ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NĂM HỌC: 2020 - 2021 BẤT BIẾN QUA ÁNH XẠ GIẢ-MỞ Sinh viên thực hiện: Phạm Thị Ái Lài, Lớp 17ST, Khóa 17 Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn động viên em suốt q trình thực đề tài, nhờ em hồn thành nghiên cứu Trong trình nghiên cứu đề tài, em gặp khơng khó khăn tìm tịi dịch tài liệu hạn chế mặt kiến thức Tuy vậy, nhờ giúp đỡ tận tình từ quý thầy giáo, quan tâm gia đình bạn bè giúp chúng em có động lực phấn đấu hoàn thành nghiên cứu khoa học Đây kỷ niệm đáng nhớ em thời gian học tập Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! Phạm Thị Ái Lài MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng, bao đóng phần tập hợp 1.3 Một số tiên đề tách 13 1.4 Không gian compact 14 1.5 Ánh xạ liên tục 14 1.6 Không gian metric 15 CHƯƠNG Bất biến qua ánh xạ giả-mở 16 2.1 Một số tính chất mạng khơng gian metric suy rộng 16 2.2 Bất biến qua ánh xạ giả-mở 22 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, lý thuyết không gian metric suy rộng khơng ngừng phát triển đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác topo đại cương Trên sở nhiều cơng trình nghiên cứu sở, mạng k -mạng, số khái niệm liên quan xuất mạng Pytkeev, cp-mạng, ck -mạng, cn-mạng, sp-mạng Một hướng tác giả giới quan tâm nhiều nghiên mối quan hệ tính chất mạng khơng gian metric suy rộng bất biến chúng qua ánh xạ (xem [6]) Bằng cách tương tự tính chất tốt ánh xạ mở khơng gian topo, A V Arhangel’skii đưa khái niệm ánh xạ giả-mở, mở rộng ánh xạ mở ([2]) Sau đó, S Lin, C Liu cộng chứng minh không gian Fréchet-Urysohn với cs∗ -mạng điểm-đếm bất biến qua ánh xạ giả-mở Do đó, tác giả đặt tốn mở sau (xem [7]) Bài tốn Khơng gian Fréchet-Urysohn với cs∗ -mạng điểm-đếm có bất biến qua s-ánh xạ giả-mở hay khơng? Bài tốn thu hút nhiều nhà nghiên cứu topo giới quan tâm từ đến Khi nghiên cứu tốn, người ta thay đổi điều kiện toán theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhờ nhiều khái niệm topo đưa Chính lẽ đó, người ta thu nhiều tính chất quan trọng, tạo hướng nghiên cứu mạnh mẽ góp phần làm phong phú Lý thuyết topo đại cương (xem [7]) Với mong muốn tìm hiểu tính chất mạng, khơng gian metric suy rộng tính bất biến tính chất mạng qua ánh xạ, mối liên hệ tính chất mạng, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Bất biến qua ánh xạ giả-mở” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tơi nghiên cứu số tính chất mạng, khơng gian metric suy rộng, đưa số kết bất biến không gian mạng qua ánh xạ giả-mở Đối tượng nghiên cứu Một số tính chất mạng, không gian metric suy rộng, ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ giả-mở bất biến qua ánh xạ giả-mở Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu mối liên hệ mạng, bất biến tính chất mạng qua ánh xạ giả-mở Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập sách, báo khoa học tác giả trước liên quan đến tính chất mạng, ánh xạ giả mở, bất biến số mạng qua ánh xạ giả mở • Đọc kỹ chứng minh chi tiết kết tìm kiếm • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hồn chỉnh đề tài mình Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày bất biến qua ánh xạ giả-mở bao gồm mục: Mục 2.1, trình bày số tính chất mạng khơng gian metric suy rộng; Mục 2.2, trình bày bất biến qua ánh xạ giả-mở CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương trình bày số kiến thức topo đại cương, khái niệm tính chất chương trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ ; (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi topo X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 ([3]) Đối với không gian topo X , khẳng định sau (1) ∅, X tập hợp mở; (2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Ví dụ 1.1.3 Giả sử X tập không rỗng τ1 = {∅, X}, τ2 = P (X) Khi đó, τ1 τ2 topo X Ta nói τ1 topo thô τ2 topo rời rạc X Định nghĩa 1.1.4 ([3]) Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x Nhận xét 1.1.5 ([3]) Lân cận điểm không thiết tập hợp mở, tập hợp mở lân cận điểm thuộc Chứng minh Trên tập hợp số thực R với topo thông thường τ , giả sử U = [−1; 1] V = (−1; 1) Khi đó, V ∈ τ U lân cận điểm x = x ∈ V ⊂ U U ∈ / τ Do đó, lân cận điểm không thiết tập mở Ngược lại, giả sử U tập mở x ∈ U Khi đó, ta đặt V = U rõ ràng V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x Hệ 1.1.6 ([3]) Đối với không gian topo (X, τ ), khẳng định sau tương đương (1) U tập hợp mở; (2) U lân cận điểm thuộc nó; (3) Với x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U tập mở x ∈ U Khi đó, ta đặt V = U , rõ ràng V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x (2) =⇒ (3) Giả sử U lân cận x ∈ U Khi đó, với x ∈ U , ta đặt Vx = U , Vx lân cận x x ∈ Vx = U ⊂ U Do đó, (3) thỏa mãn (3) =⇒ (1) Giả sử vói x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Khi dó, Vx lân cận x nên tồn Wx ∈ τ cho x ∈ Wx ⊂ Vx ⊂ U Do đó, {x} ⊂ U= x∈U Wx ⊂ U , x∈U Vx Bởi Wx ∈ τ với x ∈ U nên ta suy U ∈ τ , kéo theo U = x∈U nghĩa U mở Định nghĩa 1.1.7 ([3]) Giả sử (X, τ ) khơng gian topo B ⊂ τ Ta nói B sở (X, τ ) (hay sở τ ) phần tử τ hợp phần tử B Nhận xét 1.1.8 ([3]) Giả sử (X, τ ) không gian topo B ⊂ τ Khi đó, (1) Nếu B sở τ , phần tử B tập hợp mở X , tập hợp mở X khơng thuộc B (2) B sở không gian topo (X, τ ) với U ∈ τ với x ∈ U , tồn V ∈ B cho x ∈ V ⊂ U Chứng minh (1) Bởi B ⊂ τ nên phần tử B mở X Tiếp theo, để tập mở X khơng thuộc B , ta xét phản ví dụ sau đây: tâp hợp số thực R với topo thông thường τ , giả sử B = {(ai , bi ) : , bi ∈ R, ≤ bi , i ∈ I} U = (1; 2) ∪ (3; 4) Khi đó, rõ ràng B sở (R, τ ) U ∈ τ U ∈ / B (2) ♣ Điều kiện cần Giả sử họ B sở τ , U ∈ τ x ∈ U Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.7, U = {Bi : Bi ∈ B} Bởi x ∈ U nên i∈I tồn i0 ∈ I cho x ∈ Bi0 ⊂ U Nếu đặt V = Bi0 V ∈ B x ∈ V ⊂ U ♣ Điều kiện đủ Giả sử U ∈ τ B họ gồm tập mở X thỏa mãn: với x ∈ U , tồn Vx ∈ B cho x ∈ Vx ⊂ U Khi đó, U= Vx Điều chứng tỏ B sở τ x∈U 1.2 Tập hợp đóng, bao đóng phần tập hợp Định nghĩa 1.2.1 ([3]) Giả sử (X, τ ) không gian topo F ⊂ X Ta nói F tập hợp đóng X X\F tập hợp mở X Định lí 1.2.2 ([3]) Gọi D họ gồm tất tập đóng khơng gian topo (X, τ ) Khi đó, (1) ∅ ∈ D, X ∈ D; (2) Nếu F1 , F2 ∈ D, F1 ∪ F2 ∈ D; (3) Nếu {Fi : i ∈ I} ∈ D, Fi ∈ D i∈I Chứng minh (1) Được suy trực tiếp từ cách đặt D định nghĩa topo 19 1) X gọi k -không gian với A ⊂ X mà A ∩ P mở P với P tập compact X , A tập mở X 2) X gọi không gian dãy với A ⊂ X thỏa mãn khơng có dãy A hội tụ đến điểm nằm ngồi A, A đóng X 3) X gọi khơng gian Fréchet-Urysohn với A ⊂ X , x ∈ A, tồn dãy {xn } ⊂ A hội tụ đến x Bổ đề 2.1.4 Mỗi không gian metric không gian Fréchet-Urysohn không gian Fréchet-Urysohn không gian dãy Chứng minh (1) Giả sử (X, d) không gian metric, A ⊂ X x ∈ A Khi đó, X khơng gian metric nên tồn dãy {xn } ⊂ X cho xn → x Điều chứng tỏ X không gian Fréchet-Urysohn (2) Giả sử (X, τ ) không gian Fréchet-Urysohn, A ⊂ X cho khơng có dãy nằm A hội tụ đến điểm nằm ngồi A Ta chứng minh A đóng Thật vậy, giả sử ngược lại A khơng đóng Khi đó, tồn x ∈ A \ A Bởi X khơng gian Fréchet-Urysohn nên tồn dãy {xn } ⊂ A cho xn → x Điều chứng tỏ tồn dãy nằm A hội tụ đến điểm nằm A, mâu thuẫn với giả thiết phản chứng Định nghĩa 2.1.5 ([5]) Cho (X, τ ) không gian topo A ⊂ X Ta nói A tụ điểm x hay x điểm tụ A với lân cận x chứa vô hạn phần tử A Nhận xét 2.1.6 Giả sử (X, τ ) T1 -khơng gian Khi đó, x ∈ X điểm tụ A x ∈ A \ {x} Chứng minh Điều kiện cần Giả sử x điểm tụ A U lân cận x Su U chứa vô hạn phần tử A, U chứa vơ hạn phần tử tập A \ {x} Như vậy, U ∩ (A \ {x}) = ∅ 20 Điều kéo theo x ∈ A \ {x} Điều kiện đủ Giả sử x ∈ A \ {x} U lân cận mở x Ta chứng minh U chứa vô hạn phần tử A Thật vậy, giả sử ngược lại U chứa hữu hạn phần tử A, giả sử U ∩ (A \ {x}) = {x1 , , xn } Bởi X T1 -khơng gian nên {x1 , , xn } đóng X Do đó, V = U \ {x1 , , xn } lân cận mở x V ∩ (A \ {x}) = ∅ Điều mâu thuẫn với x ∈ A \ {x} Bổ đề 2.1.7 ([4]) Giả sử (X, τ ) không gian dãy Khi đó, wcs∗ -mạng X mạng Pytkeev Chứng minh Giả sử P wcs∗ -mạng X , A ⊂ X , x ∈ X điểm tụ A U lân cận mở x X Khi đó, • Theo Nhận xét 2.1.2(1), P mạng X • Ta cần chứng minh tồn P ∈ P cho P ⊂ U P ∩ A tập vơ hạn Thật vậy, x điểm tụ A nên theo Nhận xét 2.1.6 ta suy x ∈ A \ {x} Bây giờ, ta đặt D = (A \ {x}) ∪ (X \ U ) (2.1) rõ ràng x ∈ / D Bởi U ∈ τ nên X \ U đóng X Do đó, D = A \ {x} ∪ X \ U = A \ {x} ∪ (X \ U ) (2.2) Như vậy, x ∈ D \ D kéo theo D khơng đóng X Bởi X khơng 21 gian dãy nên tồn dãy {xn } ⊂ D cho xn → z ∈ / D Mặt khác, ta có / X \ U Do đó, ◦ Bởi z ∈ D \ D nên theo (2.1) (2.2) ta suy z ∈ X \ U chứa nhiều hữu hạn phần tử {xn } Như vậy, nhờ (2.1) ta giả thiết {xn } ⊂ A xn = xm với m = n ◦ Bởi X \ U ⊂ D z ∈ / D nên z ∈ / X \ U , kéo theo z ∈ U Hơn nữa, P wcs∗ -mạng X nên tồn P ∈ P {xnk } {xn } cho {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U Điều chứng tỏ P ∩A vô hạn P ⊂ U Do đó, P mạng Pytkeev X Bổ đề 2.1.8 (Lemma 3.3, [5]) Giả sử X khơng gian Fréchet-Urysohn Khi đó, cs∗ -mạng X sp-mạng Chứng minh Giả sử P cs∗ -mạng X , x ∈ U ∩ A với U mở X A ⊂ X Bởi X khơng gian Fréchet-Urysohn nên tồn dãy {xn } ⊂ A cho xn → x X Mặt khác, P cs∗ -mạng x ∈ U nên tồn P ∈ P dãy {xnk } ⊂ {xn } cho {x} ∪ {xnk : k ∈ N} ⊂ P ⊂ U Do đó, ta suy {xnk } ⊂ P ∩ A, kéo theo x ∈ P ∩ A Như vậy, P sp-mạng X 22 2.2 Bất biến qua ánh xạ giả-mở Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm ánh xạ Sau đó, chúng tơi chứng minh chi tiết số tính chất ánh xạ giả-mở, chứng minh chi tiết số bất biến tính chất mạng số khơng gian metric suy rộng qua ánh xạ giả-mở Đặc biệt, chúng tơi đưa chứng minh Định lí 2.2.6, Định lí 2.2.8, Hệ 2.2.9, Định lí 2.2.8 kết bất biến không gian Fréchet-Urysohn với wcs∗ -mạng điểm-đếm thông qua s-ánh xạ giả-mở Các kết viết báo chỉnh sửa [1] Định nghĩa 2.2.1 ([3]) Không gian topo (X, τ ) gọi không gian khả ly X tồn tập đếm trù mật Định nghĩa 2.2.2 Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ Khi đó, 1) f gọi s-ánh xạ f −1 (y) khả ly X với y ∈ Y 2) f gọi ánh xạ thương với U ⊂ Y mà f −1 (U ) ∈ τ , ta có U ∈ σ 3) f gọi giả-mở với y ∈ Y với lân cận mở U f −1 (y), ta có y ∈ Intf (U ) 4) f gọi ánh xạ mở (tương ứng, đóng) ảnh tập mở (tương ứng, tập đóng) X tập mở Y Nhận xét 2.2.3 Mỗi ánh xạ giả-mở toàn ánh Chứng minh Giả sử y ∈ Y , X lân cận mở f −1 (y) X f ánh xạ giả-mở nên y ∈ Intf (X) ⊂ f (X) Do đó, tồn x ∈ X cho y = f (x) Như vậy, f toàn ánh Bổ đề 2.2.4 Mỗi ánh xạ mở ánh xạ giả-mở 23 Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ mở, y ∈ Y U lân cận mở f −1 (y) Khi đó, f (U ) mở Y Mặt khác y ∈ f (U ) nên ta suy y ∈ f (U ) = Intf (U ) Như vậy, f ánh xạ giả-mở Định lí 2.2.5 Mỗi ánh xạ đóng ánh xạ giả-mở Chứng minh Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ đóng, y ∈ Y A lân cận mở f −1 (y) (X, τ ) Bây giờ, ta đặt C = Y \ f (X \ A) (2.3) Khi đó, A ∈ τ nên X \ A tập đóng (X, τ ) Mặt khác, f ánh xạ đóng nên f (X \ A) tập đóng (Y, σ) Như vậy, nhờ cách đặt (2.3) ta suy C ∈ σ Hơn nữa, ta có ❼ Bởi f −1 (y) ⊂ A nên f −1 (y) ∩ (X \ A) = ∅, kéo theo {y} ∩ f (X \ A) = ∅ Nhờ đó, ta thu y ∈ Y \ f (X \ A) = C ❼ Bởi X \ A ⊂ f −1 f (X \ A) nên ta có f −1 (C) = f −1 Y \ f (X \ A) = X \ f −1 f (X \ A) ⊂ X \ (X \ A) = A Như vậy, tồn lân cận mở C y cho f −1 (C) ⊂ A Định lí 2.2.6 ([1]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ giả-mở liên tục Khi đó, X khơng gian Fréchet-Urysohn, Y không gian Fréchet-Urysohn 24 Chứng minh Giả sử A ⊂ Y y ∈ A Khi đó, ♣ Tồn x ∈ f −1 (y) ∩ f −1 (A) Thật vậy, giả sử ngược lại f −1 (y) ∩ f −1 (A) = ∅ (2.4) Khi đó, f −1 (y) ⊂ X \ f −1 (A) Như vậy, X \ f −1 (A) lân cận mở f −1 (y) Bởi f ánh xạ giả-mở nên f X \ f −1 (A) lân cận y Y Bởi y ∈ A nên f X \ f −1 (A) ∩ A = ∅ (2.5) Hơn nữa, f −1 (A) ⊂ f −1 (A) nên X \ f −1 (A) ∩ f −1 (A) ⊂ X \ f −1 (A) ∩ f −1 (A) = ∅, kéo theo X \ f −1 (A) ∩ f −1 (A) = ∅ Suy f X \ f −1 (A) ∩ A = ∅ (2.6) Nhờ khẳng định (2.5) (2.6) ta suy tồn x ∈ f −1 (y) ∩ f −1 (A) ♣ Bởi x ∈ f −1 (A) X không gian Fréchet-Urysohn nên tồn dãy {xn } ⊂ f −1 (A) cho xn → x Mặt khác, f ánh xạ liên tục nên f (xn ) → f (x) = y Hơn nữa, {f (xn )} ⊂ A nên ta suy Y không gian Fréchet-Urysohn Định lí 2.2.7 ([4]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ liên tục Khi đó, 1) Nếu f ánh xạ giả-mở, f ánh xạ thương; 25 2) Nếu f ánh xạ thương liên tục, X không gian dãy Y khơng gian Fréchet-Urysohn, f ánh xạ giả-mở Chứng minh (1) Giả sử f −1 (U ) ∈ τ y ∈ U Khi đó, f −1 (y) ⊂ f −1 (U ), kéo theo f −1 (U ) lân cận mở f −1 (y) Bởi f ánh xạ giả-mở nên y ∈ Intf f −1 (U ) ⊂ U Như vậy, U ∈ σ , f ánh xạ thương (2) Giả sử y ∈ Y U lân cận mở f −1 (y) Ta chứng minh y ∈ Intf (U ) Thật vậy, giả sử y ∈ / Intf (U ) Khi đó, Intf (U ) = Y \ Y \ f (U ) nên ta suy y ∈ Y \ f (U ) Mặt khác, Y khơng gian Fréchet-Urysohn nên tồn dãy {yn } ⊂ Y \ f (U ) cho yn → y Hơn nữa, tập hợp A = {yn : n ∈ N} khơng đóng Y f ánh xạ thương nên f −1 (A) khơng đóng X Bởi X khơng gian dãy nên ta suy tồn dãy {xk } ⊂ A cho xk → x ∈ / A ◦ Gọi k1 = 1, tồn yn1 cho x1 ∈ f −1 (yn1 ) ◦ Tồn k2 , n2 ∈ N cho k2 > k1 , n2 > n1 f −1 (ynj ) xk2 ∈ / j≤n1 Thật vậy, giả sử f −1 (ynj ) với k > k1 xk ∈ j≤n1 26 Khi đó, {xk } dãy vô hạn nên tồn n0 ≤ n1 dãy {xkj } {xk } cho {xkj } ⊂ f −1 (yn0 ) Mặt khác, f −1 (yn0 ) đóng X nên x ∈ f −1 (yn0 ) ⊂ f −1 (A), mâu thuẫn Như vậy, tồn k2 ∈ N cho f −1 (ynj ) xk2 ∈ / j≤n1 Do đó, tồn n2 ∈ N cho n2 > n1 xk2 ∈ f −1 (yn2 ) ◦ Bằng quy nạp, ta tìm dãy {xkj } {xk } dãy {ynj } {yn } cho xkj ∈ f −1 (ynj ) với j ∈ N Bởi {f (xkj )} dãy {ynj } nên f (xkj ) → y Hơn nữa, f ánh xạ liên tục nên f (xkj ) → f (x) Nhờ tính chất Hausdorff Y ta suy y = f (x), kéo theo x ∈ f −1 (y) Bởi U lân cận mở x nên tồn j0 ∈ N cho {x} ∪ {xkj : j ≥ j0 } ⊂ U Suy {ynj : j ≥ j0 } ⊂ f (U ), kéo theo {ynj } ⊂ Y \ f (U ) Điều mâu thuẫn với {yn } ⊂ Y \ f (U ) Định lí 2.2.8 ([1]) Giả sử f : X → Y s-ánh xạ giả-mở liên tục Khi đó, X khơng gian Fréchet-Urysohn có wcs∗ -mạng điểm-đếm được, Y Fréchet-Urysohn có wcs∗ -mạng điểm-đếm Chứng minh Giả sử P wcs∗ -mạng điểm-đếm khơng gian Fréchet-Urysohn X Khi đó, ♣ Theo Định lí 2.2.6 ta suy Y không gian Fréchet-Urysohn ♣ Ta chứng minh f (P) wcs∗ -mạng điểm-đếm Y Thật vậy, f s-ánh xạ nên với y ∈ Y , tồn tập đếm Dy cho Dy = f −1 (y) Ta đặt 27 D= {Dy : y ∈ Y }, G = {f (P ∩ D) : P ∈ P} Khi đó, • D = X Thật vậy, giả sử x ∈ X , tồn y ∈ Y cho x ∈ f −1 (y) Suy x ∈ f −1 (y) = Dy ⊂ D, kéo theo X ⊂ D Bởi D ⊂ X nên ta suy X = D • G điểm-đếm Thật vậy, giả sử y ∈ Y , y ∈ f (P ∩ D) tồn x ∈ P ∩ D cho y = f (x), P ∩ Dy = f −1 (y) ∩ (P ∩ D) = ∅ Như vậy, ta có {G ∈ G : y ∈ G} = {f (P ∩ D) : P ∈ P, y ∈ f (P ∩ D)} = {f (P ∩ D) : P ∈ P, P ∩ Dy = ∅} (2.7) Bởi P điểm-đếm Dy tập đếm nên nhờ (2.7) ta suy {G ∈ G : y ∈ G} tập đếm Do đó, G điểm-đếm • G wcs∗ -mạng Y Thật vậy, giả sử {yn } dãy hội tụ đến y ∈ U ∈ τ Ta giả thiết phần tử dãy {yn } phân biệt Đặt A = {yn : n ∈ N} \ {y} Khi đó, A khơng tập đóng Y Bởi f ánh xạ thương nên f −1 (A) không tập đóng X Do đó, tồn x ∈ f −1 (A) \ f −1 (A) (2.8) f −1 (A) = f −1 (A) ∩ D (2.9) Hơn nữa, ta có 28 Thật vậy, rõ ràng f −1 (A) ∩ D ⊂ f −1 (A) Bây giờ, giả sử x ∈ f −1 (A) W lân cận mở x Khi đó, W ∩ f −1 (A) = ∅ Suy tồn z ∈ A cho z ∈ W ∩ f −1 (z) Bởi f −1 (z) = Dz X không gian Fréchet-Urysohn nên tồn dãy {zk } ⊂ Dz cho zk → z Mặt khác, W mở z ∈ W nên W lân cận z , tồn k0 ∈ N cho zk0 ∈ W ∩ Dz Hơn nữa, Dz ⊂ f −1 (z) ⊂ f −1 (A) Dz ⊂ D nên ta suy zk0 ∈ W ∩ Dz ⊂ W ∩ f −1 (A) ∩ D Suy W ∩ f −1 (A) ∩ D = ∅, x ∈ f −1 (A) ∩ D Nhờ (2.8) (2.9) ta suy x ∈ f −1 (A) ∩ D \ f −1 (A) Bởi X khơng gian Fréchet-Urysohn nên tồn dãy {xn } ⊂ f −1 (A)∩D cho xn → x ◦ Với k1 = 1, tồn ynk1 ∈ A cho x1 ∈ f −1 (yn1 ) ∩ D ◦ Tồn k2 , nk2 ∈ N cho k2 > k1 , nk2 > nk1 xk2 ∈ / j≤nk1 f −1 (ynkj ) Thật vậy, giả sử xk ∈ j≤nk1 f −1 (ynkj ) với k > k1 29 Khi đó, {xk } dãy vơ hạn nên tồn n0 ≤ nk1 dãy {xkj } {xk } cho {xkj } ⊂ f −1 (yn0 ) Mặt khác, f −1 (yn0 ) đóng X nên x ∈ f −1 (yn0 ) ⊂ f −1 (A), mâu thuẫn Như vậy, tồn k2 ∈ N cho xk2 ∈ / j≤nk1 f −1 (ynkj ) Do đó, tồn nk2 ∈ N cho nk2 > nk1 xk2 ∈ f −1 (yk2 ) ◦ Bằng quy nạp, ta tìm dãy {xkj } {xk } dãy {ynj } {yn } cho xkj ∈ f −1 (ynkj ) với j ∈ N Bởi P wcs∗ -mạng nên tồn P ∈ P dãy {xkjl } cho {xkjl : l ∈ N} ⊂ P ⊂ f −1 (U ) Điều suy {ynkj : l ∈ N} ⊂ f (P ) ⊂ f −1 (U ) l Do đó, G wcs∗ -mạng Y Như vậy, Y không gian Fréchet-Urysohn với wcs∗ -mạng điểmđếm Hệ 2.2.9 ([1]) s-ánh xạ đóng s-ánh xạ mở bảo tồn không gian Fréchet-Urysohn với wcs∗ -mạng điểm-đếm Chứng minh Suy trực tiếp từ Bổ đề 2.2.4, Định lí 2.2.5 Định lí 2.2.8 Định lí 2.2.10 ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ giả-mở Khi đó, P sp-mạng X , f (P) sp-mạng Y Chứng minh Giả sử A ⊂ Y , U ∈ σ y ∈ U ∩ A Khi đó, tồn x ∈ f −1 (y) ∩ f −1 (A) 30 Thật vậy, giả sử ngược lại f −1 (y) ∩ f −1 (A) = ∅ Khi đó, f −1 (y) ⊂ X \ f −1 (A) Bởi X \ f −1 (A) ∈ τ f ánh xạ giả-mở nên y ∈ Int(f (X \ f −1 (A))) ⊂ f (X \ f −1 (A)) = Y \ f (f −1 (A)) = Y \ A Điều mâu thuẫn với x ∈ U ∩ A Như vậy, tồn x ∈ f −1 (y) ∩ f −1 (A) Giả sử V lân cận x cho f (V ) ⊂ U Bởi P sp-mạng X nên tồn P ∈ P cho x ∈ P ⊂ V x ∈ P ∩ f −1 (A) Do đó, y = f (x) ∈ f (P ) ⊂ U y ∈ f (P ∩ f −1 (A)) ⊂ f (P ) ∩ f (f −1 (A)) = f (P ) ∩ A Như vậy, f (P) sp-mạng Y Định lí 2.2.11 ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ đếm giả-mở Khi đó, P sp-mạng điểm-đếm X , f (P) sp-mạng điểm-đếm Y Chứng minh Theo định lí 2.2.10 ta có {f (P ) : P ∈ P} sp-mạng Y Bởi f ánh xạ đếm giả-mở nên {f (P ) : P ∈ P} sp-mạng điểm-đếm Y Định lí 2.2.12 ([5]) Giả sử f : (X, τ ) → (Y, σ) ánh xạ giả-mở Khi đó, P cn-mạng X , f (P) cn-mạng Y Chứng minh Giả sử f ánh xạ giả-mở, P cn-mạng X U lân cận y Y Khi đó, f −1 (y) ⊂ f −1 (U ) Bởi f liên tục nên f −1 (U ) lân cận f −1 (y) Bởi P cn-mạng X nên 31 Wx = {P ∈ P : x ∈ P ⊂ f −1 (U )} lân cận x X với x ∈ f −1 (y) Suy tập hợp {Wx : x ∈ f −1 (y)} lân cận f −1 (y) X Bởi f ánh xạ giả-mở nên f ( {Wx : x ∈ f −1 (y)}) lân cận y Y Mặt khác, f ( {Wx : x ∈ f −1 (y)}) = {f (P ) : y ∈ f (P ) ⊂ U } nên ta suy f (P) cn-mạng Y Hệ 2.2.13 Các ánh xạ đóng ánh xạ giả-mở bảo tồn sp-mạng cn-mạng 32 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu, đề tài thu kết sau Hệ thống lại số kết topo đại cương Trình bày số tính chất mạng chứng minh chi tiết số mối quan hệ chúng không gian metric suy rộng Chứng minh số bất biến tính chất mạng bất biến số không gian metric suy rộng qua ánh xạ giả-mở Đưa chứng minh Định lí 2.2.6, Định lí 2.2.8, Hệ 2.2.9, Định lí 2.2.8 kết bất biến không gian FréchetUrysohn với wcs∗ -mạng điểm-đếm thông qua s-ánh xạ giả-mở Các kết trình bày báo chỉnh sửa [1] 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lương Quốc Tuyển, Phạm Thị Ái Lài (2020), Một số bất biến qua ánh xạ giả-mở, Đang chỉnh sửa Tiếng Anh [2] A V Arhangel’skii (1963), Some types of factor mappings and the relations between classes of topological spaces, Dokl Akad Nauk SSSR 153, 743–746 [3] R Engelking (1989), General Topology, Heldermann Verlag, Berlin [4] X Liu, S Lin (2018), On spaces defined by Pytkeev networks, Filomat 32, 6115-6129 [5] X Liu, C Liu, S Lin (2019), Strict Pytkeev networks with sensors and their applications in topological groups, Topology and its Applications 258, 58–78 [6] S Lin, X Liu (2020), Notes on pseudo-open mappings and sequentially quotient mappings, Topology and its Applications 272, 107090 [7] S Lin, Z Yun (2016), Generalized Metric Spaces and Mappings Atlantis Press ... đưa số kết bất biến không gian mạng qua ánh xạ giả-mở Đối tượng nghiên cứu Một số tính chất mạng, khơng gian metric suy rộng, ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ giả-mở bất biến qua ánh xạ giả-mở Phạm... 22 2.2 Bất biến qua ánh xạ giả-mở Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm ánh xạ Sau đó, chúng tơi chứng minh chi tiết số tính chất ánh xạ giả-mở, chứng minh chi tiết số bất biến tính... Chương Chương 2, trình bày bất biến qua ánh xạ giả-mở bao gồm mục: Mục 2.1, trình bày số tính chất mạng khơng gian metric suy rộng; Mục 2.2, trình bày bất biến qua ánh xạ giả-mở 4 CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ