Kiến thức cơ sở về đại số
Mở rộng trường
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày các khái niệm và kết quả dựa trên tài liệu [18] Định nghĩa 1.1 nêu rõ rằng, nếu K là một trường và là trường con của một trường L, thì L được gọi là một mở rộng trường của K.
Không gian véctơ L trên trường K được coi là một mở rộng hữu hạn nếu chiều của L trên K là hữu hạn Ký hiệu [L : K] đại diện cho chiều của không gian véctơ L trên K và được gọi là bậc của mở rộng L trên K Định nghĩa 1.2 xác định rằng, nếu L là một mở rộng của trường K, thì phần tử α ∈ L được gọi là phần tử đại số trên K nếu tồn tại một đa thức một biến khác không trong K[x] mà α là nghiệm; ngược lại, α được gọi là phần tử siêu việt trên K.
2 ∈ R là đại số trên Q vì đa thức x 2 − 2 ∈ Q[x] nhận √
Mệnh đề 1.4 xác định rằng với mỗi phần tử đại số α thuộc L trên trường K, tồn tại một đa thức một biến bất khả quy duy nhất có bậc nhỏ nhất và hệ số cao nhất bằng 1, mà α là nghiệm Đa thức này được gọi là đa thức tối tiểu của phần tử α trên trường K Theo định nghĩa 1.5, một mở rộng L của K được xem là đại số nếu mọi phần tử trong L đều là đại số trên K.
Mệnh đề 1.6 Nếu L là một mở rộng hữu hạn của K thì L là một mở rộng đại số trên K.
Cho K là một trường, L là một mở rộng của K và α ∈ L Ta ký hiệu K(α) là trường con bé nhất của L chứa K và α Ta có
Mệnh đề 1.7 Cho α là một phần tử đại số trên K Khi đó K(α) =K[α] và [K(α) : K] bằng bậc của đa thức tối tiểu của α trên K.
ChoK là một trường con củaLvàα 1 , , α n ∈ L Ký hiệuK(α 1 , , α n ) là trường con bé nhất của L chứa K và các phần tử α1, , αn Khi đó K(α 1 , , α n ) f(α 1 , , α n ) g(α1, , αn) |f, g ∈ K[x 1 , , x n ], g(α 1 , , α n ) 6= 0
. Định nghĩa 1.8 Mở rộng L của K được gọi là hữu hạn sinh trên K nếu tồn tại các phần tử α 1 , , α n ∈ L sao cho L = K(α 1 , , α n ).
Mệnh đề 1.9 Cho L là một mở rộng hữu hạn của K Khi đó L là hữu hạn sinh trên K.
Mệnh đề 1.10 chỉ ra rằng nếu L = K(α1, , αn) là một mở rộng hữu hạn sinh trên K và các phần tử α1, , αn đều là đại số trên K, thì L cũng là một mở rộng hữu hạn trên K Định nghĩa 1.11 mô tả trường L là đóng đại số nếu mọi đa thức trong L[x] có bậc dương đều có nghiệm trong L.
Mỗi trường K đều sở hữu một bao đóng đại số, được ký hiệu là K, cùng với một mở rộng đại số.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét dãy mở rộng trường Q ⊂ Q(√ p) ⊂ R ⊂ C, với p là một số nguyên tố Đặc biệt, chúng ta có dim Q Q(√ p) = 2, với cơ sở là {1, √ p} Đồng thời, dim R C = 2, với cơ sở là {1, i}, trong đó i là đơn vị ảo thỏa mãn i² = −1 R cũng được xem là một không gian véctơ vô hạn chiều.
Q. c) Tập Q tất cả các số phức đại số trên Q lập thành một trường và là bao đóng đại số của Q Mở rộng Q không là một mở rộng hữu hạn của Q.
Kết thức
Các khái niệm và kết quả trong phần này được trình bày dựa theo tài liệu [8]. Định nghĩa 1.13 Cho hai đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương f =a m x m +ã ã ã+a 0 , a m 6= 0 g =b n x n +ã ã ã+b 0 , b n 6= 0.
Kết thức (resultant) của f và g đối với x, ký hiệu res(f, g, x), là định thức của ma trận Sylvester cấp (m+n) xác định như sau
, trong đó số dòng các hệ số của f là n và số dòng các hệ số của g là m.
Mệnh đề 1.14 Hai đa thức f, g ∈ K[x] có nhân tử chung trong K[x] khi và chỉ khi res(f, g, x) = 0.
Mệnh đề 1.15 Cho các đa thức f, g ∈ K[x] có bậc dương Khi đó tồn tại các đa thức A, B ∈ K[x] sao cho res(f, g, x) + Bg.
Hơn nữa, các hệ số của A, B là các đa thức nguyên theo các hệ số của f và g.
Kết thúc có thể được hiểu là cách định nghĩa các đa thức nhiều biến, trong đó các đa thức này được xem như là các đa thức một biến với hệ số thuộc vành các đa thức của các biến còn lại.
Mệnh đề 1.16 Chof, g ∈ K[x1, , xn] là các đa thức có bậc dương theo x 1 Khi đó
2 res(f, g, x1) = 0 khi và chỉ khi f và g có một nhân tử chung trong K[x 1 , , x n ] có bậc dương theo x 1
Hệ quả 1.17 Cho f, g ∈ C[x] Khi đó res(f, g, x) = 0 khi và chỉ khi f, g có một nghiệm chung trong C.
Mệnh đề 1.18 Cho f, g ∈ C[x1, , xn] là các đa thức có bậc dương theo x 1 với các hệ số đầu theo x 1 lần lượt là a k , b l Nếu res(f, g, x 1 ) triệt tiêu tại (c 2 , , c n ) ∈ C n−1 thì hoặc
1 a k hoặc b l triệt tiêu tại (c 2 , , c n ), hoặc
2 tồn tại c 1 ∈ C sao cho f và g triệt tiêu tại (c 1 , c 2 , , c n ) ∈ C n Định nghĩa 1.19 Biệt thức (discriminant) của đa thức 1 biến f ∈ K[x] bậc m, ký hiệu disc(f), được xác định bởi disc(f) = (−1) m(m−1) 2 a m res(f, f 0 , x).
Ví dụ 1.20 a) Cho f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 Khi đó f 0 (x) = a 1 + 2a 2 x và disc(f) =− 1 a 2 a 2 a 1 a 0 2a2 a1 0
= a 2 1 −4a 0 a 2 b) Cho f(x) =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 Khi đó f 0 (x) = a 1 + 2a 2 x+ 3a 3 x 2 và ta có disc(f) =− 1 a 3 a 3 a 2 a 1 a 0 0
=−27a 2 0 a 2 3 −4a 0 a 3 2 −4a 3 1 a 3 +a 2 1 a 2 2 + 18a 0 a 1 a 2 a 3 Đặc biệt, đối với đa thức bậc ba dạng khuyết f(x) = x 3 + px + q, biệt thức của đa thức này là disc(f) =−4p 3 −27q 2
Một đa thức f ∈ K[x] có nhân tử bội nếu và chỉ nếu nó chia hết cho h^2 với h ∈ K[x] có bậc dương, tức là disc(f) = 0 Trên trường số phức, điều này tương đương với việc một đa thức có nghiệm bội khi biệt thức của nó bằng 0.
Đại số vi phân
Trường vi phân
Trong phần này, các khái niệm và kết quả được trình bày dựa trên tài liệu [3] Định nghĩa 1.22 nêu rõ rằng, cho R là một vành, một phép đạo hàm trên R được định nghĩa là một ánh xạ D: R → R, với mọi x, y ∈ R thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Nói cách khác, D là một ánh xạ cộng tính và thỏa mãn quy tắc Leibniz.
Phép đạo hàm D có thể được áp dụng nhiều lần trên một phần tử, với mỗi số tự nhiên n và mỗi a ∈ R Đạo hàm cấp n của a, ký hiệu a (n), được xác định theo quy tắc a (0) = a và a (n) = D(a (n−1)) với n ≥ 1 Định nghĩa cặp (R, D) được gọi là một vành vi phân, và nếu R là một trường thì (R, D) được xem là một trường vi phân.
Nếu không có sự nhầm lẫn thì ta thường nói R là một vành (trường) vi phân thay cho cặp (R, D).
Ví dụ 1.24 Một vành bất kỳ là một vành vi phân với phép đạo hàm không, tức là đạo hàm của mọi phần tử đều bằng 0.
Ví dụ 1.25 Vành các đa thức một biến C[x] là một vành vi phân với phép đạo hàm thông thường d dx xác định như sau: d dx n
Ví dụ 1.26 Cho (R, D) là một vành vi phân Vành các đa thức một biến R[x] là một vành vi phân với phép đạo hàm κ D xác định như sau: κ D n
D(a i )x i là phép đạo hàm được thực hiện bằng cách áp dụng đạo hàm D lên tất cả các hệ số của đa thức trong R[x] Ví dụ, nếu R = C[y] với phép đạo hàm thông thường d/dy, thì phép đạo hàm κ d/dy trên C[y][x] tương đương với phép đạo hàm riêng ∂.
∂y Tương tự, trên vành đa thứcC[x][y] ta có κ d dx = ∂
Từ định nghĩa ta suy ra những tính chất đơn giản sau của phép đạo hàm.
Mệnh đề 1.27 Cho (R, 0 ) là một vành vi phân Khi đó
2 (a n ) 0 = na n−1 a 0 với mọi số nguyên n ≥ 1 và với mọi a ∈ R.
3 (a −1 ) 0 = −a 0 a 2 với mọi a ∈ R khả nghịch Từ đó suy ra (a n ) 0 = na n−1 (a) 0 với mọi số nguyên n.
= a 0 b−b 0 a b 2 , với mọi a, b ∈ R và b khả nghịch.
Chứng minh 1 Ta cú 1 0 = (1 ã1) 0 = 1 0 1 + 11 0 = 1 0 + 1 0 Suy ra 1 0 = 0. Tương tự, 0 0 = (0 + 0) 0 = 0 0 + 0 0 Suy ra 0 0 = 0.
2 Ta chứng minh quy nạp theo n nguyên dương Đẳng thức luôn đúng với n= 1 Giả sử đẳng thức đúng với n= k−1, tức là
3 Ta cú 0 = 1 0 = (aãa −1 ) 0 = a 0 (a −1 ) + (a −1 ) 0 a Từ đú suy ra
(a −1 ) 0 = −a 0 a −2 Giả sử n là một số nguyên âm, ta có
= a 0 b−b 0 a b 2 Định nghĩa 1.28 Cho (K, D) là một trường vi phân Tập hợp
C = {c ∈ K | Dc = 0} là trường các hằng của trường K Định nghĩa 1.29 cho biết rằng nếu (R, D) và (S, ∆) là các vành vi phân, thì (S, ∆) được coi là một mở rộng vi phân của (R, D) khi R là vành con của S và ∆a = Da với mọi a ∈ R.
Trong miền nguyên vi phân (R, D), với F là trường các thương của R, tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên F, sao cho (F, ∆) là một mở rộng vi phân của (R, D) Cụ thể, nếu x thuộc F và x có dạng a/b với a, b thuộc R và b khác 0, thì phép đạo hàm này được xác định rõ ràng.
Trường C(x) các phân thức theo biến x là trường các thương của miền nguyên C[x] Vì vậy, phép đạo hàm thông thường d/dx của các đa thức được mở rộng một cách duy nhất thành phép đạo hàm của các phân thức d/dx.
Giả sử L là một mở rộng đại số của trường vi phân (K, D), thì tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên L mở rộng phép đạo hàm trên K Cụ thể, với mỗi α ∈ L, nếu P(x) ∈ K[x] là đa thức tối tiểu của α trên K, thì phép đạo hàm này được xác định một cách rõ ràng.
(α) , trong đó d dx và κ D là các phép đạo hàm được định nghĩa trong Ví dụ 1.25 và Ví dụ 1.26.
Giả sử α là nghiệm của đa thức Y² - x trong C(x)[Y], với α biểu diễn hàm ±√x Khi đó, tồn tại duy nhất một phép đạo hàm d/dx được mở rộng từ C(x) sang C(x)(α), tạo thành một mở rộng vi phân.
Mệnh đề 1.34 Giả sử (K, D) là một trường vi phân và t là siêu việt trên
K Khi đó với mỗi w ∈ K(t) tồn tại duy nhất một phép đạo hàm ∆ trên K(t) sao cho ∆t = w và (K(t),∆) là một mở rộng vi phân của (K, D). Áp dụng mệnh đề trên cho C(x), ta suy ra rằng d dx là phép đạo hàm duy nhất trên C(x) sao cho dc dx = 0 với mọi c ∈ C và dx dx = 1. Mệnh đề 1.35 Giả sử (L,∆) là một mở rộng vi phân của một trường vi phân (K, D) Khi đó
1 Nếu c ∈ L là đại số trên trường hằng C của K thì c là hằng.
2 Nếu c ∈ L là hằng và c đại số trên K thì c đại số trên trường hằng
Chứng minh 1 Giả sử P(X) là đa thức đơn cực tiểu của c trên C Đạo hàm đẳng thức P(c) = 0 ta suy ra
Vì (κ D P) = 0 và dP dx(c) 6= 0 nên ∆c = 0 Do đó c là một hằng.
2 Giả sử P(X) = X n +a n−1 X n−1 +ã ã ã+a 1 X +a 0 là đa thức đơn cực tiểu của c trên K Đạo hàm hai vế đẳng thức P(c) = 0 và sử dụng giả thiết ∆c = 0 ta suy ra
Do tính cực tiểu của P(X) nên điều này xảy ra khi mọi hệ số Da n−1 , ,
Da 1 , Da 0 đều bằng 0 Vì vậy a n−1 , , a 1 , a 0 là các hằng của K.
Nghiệm của đa thức vi phân
Các khái niệm và kết quả trong bài viết này được trình bày dựa trên tài liệu [30] Cho K là một trường vi phân và y là một biến vi phân trên K Chúng ta sẽ xem xét dãy các ký hiệu y = y0, y1, y2, cùng với dãy lồng nhau của các vành đa thức.
K[y 0 , y 1 , y 2 , , y n ] là một vành đối với các phép toán cộng và nhân các đa thức Hơn nữa,
K[y0, y1, y2, , yn] là một vành vi phân với phép đạo hàm “0” được xác định bởi y i 0 = y i+1 cho mọi i ∈ N Đối với mỗi p ∈ N, ta có y p = y p−1 0 = (y 0 p−2 ) 0 = y 0 (p), trong đó y (p) 0 là đạo hàm cấp p của y 0 = y Do đó, ký hiệu y p thể hiện đạo hàm cấp p của y.
K[y 0 , y 1 , y 2 , , y n ], 0 ) được gọi là vành các đa thức vi phân, ký hiệu là K{y}.
Mỗi phần tử trong K{y} được gọi là một đa thức vi phân, và cấp của nó được xác định bởi cấp của đạo hàm cao nhất xuất hiện Đa thức vi phân F thuộc K{y} có cấp p sẽ có một dạng cụ thể.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình F = amy p m + a m−1 y p m−1 + + a1yp + a0, trong đó các hệ số a0, a1, , am thuộc K{y} là các đa thức vi phân có bậc không vượt quá p−1, và yp là đạo hàm cấp p của y Hệ số đầu của F, được ký hiệu là in(F), là đa thức vi phân am trong phương trình (1.3) Đồng thời, đa thức vi phân S được xác định là S = ∂F.
∂y p được gọi là tách (separant) của F Đạo hàm cấp một của đa thức vi phân F được tính như sau
Khi đó cấp của F 0 là p+ 1, hệ số đầu của F 0 chính là ∂F
∂y p Vì bậc của y p+1 là 1 nên tách của F 0 cũng là ∂F
∂y p Vậy tách của F và tách của đạo hàm mọi cấp của F là như nhau.
Chẳng hạn, đa thức vi phân
F := (2xy+ 3x)y 2 1 + 3y 1 −2y −3x ∈ C(x){y} có hệ số đầu là 2xy+ 3x và tách là S = ∂F
L, d dx là một trường mở rộng vi phân của
Phần tử α ∈ L được gọi là một nghiệm của đa thức vi phân
F ∈ K{y} nếu F(α) = 0, ở đây F(α) là phần tử của trường L nhận được bằng cách thay y k bởi đạo hàm cấp k của α.
Ví dụ 1.39 Đa thức vi phân F := (y −x)(y 1 −1)−1 ∈ C(x){y} nhận α = x+ √
Nếu α là một nghiệm của đa thức vi phân F thuộc K{y}, thì α cũng là nghiệm của tất cả các đạo hàm của F Điều này cho thấy α là nghiệm chung của các đa thức vi phân có dạng tương tự.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các đa thức vi phân có dạng Q 0 F + Q 1 F 0 + ã ã ã + Q k F (k), trong đó Q i thuộc K{y} cho mọi i từ 0 đến k và k thuộc N Điều đáng chú ý là đạo hàm của một đa thức vi phân cũng sẽ có dạng tương tự Điều này cho thấy tập hợp tất cả các đa thức vi phân này là đóng đối với phép đạo hàm Theo định nghĩa 1.40, trong một vành vi phân (R, 0), một iđêan I được gọi là iđêan vi phân nếu mọi phần tử a thuộc I thì a 0 cũng thuộc I.
Ví dụ 1.41 Trong vành vi phân R với phép đạo hàm không, mọi iđêan của R đều là một iđêan vi phân.
Ví dụ 1.42 Trong vành vi phân
, chỉ có hai iđêan vi phân là
Mỗi iđêan của C[x] được sinh bởi một đa thức f(x) Nếu f(x) khác 0 và không phải là hằng, thì bậc của f(x) là n > 0 Khi đó, đạo hàm df/dx sẽ có bậc n−1, dẫn đến df/dx không thuộc iđêan hfi Do đó, hfi không phải là một iđêan vi phân.
Giao của một họ các iđêan vi phân trong vành vi phân R cũng được coi là một iđêan vi phân của R Nếu R là một vành vi phân và Σ là một tập con của R, thì iđêan vi phân của R được sinh bởi Σ, ký hiệu [Σ], là giao của tất cả các iđêan vi phân của R chứa Σ.
Tập hợp Σ là iđêan của R, được sinh ra bởi Σ cùng với tất cả các đạo hàm của các phần tử trong Σ Định nghĩa 1.45 nêu rõ rằng nếu R là một vành vi phân và Σ là một tập con của R, thì iđêan vi phân căn sinh bởi Σ, ký hiệu {Σ}, chính là căn của iđêan [Σ].
Trong trường hợp R = K{y} là vành các đa thức vi phân và Σ = {F} chỉ gồm một đa thức vi phân, ta ký hiệu {F} để chỉ iđêan vi phân căn sinh bởi tập một phần tử {F} Định lý 1.46 trong đại số vi phân khẳng định rằng nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy, thì có một phân tích đặc biệt cho iđêan vi phân căn {F}.
{F}= ({F} : S)∩ {F, S}, trong đó S là tách của F và {F} : S là iđêan vi phân nguyên tố xác định bởi
{F}: S = {A ∈ K{y} |AS ∈ {F}}. Định nghĩa 1.47 Cho I là một iđêan vi phân của K{y} Tập nghiệm của I trong một mở rộng trường vi phân L của K là
Mệnh đề 1.48 Cho I và J là hai iđêan của K{y} Ta có
Z(I)∪Z(J) =Z(I ∩J) =Z(IJ), trong đó IJ là iđêan tích của I và J.
Theo Định lý 1.46 và Mệnh đề 1.48, một nghiệm của F có thể là nghiệm của {F} : S hoặc là nghiệm của {F, S} Định nghĩa 1.49 cho biết rằng một nghiệm chung của F và S được gọi là nghiệm kỳ dị (singular solution) của phương trình vi phân F = 0 Định nghĩa 1.50 nêu rõ rằng cho ℘ là một iđêan vi phân nguyên tố của vành K{y}, một nghiệm tổng quát (generic zero) của ℘ là phần tử η thuộc một mở rộng trường vi phân của K, sao cho một đa thức vi phân trong K{y} thuộc ℘ nếu và chỉ nếu đa thức đó triệt tiêu tại η.
Mệnh đề 1.51 Mọi iđêan vi phân nguyên tố ℘ của vành K{y} đều có một nghiệm tổng quát.
Chứng minh Gọi L là trường các thương của miền nguyên K{y}/℘ Khi đó L là một mở rộng vi phân của K qua các đồng cấu
Ký hiệu K là một trường, và K{y} là trường phân rã của K theo biến y Khi đó, K{y}/℘ dẫn đến một trường L Đặt η là ảnh của phần tử y trong L, thì η được coi là một nghiệm tổng quát của ℘ Theo định nghĩa 1.52, một nghiệm tổng quát của iđêan vi phân nguyên tố {F} : S được xác định là một nghiệm tổng quát (general solution) của phương trình F = 0.
Giả sử η là nghiệm tổng quát của phương trình F = 0 Khi đó, với mọi đa thức P thuộc K{y}, P(η) = 0 nếu và chỉ nếu P thuộc {F} : S Bằng cách áp dụng khái niệm phép giả chia vi phân và giả dư vi phân, chúng ta có thể xác định điều kiện để P thuộc {F} : S Ký hiệu prem(P, F) được sử dụng để chỉ phần dư của phép chia đa thức vi phân P cho đa thức vi phân F.
Mệnh đề 1.53 ([30]) P ∈ {F} : S nếu và chỉ nếu prem(P, F) = 0.
Đường cong đại số hữu tỷ
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu những khái niệm cơ bản và các kết quả quan trọng liên quan đến lý thuyết đường cong đại số hữu tỷ, sẽ được sử dụng trong Chương 4 Nội dung chủ yếu được tham khảo từ tài liệu [32] Định nghĩa 1.54 nêu rõ rằng, cho F ∈ C[x, y] là một đa thức hai biến, tập hợp này sẽ được phân tích chi tiết.
C(F) ={(a, b) ∈ C 2 |F(a, b) = 0} (1.4) là một đường cong đại số trên C. Định nghĩa 1.55 Một phép tham số hữu tỷ của đường cong đại số
F(x, y) = 0 là một cặp hàm hữu tỷ x(t), y(t) ∈ C(t) sao cho
1 với hầu hết t 0 ∈ C trừ một số hữu hạn điểm, ta có (x(t 0 ), y(t 0 )) ∈ C(F);
2 với hầu hết (x 0 , y 0 ) ∈ C(F) trừ một số hữu hạn điểm, tồn tại t 0 ∈ C sao cho
(x(t 0 ), y(t 0 )) = (x 0 , y 0 ). Định nghĩa 1.56 Một đường cong đại số F(x, y) = 0 được gọi là hữu tỷ nếu nó có ít nhất một phép tham số hữu tỷ.
Đường tròn với phương trình x² + y² = 1 là một đường cong đại số hữu tỷ có thể được tham số hóa bằng (x(t), y(t)) = (2t/(t² + 1), t² - 1/(t² + 1)), ngoại trừ tại điểm (0, 1) vì không có giá trị nào của t có thể biểu diễn điểm này Định nghĩa 1.57 nêu rõ rằng nếu x(t) = x_n(t)/x_d(t) ∈ C(t) có dạng tối giản, thì bậc của hàm x(t), ký hiệu là deg x(t), được xác định là deg x(t) = max{deg x_n(t), deg x_d(t)}.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét đa thức bậc 4 và bậc 3 với các hệ số thuộc C(t) Từ đó, ta có bậc của đa thức x(t) là max{degx n (t), degx d (t)} = 4 Định nghĩa 1.58 nêu rõ rằng với P(t) = (x(t), y(t)) là một phép tham số hóa của đường cong hữu tỷ, bậc của đường cong được xác định là max{degx(t), degy(t)}.
Đường tròn có phương trình x² + y² = 1 được tham số hóa bởi ∈ C²(t) với x(t) = 2t/(t² + 1) và y(t) = (t² - 1)/(t² + 1), dẫn đến degx(t) = 2 và degy(t) = 2, do đó deg(P(t)) = max{degx(t), degy(t)} = 2 Theo định nghĩa, một phép tham số hữu tỷ (x(t), y(t)) của đường cong đại số F(x, y) = 0 được coi là thực sự nếu với hầu hết các điểm (x₀, y₀) trên đường cong, ngoại trừ một số hữu hạn điểm, tồn tại duy nhất t₀ ∈ C sao cho (x(t₀), y(t₀)) = (x₀, y₀) Thêm vào đó, theo định lý, P(t) là thực sự nếu và chỉ nếu deg(P(t)) = max{deg x F, deg y F}.
Nếu P(t) là thực và x(t) khác không, thì deg x(t) = deg y F; tương tự, nếu P(t) là thực và y(t) khác không, thì deg y(t) = deg x F Định lý 1.61 cho biết rằng với (x1(t), y1(t)) là một phép tham số hữu tỷ thực của đường cong đại số F(x, y) = 0, thì cho bất kỳ phép tham số hữu tỷ (x2(t), y2(t)) nào của F(x, y) = 0, luôn tồn tại một hàm hữu tỷ R(t) thuộc C(t).
Hơn nữa, nếu (x 2 (t), y 2 (t)) là thực sự thì R(t) = at+b ct+d với a, b, c, d ∈ C và ad−bc 6= 0.
Ví dụ 1.62 Xét đường cong đại số
F(x, y) =−4x 2 + y−5 = 0 và các phép tham số hóa hữu tỷ
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hai hàm số P(t) và Q(t) trong không gian C²(t) Đối với P(t), chúng ta có bậc deg(P(t)) = 2 và max{deg x F, deg y F} = 2, cho thấy P(t) là một phép tham số hữu tỷ thực sự Ngược lại, với Q(t), bậc deg(Q(t)) = 4 không bằng 2 và không thỏa mãn điều kiện max{deg x F, deg y F} = 2, do đó Q(t) không phải là một phép tham số hữu tỷ thực sự.
Trong trường hợp này, đặt R(t) = t
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình P(R(t)) = Q(t) với công thức 2(t² - 1) Lưu ý rằng các vấn đề liên quan đến đường cong đại số hữu tỷ đã được giải quyết thông qua các thuật toán và được trình bày chi tiết trong tài liệu [32].
Đường cong đại số F(x, y) = 0 được coi là hữu tỷ nếu và chỉ nếu giống của nó bằng không, điều này thể hiện tính tham số hữu tỷ đặc trưng của đường cong.
2 Thuật toán tìm một phép tham số hữu tỷ thực sự của đường cong hữu tỷ.
3 Nếu phép tham số hữu tỷ là không thực sự thì ta có thể tham số hóa lại để được một phép tham số hóa thực sự.
Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một
Chương này cung cấp cái nhìn tổng quan về các phép biến đổi tương đương trên phương trình vi phân đại số cấp một, đặc biệt chú trọng vào phép biến đổi M¨obius Chúng tôi giới thiệu một tính chất bất biến liên quan đến bậc tổng thể vi phân, đây là một yếu tố quan trọng được áp dụng trong chương sau để thiết lập một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom Một số kết quả trong chương này đã được tác giả công bố trong bài báo [6].
Phép biến đổi tương đương
Khi nghiên cứu các phương trình vi phân, mục tiêu chính là xác định xem hai phương trình có thể chuyển đổi qua lại thông qua một phép đổi biến thích hợp hay không Nếu tồn tại một phép biến đổi như vậy, chúng ta nói rằng hai phương trình là tương đương với nhau qua phép biến đổi đó.
Thông thường, chúng ta xem xét một tập hợp các phép biến đổi tương đương tạo thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ Nhóm các phép biến đổi này tác động để phân hoạch tất cả các phương trình vi phân thành các lớp tương đương Việc giải một phương trình riêng lẻ trong lớp tương đương có thể được tổng quát hóa để giải quyết toàn bộ các phương trình trong lớp đó.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phép biến đổi điểm có dạng x = φ(t, u) và y = ψ(t, u), trong đó φ và ψ là các hàm khả vi Phương trình F(x, y, y') = 0 sẽ được biến đổi thành phương trình G(t, u, u') = 0, với các biến độc lập và phụ thuộc mới là t và u Vấn đề đặt ra là nghiên cứu một tập hợp các phương trình vi phân liên quan.
F(x, y, y 0 ) = 0, các phép biến đổi điểm có thể xét có dạng như thế nào để phương trình biến đổi vẫn thuộc tập hợp đó?
F Schwarz đã đưa ra các định nghĩa về nhóm bất biến cấu trúc, bất biến tuyệt đối và dạng chuẩn tắc hữu tỷ trong tài liệu [31], áp dụng cho các phương trình vi phân với cấp tùy ý Chúng tôi sẽ trình bày lại các vấn đề này trong bối cảnh các phương trình vi phân đại số cấp một.
Mệnh đề 2.1 Tập các phương trình Riccati y 0 = a 2 (x)y 2 +a 1 (x)y +a 0 (x), với a i ∈ C(x) với mọi i = 0,1,2, là ổn định qua các phép biến đổi x = t, y = a(t)u+b(t) c(t)u+d(t), với a, b, c, d ∈ C(t) và ad−bc 6= 0.
Chứng minh Ta có y 0 = ad−bc
Suy ra phương trình Riccati đã cho được biến đổi thành u 0 = ˜a 2 (t)u 2 + ˜a 1 (t)u+ ˜a 0 (t) với các hệ số được xác định như sau
˜ a 2 = 1 ad−bc(a 2 a 2 +a 1 ac+a 0 c 2 + (ac 0 −a 0 c)), ˜ a 1 = 1 ad−bc(2a 2 ab+a 1 (ad+bc) + 2a 0 cd+ (ad 0 −a 0 d) + (bc 0 −b 0 c)), ˜ a 0 = 1 ad−bc(a 2 b 2 + a 1 bd+a 0 d 2 + (bd 0 −b 0 d)).
(2.1) Đây rõ ràng là một phương trình Riccati Vậy tập hợp các phương trình Riccati là đóng dưới tác động các phép biến đổi trên.
Lập luận tương tự ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2 Tập hợp các phương trình Abel loại một và loại hai y 0 = a 3 y 3 +a 2 y 2 +a 1 y +a 0 , y 0 = a3y 3 +a2y 2 +a1y +a0 y +b 0 là ổn định qua các phép biến đổi x = t, y = a(t)u+b(t) c(t)u+d(t),với a, b, c, d ∈ C(t) và ad−bc 6= 0.
Khi xem xét các phương trình Abel loại một, cụ thể là phương trình có dạng y' = a3y^3 + a2y^2 + a1y + a0, ta nhận thấy rằng tập hợp này duy trì tính ổn định qua các phép biến đổi như x = t và y = a(t)u + b(t).
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phương trình vi phân đại số cấp một tựa tuyến tính (quasilinear) có dạng y' = R(x, y), với R(x, y) là hàm hữu tỷ theo y và các hệ số phụ thuộc vào x Chúng ta đã giới hạn bậc của đạo hàm là 1 Một tập hợp lớn hơn là các phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y') = 0 trên C(x), trong đó đường cong đại số tương ứng F(y, w) = 0 có dạng hữu tỷ Trong tập hợp này, chúng ta không giới hạn bậc của đạo hàm mà chỉ yêu cầu tính chất tham số hóa hữu tỷ của đường cong đại số tương ứng.
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các phương trình vi phân thường đại số (AODEs) cấp một có dạng F(y, y') = 0 trên một trường vi phân K, mà K là một mở rộng hữu hạn của C(x) Chúng tôi tập trung vào việc tìm hiểu các nghiệm đại số tổng quát của các phương trình này và phát triển các thuật toán để tính toán tường minh một nghiệm cụ thể Mỗi phương trình được xem như liên kết với một đường cong đại số, được xác định bởi phương trình F(y, w) = 0, trong đó biến hàm và biến đạo hàm được coi là độc lập với nhau.
Chúng tôi nghiên cứu các phép biến đổi giữa các phương trình vi phân nhằm bảo toàn cấp của phương trình, giữ nguyên lũy thừa cao nhất của đạo hàm, đảm bảo tính chất có nghiệm đại số tổng quát, và duy trì sự tương đồng của đường cong đại số tương ứng.
P Appell đã nghiên cứu các phương trình vi phân hữu tỷ y' = R(x, y) và áp dụng các phép biến đổi tương đương dạng x = F(t), y(x) = P(t)u(t) + Q(t), trong đó t và u(t) là các biến độc lập và phụ thuộc mới, với F, P, Q là các hàm tùy ý thỏa mãn F' ≠ 0 và P ≠ 0 Những phép biến đổi này cho phép một nghiệm đại số của phương trình này tương ứng với một nghiệm không đại số của phương trình khác Ví dụ, với phép biến đổi x = e^t và y(x) = u(t), nghiệm y(x) = x^2 (đại số trên C(x)) tương ứng với nghiệm u(t) = e^(2t) (không đại số trên C(t)).
Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu một nhóm phép biến đổi với dạng x = t, y(x) = a(x)w + b(x) c(x)w + d(x), trong đó điều kiện ad - bc ≠ 0 Chúng tôi phân tích tác động của các phép biến đổi này đối với các phương trình vi phân đại số cấp một.
Khi đã xác định các phép biến đổi tương đương trên phương trình vi phân, bước tiếp theo là kiểm tra sự tương đương giữa hai phương trình đã cho thông qua phép biến đổi đó, đây được gọi là bài toán tương đương Một vấn đề liên quan là xác định xem một phương trình có thuộc về một lớp tương đương nào đó hay không, gọi là bài toán thành viên Để giải quyết những vấn đề này, chúng tôi tìm kiếm các bất biến của phương trình vi phân dưới tác động của các phép biến đổi đã xét Theo định nghĩa, cho phương trình vi phân đại số cấp một F(x, y, y') = 0 với các hệ số a_1, , a_N phụ thuộc vào x, nếu các hệ số ˜a_1, , ˜a_N là kết quả của một phép biến đổi, thì một biểu thức Φ thỏa mãn Φ(˜a_1, , ˜a_N) = Φ(a_1, , a_N) được gọi là một bất biến của phương trình vi phân F(x, y, y') = 0.
Phương trình vi phân autonom là loại phương trình có tất cả các hệ số đều là hằng, và việc tìm nghiệm cho loại phương trình này thường dễ hơn so với các phương trình không autonom Do đó, các phương trình không autonom thường được biến đổi để gần giống với dạng autonom Định nghĩa 2.4 nêu rõ rằng dạng chuẩn tắc hữu tỷ của một phương trình vi phân đại số là phương trình có số lượng hệ số khác hằng tối thiểu, đạt được thông qua phép biến đổi theo biến phụ thuộc và biến độc lập từ phương trình ban đầu.
Như vậy các phương trình vi phân autonom là dạng chuẩn tắc hữu tỷ của lớp tương đương autonom.
Phép biến đổi M¨ obius
Trong phần này, chúng tôi trình bày ảnh hưởng của các phép biến đổi M¨obius đối với các phương trình vi phân đại số cấp một Các kết quả được nêu trong phần này đã được tác giả công bố trong bài báo [6].
Cho C(x) là trường vi phân các hàm hữu tỷ theo biến x với phép đạo hàm thông thường d/dx = 0 K là một mở rộng trường hữu hạn của trường C(x) Trong trường hợp này, tồn tại duy nhất một phép đạo hàm trên K, mở rộng phép đạo hàm 0, để K trở thành một trường vi phân.
AODE (1) K = {F(y, y 0 ) = 0 | F ∈ K[y, w]} là tập tất cả các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K Một phép biến đổi M¨obius trên K là một hàm hữu tỷ có dạng
M(u) = au+b cu+d, trong đó a, b, c, d ∈ K và ad−bc 6= 0 Đặt
=Au 2 +Bu+C (cu+d) 2 , 0≤ deg u (Au 2 +Bu+C) ≤ 2, trong đó A = a 0 c−ac 0 , B = a 0 d−ad 0 +b 0 c−bc 0 , C = b 0 d−bd 0 và
Lưu ý rằng A = 0 khi c = 0 hoặc a c là hằng số.
Tương ứng với M(u) ta có một ánh xạ hữu tỷ Φ M : K 2 99K K 2 được định nghĩa bởi Φ M (u, v)
Khi đó, ánh xạ đồng nhất Φ(u, v) = (u, v) thuộc dạng này (tương ứng với
M(u) =u) và ΦM là một ánh xạ song hữu tỷ và nghịch đảo của nó là ánh xạ song hữu tỷ liên kết với M −1 (u) = du−b
Ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.5 khẳng định rằng tập hợp G K (1) bao gồm tất cả các phép biến đổi song hữu tỷ dạng Φ M tạo thành một nhóm khi xét phép hợp thành các ánh xạ song hữu tỷ Nhóm này có cấu trúc đẳng cấu với nhóm các phép biến đổi M¨obius trên K.
Chúng tôi sẽ xem xét tác động của nhóm G K (1) lên tập hợp AODE (1) K và nghiên cứu các lớp tương đương của phương trình vi phân đại số cấp một, đặc biệt là các phương trình với hệ số hằng Qua phép nghịch đảo y 7→ 1/y, một phương trình vi phân với hệ số hằng có thể được chuyển đổi thành một phương trình vi phân khác cũng với hệ số hằng Do đó, khi phân tích các phương trình này, chúng tôi sẽ áp dụng các phép biến đổi M¨obius trên K với hệ số c ≠ 0, nghĩa là các phép biến đổi thực sự là một phân thức Để diễn tả tác động của nhóm G K (1) lên AODE (1) K, chúng tôi định nghĩa bậc tổng thể vi phân của một phần tử trong AODE (1) K.
F(y, y 0 ) =A 0 y 0m +A 1 y 0m−1 +ã ã ã+A m−1 y 0 +A m , trong đó m ∈ N ∗ , A i ∈ K[y] với mọi i = 0, , m, A 0 6= 0 Số δ F := max{2(m−i) + deg y A i | i = 0, , m} được gọi là bậc tổng thể vi phân (differential total degree) của F.
Nhắc lại rằng bậc tổng thể (total degree) của F được định nghĩa bởi dF := max{(m−i) + deg y Ai | i = 0, , m}.
Với đa thức vi phân bất khả quy F(y, y 0 ) = Q(x, y)y 0 −P(x, y) ta có δ F = max{2 + degQ,degP} Đặc biệt, bậc tổng thể vi phân của đa thức vi phân Riccati y 0 −A(x)y 2 −B(x)y −C(x) bằng 2.
Bậc tổng thể vi phân cũng có tính chất thông thường của bậc tương ứng với phép nhân của các đa thức vi phân, cụ thể như sau.
Mệnh đề 2.7 Cho F, G ∈ AODE (1) K khỏc khụng Khi đú δ F ãG = δ F +δ G
Chứng minh Giả sửF = P i,j b ij y i y 0j vàG = P k,l c kl y k y 0l thuộcAODE (1) K và khác không Khi đó δF = max{2j+i | bij 6= 0}, δG = max{2l +k | ckl 6= 0}.
Do đó δ F ãG = max{2(j +l) +i+k | b ij c kl 6= 0}
Mệnh đề được chứng minh là δ F + δ G Tác động của nhóm G K (1) lên tập hợp AODE (1) K được định nghĩa bởi Φ M •F = (−cy +a) δ F (F(Φ M −1 (y, y 0 ))), với mọi Φ M ∈ G K (1) xác định bởi M(u) = au+b cu+d và với mọi F ∈ AODE (1) K Các tính chất sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa này.
Tác động nhóm định nghĩa một quan hệ tương đương trên tập hợp AODE (1) K Cụ thể, cho hai phần tử F và G thuộc AODE (1) K, ta nói rằng F tương đương với G, ký hiệu F ∼ G, nếu tồn tại một phần tử ΦM trong G K (1) sao cho tích của ΦM với F bằng G.
Quan hệ tương đương phân hoạch tập AODE thành các lớp tương đương, với mỗi lớp chứa vô hạn phương trình tương đương Khi đề cập đến một lớp autonom của các phương trình vi phân đại số cấp một, chúng ta ám chỉ đến một lớp tương đương của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom nào đó.
Chúng tôi chứng minh rằng bậc tổng thể vi phân là một bất biến số trong mỗi lớp tương đương, nghĩa là các phương trình vi phân đại số thuộc cùng một lớp đều có bậc tổng thể vi phân giống nhau Kết quả này sẽ được áp dụng để xác định một chặn bậc cho nghiệm đại số tổng quát của lớp autonom các phương trình vi phân đại số cấp một Định lý 2.11 khẳng định rằng với F(y, y') = A₀y'ᵐ + + Aₘ₋₁y' + Aₘ ∈ K[y, y'], trong đó A₀ ≠ 0 và G = Φₘ • F, với Φₘ ∈ Gₖ(1), thì δF là bậc tổng thể vi phân của F.
Chứng minh 1 Giả sử M(y) = ay +b cy +d Ta có
(ad−bc) m (−cy+ a) 2m 6= 0 nên deg y 0 G = m = deg y 0 F.
2 Xét hệ số của y 0m−i ta có
, trong đó A,˜ B,˜ C˜ là các hệ số của tử số của ∂M ∂x −1 (y)
Gọi k = deg y ( ˜Ay 2 + ˜By + ˜C) ≤ 2 thì 0 ≤ k ≤ 2 Ta có các trường hợp của c như sau:
Nếu c bằng 0 thì deg y A j (M −1 (y)) = deg y A j Do đó deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y) ≤ max
0≤j≤i{deg y A j +k(i−j)} ≤δ F Nếu c khác 0 thì deg y A j (M −1 (y)) = 0 Do đó deg y (−cy + a) δ F −2(m−i) Bi(y) ≤ max
≤ δ F −2(m−i) ≤δ F Như vậy cả hai trường hợp ta đều có deg y G ≤ max i∈{0,1, ,m} n deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y)o ≤ δ F
3 Mặt khác, khi i = 0, ta có δ G = max
0≤i≤m{2(m−i) + deg y (−cy +a) δ F −2(m−i) B i (y)} = δ F Định lý được chứng minh.
Theo Định lý 2.11, tính chất thứ nhất và thứ ba có thể được áp dụng như điều kiện cần để xác định sự tương đương của hai phương trình vi phân đại số thông qua tác động của nhóm.
Mệnh đề 2.13 xác định rằng cho đa thức hai biến P(x, y) = a0y^m + a1y^(m−1) + + am ∈ C[x][y] với a, b, c, d ∈ C[x] và điều kiện ad − bc ≠ 0, nếu deg(a) < n, i = 0, 1, , m và các đa thức a, b, c, d có bậc nhỏ hơn N, thì tử số của P(x, ay + b, cy + d) sẽ là một đa thức theo x với bậc nhỏ hơn n + mN.
Chứng minh Cho P = P m i=0 a i y m−i Khi đó tử số của P(x, ay+b cy+d ) là
Ta có dega ≤N, degb ≤ N, deg(ay +b) ≤ N, deg(cy + d) ≤N.
Do đó dega i (ay +b) m−i (cy +d) i ≤ n+ (m−i)N +iN = n+mN.
Mệnh đề được chứng minh.
Phép biến đổi song hữu tỷ cho thấy rằng hầu hết các nghiệm của các phương trình tương đương có thể được chuyển đổi qua lại một cách linh hoạt.
Hệ quả 2.14 Cho F ∈ AODE (1) K và Φ M ∈ G K (1) với M(u) = au+b cu+d Đặt
G= Φ M •F Khi đó một nghiệm khác −d c của F = 0 được biến đổi thành một nghiệm của G = 0 và một nghiệm khác a c của G = 0 được biến đổi thành một nghiệm của F = 0.
Trong chương 2, chúng tôi đã trình bày một số tính chất của bậc tổng thể vi phân của các đa thức vi phân cấp một, bao gồm tính tương thích của bậc đối với phép nhân đa thức (Mệnh đề 2.7), tính tương thích của tác động nhóm với phép hợp thành các ánh xạ (Mệnh đề 2.9) và tính bất biến của bậc tổng thể vi phân dưới tác động của nhóm các phép biến đổi M¨obius (Định lý 2.11).
Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một
Trong chương này, chúng tôi thiết lập các tính chất bảo toàn nghiệm của phương trình vi phân đại số cấp một dưới tác động của biến đổi M¨obius, đặc biệt là các nghiệm tổng quát đại số Kết hợp với tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân, chúng tôi đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình thuộc lớp tương đương autonom Chúng tôi cũng đề xuất một thuật toán để tìm nghiệm tổng quát đại số cho các phương trình trong lớp autonom Các kết quả này được công bố trong bài báo [6].
Nghiệm đại số
Định nghĩa 3.1 Cho K là một trường vi phân và F ∈ K{y} là một đa thức vi phân Một nghiệm đại số của F = 0 trên K là một nghiệm của
F và đồng thời là một phần tử đại số trên trường K.
Trong luận án này chúng tôi quan tâm đến việc tìm nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 trên K.
Mệnh đề 3.2 chỉ ra rằng nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một, thì mỗi nghiệm kỳ dị của phương trình F(y, y') = 0 đều là nghiệm đại số Hơn nữa, số lượng nghiệm kỳ dị của phương trình này là hữu hạn.
Chứng minh rằng một nghiệm chung của F = 0 và S = 0 có thể là nghiệm của biệt thức của F (disc(F) = res(F, S, y₀)) hoặc là nghiệm của hệ số đầu của F Do F là một đa thức vi phân cấp một, nên cả disc(F) và in(F) đều là các đa thức một biến theo y với hệ số trên K.
Mỗi nghiệm kỳ dị của phương trình F(y, y 0 ) = 0 đều là nghiệm đại số trên K Số lượng nghiệm đại số của F(y, y 0 ) = 0 không vượt quá tổng của deg y disc(F) và deg y in(F).
Mệnh đề 3.3 Cho P(y) là đa thức tối tiểu của một nghiệm đại số η ∈ L của F(y, y 0 ) = 0 trên K Khi đó, mọi ξ ∈ L thỏa P(ξ) = 0 đều là nghiệm đại số của F(y, y 0 ) = 0.
Chứng minh Vì P là đa thức tối tiểu của η nên η là một nghiệm tổng quát của hPi Giả sử F(η) = 0, theo Mệnh đề 1.53, ta có prem(F, P) = 0.
Từ đó suy raS P k I P l F = Q 1 P 0 +Q 2 P, trong đó P 0 là đạo hàm của P, S P và
I P tương ứng là tách và hệ số đầu của P Chú ý rằng, với ξ thỏa P(ξ) = 0 ta có P 0 (ξ) = 0 và S P (ξ) 6= 0, I P (ξ) 6= 0 Do đó, F(ξ) = 0.
Trong luận án này, ta xét K = C(x) và tìm các nghiệm đại số của
F(y, y 0 ) = 0 trên C(x) có thể được giải bằng cách tìm nghiệm đại số của nó, tương đương với việc tính đa thức tối tiểu trên trường cơ sở C(x) Đa thức bất khả quy P(x, y) được coi là một nghiệm đại số của F(y, y 0 ) = 0, trong đó một trong các hàm đại số y(x) xác định bởi P(x, y(x)) = 0 là nghiệm của F(y, y 0 ) = 0 Bậc của nghiệm đại số được xác định bởi bậc của đa thức tối tiểu tương ứng.
Trong phần này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả về nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một autonom, theo nghiên cứu của J M Aroca và các cộng sự Các kết quả này được tổng quát hóa cho các phương trình không autonom nhưng tương đương với một phương trình autonom Để tìm một nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0 đối với các phương trình vi phân đại số cấp một autonom, chỉ cần xác định một nghiệm đại số không tầm thường Theo định nghĩa, một nghiệm đại số P(x, y) = 0 của phương trình F(y, y 0 ) = 0 được coi là không tầm thường nếu deg x P > 0.
Mệnh đề 3.5 nêu rằng, với F ∈ C{y là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một với hệ số hằng, nếu P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của F(y, y') = 0, thì P(x+c, y) = 0 trở thành một nghiệm tổng quát đại số của F(y, y') = 0, trong đó c là hằng số tùy ý.
Chặn bậc sau là yếu tố quan trọng trong việc phát triển thuật toán tìm nghiệm đại số không tầm thường cho phương trình vi phân đại số cấp một autonom Định lý 3.6 khẳng định rằng nếu F là một đa thức bất khả quy trong Q[y, y'] và P cũng là một đa thức bất khả quy trong Q[x, y] với P(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân autonom F(y, y') = 0, thì các điều kiện về bậc như sau được thiết lập: deg x P = deg y' F và deg y P ≤ deg y F + deg y' F.
P(x + c, y) = 0 là nghiệm tổng quát đại số của phương trình F(y, y') = 0, và điều này cho thấy rằng chặn bậc này có tính mịn Điều này cho phép xác định một phương trình vi phân tự trị F(y, y') = 0 mà chặn bậc ở trên đạt được dấu bằng.
Ví dụ 3.7 a) Cho phương trình vi phân đại số cấp một autonom
∂y 0 F(y, y 0 ) = 2y 0 , nghiệm kỳ dị của F = 0 là y = −9
8. Nghiệm tổng quát đại số của F = 0 là y = 1
2((x+ c) 2 + 3(x+ c)). Ở đây P(x, y) = 1 2 ((x+ c) 2 + 3(x+ c))−y Suy ra deg x P = deg y 0F = 2 và deg y P = 1 thỏa mãn
1 = deg y P ≤ deg y F + deg y 0 F = 1 + 2 = 3. b) ([2, Example 3.9]) Cho n > m >0 và (m, n) = 1 Đặt
P(x, y) = y n −x m là đa thức bất khả quy Rõ ràng P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số
Khi đó ta có deg y P = deg y F + deg y 0F.
Một số tính chất bảo toàn của nghiệm
Định lý 3.8 Cho F, G ∈ AODE (1) K và giả sử F ∼ G Khi đó F có một nghiệm tổng quát đại số nếu và chỉ nếu G có một nghiệm tổng quát đại số.
Chứng minh Giả sử η là một nghiệm tổng quát đại số của F Giả sử tồn tại Φ M ∈ G K (1) xác định bởi M(y) = ay +b cy +d sao cho G = Φ M •F Khi đó
Suy ra M(η) là một nghiệm đại số của G vì cη +d 6= 0 Mặt khác, giả sử
H ∈ AODE (1) K sao cho H(ΦM(η, η 0 )) = 0, nghĩa là Φ M −1 •H ∈ AODE (1) K triệt tiêu tại η Vì η là một nghiệm tổng quát của F nên Φ M −1 •H ∈ {F} : S F , trong đó SF là tách (separant) của F Từ F = Φ M −1 •G ta suy ra
∂y S G (Φ M ) = (cy +d) δ G −2 (ad−bc)S G (Φ M ) và do đú (Φ M −1 •H)ãS F ∈ {F} hay là
Cho ΦM tác động lên tích ở trên, từ Mệnh đề 2.9 ta suy ra HSG ∈ {G}, tức là H ∈ {G} : S G Do đó M(η) là một nghiệm tổng quát đại số của
Để tìm nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một autonom, ta chỉ cần tính toán một nghiệm cụ thể Khi thay biến x thành x+c với c là hằng số tùy ý, ta có được nghiệm tổng quát đại số của phương trình Nghiệm tổng quát này có tính chất bảo toàn qua lớp tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một Một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là cách hiểu về “nghiệm đại số không tầm thường” trong lớp autonom của các phương trình vi phân đại số cấp một Định nghĩa 3.9 đưa ra ánh xạ tịnh tiến với c ∈ C là hằng số.
Khái niệm phương trình autonom có thể được phát biểu lại dựa vào ánh xạ tịnh tiến T c như sau.
Mệnh đề 3.10 F ∈ AODE (1) K là autonom nếu và chỉ nếu T c ? F = F với mọi c ∈ C.
Nếu F là hàm tự động, thì mọi hệ số của F đều là hằng số, dẫn đến T c ? F = F với mọi c ∈ C Ngược lại, giả sử T c ? F = F với mọi c ∈ C, và xét a α,β(x) là một hệ số hằng của F tương ứng với đơn thức y α y 0β, với deg x a α,β (x) = k > 0 Do T c ? F − F = 0, mọi hệ số của đa thức hiệu đồng nhất bằng không, đặc biệt là a α,β (x+c)−a α,β (x) = 0 với mọi c ∈ C Điều này dẫn đến đa thức aα,β(x+c)−aα,β(x) có bậc k theo c và vô hạn nghiệm c, điều này không thể xảy ra Do đó, mọi hệ số của F đều là hằng.
Ta thấy rằng F ∈ AODE (1) K thuộc một lớp autonom nếu tồn tại Φ M ∈
G K (1) sao cho Tc ?(ΦM •F) = ΦM •F, với ∀c ∈ C, có thể được diễn đạt là Φ M −1 •(T c ?(Φ M •F)) =F, ∀c ∈ C Định nghĩa 3.11 nêu rõ rằng cho F ∈ AODE (1) K thuộc lớp autonom và Φ M là một phép biến đổi sao cho ΦM •F là autonom, một nghiệm đại số P(x, y) = 0 của F(y, y 0 ) = 0 trên C(x) được coi là không tầm thường tương ứng với Φ M nếu deg x (Φ M •P) > 0.
Khi xem xét các phương trình vi phân đại số cấp một autonom và ánh xạ đồng nhất M, định nghĩa này tương đồng với Định nghĩa 3.4 về nghiệm đại số không tầm thường trong tài liệu [2] Định lý 3.12 nêu rằng, đối với phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y') = 0 thuộc lớp autonom và phép biến đổi Φ M sao cho Φ M • F = 0 cũng là autonom, giả sử P(x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường.
F(y, y 0 ) = 0 trênC(x)tương ứng với Φ M Khi đóΦ M −1 •(T c ?(Φ M •P)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình F(y, y 0 ) = 0, trong đó c là hằng số tùy ý.
Giả sử P(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 tương ứng với ΦM, thì phương trình vi phân ΦM • F = 0 là autonom và có nghiệm đại số không tầm thường là ΦM • P = 0 Từ đây, suy ra T c ?(ΦM • P) = 0 là nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân ΦM • F = 0 Do đó, ΦM −1 •(T c ?(ΦM • P)) = 0 cũng là nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 Theo Định lý 3.13, nếu phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 thuộc lớp autonom và P(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của F(y, y 0 ) = 0 tương ứng với ΦM, thì giống của đường cong đại số P(x, y) = 0 bằng giống của đường cong đại số F(y, y 0 ) = 0.
Phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y') = 0 thuộc lớp autonom cho phép tồn tại một phép biến đổi song hữu tỷ ΦM, sao cho phương trình ΦM • F = 0 cũng trở thành autonom Khi đó, ΦM • P = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình ΦM • F = 0 Theo [2, Lemma 3.5], giống của ΦM • P = 0 tương đương với giống của ΦM • F = 0 Do ΦM là phép biến đổi song hữu tỷ, nên giống của P(x, y) = 0 và giống của F(y, y') = 0 là bằng nhau.
Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số
Theo [2, Theorem 3.4 và Theorem 3.8], bậc của một nghiệm đại số không tầm thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom
Chúng ta xem xét phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0 ) = 0 và sử dụng kết quả đã biết để xác định một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số của nó trong lớp tương đương autonom Ở đây, bậc của nghiệm đại số được hiểu là bậc của đa thức tối tiểu trên trường cơ sở Định lý 3.14 khẳng định rằng nếu F ∈ AODE (1) K và tồn tại ΦM ∈ G K (1) sao cho Φ M • F là phương trình vi phân đại số autonom, thì bậc của nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0 trên K sẽ bị chặn bởi một giá trị cụ thể.
Nếu K = C(x) và M(y) = ay + bcy + d, với bậc của a, b, c, d nhỏ hơn N, thì bậc theo x của đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0) = 0 sẽ nhỏ hơn deg y 0F + N(δ F + deg y 0F) Theo Định lý 2.11, ta có deg y 0G = deg y 0F và deg y G ≤ δ F.
Giả sử Q(x, y) là một đa thức bất khả quy với nghiệm đại số không tầm thường yˆ của phương trình G(y, y 0 ) = 0 trên C(x) Do G(y, y 0 ) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một tự động, theo định lý [2, Theorem 3.8], ta có deg x Q = deg y 0 G và deg y Q ≤ deg y G + deg y 0 G ≤ δ F + deg y 0 F.
Rõ ràng M −1 (ˆy) là một nghiệm đại số không tầm thường của F = 0 Giả sử M(y) = ay +b cy +d Khi đó (cM −1 (ˆy) +d) deg y Q Q(x, M(M −1 (ˆy))) = 0.
Suy ra M −1 (ˆy) là nghiệm của đa thức (cy + d) deg y Q Q(x, M(y)), cho thấy M −1 (ˆy) là phần tử đại số trên K với bậc không vượt quá deg y Q Bất đẳng thức (3.1) cho thấy M −1 (ˆy) cũng là phần tử đại số trên K với bậc không quá (δ F + deg y 0F) Do bậc của nghiệm đại số không tầm thường và bậc của nghiệm tổng quát đại số của G= 0 là bằng nhau, phần đầu của định lý đã được chứng minh.
Theo mệnh đề 2.13, bậc theo x của đa thức tối tiểu của một nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một F(y, y 0) = 0 nhỏ hơn deg y 0F + N(δ F + deg y 0F) Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các bậc của các đa thức liên quan và đã được chứng minh trong phần trước của định lý.
Trong phương trình vi phân đại số cấp một autonom, bậc của một nghiệm tổng quát đại số của F = 0 bị chặn bởi deg y 0 F + deg y F, và giá trị này không vượt quá deg y 0 F + δ F Khi giới hạn lên các phương trình vi phân đại số cấp một autonom, chặn bậc sẽ cao hơn Điều này hợp lý vì chặn bậc áp dụng cho lớp phương trình vi phân đại số cấp một rộng hơn, bao gồm cả các phương trình autonom.
Chúng tôi giới thiệu một thuật toán nhằm tính nghiệm tổng quát đại số cho phương trình vi phân đại số cấp một trong lớp autonom Bài viết cũng cung cấp ví dụ minh họa về việc chuyển đổi phương trình vi phân đại số không autonom thành dạng autonom, từ đó tính toán nghiệm tổng quát đại số cho phương trình đã cho.
Input: F ∈ K[y, y 0 ], deg y F > 0,deg y 0 F > 0, M(y) = ay +b cy +d để Φ M •F là autonom.
Output: Tính nghiệm tổng quát đại số của F = 0 nếu có.
Sử dụng Thuật toán 4.4 trong tài liệu [2] để tìm nghiệm đại số không tầm thường của Φ M •F Nếu không tìm thấy nghiệm đại số không tầm thường cho Φ M •F, ta có thể kết luận rằng "F = 0 không có nghiệm tổng quát đại số".
2 Nếu Q(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của Φ M •F = 0 nhận được từ bước 1 thì
(−cy +a) deg y Q Q(x+C, M −1 (y)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của F = 0 với C là hằng số tùy ý.
Ví dụ 3.15 Xét phương trình không autonom
Ta có δ F = 7 Đặt M(y) = xy − 1 Biến đổi Φ M biến phương trình
G(y, y 0 ) = Φ M •F = x 7 [(1−2y 3 +4y 2 )y 02 +(−2y 5 −8y 2 +8y)y 0 +4−y 4 −4y] = 0, và phương trình này tương đương với phương trình autonom
Ta kiểm tra được phương trình G(y, y 0 ) = 0 có nghiệm đại số không tầm thường
Do đó, nghiệm tổng quát đại số của G(y, y 0 ) = 0 là
Q(x+c, y) = (x+ c)y 2 −y + (x+c) 2 + 1 = 0, với c là hằng số tùy ý Đa thức Φ M −1 •Q(x+ c, y) = Q(x+c, xy−1) =(cx 2 +x 3 )y 2 + (−2xc−2x 2 −x)y +x 2 +c+ x+ 2 + 2xc+c 2 là đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của F(y, y 0 ) = 0.
Đường cong đại số Φ M −1 •Q(x+c, y) = 0 có bậc giống với đường cong đại số F(y, y 0 ) = 0, với bậc nghiệm tổng quát đại số là 2 Chặn bậc được tính bằng deg y 0F +δ F = 2 + 7 = 9.
Trong Thuật toán 1, chúng tôi giả định rằng F(y, y 0 ) = 0 tương đương với một phương trình tự động thông qua phép biến đổi ΦM Tuy nhiên, việc xác định liệu F(y, y 0 ) = 0 có thực sự tương đương với một phương trình tự động hay không vẫn là một vấn đề mở Chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề này trong chương tiếp theo, với giả thiết bổ sung rằng F(y, y 0 ) = 0 là một phương trình tham số hữu tỷ.
Trong chương 3, chúng tôi đã thiết lập các tính chất bảo toàn liên quan đến nghiệm của phương trình vi phân đại số dưới tác động của nhóm biến đổi M¨obius Cụ thể, chúng tôi chứng minh tính chất bảo toàn nghiệm tổng quát đại số (Định lý 3.8) và cách xác định một nghiệm tổng quát từ một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp autonom (Định lý 3.12) Ngoài ra, chúng tôi chứng minh rằng đường cong đại số xác định nghiệm tương đương với đường cong của phương trình vi phân nếu thuộc lớp tương đương autonom (Định lý 3.13) và đưa ra một chặn bậc mới cho nghiệm tổng quát đại số (Định lý 3.14) Cuối cùng, chúng tôi đề xuất một thuật toán (Thuật toán 1) để tìm nghiệm tổng quát đại số cho phương trình vi phân đại số cấp một thuộc lớp tương đương autonom.
Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được
Cho K là một mở rộng hữu hạn của trường vi phân C(x) Tập hợp các phương trình vi phân hữu tỷ dạng y' = R(x, y), với R(x, y) là hàm hữu tỷ theo y có hệ số trên K, là đóng dưới các phép biến đổi M¨obius trên K Trong chương này, chúng tôi trình bày tiêu chuẩn kiểm tra sự tương đương của các phương trình vi phân đa thức dạng y' = P(x, y), với P là đa thức theo y có hệ số trên K Từ đó, chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ để kiểm tra sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ.
Phương trình vi phân đa thức
Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b
Phương trình (4.1) được biến đổi thành z 0 = A n (x)z n +A n−1 (x)z n−1 + ã ã ã+ A 1 (x)z+ A 0 (x), (4.2) trong đó
Với i = 1, từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra b = A n−1 −a n−1 nan
. Thế b vào (n−2) phương trình tiếp theo, ta được, với mọi 2 ≤ i ≤n−1,
Kết hợp các hệ số của các đơn thức đồng dạng và chú ý rằng
Định lý sau đây cung cấp công thức cho A n−i mà không bao gồm các hạng tử trộn, tức là những hạng tử có sự xuất hiện đồng thời của nhiều biến Công thức này giúp đơn giản hóa việc tính toán và phân tích các biểu thức liên quan đến A n−i trong toán học.
An−1 và an−1. Định lý 4.1 Với mọi 2 ≤i ≤ n−1, ta có
Để chứng minh công thức, chúng ta sử dụng phương pháp quy nạp với biến i, trong khoảng từ 2 đến n−1 Trước tiên, công thức được xác nhận đúng cho trường hợp i = 2 Tiếp theo, giả sử công thức đúng cho trường hợp i−1, nghĩa là nó đúng với mọi k trong khoảng từ 2 đến i−1.
Thay a k n−1 vào hạng tử A i−k n−1 a k n−1 a i−1 n của (4.5), ta thu được i−1
= (−1) i−j−1 n−j i−j n i−j Đặt l = k−j, ta có thể viết lại tổng kép sau theo j và l: i−1
!A i−k n−1 a k n−1 a i−1 n vào phương trình (4.5) thì tổng kép bị triệt tiêu và thu được
+a n−i Định lý được chứng minh. Định lý 4.2 Ta có n
Chứng minh Thế b = A n−1 −a n−1 na n vào phương trình cuối cùng của (4.3), ta thu được
(−1) 1−j n−j k−j n j (k−1) n k a k−j n−1 a n−j a j−1 n nên khi thay a k n−1 vào hạng tử A n−k n−1 a k n−1 a i−1 n , ta thu được n−1
A n−k n−1 a k n−1 a n−1 n trở lại phương trình (4.7) thì tổng kép bị triệt tiêu và ta thu được
Vậy định lý được chứng minh.
Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw
Phương trình (4.2) được biến đổi thành w 0 = ˜an(x)w n + ˜a n−1 (x)w n−1 +ã ã ã+ ˜a1(x)w + ˜a0(x), (4.8) trong đó
Bằng cách khử a, ta suy ra một hệ phương trình các bất biến sau
Để chuyển đổi phương trình (4.2) thành phương trình (4.8) thông qua phép biến đổi z = aw, hệ số a được xác định bởi ˜a n = A n a n−1 Do đó, a thuộc một mở rộng đại số của trường chứa các hệ số ˜a n và A n.
Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b
Như đã phân tích ở trên, phép biến đổi y = aw + b được phân tích thành hợp của hai phép biến đổi đơn giản hơn là y = z + b và z = aw.
Ký hiệu a = (a0, a1, , an), A = (A0, A1, , An), ˜a = (˜a0,a˜1, ,˜an) là các bộ hệ số trong các phép biến đổi thành phần Khi đó ta có hai tập hợp các bất biến như sau:
1 Tập hợp các bất biến của phép biến đổi y = z+b:
2 Tập hợp các bất biến của phép biến đổi z = aw:
Ta sẽ kết hợp các bất biến này để suy ra các bất biến của phép biến đổi hợp thành.
Mặt khác, ta có các bất biến I i (A) = I i (a), A n = a n , J i (A) = J i (˜a) Từ đó suy ra, với 2 ≤i ≤ n−2,
Vì vậy ta tìm được một tập các bất biến của phép biến đổi y = aw +b, đó là, với mọi i = 2, , n−2,
A n Để kết hợp với các bất biến trong phép biến đổi z = aw, ta xét bất biến
Từ đó ta nhận được một bất biến nữa của phép biến đổi y = aw +b, đó là K 1 (a).
Tiếp theo ta tìm bất biến dựa vào I0(A) Với n≥ 3, ta có
Lập luận tương tự ta nhận được một bất biến nữa của phép biến đổi y = aw +b, đó là
1 n n−1I0(a), n≥ 3. Định lý 4.4 Với n≥ 3, hai phương trình vi phân đa thức (4.1) và (4.8) là tương đương qua phép biến đổi y = aw+b nếu và chỉ nếu
Để chứng minh định lý, cần xác định các điều kiện cần thiết từ các tính toán đã thực hiện Chúng ta chỉ cần chứng minh phần đảo của định lý Giả sử các bất biến được thỏa mãn, ta gọi α1 và β1 là các phần tử đáp ứng các phương trình đã cho.
Khi thực hiện phép biến đổi y = α1u + β1, phương trình (4.1) được chuyển thành u0 = un + ¯an−2un−2 + + ¯a1u + ¯a0, với các hệ số ¯an−i = Ki(a) (2 ≤ i ≤ n−2), ¯a1 = K1(a), và ¯a0 = K0(a) Tương tự, bằng cách chọn α2 và β2 sao cho 1 = ˜anαn−1, 0 = ˜annβ2 + ˜an−1, phép biến đổi w = α2u + β2 biến phương trình (4.8) thành u0 = un + ¯bn−2un−2 + + ¯b1u + ¯b0, với ¯bn−i = Ki(˜a) (2 ≤ i ≤ n−2), ¯b1 = K1(˜a), và ¯b0 = K0(˜a) Từ giả thiết về các bất biến, ta suy ra rằng hai phương trình (4.1) và (4.8) có thể được biến đổi về cùng một phương trình trung gian, do đó chúng là tương đương thông qua phép biến đổi y = α1α2w + β1(α2 - α1β2)/α2.
Từ chứng minh định lý trên chúng ta có ngay hệ quả sau.
Hệ quả 4.5 Phương trình vi phân đa thức (4.1), với n ≥ 3, là tương đương với dạng chuẩn tắc sau u 0 = u n +K n−2 (a)u n−2 +ã ã ã+K 1 (a)u+K 0 (a), qua phép biến đổi y = α1u+β1 với α n−1 1 = 1 a n , β1 = −a n−1 na n
Bảng 4.1: Cỏc bất biến cơ sở của phư ơ n g trỡnh vi phõn đa thức y 0 = a n y n + a n − 1 y n − 1 + ãã ã + a 1 y + a 0 y 0 = a 3 y 3 + a 2 y 2 + a 1 y + a 0 (Ab el) y 0 = a 2 y 2 + a 1 y + a 0 (Riccati) y = z + b I n ( a ) := a n I 3 ( a ) := a 3 I 2 ( a ) := a 2 I n − i ( a ) := a n − i + P i − 1 j =0 ( − 1) i − j n − j i − j n i − j a i − j n − 1 a n − j a i − j n I 2 ( a ) := a 1 − 1 3 a 2 2 a 3 (2 ≤ i ≤ n − 1) I 0 ( a ) := a 0 + P n j =1 ( − 1) j n j a j a j n − 1 a j n + 1 n a n − 1 a n
Phương trình vi phân Riccati
Trong phần này chúng tôi đi tìm bất biến của phương trình Riccati đối với phép biến đổi y = aw+b Với n = 2, ta có
A 2 2 là một bất biến đối với phép biến đổi y = z+b Do đó
A 2 0 cũng là một bất biến đối với phép biến đổi y = z +b Vì
2(a 1 + a 0 2 a 2 ) 0 là một bất biến của phương trình Riccati y 0 = a2y 2 +a1y+a0 đối với phép biến đổi y = aw+b.
Dựa vào bất biến này, chúng ta có thể kiểm tra sự tương đương của hai phương trình vi phân Riccati Theo Định lý 4.6, với n = 2, hai phương trình vi phân Riccati (4.1) và (4.8) sẽ tương đương thông qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu.
Chứng minh Điều kiện cần được suy ra từ lập luận ở trên Ngược lại, đặt a = ˜a2 a 2 , b = 1
Vì K˜ 0 (a) = ˜K 0 (˜a) nên ta suy ra ˜a 0 = 1 a(a 2 b 2 + a 1 b + a 0 −b 0 ) Các hệ số ˜a 2 ,˜a 1 ,a˜ 0 là các hệ số của phương trình vi phân Riccati nhận được qua phép biến đổi y = aw+b.
Ví dụ 4.7 Hai phương trình vi phân trong [15] (danh mục các phương trình vi phân của Kamke) no.1.140 : y 0 = −y 2 − 4 xy− 2 x 2 và no.1.165 : y 0 = − 1
2x−1 là tương đương bởi vì chúng có cùng bất biến vi phân K˜ 0 (a) = 0, qua phép biến đổi được xác định y = aw+b với a = 1
Trong nghiên cứu của Czy˙zycki và cộng sự, họ đã phân tích sự tương đương của các phương trình Riccati dưới tác động của một số nhóm con thuộc nhóm Lie, liên quan đến các phép biến đổi tương đương của phương trình Riccati Một trong những nhóm con này bao gồm các phép biến đổi có dạng y = aw + b.
Trở lại với phương trình Riccati y 0 = a 2 y 2 + a 1 y +a 0 , bằng phép biến đổi y = aw +b với a = 1 a 2 và b = − 1
2a 2 (a 1 + a 0 2 a 2 ) phương trình Riccati đã cho được biến đổi về dạng chuẩn tắc hữu tỷ w 0 = w 2 + ˜K 0 (a).
Từ đó ta có ngay mệnh đề sau.
Mệnh đề 4.9 chỉ ra rằng phương trình vi phân Riccati tương đương với phương trình vi phân tự động thông qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu bất biến vi phân K˜ 0 (a) là một hằng số.
Nếu K˜ 0 (a) là một hằng số thì nghiệm của phương trình Riccati có thể tìm được bằng phương pháp tách biến:
Phương trình Riccati có dạng w' = w^2 + ˜K₀(a) = x + C, với C là một hằng số tùy ý Nếu ˜K₀(a) = 0, nghiệm tổng quát hữu tỷ của phương trình là w = -1/(x + C) Ngược lại, nếu ˜K₀(a) là một hằng số khác không, phương trình w' = w^2 + ˜K₀(a) sẽ có nghiệm tổng quát Liouville không đại số trên C(x).
Nếu K ˜ 0 (a) không phải là hằng số và phương trình Riccati được xác định trên C(x), việc tìm nghiệm đại số của phương trình Riccati có thể áp dụng thuật toán Kovacic (J Kovacic 1986) Mỗi nghiệm ω của phương trình Riccati w 0 = w 2 + r(x) tương ứng với nghiệm y = e R ω của phương trình vi phân tuyến tính cấp hai y 00 + r(x)y = 0 Dựa trên lý thuyết Galois vi phân, Kovacic đã chứng minh rằng bậc nhỏ nhất của các nghiệm đại số trên C(x) của phương trình Riccati w 0 = w 2 + r(x), với r(x) thuộc C(x), có thể là 1, 2, 4, 6, hoặc 12.
Dựa vào phân loại nhóm Galois vi phân của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, F Ulmer và cộng sự (1996) đã chỉ ra các bậc có thể có của các đa thức tối tiểu cho các nghiệm đại số của phương trình Riccati w 0 = w 2 + r(x).
Theo A Zharkov (1995), nếu phương trình Riccati w 0 + w 2 = r, với r ∈ Q(x), có một nghiệm đại số, thì tồn tại một đa thức tối tiểu xác định nghiệm đó Đặc biệt, các hệ số của đa thức tối tiểu này nằm trong một mở rộng của trường Q và có bậc tối đa là 3.
Phương trình vi phân Abel
Phương trình vi phân Abel loại một có dạng y' = a3y^3 + a2y^2 + a1y + a0, với ai ∈ K Để đơn giản hóa, chúng ta chỉ tập trung vào các phương trình Abel loại một, mà không xét đến các phương trình Abel loại hai Chúng ta sẽ thực hiện phép biến đổi y = aw + b trên các phương trình vi phân Abel, thay vì sử dụng các phép biến đổi Möbius.
Qua phép biến đổi y = aw+b, phương trình Abel (4.12) được biến đổi thành w 0 = ˜a 3 w 3 + ˜a 2 w 2 + ˜a 1 w + ˜a 0 , trong đó
Trong mục 4.1, chúng ta đã khám phá các bất biến vi phân của phương trình vi phân đa thức y' = a_n y^n + a_{n-1} y^{n-1} + + a_1 y + a_0 dưới phép biến đổi y = aw + b Khi áp dụng kết quả này cho n = 3, chúng ta có thể suy ra các bất invariant vi phân của phương trình Abel.
Hệ quả 4.12 Hệ các bất biến vi phân cơ sở của phương trình Abel là
Dựa vào các bất biến vi phân cơ sở, chúng tôi đã phát triển một tiêu chuẩn để kiểm tra sự tương đương giữa hai phương trình vi phân Abel.
Hệ quả 4.13 Hai phương trình vi phân Abel y 0 = a 3 y 3 +a 2 y 2 +a 1 y+a 0 và w 0 = ˜a 3 w 3 + ˜a 2 w 2 + ˜a 1 w+ ˜a 0 là tương đương qua phép biến đổi y = aw+b nếu và chỉ nếu
Chứng minh Điều kiện cần của định lý là rõ ràng vì K 0 (a) và K 1 (a) là các bất biến Ngược lại, ta đặt a s ˜ a 3 a3 và b = 1
Khi đó a˜3 = a3a 2 và ˜a2 = a(a2 + 3a3b) Vì K2(a) = K2(˜a) và K0(a) K 0 (˜a) nên ta suy ra a˜ 1 = 1 a(−a 0 + (2a 2 b+ 3a 3 b 2 +a 1 )a) và ˜a 0 = 1 a(−b 0 + a 3 b 3 + a 2 b 2 + a 1 b + a 0 ) Các hệ số ˜a 0 ,˜a 1 ,a˜ 2 ,˜a 3 là các hệ số của phương trình Abel được biến đổi qua phép biến đổi y = aw +b.
Ví dụ 4.14 Xét các phương trình vi phân Abel dt dx =−(t+x−1)((t+ x) 2 −5(t+ x) + 7)
Dựa vào Hệ quả 4.12, chúng ta có thể tính các bất biến K2(a) = 0 và K0(a) = 0 Theo Hệ quả 4.13, các phương trình này tương đương thông qua phép biến đổi t = s - x + 1 Lưu ý rằng phép biến đổi này không phải là duy nhất; ví dụ, phép đổi biến t = -s + 3 - x cũng đáp ứng yêu cầu.
Theo hệ quả từ phép chứng minh Hệ quả 4.13, các hệ số a và b trong phép biến đổi y = aw + b có thể nằm trong một mở rộng bậc hai của trường hệ số K, điều này xác định các phương trình Abel Chúng ta tiếp tục tìm kiếm các dạng chuẩn tắc khả thi của phương trình vi phân Abel khi cho phép các phép biến đổi xác định trên một mở rộng hữu hạn của trường cơ sở Định lý 4.15 chỉ ra rằng phương trình Abel có thể được chuyển đổi về dạng chuẩn tắc w₀ = w³ + K₁(a)w + K₀(a).
√a 3 để ˜a3 = 1. Khi đó phép biến đổi y = aw+b biến đổi phương trình Abel (4.12) thành w 0 = w 3 +K 1 (a)w +K 0 (a).
Nếu K 0 (a) và K 2 (a) là các hằng số, phương trình Abel trở thành tương đương với một phương trình vi phân tự trị Trong trường hợp này, chúng ta có thể áp dụng phương pháp tách biến để tích phân phương trình.
Nếu K 0 (a) = 0, phương trình (4.17) trở thành phương trình vi phân Bernoulli Bằng cách áp dụng phép biến đổi u = 1/w², chúng ta có thể chuyển đổi phương trình (4.17) thành một phương trình vi phân tuyến tính, từ đó tiến hành tích phân để tìm nghiệm của phương trình Bernoulli Để đưa phương trình Abel về dạng chuẩn tắc (4.17), cần sử dụng phép biến đổi xác định trên một mở rộng bậc hai của trường cơ sở Nếu giới hạn các phép biến đổi xác định trên trường cơ sở, sẽ có hai dạng chuẩn tắc khác nhau của phương trình Abel tùy thuộc vào việc K 0 (a) = 0 hay không.
K 0 (a) 6= 0. Định lý 4.18 Có hai dạng chuẩn tắc hữu tỷ khác nhau của phương trình Abel:
√˜a3 Có hai trường hợp như sau:
• Trường hợp K 0 (˜a) = 0, vì ˜a 3 6= 0 nên ta phải có ˜a 0 = 0 Chọn a = 1, khi đó a˜3 = a3 và ˜a1 = a1−1
3 a 2 2 a 3 Trong trường hợp này, phép biến đổi y = w − a 2
3a 3 biến đổi (4.12) thành dạng chuẩn tắc hữu tỷ w 0 = ˜a 3 w 3 + ˜a 1 w.
K 0 (˜a) Trong trường hợp này, phép biến đổiy = K 0 (˜a)
3a 3 biến đổi (4.12) thành dạng chuẩn tắc hữu tỷ w 0 = ˜a 3 w 3 + ˜a 1 w + 1. Định lý được chứng minh.
Chú ý 4.19 Theo P Appell (1889) trong [1], với các phép biến đổi x = φ(t), y(x) = a(t)w(t) + b(t), phương trình Abel có dạng chuẩn tắc w' = w^3 + J(t), trong đó J(t) là một bất biến của phép biến đổi Việc tìm nghiệm cho phương trình Abel chuẩn tắc trở nên phức tạp nếu J(t) không phải là hằng số.
Vấn đề xác định sự tương đương của hai phương trình Abel qua phép biến đổi như trên đã được E S Cheb-Terrab và cộng sự nghiên cứu trong
[7] Tuy nhiên, phép biến đổi dạng này không bảo toàn nghiệm đại số nếu φ không phải là một hàm đại số.