l nhữ nhau
F := (2xy + 3x)y 1 2 + 3y 1 2y 3x 2 C(x)fyg cõ hằ sŁ ƒu l 2xy + 3x v tĂch l S = @F = 2(2xy + 3x)y 1 + 3.
@y 2 1 ành nghắa 1.38 Cho L; d l mºt trữớng mð rºng vi phƠn cıa dx
K; dx Phƒn tò 2 L ữổc gồi l mºt nghiằm cıa a thức vi phƠn
F 2 Kfyg n‚u F ( ) = 0, ð Ơy F ( ) l phƒn tò cıa trữớng L nh“n ữổc b‹ng c¡ch thay y k bði ⁄o h m c§p k cıa
V‰ dử 1.39 a thức vi phƠn F := (y x)(y 1 1) 1 2 C(x)fyg nh“n p p
Rê r ng, n‚u l mºt nghiằm cıa a thức vi phƠn F 2 Kfyg th… cụng l mºt nghiằm cıa tĐt cÊ cĂc ⁄o h m cıa F Do õ l mºt nghiằm chung cıa cĂc a thức vi phƠn cõ d⁄ng
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm vi phân và các tính chất của chúng Đặc biệt, tập hợp các hàm vi phân có thể được xác định thông qua các điều kiện nhất định Cụ thể, cho một không gian R với phép toán 0, một tập hợp I được gọi là một tập hợp vi phân nếu với mọi phần tử a thuộc I, ta có a0 cũng thuộc I Việc nghiên cứu các hàm vi phân không chỉ giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của chúng mà còn có ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau.
V‰ dử 1.41 Trong v nh vi phƠn R vợi ph†p ⁄o h m khổng, mồi i ảan cıa
Trong không gian vector C[x]; dx, chỉ có hai điểm ảan vi phân là 0 và C[x] Mỗi điểm ảan của C[x] tương ứng với một điểm chính sinh bởi một hàm f(x) Nếu f(x) khác 0 và có bậc deg f(x) = n > 0, thì df df không thuộc fhi Do đó, hfi không thể là một điểm ảan vi phân cấp n-1, vì hfi là phần vi phân.
Mằnh là giao cắt của một họ các biến phân cực của v và biến phân cực R, trong đó R là một biến phân cực và là một tập con của R Giao cắt của R sinh ra, kỵ hiếu [ ], là giao cắt tất cả các biến phân cực của R.
R là một tập hợp, và các phần tử của R được định nghĩa bởi các hàm số trong không gian con Đặc biệt, hàm f g là một hàm liên tục trên R, với điều kiện f g = fA 2 R j 9n 2 N; A n 2 [] Điều này cho thấy rằng các hàm số này có mối liên hệ chặt chẽ với các phần tử trong R, tạo thành một cấu trúc toán học rõ ràng.
Trong trường hợp R = Kfyg l và nhắc đến các thức vi phân v = fF g, ta cần hiểu rằng fF g bao gồm một thức vi phân Điều này cũng giúp làm rõ fF g là một phần của vi phân côn sinh, từ đó tạo ra một phần tách của vi phân côn fF g Ảnh lỵ sau cho thấy rõ ràng trong hệ số vi phân, cho phép chúng ta xác định một phần tách của vi phân côn fF g Ảnh lỵ 1.46 ([30]) cho thấy F 2 Kfyg là một thức vi phân bắt khê quy.
Khi phân tích hàm fF g, ta có công thức fF g = (fF g : S) \ fF; Sg Trong đó, S là tập con của F và fF g : S là một phần nguyên tắc xác định Đặc biệt, fF g : S = fA 2 Kfyg j AS 2 fF gg Hơn nữa, I là một phần của Kfyg, và tập nghiệm của I trong một miền rộng rãi được xác định bởi phần L của K.
Mằnh • 1.48 Cho I v J l hai i ảan cıa Kfyg Ta cõ
Z(I) [ Z(J) = Z(I \ J) = Z(IJ); trong õ IJ l i ảan t‰ch cıa I v J.
Trong bài viết này, chúng ta khám phá các khái niệm liên quan đến các nghiệm của phương trình F = 0 Cụ thể, một nghiệm chung của F và S được định nghĩa là nghiệm ký duy nhất (singular solution) của phương trình Đồng thời, chúng ta cũng đề cập đến một dạng nghiệm tường quát (generic zero) của một hàm số, liên quan đến các yếu tố trong không gian Kfyg, nhằm tìm ra các nghiệm phù hợp trong hệ thống đó.
Mằnh • 1.51 Mồi i ảan vi phƠn nguyản tŁ } cıa v nh Kfyg •u cõ mºt nghiằm tŒng quĂt.
Chứng minh Gồi L l trữớng cĂc thữỡng cıa mi•n nguyản Kfyg=} Khi õ L l mºt mð rºng vi phƠn cıa K qua cĂc ỗng cĐu
Khi nói về phần tử y trong L, chúng ta đề cập đến một nghiệm tổng quát của phương trình F = 0 Nghiệm tổng quát này được biểu diễn bởi S, và nó là một phần quan trọng trong việc giải quyết các phương trình vi phân nguy hiểm.
Giả sử \( F = 0 \) và \( P \in K[x] \), ta có thể kiểm tra khi \( P \in F \) bằng cách sử dụng số dư giả vi phân (differential pseudo remainder) Số dư giả vi phân, ký hiệu là \( prem(P; F) \), là phần dư của phép chia đa thức \( P \) cho đa thức \( F \) Phép chia vi phân (differential pseudo division) cho phép xác định các mối quan hệ giữa các đa thức trong trường hợp này.
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả quan trọng liên quan đến lý thuyết hướng cong và sự hữu dụng của nó trong nghiên cứu Nội dung chính của phần này được tham khảo từ tài liệu [32] Định nghĩa 1.54 Cho F ∈ C[x, y] là một biểu thức hai biến Tập hợp
C(F ) = f(a; b) 2 C 2 jF (a; b) = 0g (1.4) l mºt ữớng cong ⁄i sŁ trản C. ành nghắa 1.55 Mºt ph†p tham sŁ hœu t cıa ữớng cong ⁄i sŁ F (x; y)
1 vợi hƒu h‚t t 0 2 C trł mºt sŁ hœu h⁄n i”m, ta cõ (x(t 0 ); y(t 0 )) 2 C(F);
2 vợi hƒu h‚t (x 0 ; y 0 ) 2 C(F ) trł mºt sŁ hœu h⁄n i”m, tỗn t⁄i t 0 2 C sao cho
(x(t 0 ); y(t 0 )) = (x 0 ; y 0 ): ành nghắa 1.56 Mºt ữớng cong ⁄i sŁ F (x; y) = 0 ữổc gồi l hœu t n‚u nâ câ ‰t nh§t mºt ph†p tham sŁ hœu t
Đường tròn có phương trình x² + y² = 1 là một đường cong, với tham số hóa được biểu diễn dưới dạng (x(t); y(t)) = (2t; t²) Đối với t ∈ [-1, 1], đường cong này đi qua điểm (0; 1) và không có giá trị nào của t có thể biểu diễn điểm (0; 1) một cách khác.
2 C(t) câ d⁄ng tŁi gi£n Khi â, x d (t) b“c cıa h m x(t), kỵ hiằu deg x(t), ữổc ành nghắa nhữ sau deg x(t) = maxfdeg xn(t); deg xd(t)g:
Chflng h⁄n, cho x(t) = x n (t) =3t 2 + t + 2001 2 C(t) Ta câ deg x n (t) x d (t) 5t 4 + t 3 9
2, deg x d (t) = 4, suy ra deg x(t) = maxfdeg x n (t); deg x d (t)g = 4: ành nghắa 1.58 Cho P (t) = (x(t); y(t)) l mºt ph†p tham sŁ hõa cıa mºt ữớng cong hœu t Khi õ ta gồi maxfdeg x(t); deg y(t)g l b“c cıa P (t), kỵ hiằu l deg(P (t)):
Chflng h⁄n, cho P (t) = (x(t); y(t)) = 2t t 2 1 2 C 2 (t) l mºt t 2 + 1 ; t 2 + 1 ph†p tham sŁ hõa cıa ữớng trặn cõ phữỡng tr…nh x 2 + y 2 = 1 Ta cõ
Trong bài viết này, chúng ta có hai hàm số x(t) = 2t² và y(t) = t², với bậc của x(t) và y(t) đều là 2 Do đó, bậc của đa thức P(t) được xác định là deg(P(t)) = max{deg x(t), deg y(t)} = 2 Phép tham số hóa hàm số (x(t), y(t)) của đường cong F(x, y) = 0 được gọi là thích hợp nếu tồn tại một t0 thuộc C sao cho (x0, y0) nằm trên đường cong.
(x(t 0 ); y(t 0 )) = (x 0 ; y 0 ). ành lþ 1.60 Cho P (t) = (x(t); y(t)) l mºt ph†p tham sŁ hœu t cıa ÷íng cong ⁄i sŁ F (x; y) = 0 Khi â P (t) l thüc sü n‚u v ch¿ n‚u deg(P (t)) = maxfdeg x F; deg y F g:
Ph†p bi‚n Œi Mobius
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày tác động của các phép biến đổi Mobius lên các phương trình vi phân cấp một Các kết quả trong phần này sẽ được tác giả trình bày trong bài báo [6].
Cho C(x) là trường vi phân các hàm mũ theo biến x với phương trình tổng quát dx = 0 Ký hiệu K là một miền rỗng trường hữu hạn của trường C(x) Khi đó, có duy nhất một phép toán hàm trán K mà miền rỗng phép.
⁄o h m 0 ” K trð th nh mºt trữớng vi phƠn Ta kỵ hiằu
AODE (1) K = fF (y; y 0 ) = 0 j F 2 K[y; w]g l t“p tĐt cÊ cĂc phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt trản trữớng K Mºt ph†p bi‚n Œi Mobius trản K l mºt h m hœu t cõ d⁄ng
M(u) = au + b ; cu + d trong â a; b; c; d 2 K v ad bc 6= 0 °t
(cu + d) 2 trong â A = a 0 c ac 0 , B = a 0 d ad 0 + b 0 c bc 0 , C = b 0 d bd 0 v
L÷u þ r‹ng A = 0 khi c = 0 ho°c c l h‹ng sŁ.
Tữỡng ứng vợi M(u) ta cõ mºt Ănh x⁄ hœu t M : K 2 99K K 2 ữổc ành nghắa bði
= u) v M l mºt ¡nh x⁄ song hœu thuºc d⁄ng n y (tữỡng ứng vợi t v nghàch Êo cıa nâ l ¡nh x⁄ song hœu t liản k‚t vợi M 1 (u) = du b , tức l cu + a
Ta cõ ngay mằnh • sau.
Mằnh 2.5 đề cập đến tập hợp G K (1) và các phép biến đổi song song tự động M, nhằm tạo ra một nhóm lý thuyết về các phép biến đổi song song Nhóm này bao gồm các phép biến đổi Mobius, tạo ra những ứng dụng thú vị trong lý thuyết nhóm và hình học.
Ti‚p theo, chúng tổi x†t mºt tĂc ºng cıa nhõm G K (1) lản t“p hổp
AODE (1) K v khÊo sĂt cĂc lợp tữỡng ữỡng cıa cĂc phữỡng tr…nh vi phƠn
⁄i sŁ cĐp mºt, °c biằt l lợp tữỡng ữỡng cıa cĂc phữỡng tr…nh vợi hằ
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các phương trình vi phân và cách chúng liên quan đến các phép biến đổi Mobius Những phương trình này có thể được sử dụng để xác định các tính chất của hàm số, đặc biệt là khi chúng có dạng phân thức Chúng ta cũng sẽ xem xét tác động của các phép biến đổi Mobius trong việc giải quyết các phương trình vi phân, giúp hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa các yếu tố trong hệ thống.
Bài viết này đề cập đến định nghĩa bậc tổng vi phân (differential total degree) của một phần tử trong AODE (1) K Theo định nghĩa 2.6, bậc tổng vi phân của hàm F trong AODE (1) K được xác định dựa trên các yếu tố liên quan đến hàm số và các tham số đi kèm.
F (y; y 0 ) = A 0 y 0m + A 1 y 0m 1 + + A m 1y 0 + Am; trong õ m 2 N , A i 2 K[y] vợi mồi i = 0; : : : ; m, A 0 6= 0 SŁ
F:= maxf2(m i) + degy Ai j i = 0; : : : ; mg ữổc gồi l b“c tŒng th” vi phƠn (differential total degree) cıa F
Nh›c l⁄i r‹ng b“c tŒng th” (total degree) cıa F ữổc ành nghắa bði d F := maxf(m i) + deg y A i j i = 0; : : : ; mg:
Vợi a thức vi phƠn bĐt khÊ quy F (y; y 0 ) = Q(x; y)y 0 P (x; y) ta cõ F maxf2 + deg Q; deg P g °c biằt, b“c tŒng th” vi phƠn cıa a thức vi ph¥n Riccati y 0 A(x)y 2 B(x)y C(x) b‹ng 2.
B“c tŒng th” vi phƠn cụng cõ t‰nh chĐt thổng thữớng cıa b“c tữỡng ứng vợi ph†p nhƠn cıa cĂc a thức vi phƠn, cử th” nhữ sau.
Mằnh • 2.7 Cho F; G 2 AODE (1) K khĂc khổng Khi õ F G = F + G.
Chứng minh GiÊ sò F = P i;j b ij y i y 0j v v khĂc khổng Khi õ
F G= maxf2(j + l) + i + k j b ij c kl 6= 0g maxf(2j + i) + (2l + k) j b ij c kl 6= 0g
= F + G :Mằnh • ữổc chứng minh. ành nghắa 2.8 TĂc ºng cıa nhõm G K (1) lản t“p hổp AODE (1) K ữổc ành nghắa bði
M F = ( cy + a) F (F ( M 1 (y; y 0 ))); au + b vợi mồi M 2 G K (1) xĂc ành bði M(u) = cu + d v vợi mồi F 2 AODE K (1) : CĂc t‰nh chĐt sauữổc suy ra trỹc ti‚p tł ành nghắa trản.
Tác động nhóm này ảnh hưởng đến mối quan hệ giữa các yếu tố trong tập hợp AODE (1) K Định nghĩa 2.10 cho rằng, với F và G thuộc AODE (1) K, ta nói F tương ứng với G nếu như tồn tại M thuộc G K (1) sao cho M F = G.
Quan hằ tữỡng ữỡng phƠn ho⁄ch t“p AODE (1) K th nh cĂc lợp tữỡng ữỡng.
Cõ vổ h⁄n cĂc lợp tữỡng ữỡng v mỉi lợp tữỡng ữỡng chứa vổ h⁄n cĂc phữỡng tr…nh tữỡng ữỡng vợi nhau Tł giớ trð i, khi nõi mºt lợp autonom cıa cĂc phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt cõ nghắa l mºt lợp tữỡng ữỡng cıa mºt ph÷ìng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ c§p mºt autonom n o â.
Tiếp theo, chúng tôi chứng tỏ rằng bậc tầng thứ vi phân là một đặc điểm quan trọng của mọi lớp tường, tức là các phương trình vi phân bậc thấp cũng có thể áp dụng cho một lớp cỏ bậc tầng thứ vi phân Sau đó, chúng tôi sẽ sử dụng kết quả này để đưa ra một chọn bậc cho một nghiệm vi phân của lớp autonom các phương trình vi phân bậc một.
Chứng minh 1 GiÊ sò M(y) 2 G K (1) GiÊ sò F l b“c tŒng th” vi phƠn ay + b cy + d Ta câ m
( cy + a) F A 0 dy b ( ad bc) m cy + a ( cy + a) 2m 6= 0 nản degy 0 G = m = degy 0 F:
2 X†t hằ sŁ cıa y 0m i ta cõ
~ ~ ~ @M (y) trong õ A; B; C l cĂc hằ sŁ cıa tò sŁ cıa @x
~ 2 ~ ~ 2 th… 0 k 2 Ta cõ cĂc trữớng hổp Gồi k = deg y (Ay + By + C) cıa c nh÷ sau:
N‚u c b‹ng 0 th… deg y A j (M 1 (y)) = deg y A j Do â degy( cy+ a F 2(m i) B (y) max f deg yA j + k(i j) F :
N‚u c kh¡c 0 th… deg y A j (M 1 (y)) = 0 Do â deg y ( cy +a ) F 2(m i) B i (y) 0 max j i f F 2(m i) + (k 2)(i j)g
Nhữ v“y cÊ hai trữớng hổp ta •u cõ deg y i 2f0 ; 1 ;:::;m g ndeg y ( + ) F
0 i m ) i( )g = F ành lỵ ữổc chứng minh.
Nhận xét 2.12 cho thấy rằng chúng ta có thể sử dụng tính chất thứ nhất và thứ ba của ảnh lũy 2.11, tuy nhiên cần kiểm tra hai phương trình vi phân có tương ứng qua tác động của nhóm n y khổng.
Mằnh • 2.13 Cho P (x; y) = a 0 y m +a 1 y m 1 + +a m 1 y+a m 2 C[x][y] v a; b; c; d 2 C[x]vợi ad bc 6= 0 GiÊ sò deg a i < n; i = 0; 1; : : : ; m v a; b; c; d l cĂc a thức b“c nhọ hỡn N Khi õ tò sŁ cıa P x; ay+b l mºt a thức theo x cõ b“c nhọ hỡn n + mN cy+d
(cy + d)m i=0 ai cy + d = i=0 ai(ay + b)m i(cy + d)i:
Ta câ deg a N; deg b N; deg(ay + b) N; deg(cy + d) N:
Do â deg ai(ay + b) m i (cy + d) i n + (m i)N + iN = n + mN:
Tł ành nghắa cıa ph†p bi‚n Œi song hœu t chúng ta thĐy r‹ng hƒu h‚t cĂc nghiằm cıa cĂc phữỡng tr…nh tữỡng ữỡng ữổc bi‚n Œi qua l⁄i vợi nhau.
Hằ quÊ 2.14 Cho F 2 AODE K (1) v M 2 G K (1) vợi M(u) = au + b
G = M F Khi õ mºt nghiằm khĂc d c cıa F = 0 ữổc bi‚n Œi th nh a mºt nghiằm cıa G = 0 v mºt nghiằm khĂc c cıa G = 0 ữổc bi‚n Œi th nh mºt nghiằm cıa F = 0.
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của bậc tầng thứ vi phân của các hàm thức vi phân cấp một Đầu tiên, chúng tôi sẽ đề cập đến tính chất tương thích của bậc Li với phép nhân hàm thức (Hình 2.7), tiếp theo là tính chất tương thích của tác động nhóm với phép hợp thành các ảnh xạ (Hình 2.9), và cuối cùng, chúng tôi sẽ khám phá tính chất bất biến của bậc tầng thứ vi phân dưới tác động của nhóm các phép biến đổi Mobius (Hình 2.11).
Nghiằm ⁄i sŁ cıa phữỡng tr…nh vi phƠn
Trong bài viết này, chúng tôi thiết lập một số tính chất bão tố nhằm cải thiện các phương trình vi phân cấp một thuộc một lớp tường ướng dữ dội của các phép biến đổi Mobius Đặc biệt, các nghiệm tường quát của lớp được bão tố Kết hợp với tính chất bất biến của bậc tường vi phân, chúng tôi đưa ra một chọn bậc mới cho nghiệm tường quát của phương trình vi phân cấp một thuộc một lớp tường ướng autonom Chúng tôi xuất một thuật toán tầm nghiệm tường quát của các phương trình thuộc lớp autonom Các kết quả của bài viết được công bố trong bài báo [6].
Nghiằm ⁄i sŁ
ành nghắa 3.1 Cho K l mºt trữớng vi phƠn v F 2 Kfyg l mºt a thức vi phƠn Mºt nghiằm ⁄i sŁ cıa F = 0 trản K l mºt nghiằm cıa F v ỗng thới l mºt phƒn tò ⁄i sŁ trản trữớng K.
Trong lu“n Ăn n y chúng tổi quan tƠm ‚n viằc t…m nghiằm ⁄i sŁ cıa phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt F (y; y 0 ) = 0 trản K.
Mằnh • 3.2 N‚u F 2 Kfyg l mºt a thức vi phƠn bĐt khÊ quy cĐp mºt th… mỉi nghiằm ký dà cıa F (y; y 0 ) = 0 l mºt nghiằm ⁄i sŁ Hỡn nœa, sŁ nghiằm ký dà cıa F (y; y 0 ) = 0 l hœu h⁄n.
Chứng minh rằng nếu F = 0 và S = 0, hoặc là một nghiệm của biểu thức của F (disc(F) = res(F; S; y0)), hoặc là một nghiệm của hàm số F F là một hàm vi phân cấp một, với disc(F) và in(F) là các hàm một biến theo y Từ đó, suy ra mỗi nghiệm ký dạo của F (y; y0) = 0 đều là một nghiệm của hàm số F, và các nghiệm ký dạo của F (y; y0) = 0 nhỏ hơn hoặc bằng deg y disc(F) + deg y in(F).
Mằnh • 3.3 Cho P (y) l a thức tŁi ti”u cıa mºt nghiằm ⁄i sŁ 2 L cıa F (y; y 0 ) = 0 trản K Khi õ, mồi 2 L thọa P ( ) = 0 •u l nghiằm ⁄i sŁ cıa F (y; y 0 )
Chứng minh V… P l a thức tŁi ti”u cıa nản l mºt nghiằm tŒng quĂt cıa hP i GiÊ sò F ( ) = 0, theo Mằnh • 1.53, ta cõ prem(F; P ) = 0.
Tł â suy ra S P k I P l F = Q 1 P 0 + Q 2 P , trong â P 0 l ⁄o h m cıa P , S P v
I P tữỡng ứng l tĂch v hằ sŁ ƒu cıa P Chú ỵ r‹ng, vợi thọa P ( ) = 0 ta cõ P
Trong lu“n Ăn n y, ta x†t K = C(x) v t…m cĂc nghiằm ⁄i sŁ cıa F (y; y 0 )
= 0 trản C(x) Thỹc ra viằc t…m mºt nghiằm ⁄i sŁ cıa F (y; y 0 ) = 0 l viằc t
Trong bài viết này, chúng ta xem xét a thức tŁi ti”u cıa nõ trản trữớng cỡ sð C(x) Chúng ta định nghĩa bĐt khÊ quy P (x; y) là một nghiằm ⁄i sŁ cıa F (y; y 0 ) = 0, có nghĩa là một trong các h m ⁄i sŁ y(x) xác định bởi P (x; y(x)) = 0, là một nghiằm cıa F (y; y 0 ) = 0 B“c cıa một nghiằm ⁄i sŁ ữổc hi”u là b“c cıa a thức tŁi ti”u xác định nghiằm ⁄i sŁ õ.
Phân tích cặn lãi của một số kết quả về nghiệm của phương trình vi phân bậc nhất tự động (tức là nghiệm tồn tại liên tục) trong bài báo của J M Aroca và các cộng sự đã cung cấp cái nhìn tổng quát cho các phương trình không tự động Để tìm nghiệm của phương trình vi phân bậc nhất tự động, ta cần tính nghiệm tổng quát của F(y; y') = 0 Một nghiệm của phương trình vi phân bậc nhất tự động F(y; y') = 0 được gọi là nghiệm tổng quát nếu deg_x P > 0.
Mằnh 3.5 trình bày một phương pháp để xác định quy cách của một hàm số, trong đó P(x; y) = 0 là một nghiệm của hàm F(y; y') Khi P(x + c; y) = 0, nó tạo ra một nghiệm tổng quát cho hàm số đó.
Chọn bậc sau lệnh cỡ số chính để ra mắt thuật toán toàn tâm nhằm cải thiện sự khổng tầm thường của phương trình vi phân đối với cấp một tự động.
GiÊ sò P 2 Q[x; y] l bĐt khÊ quy v mºt a thức bĐt khÊ quy trản Q
P (x; y) = 0 l mºt nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng cıa phữỡng tr…nh vi phƠn autonom F (y; y 0 ) = 0 Khi õ deg x P = deg y 0 F; degy P deg y F + deg y 0 F:
Hỡn nœa, P (x + c; y) = 0 l mºt nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa phữỡng tr…nh
F (y; y0) = 0 v ch°n b“c nhữ v“y l màn theo nghắa cõ th” ch¿ ra mºt phữỡng tr…nh vi phƠn autonom F (y; y 0 ) = 0 m ch°n b“c ð trản ⁄t ữổc d§u b‹ng.
V‰ dử 3.7 a) Cho phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt autonom
4 TĂch cıa F l S = @F (y; y 0 ) = 2y 0 , nghiằm ký dà cıa F = 0 l y = 9.
Nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa F = 0 l y = 1((x + c) 2 + 3(x + c)):
— ¥y P (x; y) = 1 2 ((x + c) 2 + 3(x + c)) y Suy ra deg x P = deg y 0 F = 2 v deg y P = 1 thọa mÂn
1 = deg y P deg y F + deg y 0 F = 1 + 2 = 3: b) ([2, Example 3.9]) Cho n > m > 0 v (m; n) = 1 °t
P (x; y) = yn xm l a thức bĐt khÊ quy Rê r ng P (x; y) = 0 l mºt nghiằm ⁄i sŁ cıa phữỡng tr…nh vi ph¥n ⁄i sŁ m m
F (y; y 0 ) = y n m y 0m = 0: nKhi â ta câ degy P = degy F + degy 0 F:
Mºt sŁ t‰nh chĐt bÊo to n cıa nghiằm
ành lỵ 3.8 Cho F; G 2 AODE (1) K v giÊ sò F G Khi õ F cõ mºt nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ n‚u v ch¿ n‚u G cõ mºt nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ.
Chứng minh GiÊ sò l mºt nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa F GiÊ sò tỗn
(1) ay + b t⁄i M 2 G K x¡c ành bði M(y) = cy + d sao cho G = M F Khi â F = M 1
Suy ra M( ) l mºt nghiằm ⁄i sŁ cıa G v… c + d 6= 0 M°t khĂc, giÊ sò H 2
AODE (1) K sao cho H( M ( ; 0 )) = 0, nghắa l M 1 H 2 AODE (1) K triằt tiảu t⁄i V… l mºt nghiằm tŒng quĂt cıa F nản
M 1 H 2 fF g : S F ; trong â S F l t¡ch (separant) cıa F Tł F = M 1 G ta suy ra S F
@y S G ( M ) = (cy + d) G 2 (ad bc)S G( M ) v do â ( M 1 H) S F 2 fF g hay l
Cho M tĂc ºng lản t‰ch ð trản, tł Mằnh • 2.9 ta suy ra HS G 2 fGg, tức l
H 2 fGg : S G Do õ M( ) l mºt nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa G
Rê r ng, ta ch¿ cƒn t‰nh mºt nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng cıa mºt phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt autonom Khi õ, ta cõ mºt nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa phữỡng tr…nh khi ta thay bi‚n x th nh x + c vợi h‹ng sŁ tũy ỵ c Sỹ tỗn t⁄i nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cõ t‰nh chĐt bÊo to n qua lợp tữỡng ữỡng cıa cĂc phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt CƠu họi tỹ nhiản ữổc °t ra l nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng cıa phữỡng tr…nh vi phƠn trong lợp autonom cĂc phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt ữổc hi”u nh÷ th‚ n o.
KhĂi niằm phữỡng tr…nh autonom cõ th” ữổc phĂt bi”u l⁄i dỹa v o Ănh x⁄ tành ti‚n T c nh÷ sau.
Mằnh • 3.10 F 2 AODE (1) K l autonom n‚u v ch¿ n‚u T c ? F = F vợi mồi c
Chứng minh rằng nếu F là hàm tự động, thì mọi hàm hằng số của F cũng là hàm hằng Để chứng minh, ta có F = F với mọi c ∈ C Ngược lại, giá trị T của F = F với mọi c ∈ C Giá trị a; (x) là một hàm hằng khác của F tương ứng với giá trị y = 0, tức là deg x a; (x) = k > 0 Nếu T của F = 0, thì hàm hằng của a thức hiển thị một cách đồng nhất Điều này cho thấy a; (x + c) a; (x) = 0 với mọi c ∈ C Do đó, a thức a; (x + c) a; (x) là một hàm bậc k theo c có giá trị hằng Điều này khẳng định rằng mọi hàm hằng của F đều là hằng số.
Ta thĐy r‹ng F 2 AODE (1) K thuºc mºt lợp autonom n‚u tỗn t⁄i M 2 G K (1) sao cho T c ? ( M F ) = M F; 8c 2 C; tức l
M 1 (Tc ? ( M F )) = F; 8c 2 C: ành nghắa 3.11 Cho F 2 AODE (1) K thuºc lợp autonom v M l mºt ph†p bi‚n Œi sao cho M F l autonom Mºt nghiằm ⁄i sŁ P (x; y) = 0 cıa F (y; y 0 ) = 0 trản C(x) ữổc gồi l khổng tƒm thữớng tữỡng ứng vợi M n‚u deg x (
Chó thường được sử dụng để kiểm tra các phương trình vi phân cấp một tự động và có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định các nghiệm của chúng Khi F(y; y0) = 0 là một phương trình vi phân cấp một trong lớp tự động, thì M là phép biến đổi sao cho M F = 0 cũng tự động Hơn nữa, P(x; y) = 0 là một nghiệm vi phân thường gặp của F(y; y0) = 0 tương ứng với M Nếu M1(Tc?(MP)) = 0, thì đó là một nghiệm tổng quát của phương trình F(y; y0) = 0 trong một không gian xác định.
Chứng minh rằng hàm số P(x; y) = 0 là một nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp một F(y; y') = 0 tương ứng với M Khi phương trình vi phân M F = 0 là tự động, thì cũng có một nghiệm của hệ phương trình vi phân M P = 0 Từ đó suy ra rằng T c ? (M P) = 0 là một nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân M F = 0.
Phương trình vi phân cấp một F(y; y₀) = 0 có nghiệm P(x; y) = 0, thể hiện mối quan hệ giữa các biến trong hệ thống Đặc biệt, nghiệm này thuộc lớp tự động, cho thấy sự tồn tại của các đường cong liên quan đến phương trình F(y; y₀) = 0 Khi đó, độ dốc của đường cong P(x; y) = 0 sẽ tương đương với độ dốc của đường cong F(y; y₀) = 0, phản ánh sự liên kết chặt chẽ giữa hai phương trình này trong việc mô tả hành vi của hệ thống.
Chứng minh rằng phương trình vi phân bậc nhất F(y; y') = 0 thuộc lớp tự động nản tồn tại một phép biến đổi song song M sao cho phương trình vi phân M F = 0 là tự động Khi M P = 0 là một nghiệm khổng tầm thường của phương trình M F = 0 Theo [2, Lemma 3.5], nghiệm của M P = 0 bằng nghiệm của M F = 0 Do M là một phép biến đổi song song nản, nghiệm của P(x; y) = 0 và nghiệm của F(y; y') = 0 là bằng nhau.
Mºt ch°n b“c cho nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ
Theo [2, Theorem 3.4 v Theorem 3.8], b“c cıa mºt nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng cıa mºt phữỡng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt autonom
F (y; y 0 ) = 0 là một lựa chọn Chúng ta cần tìm ra một chọn bậc mới cho nghiềm tœng quát về sự cường độ của một phương trình vi phân cấp một trong lớp tường ướng autonom của nó Ở đây, khi nói bậc của một nghiềm vi phân, chúng ta hiểu là bậc của thức tối tiểu của nó trong trường hợp cỡ số Kết quả cho thấy
Mục tiêu của bài viết này là nghiên cứu ảnh hưởng của một mô hình AODE (1) đến giá trị tồn tại của M 2 GK (1) Để đạt được điều này, cần xác định các điều kiện sao cho F là một hàm phức tạp với tính chất tự động Khi đó, bậc của một nghiệm tổng quát sẽ ảnh hưởng đến giá trị của F (y; y') = 0 trong không gian K và chọn lựa các trảng bồi.
Để chứng minh rằng nếu K = C(x) và M(y) = ay + b, trong đó a, b, c, d nhọ hơn N, thì bậc theo x của a thức tối ưu của nghiệm F(y; y 0) = 0 nhọ hơn deg y 0 F + N(F + deg y 0 F) Theo định lý 2.11, ta có deg y 0 G = deg y 0 F và deg y G F.
Giả sử Q(x; y) là một thức bất đẳng thức của một nghiệm đại số không thường y của phương trình G(y; y₀) = 0 trên C(x) Khi G(y; y₀) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một tự động, theo [2, Định lý 3.8] suy ra rằng deg_x Q = deg_y₀ G và deg_y Q deg_y G + deg_y₀ G F + deg_y₀ F: (3.1).
Rê r ng M 1 (^y) l mºt nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng cıa F = 0 GiÊ sò M(y) = ay + b Khi õ cy + d (cM 1 (^y) + d) deg y Q Q(x; M(M 1 (^y))) = 0:
Suy ra M 1 (^y) là một nghiêm cấm của a thức (cy + d) với Q Q(x; M(y)) Điều này có nghĩa là M 1 (^y) là một phần tử trong không gian K với bậc khổng quĂ Theo công thức (3.1), M 1 (^y) cũng được xác định là một phần tử trong không gian K với bậc khổng quĂ (F).
+ deg y 0 F ) V… b“c cıa mºt nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng v b“c cıa mºt nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa G = 0 b‹ng nhau nản phƒn ƒu cıa ành lỵ ữổc chứng minh.
Với biểu thức V… deg x Q = deg y 0 G = deg y 0 F v deg y Q F + deg y 0 F, ta có thể suy ra bậc theo x của một hàm số liên quan đến sự biến thiên của phương trình vi phân Cụ thể, nếu F(y; y 0) = 0 thì bậc y 0 F sẽ nhỏ hơn tổng bậc y 0 F và số hạng N(F + deg y 0 F) Phần chứng minh cho điều này sẽ được trình bày trong phần sau.
Lưu ý rằng phương trình vi phân bậc cao của một hệ thống tự động có thể được xác định bởi độ bậc của F = 0 và các thành phần bậc thấp hơn Khi phân tích các phương trình vi phân bậc cao, chúng ta cần chú ý đến mối quan hệ giữa độ bậc và các yếu tố ảnh hưởng Điều này cho thấy rằng việc lựa chọn bậc của phương trình cần được cân nhắc kỹ lưỡng, đặc biệt là khi áp dụng cho các hệ thống phức tạp hơn, nơi mà các phương trình tự động có thể có độ bậc lớn hơn.
Chúng tôi đã xuất thuật toán tình nghĩa tăng quát đối với sự phát triển của phương trình vi phân cấp một trong lớp autonom Việc này giúp cải thiện và phát triển phương trình vi phân cấp một trong các hệ thống tự động, từ đó nâng cao khả năng ứng dụng và tính chính xác của các phương trình này.
Input: F 2 K[y; y 0 ], deg y F > 0; deg y 0 F > 0, M(y) = ay + b cy + d ”
Output: T‰nh nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa F = 0 n‚u cõ.
1 Sò dửng Thu“t toĂn 4.4 trong [2] ” t‰nh mºt nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng cıa M F N‚u M F khổng cõ nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng th… k‚t lu“n F = 0 khổng cõ nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ
2 N‚u Q(x; y) = 0 l nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm thữớng cıa M F = 0 nh“n ữổc tł bữợc 1 th…
( cy + a) deg y Q Q(x + C; M 1 (y)) = 0 l mºt nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa F = 0 vợi C l h‹ng sŁ tũy ỵ.
V‰ dử 3.15 X†t phữỡng tr…nh khổng autonom
Ta câ F = 7 °t M(y) = xy 1: Bi‚n Œi M bi‚n ph÷ìng tr…nh
F (y; y 0 ) = 0 th nh ph÷ìng tr…nh
G(y; y 0 ) = M F = x 7 [(1 2y 3 +4y 2 )y 02 +( 2y 5 8y 2 +8y)y 0 +4 y 4 4y] = 0; v phữỡng tr…nh n y tữỡng ữỡng vợi phữỡng tr…nh autonom
Ta ki”m tra ữổc phữỡng tr…nh G(y; y 0 ) = 0 cõ nghiằm ⁄i sŁ khổng tƒm th÷íng
Do õ, nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa G(y; y 0 ) = 0 l
Q(x + c; y) = (x + c)y2 y + (x + c)2 + 1 = 0; vợi c l h‹ng sŁ tũy ỵ a thức
M 1 Q(x + c; y) = Q (x + c; xy 1) =(cx 2 + x 3 )y 2 + ( 2xc 2x 2 x)y + x 2 + c + x + 2 + 2xc + c 2 l a thức tŁi ti”u cıa nghiằm tŒng quĂt ⁄i sŁ cıa F (y; y 0 ) = 0.
Chó þ r‹ng ÷íng cong ⁄i sŁ M 1 Q(x + c; y) = 0 câ giŁng b‹ng 1, còng giŁng vợi ữớng cong ⁄i sŁ F (y; y 0 ) = 0 Trong v‰ dử n y, b“c cıa nghiằm tŒng qu¡t ⁄i sŁ l 2 v ch°n b“c l deg y 0 F + F = 2 + 7 = 9.
Chú ỵ 3.16 Trong Thu“t toĂn 1, chúng tổi giÊ thi‚t r‹ng F (y; y 0 ) = 0 l tữỡng ữỡng vợi mºt phữỡng tr…nh autonom qua ph†p bi‚n Œi M
Vấn đề xác định liệu F(y; y') = 0 có tương ứng với một phương trình tự động hay không là một câu hỏi quan trọng trong lĩnh vực toán học Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề này khi biết rằng hàm giá trị F(y; y') = 0 là một phương trình tham số hữu tỉ.
Trong bài viết này, chúng tôi thiết lập một số tính chất bão tồn liên quan đến nghiêm cứu của phương trình vi phân đối với dữ liệu tác động của nhóm các phép biến đổi Mobius Cụ thể, chúng tôi chứng minh tính chất bão tồn nghiêm ngặt đối với dữ liệu (hình 3.8); đề xuất cách xác định một nghiêm ngặt đối với dữ liệu từ một nghiêm ngặt khổng lồ thường của một phương trình vi phân đối với dữ liệu cấp một thuộc lớp tựa tựng (hình 3.12); chứng minh rằng đường cong đối với dữ liệu xác định nghiêm ngặt bằng đường cong tương ứng với phương trình vi phân nếu phương trình vi phân thuộc lớp tựa tựng (hình 3.13); và đưa ra một chọn bậc mới cho nghiêm ngặt tăng quát đối với dữ liệu của một phương trình vi phân cấp một thuộc lớp tựa tựng (hình 3.14) Cuối cùng, chúng tôi xuất một thuật toán (Thuật toán 1) tìm nghiêm ngặt tăng quát đối với dữ liệu của một phương trình vi phân cấp một thuộc lớp tựa tựng.
Sü t÷ìng ÷ìng cıa c¡c ph÷ìng tr…nh vi phƠn ⁄i sŁ cĐp mºt tham sŁ hœu t ữổc
Cho K là một mảnh rỗng hữu hạn của trường vi phân C(x) Tập hợp các phương trình vi phân hữu tỉ dạng y' = R(x; y), trong đó R(x; y) là hàm hữu tỉ theo y với hệ số thuộc K, là những đường cong của các phép tịnh tiến K, tức là các phép biến đổi Mobius với a, b, c, d thuộc K và ad - bc ≠ 0 Trong trường hợp này, chúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn kiểm tra sự tồn tại của các phương trình vi phân dạng y' = P(x; y) với P là một hàm hữu tỉ theo y và hệ số thuộc K Từ đó, chúng tôi đưa ra một điều kiện cần và một điều kiện đủ để kiểm tra sự tồn tại giữa các phương trình vi phân hữu tỉ có sự cấp một tham số hữu tỉ (tức là dạng đường cong bằng 0).
Phữỡng tr…nh vi phƠn a thức
B§t bi‚n vi ph¥n qua ph†p bi‚n Œi y = z + b
Phữỡng tr…nh (4.1) ữổc bi‚n Œi th nh z 0 = An(x)z n + An 1(x)z n 1 + + A 1(x)z + A0(x); (4.2) trong â
Vợi i = 1, : tł phữỡng tr…nh thứ hai cıa hằ ta suy ra b = A n 1 a n 1 : nan
Th‚ b v o (n 2) phữỡng tr…nh ti‚p theo, ta ữổc, vợi mồi 2 i n 1,
K‚t hổp cĂc hằ sŁ cıa cĂc ỡn thức ỗng d⁄ng v chú ỵ r‹ng i n i 1 n n 1 n i n k k i k 1 k 1 i 1 k 1 (k 1) k i
+ a n 2: a n a n ành lỵ sau Ơy cho chúng ta mºt cổng thức cıa A n i m khổng cõ sỹ xuĐt hiằn cıa nhœng h⁄ng tò trºn, tức l nhœng h⁄ng tò chứa ỗng thới A n
1 v a n 1 ành lỵ 4.1 Vợi mồi 2 i n 1, ta cõ i 1 n j
Chúng ta sẽ chứng minh cổng thức bằng phương pháp quy nạp theo i, với i = 2 làm ví dụ cụ thể Cổng thức này áp dụng cho trường hợp i = 2, trong khi đó, giá trị cổng thức còn lại sẽ được xác định cho trường hợp i = 1 Để làm rõ hơn, với mỗi k và i = 1, ta có thể biểu diễn k bằng n và j.
Thay a n k 1 v o h⁄ng tò n 1 n 1 cıa (4.5), ta thu ữổc a n i 1 i 1 n i i n ! a n i 1 k 1(k 1) A n i k 1 a n k k=2 k i 1
=j °t l = k j, ta câ th” vi‚t l⁄i tŒng k†p sau theo j v l: i 1 k
Th‚ ( 1) n i an i 1 v o ph÷ìng tr…nh (4.5) th… k=2X tŒng k†p bà triằt tiảu v thu ữổc i 1 n j
X j X j ành lỵ ữổc chứng minh. ành lþ 4.2 Ta câ n ( 1) j
1 v o ph÷ìng tr…nh cuŁi còng cıa (4.3), na n ta thu ữổc
A j k a k a j a j a n ja na n 0 na n 0 j=0 k=0 nj anj j=0 nj
X j n k (k 1) n k j j a n k j 1 a n j a n j 1 nản khi thay a n k 1 v o h⁄ng tò n 1 n 1 , ta thu ữổc a n i 1 n 1( 1) k+1 (k 1) n k An n
Th‚ tŒng k=2 n n a n n 1 trð l⁄i ph÷ìng tr…nh (4.7) th… bà triằt tiảu v ta thu ữổc tŒng k†p P
V“y ành lỵ ữổc chứng minh.
B§t bi‚n vi ph¥n qua ph†p bi‚n Œi z = aw
Phữỡng tr…nh (4.2) ữổc bi‚n Œi th nh w 0 a x w n a x w n 1 a x w a x ;(4.8)
B‹ng cĂch khò a, ta suy ra mºt hằ phữỡng tr…nh cĂc bĐt bi‚n sau
: Nh“n x†t 4.3 ” ph÷ìng tr…nh (4.2) bi‚n Œi th nh ph÷ìng tr…nh (4.8) qua ph†p bi‚n Œi z = aw th… hằ sŁ a ữổc xĂc ành bði a~ n = A n a n 1
Nhữ v“y, nõi chung a thuºc mºt mð rºng ⁄i sŁ cıa trữớng chứa cĂc hằ sŁ a~ n v A n
B§t bi‚n vi ph¥n qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b
Nhữ Â phƠn t‰ch ð trản, ph†p bi‚n Œi y = aw + b ữổc phƠn t‰ch th nh hổp cıa hai ph†p bi‚n Œi ỡn giÊn hỡn l y = z + b v z = aw Kỵ hiằu a
= (a 0 ; a 1 ; : : : ; a n ), A = (A 0 ; A 1 ; : : : ; A n ), ~a = (~a 0 ; a~ 1 ; : : : ; a~ n ) l cĂc bº hằ sŁ trong cĂc ph†p bi‚n Œi th nh phƒn Khi õ ta cõ hai t“p hổp cĂc bĐt bi‚n nhữ sau:
1 T“p hổp cĂc bĐt bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi y = z + b:
2 T“p hổp cĂc bĐt bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi z = aw:
Ta s‡ k‚t hổp cĂc bĐt bi‚n n y ” suy ra cĂc bĐt bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi hổp th nh.
M°t kh¡c, ta câ c¡c b§t bi‚n I i (A) = I i (a), A n = a n , J i (A) = J i (~a) Tł õ suy ra, vợi 2 i n
V… v“y ta t…m ữổc mºt t“p cĂc b§t bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi y = aw + b, õ l , vợi mồi i = 2; : : : ; n 2; 0 a n i + 1
” k‚t hổp vợi cĂc bĐt bi‚n trong ph†p bi‚n Œi z = aw, ta x†t bĐt bi‚n
Tł õ ta nh“n ữổc mºt bĐt bi‚n nœa cıa ph†p bi‚n Œi y = aw + b, õ l K 1 (a):
Ti‚p theo ta t…m bĐt bi‚n dỹa v o I 0 (A) Vợi n 3, ta cõ
L“p lu“n tữỡng tỹ ta nh“n ữổc mºt bĐt bi‚n nœa cıa ph†p bi‚n Œi y = aw + b, â l
K0(a) := an n 1 I0(a); n 3: ành lỵ 4.4 Vợi n 3, hai phữỡng tr…nh vi phƠn a thức (4.1) v (4.8) l t÷ìng ÷ìng qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b n‚u v ch¿ n‚u
Chứng minh i•u kiằn cƒn cıa ành lỵ ữổc suy ra tł cĂc t‰nh toĂn ð trản.
Ta ch¿ cƒn chứng minh phƒn Êo GiÊ sò cĂc bĐt bi‚n ữổc thọa mÂn. Gồi 1 v 1 l cĂc phƒn tò thọa mÂn cĂc phữỡng tr…nh
Khi áp dụng biến đổi y = 1u + 1 biến phương trình (4.1), ta có được u0 = un + an2un2 + a1u + a0, trong đó an i = Ki(a); (2i n 2); a1 = K1(a); a0 = K0(a) Tương tự, với b2 và b2 sao cho 1 = a~n2n1; 0 = a~nn2 + a~n1 và áp dụng biến đổi y = 2u + 2 biến phương trình (4.8), ta có u0 = un + bn2un2 + b1u + b0, với bi = Ki(~a); (2i n 2); b1 = K1(~a); b0 = K0(~a) Từ các biến đổi này, ta suy ra các phương trình (4.1) và (4.8) được biến đổi và còn một phương trình trung gian Do đó, hai phương trình này liên kết với nhau qua phép biến đổi y = 1w +.
Tł chứng minh ành lỵ trản chúng ta cõ ngay hằ quÊ sau.
Hằ quÊ 4.5 Phữỡng tr…nh vi phƠn a thức (4.1), vợi n 3, l tữỡng ữỡng vợi d⁄ng chu'n t›c sau u 0 = u n + K n 2(a)u n 2 + + K 1(a)u + K 0 (a); qua ph†p bi‚n Œi y = 1u + 1 vợi 1 n 1 = 1 ; 1= a n 1 :
Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Riccati
Trong phƒn n y chúng tổi i t…m bĐt bi‚n cıa phữỡng tr…nh Riccati Łi vợi ph†p bi‚n Œi y = aw + b Vợi n = 2, ta cõ
2 2 2 2 l mºt bĐt bi‚n Łi vợi ph†p bi‚n Œi y = z + b Do õ
=A 0 A 2 4A 1 + A 2 + A2 1 + A 2 cụng l mºt bĐt bi‚n Łi vợi ph†p bi‚n Œi y = z + b V…
4 a 2 2 a 2 l mºt bĐt bi‚n cıa phữỡng tr…nh Riccati y 0 = a 2 y 2 + a 1 y + a 0 Łi vợi ph†p bi‚n Œi y = aw + b.
Düa vào bài toán kiểm tra sự tồn tại của hai phương trình vi phân Riccati, chúng ta xem xét trường hợp n = 2 Hai phương trình vi phân Riccati (4.1) và (4.8) được xác định thông qua phép biến đổi y = aw + b, trong đó a và b là các tham số cần thiết.
Chứng minh i•u kiằn cƒn ữổc suy ra tł l“p lu“n ð trản Ngữổc l⁄i, °t a = a~ 2 ; b = 1 (~a 1 a 1 + a 0 ): a a
V… K 0 (a) = K 0 (~a) nản ta suy ra a~ 0 = a (a 2 b sŁ a~ 2 ; a~ 1 ; a~ 0 l cĂc hằ sŁ cıa phữỡng tr…nh vi phƠn Riccati nh“n ữổc qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b:
V‰ dử 4.7 Hai phữỡng tr…nh vi phƠn trong [15] (danh mửc cĂc phữỡng tr…nh vi ph¥n cıa Kamke) no:1:140 : y 0 = y 2 4 y 2 v x 2 x no:1:165 : y 0 = 1 y 2 + 4x + 1 y 4
2x 2 x 2x 2 x 2x 1 l t÷ìng ÷ìng bði v… chóng câ còng b§t bi‚n vi ph¥n
1 ph†p bi‚n Œi ữổc xĂc ành y = aw + b vợi a = 2x 2
Chú ỵ 4.8 Trong nghiên cứu của Czy zycki và các đồng tác giả, họ đã phân tích các phương trình Riccati dưới tác động của một số nhóm con Nghiên cứu này tập trung vào các phép biến đổi liên quan đến phương trình Riccati, nhằm làm rõ mối liên hệ giữa các biến số trong hệ thống.
Trð l⁄i vợi phữỡng tr…nh Riccati y 0 = a 2 y 2 + a 1 y + a 0 , b‹ng ph†p bi‚n Œi y = aw + b vợi
1 1 a 0 a = v b = (a 1 + 2 ) a 2 2a 2 a 2 phữỡng tr…nh Riccati  cho ữổc bi‚n Œi v• d⁄ng chu'n t›c hœu t
Tł õ ta cõ ngay mằnh • sau.
Mằnh • 4.9 Phữỡng tr…nh vi phƠn Riccati tữỡng ữỡng vợi phữỡng tr…nh vi ph¥n autonom qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b n‚u v ch¿ n‚u b§t bi‚n vi
N‚u K 0 (a) l mºt h‹ng sŁ th… nghiằm cıa phữỡng tr…nh Riccati cõ th” t…m ữổc b‹ng phữỡng phĂp tĂch bi‚n:
~ vợi C l mºt h‹ng sŁ tũy ỵ Cử th”, n‚u K 0 (a) = 0 th… phữỡng tr…nh
Riccati w 0 = w 2 cõ nghiằm tŒng quĂt hœu t l w = 1 : x + C
~ 0 N‚u K 0 (a) l mºt h‹ng sŁ khĂc khổng th… phữỡng tr…nh w cõ nghiằm tŒng quĂt liouville khổng⁄i sŁ trản C(x): p ~ q ~ 1 + e 2 p K 0 (a)x w = K 0 ( a ) ~ :
Nếu K 0 (a) không là hằng số, phương trình Riccati được xác định bởi C(x) có thể tìm nghiệm thông qua thuật toán Kovacic (J Kovacic 1986, [17]) Chú ý rằng mỗi nghiệm đều quan trọng!
Phương trình Riccati w' = w² + r(x) tương ứng với nghiệm y = e của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai y'' + r(x)y = 0 Dựa vào lý thuyết Galois vi phân, Kovacic chứng minh rằng bậc nhỏ nhất của các nghiệm thuộc lớp C(x) của phương trình Riccati w' = w² + r(x), với r(x) thuộc C(x), có thể là 1, 2, 4, 6 hoặc 12.
Chó 4.10 trình bày về sự phân loại nhâm Galois liên quan đến phương trình vi phân bậc 2 Theo F Ulmer (1996) và kết quả từ [33, Corollary 1.7], bài viết đề cập đến các bậc có thể có của các nghiệm đối với phương trình Riccati w' = w² + r(x).
Chú ỵ 4.11 liên quan đến các hàm số của thức tối tiểu của các nghiệm phi tuyến A Zharkov (1995) đã chứng minh rằng nếu phương trình Riccati có dạng \( w_0 + w_2 = r \), với \( r \) là hàm số \( Q(x) \), thì tồn tại một nghiệm phi tuyến xác định nghiệm của các hàm số này trong một miền rộng của trường \( Q \) với bậc tối thiểu là 3.
Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Abel
Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Abel lo⁄i mºt câ d⁄ng y 0 = a 3 y 3 + a 2 y 2 + a 1 y + a 0 (4.12) trong â a i 2 K Ph÷ìng tr…nh vi ph¥n Abel lo⁄i hai y 0 = a
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các phương trình Abel, bắt đầu với dạng đơn giản nhất là phương trình bậc nhất: \(y + b_0 = v\) Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các phương trình Abel và phương pháp biến đổi để giải quyết chúng Chúng ta sẽ xem xét cách thức áp dụng các phép biến đổi này vào các phương trình Abel thay vì chỉ tập trung vào phép biến đổi Möbius.
Qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b, phữỡng tr…nh Abel (4.12) ữổc bi‚n Œi th nh w 0 = a~ 3 w 3 + a~ 2 w 2 + a~ 1 w + a~ 0 , trong â
Trong mục 4.1, chúng ta nghiên cứu các biến vi phân của phương trình vi phân bậc n Phương trình có dạng y'' = a_n y^n + a_{n-1} y^{n-1} + + a_1 y + a_0, và với tác giả dạng của phép biến đổi y = aw + b, kết quả khi n = 3 cho phép chúng ta suy ra các biến vi phân của phương trình Abel.
Hằ quÊ 4.12 Hằ cĂc bĐt bi‚n vi phƠn cỡ sð cıa phữỡng tr…nh Abel l
Chúng tôi sẽ kiểm tra sự tương đồng giữa hai phương trình vi phân Abel Bài viết này sẽ cung cấp cái nhìn sâu sắc về các đặc điểm và ứng dụng của hai phương trình này, giúp độc giả hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa chúng.
Hằ quÊ 4.13 Hai phữỡng tr…nh vi phƠn Abel y 0 = a 3 y 3 +a 2 y 2 +a 1 y+a 0 v w 0 = a~ 3 w 3 + a~ 2 w 2 + a~ 1 w + a~ 0 l t÷ìng ÷ìng qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b
Chứng minh i•u kiằn cƒn cıa ành lþ l c¡c b§t bi‚n Ngữổc l⁄i, ta °t s a = a~ 3 v b = 1 a 3 3a 3
K 0 (a~) nản ta suy ra a~ 1 = 1 ( a 0 + (2a 2 b + 3a 3 b 2 + a 1 )a) v a~ 0 = 1 ( b 0 + a a a 3 b 3 + a 2 b 2 + a 1 b + a 0 ): CĂc hằ sŁ a~ 0 ; a~ 1 ; a~ 2 ; a~ 3 l cĂc hằ sŁ cıa phữỡng tr…nh Abel ữổc bi‚n Œi qua ph†p bi‚n Œi y = aw + b.
V‰ dử 4.14 X†t cĂc phữỡng tr…nh vi phƠn Abel dt = (t + x 1)((t + x) 2 5(t + x) + 7) dx
Theo Hằng quế 4.12, ta tính các biến K2(a) = 0 và K0(a) = 0 Dựa vào Hằng quế 4.13, các phương trình này là tương ứng qua phép biến đổi Œi t = s x + 1 Cần lưu ý rằng phép biến đổi Œi t tương ứng này không phải là duy nhất, vì còn tồn tại phép biến đổi Œi biên t = s + 3 x cũng thỏa mãn yêu cầu.
Trong bài viết này, chúng ta chứng minh rằng các hàm số a và b của phép biến đổi y = aw + b phụ thuộc một cách rõ ràng vào trường hàm số K xác định các phương trình Abel Tiếp theo, chúng ta tìm các dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân Abel khi cho phép các phép biến đổi xác định trần mực rộng hơn của trường có sẵn Chúng ta có thể đưa ra phương trình Abel và dạng chuẩn tắc sau: w₀ = w₃ + K₁(a)w + K₀(a): (4.17) a²₁.
Chứng minh Ta chồn b = 3a 3 ” a~ 2 = 0 v chồn a = p a 3 ” a~ 3 = 1. Khi â ph†p bi‚n Œi y = aw + b bi‚n Œi ph÷ìng tr…nh Abel (4.12) th nh w 0 = w 3 + K 1 (a)w + K 0 (a):
Chó 4.16 Nêu K0(a) và K2(a) là các không gian hình thành từ các phương trình Abel, chúng tương ứng với một phương trình vi phân tự động Khi đó, ta có thể tách phân phương trình bằng phương pháp tách biến.
Chó þ 4.17 N‚u K0(a) = 0 th… ph÷ìng tr…nh (4.17) l mºt ph÷ìng tr…nh
Phương trình Bernoulli cho phép chúng ta biến đổi phương trình động lực học bằng cách sử dụng công thức \( u = w^2 \) Thông qua phương trình này, chúng ta có thể tách biệt phương trình Bernoulli thành các thành phần riêng biệt, từ đó hiểu rõ hơn về nguyên lý hoạt động của nó trong cơ học chất lỏng.
Để áp dụng phương trình Abel và sử dụng chuẩn tắc (4.17), chúng ta cần xác định các biên giới chính xác cho mặt phẳng rộng bậc hai của trường cỡ s Nếu chỉ xét các biên giới chính xác cho trường cỡ s, sẽ có hai dạng chuẩn tắc khác nhau cho phương trình Abel theo K 0 (a) = 0.
K 0 (a) 6= 0. ành lþ 4.18 Câ hai d⁄ng chu'n t›c hœu t kh¡c nhau cıa ph÷ìng tr…nh Abel:
3a 3 hai trữớng hổp nhữ sau:
• Trữớng hổp K0(a~) = 0, v… a~3 6= 0 nản ta phÊi cõ a~0 = 0 Chồn a = 1, khi õ a~ 3 = a 3 v a~ 1 = a 1 1 a 2 2 Trong trữớng hổp n y, ph†p a 2 3 a 3 bi‚n Œi y = w bi‚n Œi (4.12) th nh d⁄ng chu'n t›c hœu t
1 a 3 0 1 a 2 2 K 0 (a~) 0 K 0 (a~) 0 v a~ 1 = a 1 +2 a 3 3 a 3 K 0 (a~) = K 2 (a~) K 0 (a~) Trong tr÷íng hổp n y, ph†p bi‚n Œi y = K 0 ( a ~) w a 2 bi‚n Œi (4.12) th nh d⁄ng p a 3 3a 3 chu'n t›c hœu t w 0 = a~ 3 w 3 + a~ 1 w + 1: ành lỵ ữổc chứng minh.
Chú ỵ 4.19 Vợi cĂc ph†p bi‚n Œi d⁄ng x = (t); y(x) = a(t)w(t) + b(t); trong [1], P Appell (1889) ¢ ÷a ra mºt d⁄ng chu'n t›c cıa ph÷ìng tr…nh
Abel l w 0 = w 3 + J(t) v J(t) l mºt b§t bi‚n cıa ph†p bi‚n Œi N‚u J(t) khổng l h‹ng sŁ th… viằc t…m nghiằm cıa phữỡng tr…nh Abel d⁄ng chu'n t›c n y l khổng ỡn giÊn.
Nghiên cứu về sự tồn tại của hai phương trình Abel đã được thực hiện thông qua phép biến đổi của E S Cheb-Terrab và các cộng sự Tuy nhiên, phép biến đổi này không chỉ đơn thuần là một công cụ mà còn mang lại những ý nghĩa sâu sắc trong việc giải quyết các bài toán phức tạp.
Phương trình vi phân cấp một tham số hữu tỉ có dạng F(y; y') = 0, trong đó C(x) được gọi là tham số hữu tỉ, nếu đường cong cấp một tương ứng F(y; y') = 0 là hữu tỉ.
C¡c k‚t qu£ trong Phƒn 1.3 v• c¡c ph†p tham sŁ hœu t thüc sü s‡ ữổc sò dửng thữớng xuyản, °c biằt l ành lỵ 1.61.
Cho F(y; y') = 0 là một phương trình vi phân cấp một với tham số hữu tỉ Gọi P(t) = (u(t); v(t)) là một phép tham số hóa hữu tỉ của F(y; y') = 0, trong đó u(t) và v(t) là hai hàm liên tục trên khoảng K của C(x) Ta viết u(t; x) và v(t; x) để biểu diễn sự phụ thuộc của các hàm u và v vào x.
” t…m mºt nghiằm cıa F (y; y 0 ) = 0 thổng qua ph†p tham sŁ hœu t P(t) = (u(t); v(t)), ta t…m h m t(x) sao cho dx d u(t(x); x) = v(t(x); x) tức l
@t dx @x ành nghắa 4.21 Phữỡng tr…nh vi phƠn liản k‚t cıa F (y; y 0 ) = 0 Łi vợi
Về phương trình vi phân liên kết, nếu \( t(x) \) là một nghiệm của phương trình (4.19), thì \( u(t(x)) \) cũng là một nghiệm của phương trình vi phân \( F(y; y') = 0 \) Chú ý rằng điều kiện tối ưu của một nghiệm liên quan đến phương trình (4.19) xác định một hướng cong.
Đường cong đại số bất biến (invariant algebraic curve) là một khái niệm quan trọng trong toán học Các nghiên cứu về đường cong này đã được thực hiện bởi M M Carnicer vào năm 1994, với mục tiêu xác định các điều kiện cho sự tồn tại của chúng trong trường hợp không có điểm kỳ dị (nondicritical) Khi có một điều kiện nhất định cho các đường cong bất biến, chúng ta có thể áp dụng phương pháp tìm kiếm dựa trên các kết quả của M J Prelle và M F Singer để xác định tất cả các đường cong bất biến trong không gian toán học.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính bất biến của phương trình vi phân kết quả pháp biến đổi song hữu tướng ứng với aw + b, với pháp biến đổi Mobius M(w) = cw + d Đặt G = M F Giả sử P(t) = (u(t); v(t)) là một pháp tham số hữu tĩnh của F(y; y') = 0 Đặt Q(t) = M(P(t)).
G(w; w1) = 0 thể hiện điều kiện cần thiết cho hàm Q(t) và Q phương trình vi phân liên kết với G(w; w0) = 0, trong đó phương trình tham số (t) đóng vai trò chính Điều này tương tự với F(y; y0) = 0, liên quan đến phương trình tham số hiệu dụng P(t) Chứng minh cho thấy rằng G = MF là một kết quả quan trọng trong lĩnh vực này.