Luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về tập lồi, hàm lồi, tập lồi bất biến, hàm tiền lồi bất biến, mối liên hệ giữa hàm tiền lồi bất biến với hàm lồi và một số tính chất cơ bản của hàm tiền lồi bất biến, đưa ra ví dụ về hàm tiền lồi bất biến và cách nhận biết hàm tiền lồi bất biến. Mời các bạn tham khảo!
Hàm s -lồi
Hàm lồi
Cho hai điểm a, b thuộc R^n, đoạn thẳng (đóng) nối a và b được xác định bởi tất cả các điểm x = (1−λ)a + λb với 0 ≤ λ ≤ 1, ký hiệu là [a, b] Tập C ⊆ R^n được gọi là tập lồi nếu với mọi λ thuộc [0,1] và mọi x₁, x₂ thuộc C, thì điểm xλ = λx₁ + (1−λ)x₂ cũng thuộc C.
Như vậy, tập lồi C chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó.
Hàm lồi là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong không gian R^n Định nghĩa hàm lồi được đưa ra như sau: cho C là một tập con lồi khác rỗng của R^n và f : C → R là hàm số thực xác định trên C Hàm f được gọi là hàm lồi trên C nếu với mọi x, y thuộc C và mọi số thực λ nằm trong khoảng [0,1], ta có bất đẳng thức f[λx + (1−λ)y] ≤ λf(x) + (1−λ)f(y).
(ii) lồi chặt trên C nếu bất đẳng thức (1.1) là chặt với mọi x khác y, mọi λ ∈ (0,1).
Nếu n = 1, hàm lồi một biến trên R được định nghĩa như sau: Hàm f: [a, b]⊂ R → R được coi là hàm lồi nếu với mọi x, y ∈ [a, b] và λ ∈ [0,1], thì f[λx + (1−λ)y] ≤ λf(x) + (1−λ)f(y) Ngoài ra, hàm f được gọi là hàm lõm nếu hàm (-f) là lồi.
Sau đây là mối liên hệ giữa hàm lồi và tập lồi. Định lý 1.1.4 (xem [1]) Giả sử hàm f : R n → R là một hàm lồi trên R n và λ ∈ R Khi đó
Tập C λ và C λ được định nghĩa là các tập mức dưới theo Định lý 1.1.4 Theo Định lý 1.1.5, nếu C là một tập lồi không rỗng trong không gian R n và f: R n → R là một hàm lồi, thì mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là cực tiểu toàn cục Hơn nữa, Định lý 1.1.6 chỉ ra rằng một hàm lồi chặt f trên một tập lồi C chỉ có tối đa một điểm cực tiểu trên C.
Hàm lồi chặt một biến f(x) = x², với x thuộc R, có duy nhất một điểm cực tiểu tại x₀ = 0 Ngược lại, hàm lồi chặt f(x) = e^x không có điểm cực tiểu nào Mối liên hệ giữa hàm lồi n biến và hàm lồi một biến được thể hiện qua Định lý 1.1.8, cho biết rằng hàm f(x) với x thuộc Rⁿ là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến ϕ(λ) := f(x + λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d thuộc Rⁿ.
Để chứng minh, cần xác định điều kiện rõ ràng và chứng minh điều kiện đủ Giả sử ϕ là hàm lồi với mọi x, d thuộc R n Chọn x, y bất kỳ trong R n và đặt d = x−y Khi đó, với mọi λ trong khoảng [0,1], ta có f (1−λ)x+λy = f(x+λd) = ϕ(λ) = ϕ (1−λ).0 +λ.1.
Ví dụ 1.1.9 Các hàm sau đây là các hàm lồi (một biến):
(i) hàm afin: ax+b trên R với mọi a, b ∈ R,
(ii) hàm mũ e ax trên R với mọi a ∈ R.
Ví dụ 1.1.10 (i) Mọi hàm chuẩn đều là hàm lồi trên R n , trong đó kxk p n
(ii) Cho C ⊆R n là một tập lồi khác rỗng, các hàm sau đây là hàm lồi trên R n :
(a) Hàm chỉ của C: δ C (x) ( 0, nếu x ∈ C, +∞, nếu x /∈ C.
(b) Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ R n đến C :dC(x) = inf y∈Ckx−yk.
(iii) Hàm được xác định dưới đây là hàm lồi trên R m×n với A = (aij) m×n và
Hàm s -lồi
Trong mục này ta sử dụng ký hiệu R + = [0,+∞). Định nghĩa 1.1.11 (xem [5]) Hàm f : R + → R được gọi là
(i) hàm s-lồi loại một nếu f(αx+βy) ≤ α s f(x) +β s f(y) (1.3) với mọi x, y ∈ R + và mọi α, β ≥ 0 với α s +β s = 1, s ∈ (0,1];
(ii) hàm s-lồi loại hai nếu bất đẳng thức (1.3) thỏa mãn với mọi x, y ∈ R + , và mọi α, β ≥ 0 với α+β = 1, s∈ (0,1].
Nhận xét 1.1.12 Dễ thấy rằng khi s = 1 thì hàm s-lồi (loại một, loại hai) trở thành hàm lồi một biến thông thường xác định trên [0,+∞).
Ví dụ 1.1.13 Cho s ∈ (0,1) và a, b, c ∈ R Ta định nghĩa hàm f từ [0,+∞) vào R như sau: f(x)
(i) Nếu b ≥ 0, c ≤ a thì f là hàm s-lồi loại một.
(ii) Nếu b ≥ 0 và 0 ≤c ≤ a thì f là hàm s-lồi loại hai.
Chứng minh (i) Ta xét hai trường hợp sau đây:
Chứng minh tương tự cho (ii).
Hàm tiền lồi bất biến
Hàm lồi bất biến
Định nghĩa 1.2.1 (xem [4]) Một tập con C của R n được gọi là tập lồi bất biến ứng với hàm véc-tơ η : R n ×R n →R n (hay tậpη-lồi bất biến) nếux, y ∈ C và λ ∈ [0,1] thì y+ λη(x, y) ∈ C (1.4)
Tập lồi bất biến C bao gồm đoạn thẳng nối hai điểm y và y + η(x, y) cho mọi cặp điểm x và y thuộc C, được thể hiện qua công thức y + λη(x, y) = (1−λ)y + λ(y + η(x, y)) Nếu η(x, y) = x−y, thì đây là định nghĩa của tập lồi, nhưng chiều ngược lại không đúng trong nhiều trường hợp.
Ví dụ 1.2.3 Cho tập C ⊂ R với C = [−3,−2]∪[−1,2] và η(x, y)
C là một tập lồi bất biến liên quan đến hàm η, nhưng bản thân C không phải là một tập lồi Định nghĩa 1.2.4 (xem [4]) chỉ ra rằng một hàm thực khả vi f được xác định trên một tập mở C ⊂ R n được gọi là hàm lồi bất biến nếu tồn tại một hàm véc-tơ η(x, y) trên C × C thỏa mãn điều kiện f(x)−f(y) ≥ η(x, y)5f(y) cho mọi x, y thuộc C, trong đó 5f là ký hiệu gradient của hàm f.
Nhận xét 1.2.5 (a) Theo định nghĩa này, một hàm lồi khả vi (trên tập mở
C) cũng là hàm lồi bất biến (với việc chọn η(x, y) = x−y).
Định nghĩa 1.2.1 mở rộng khái niệm tập lồi, trong đó mọi tập con của R n đều là tập lồi bất biến với η(x, y) = 0 cho mọi x, y thuộc R n Tuy nhiên, chỉ có hàm f : R n → R lồi bất biến với η(x, y) = 0 là hàm hằng f(x) = c, với c thuộc R.
Hàm tiền lồi bất biến
Định nghĩa 1.2.6 (xem [4]) Cho f là hàm thực xác định trên tập η-lồi bất biến C Hàm f được gọi là hàm tiền lồi bất biến ứng với η nếu f[y +λη(x, y)] ≤λf(x) + (1−λ)f(y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0,1] (1.7)
Từ định nghĩa, mọi hàm lồi f trên tập lồi C đều là hàm tiền lồi bất biến với ánh xạ η(x, y) = x − y, nhưng chiều ngược lại không luôn đúng.
Ví dụ 1.2.8 Hàm f(x) = −|x| không phải là hàm lồi nhưng là hàm tiền lồi bất biến ứng với hàm η, trong đó η(x, y)
x−y, nếu x ≤ 0, y ≤0 hoặc x ≥ 0, y ≥0, y −x, trong các trường hợp khác.
Sau đây là một số tính chất của hàm tiền lồi bất biến.
Tính chất 1.2.9 chỉ ra rằng tổng của hai hoặc nhiều hàm tiền lồi bất biến với cùng một hàm véc-tơ η cũng tạo thành một hàm tiền lồi bất biến tương ứng với hàm η Cụ thể, nếu f_i: C → R là các hàm tiền lồi bất biến với hàm véc-tơ η, thì tổng của chúng vẫn giữ tính chất tiền lồi bất biến.
P i=1 λ i f i (x) là hàm tiền lồi bất biến ứng với η, ở đây λ i ≥ 0, i = 1,2, , k.
Hàm tiền lồi bất biến có đặc điểm tương tự như hàm lồi, khi mọi điểm cực tiểu địa phương trở thành điểm cực tiểu toàn cục và mọi điểm cực tiểu chặt địa phương cũng là điểm cực tiểu chặt toàn cục Định lý 1.2.11 chỉ ra rằng nếu C là một tập η-lồi bất biến và f : C → R là một hàm tiền lồi bất biến tương ứng với η, cùng với φ : R → R là hàm lồi tăng, thì tổ hợp φ ◦ f cũng sẽ là một hàm tiền lồi bất biến tương ứng với η.
Chứng minh Theo giả thiết, ta có: f[y +λη(x, y)] ≤ λf(x) + (1−λ)f(y).
Vì φ là hàm lồi tăng nên φ(f[y +λη(x, y)]) ≤ φ[λf(x) + (1−λ)f(y)]
Một hàm khả vi thỏa mãn điều kiện (1.7) cũng đồng thời là một hàm lồi bất biến Điều này lý giải tại sao tất cả các hàm đáp ứng điều kiện (1.7) được gọi là hàm tiền lồi bất biến.
Điều này có nghĩa là nếu f là một hàm lồi bất biến theo η, thì không nhất thiết f phải là hàm tiền lồi bất biến theo η.
Ví dụ 1.2.13 Hàm f(x) = e x , x ∈ R là hàm lồi bất biến ứng với η = −1 nhưng không phải là hàm tiền lồi bất biến ứng với η nói trên.
Khái niệm hàm tiền lồi bất biến là sự mở rộng của khái niệm hàm lồi Khi chọn η(x, y) = x − y trong (1.7), chúng ta có định nghĩa của hàm lồi Định lý 1.2.14 chỉ ra rằng nếu C là một tập lồi mở trong không gian R^n và hàm f: C → R là hàm lồi bất biến theo ánh xạ η, thì hàm này cũng phải là hàm lõm.
C thì f là hàm tiền lồi bất biến ứng với ánh xạ η.
Chứng minh Từ tính lõm của hàm khả vi f suy ra f[y +λη(x, y)]−f(y) ≤λη(x, y)5f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0,1] (1.8)
Từ tính lồi bất biến của hàm f suy ra η(x, y)5f(y) ≤ f(x)−f(y).
Vì λ ≥ 0 nên λη(x, y)5f(y) ≤ λ(f(x)−f(y)) và kết hợp với (1.8) ta nhận được f[y +λη(x, y)]−f(y) ≤λ(f(x)−f(y)), tức là, f[y +λη(x, y)]−f(y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1].
Điều kiện cần thiết để một hàm khả vi lồi bất biến trên tập η-lồi bất biến C là hàm tiền lồi bất biến trên C tương ứng với hàm vectơ η Theo Định nghĩa 1.2.15, ánh xạ η : C × C → R n thỏa mãn điều kiện (C) nếu η(y, y+λη(x, y)) =−λη(x, y) và η(x, y+λη(x, y)) = (1−λ)η(x, y) với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0,1].
Có rất nhiều hàm véc-tơ thỏa mãn điều kiện (C) bên cạnh trường hợp tầm thường η(x, y) = x−y Ví dụ cho C = R\ {0} và η(x, y)
Trong trường hợp C là một tập lồi bất biến và hàm η thỏa mãn điều kiện (C), theo Định lý 1.2.16, nếu C ⊆ R^n là một tập η-lồi bất biến và f : C → R là một hàm khả vi trên một tập mở chứa C, đồng thời f là hàm lồi bất biến ứng với η, thì f cũng sẽ là hàm tiền lồi bất biến ứng với η trên C.
Hàm tiền lồi bất biến có thể được mô tả dựa trên tính lồi bất biến của đồ thị, tương tự như hàm lồi Theo Định lý 1.2.17, cho hàm f: C → R với C ⊆ R là tập η-lồi bất biến, thì f là hàm tiền lồi bất biến ứng với ánh xạ η nếu và chỉ nếu tập epif = (x, α), với x ∈ C và α ∈ R, thỏa mãn f(x) ≤ α là tập lồi bất biến tương ứng với ánh xạ η1: epif × epif → R n+1, trong đó η1((y, β), (x, α)) = (η(y, x), β − α) cho mọi (x, α), (y, β) ∈ epif.
Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (x, α),(y, β) ∈ epif khi đó theo định nghĩa của epif ta có f(x) ≤α và f(y) ≤ β Do f là hàm tiền lồi bất biến nên f(y +λη(x, y)) ≤(1−λ)f(x) +λf(y) ≤ (1−λ)α +λβ, λ ∈ [0,1].
Epif là một tập lồi bất biến, tương ứng với ánh xạ η 1 ((y, β),(x, α)) = (η(y, x), β −α) Điều kiện đủ cho epif là nó phải thỏa mãn tính chất lồi và bất biến theo ánh xạ đã nêu.
Lấy x, y ∈ C và α, β ∈ R sao cho f(x) ≤ α, f(y) ≤ β Khi đó
Do tập epif là tập lồi bất biến ứng với ánh xạ η 1 ((y, β),(x, α)) = (η(y, x), β −α), ta có
(x, α) +λη1((y, β),(x, α)) ∈ epif, λ ∈ [0,1], nghĩa là f(y + λη(x, y)) ≤ λα+ (1−λ)β Do đó f là hàm tiền lồi bất biến ứng với η trên C
Kết quả liên quan đến hàm tiền lồi bất biến được nêu trong Định lý 1.2.18 cho thấy rằng nếu f : C → R là một hàm tiền lồi bất biến và đạt cực tiểu toàn cục duy nhất tại x ∗ ∈ C, thì với mọi y ∈ C và λ ∈ [0,1], có thể khẳng định rằng λf(x ∗ ) + (1−λ)f(y) ≥ f(λx ∗ + (1−λ)y).
Chứng minh Vìf là hàm tiền lồi bất biến nên tồn tại ánh xạη : C×C →R n sao cho y + λη(x, y) ∈ C và λf(x) + (1 −λ)f(y) ≥ f(y + λη(x, y)) với mọi x, y ∈ C, mọi λ ∈ [0,1] Đặc biệt khi x = x ∗ và λ = 1 thì f(x ∗ ) ≥ f(y +η(x ∗ , y)), ∀y ∈ C.
Vì x ∗ là điểm cực tiểu toàn cục duy nhất của hàm f (tức là, f(x ∗ ) < f(x) với mọi x ∈ C, x 6= x ∗ ) nên y +η(x ∗ , y) =x ∗ , ∀y ∈ C, tức là η(x ∗ , y) = x ∗ −y với mọi y ∈ C Suy ra, λf(x ∗ ) + (1−λ)f(y) ≥ f(λx ∗ + (1−λ)y), ∀y ∈ C, λ ∈ [0,1].
Nhận xét 1.2.19 (xem [4]) Hàm véc-tơ f : R n →R m được gọi là tựa lồi nếu tồn tại z ∈ R n sao cho f(z) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y), ∀λ ∈ [0,1].
Hàm véc-tơ f: R n → R m được coi là tiền lồi bất biến theo ánh xạ η nếu tất cả các thành phần của nó đều là tiền lồi bất biến theo ánh xạ η Do đó, các hàm véc-tơ này được xem là những hàm tựa lồi.
Sau đây ta trình bày định nghĩa của một lớp hàm s-tiền lồi bất biến. Định nghĩa 1.2.20 (xem [8]) Cho C = [a, a+η(b, a)] Một hàm f : C →R + được gọi là
(a) hàm s-tiền lồi bất biến loại hai ứng với hàm η(., ) nếu f(a+tη(b, a)) ≤ (1−t) s f(a) +t s f(b), a, b ∈ C, t ∈ [0,1], s ∈ (0,1];
(b) hàm s-tiền lồi bất biến loại một ứng với hàm η(., ) nếu f(a+tη(b, a)) ≤ (1−t s )f(a) +t s f(b), a, b ∈ C, t ∈ [0,1], s ∈ (0,1 ].
Từ định nghĩa 1.2.20 với s = 1, ta có định nghĩa về hàm tiền lồi bất biến cổ điển Ngoài ra, khi s = 1 và η(b, a) = b - a, định nghĩa này cũng cho ra khái niệm về hàm lồi theo nghĩa cổ điển Định nghĩa 1.2.22 (xem [8]) nêu rõ các tích phân Riemann–Liouville trái và phải của α ∈ R+ được định nghĩa tương ứng như sau.
Chúng tôi giới thiệu một lớp hàm tiền lồi bất biến mới, được gọi là hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến, liên quan đến hai hàm không âm h1 và h2 Định nghĩa một hàm f: Ω → R là (h1, h2)-tiền lồi bất biến nếu với mọi x, y ∈ Ω và mọi t ∈ [0,1], điều kiện f(x + tη(y, x)) ≤ h1(1-t)h2(t)f(x) + h1(t)h2(1-t)f(y) được thỏa mãn.
2 ta nhận được bất đẳng thức dạng Jensen cho hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến: f
Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt.
Trong Định nghĩa 1.2.23, nếu ta đặt h1(t) = ts và h2(t) = ts, sẽ tạo ra một lớp hàm mới gọi là hàm s-tiền lồi bất biến Theo Định nghĩa 1.2.24, với số thực s ∈ [0,1] và tập lồi bất biến Ω, hàm f: Ω → R được coi là hàm s-tiền lồi bất biến nếu thỏa mãn điều kiện f(x + tη(y, x)) ≤ ts(1−t)s[f(x) + f(y)] cho mọi x, y ∈ Ω và t ∈ [0,1] Định nghĩa 1.2.25 mở rộng khái niệm này với hai số thực s1, s2 ∈ [0,1], trong đó hàm f: Ω → R là hàm (s1, s2)-tiền lồi bất biến nếu f(x + tη(y, x)) ≤ ts1(1−t)s2f(x) + (1−t)s1ts2f(y) cho mọi x, y ∈ Ω và t ∈ [0,1].
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard
Định lý 2.1.1 (xem [6]) Cho f là một hàm lồi trên [a, b] ⊂ R, a < b Khi đó ta có bất đẳng thức sau f a+b 2
Bất đẳng thức (2.1) có thể viết lại dưới dạng:
Chứng minh Vì hàm f lồi trên đoạn [a, b], nên với mọi λ ∈ [0,1] ta có f λa+ (1−λ)b ≤λf(a) + (1−λ)f(b).
Lấy tích phân hai vế theo λ trên đoạn [0,1], ta nhận được
2 và bằng phép đổi biến x = λa+ (1−λ)b, suy ra
Kết hợp với (2.3) ta nhận được bất đẳng thức thứ hai của (2.1) Cũng do tính lồi của hàm f,
Tích phân hai về bất đẳng thức này theo λ trên đoạn [0,1] ta nhận được f a+b
Bất đẳng thức thứ nhất của (2.1) được chứng minh
Ký hiệu L p [a, b] là không gian các hàm khả tích bậc p (1 ≤ p < ∞) trên đoạn [a, b], nghĩa là nếu f(x) ∈ L p [a, b] thì
Nhận xét 2.1.2 Giả sử f : [a, b] ⊂R → R là hàm khả vi trên [a, b] với a < b. Nếu f 0 ∈ L 1 [a, b] thì f(a) +f(b)
2 f 0 (t)dt (2.4) Định lý 2.1.3 (xem [3]) Nếu f : [a, b] → R là hàm khả vi trên [a, b] ⊂ R và hàm ϕ(x) : x− a+b
Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức cho hàm ϕ:
Sử dụng định nghĩa của hàm ϕ ta thu được:
Z b a f(x)dx ≥ 0. Định lý 2.1.4 (xem [3]) Giả sử f : [a, b] ⊂ R → R là hàm khả vi trên [a, b] và p > 1 Nếu |f 0 | là q-khả tích trên [a, b], trong đó 1 p + 1 q = 1, thì f(a) +f(b)
Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức H¨older với p > 1 và q > 1 thỏa mãn 1 p + 1 q = 1, ta có
1 q và khi đó, bất đẳng thức (2.6) được suy ra từ (2.4).
Một vài ứng dụng
Trước hết, ta nhắc lại một số giá trị trung bình đặc biệt.
Dưới đây là một vài ứng dụng của bất đẳng thức Hermite–Hadamard để đánh giá một số giá trị trung bình đặc biệt.
Nhận xét 2.1.5 (a) Với hàm lồi f(x) = 1 t, t > 0, nếu a 6= b ta có
(b) Với hàm lồi (lõm)f(x) = x p ,p∈ (−∞,0)∪[1,∞)\ {−1}(hoặcp ∈ (a, b)), ta có
Mệnh đề 2.1.6 (xem [2]) Giả sử p ∈ (−∞,0)∪[1,∞)\ {−1} và
L p p −t p pt p−1 ≥ A −t với mọi t ∈ [a, b] (2.7) Chứng minh Xét ánh xạ f : [a, b] −→ [a,+∞), f(x) =x p với p thỏa mãn p ∈ (−∞,0)∪[1,∞)\ {−1}, ta thu được
Suy ra, ta nhận được bất đẳng thức cần chứng minh (2.7)
Sử dụng bất đẳng thức (2.7), ta có các bất đẳng thức sau đây cho các giá trị trung bình (xem [2]).
L ≥ b− A b Mệnh đề 2.1.7 (xem [3]) Xét p > 1 và [a, b]⊂ [0,+∞) Khi đó,
Chứng minh Theo Định lý 2.1.4 áp dụng cho hàm lồi f(x) =x p , ta có: a p + b p
Z b a x (p−1)q dx = b pq−q+1 −a pq−q+1 p+ 1 = L p p (a, b)(b−a) và do đó ta có:
2(p+ 1) 1 p Vậy bất đẳng thức (2.8) đã được chứng minh.
Mệnh đề 2.1.8 (xem [3]) Cho p > 1 và 0 < a < b Khi đó,
Chứng minh Áp dụng Định lý 2.1.4 cho hàm lồi f(x) := 1 x ta có:
2(p+ 1) p 1 hL 2p p−1(a, b) i p−1 p Định lý 2.1.9(xem [6]).Hàm f là hàm tiền lồi bất biến trênC = [a, a+η(b, a)] nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức f 2a+ η(b, a)
Chứng minh Vì f là một hàm tiền lồi bất biến nên ta có:
Từ đó ta có được vế phải của bất đẳng thức (2.10) Theo cách tương tự, ta có được vế trái của bất đẳng thức (2.10)
Hàm tiền lồi bất biến f, với Lưu ý vớiη(b, a) = b−a, là một hàm lồi, và bất đẳng thức (2.10) được xác định là bất đẳng thức Hermite–Hadamard (2.1) Do đó, bất đẳng thức (2.10) có thể được xem như một khái quát của bất đẳng thức Hermite–Hadamard cổ điển.
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s -tiền lồi bất biến 23
Bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho lớp hàm s -tiền lồi bất biến
Trước hết ta định nghĩa lại hàm Beta:
Bổ đề 2.2.1 (xem [8]) Cho C = [a, a+η(b, a)], hàm f : C → R là một hàm khả vi Nếu hàm f 0 ∈ L[a;a+ η(b, a)] thì ta có đẳng thức tích phân sau: f(a) +f(a+η(b, a))
Bổ đề 2.2.2 (xem [8]) Cho C = [a, a+η(b, a)], hàm f : C → R là một hàm khả vi đến cấp hai Nếu f 00 ∈ L[a, a+η(b, a)] thì ta có đẳng thức tích phân sau f(a) +f(a+η(b, a))
Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.1, ta có
Kết hợp các kết quả từ (2.11), (2.12) và Bổ đề 2.2.1, ta có thể chứng minh Định lý 2.2.3 Theo đó, cho C = [a, a + η(b, a)], hàm f : C → R được xác định là một hàm khả vi trên tập I ◦, phần trong của I, với f 0 thuộc L[a, a + η(b, a)] Nếu |f 0| thỏa mãn điều kiện q ≥ 1 và 1/p + 1/q = 1, thì f được xem là một hàm s-tiền lồi bất biến loại hai Kết quả là f(a) + f(a + η(b, a)).
Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.2.1 và giả thiết |f 0 | q là một hàm s-tiền lồi bất biến loại hai ta có f(a) +f(a+η(b, a))
Kết hợp các điều kiện từ (2.13), (2.14) và (2.15), ta có thể chứng minh định lý 2.2.4 (xem [8]) Định lý này chỉ ra rằng với C = [a, a+η(b, a)], hàm f : C → R là một hàm khả vi đến cấp hai trên tập I o và f 00 ∈ L[a, a+η(b, a)] Nếu |f 00 | là một hàm s-tiền lồi bất biến loại hai, thì ta có mối quan hệ f(a) + f(a+η(b, a)).
Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.2.2 và giả thiết |f 00 | là hàm s-tiền lồi bất biến loại hai, ta có f(a) +f(a+η(b, a))
2 =(α, s) [|f 00 (a)|+|f 00 (b)|], đó là điều phải chứng minh
Bài viết này giới thiệu một lớp hàm tiền lồi bất biến mới, liên quan đến hai hàm không âm tùy ý h1 và h2, được gọi là hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến Đồng thời, nó cũng trình bày một số bất đẳng thức mới theo dạng Hermite–Hadamard cho loại hàm này.
Bổ đề 2.2.5 (xem [7]) Cho hàm f : Ω = [a, a+ η(b, a)] ⊂ R −→ R là một hàm liên tục Khi đó, với hai số thực dương α, β ta có
Chứng minh Sử dụng phép đổi biến, u = a+ tη(b, a), ta có
Z 1 0 t α (1−t) β f(a+tη(b, a))dt, đó là điều phải chứng minh
Dưới đây là một kết quả về hàm η(., ) η(a+t 2 η(b, a), a+ t 1 η(b, a)) = (t 2 −t 1 )η(b, a), ∀a, b ∈ Ω, t 1 , t 2 ∈ [0,1].
(2.17) Sau đây là một số bất đẳng thức loại Hermite–Hadamard mới cho hàm
(h1, h2)-tiền lồi bất biến. Định lý 2.2.6 (xem [7]) Cho hàm f : Ω = [a, a+ η(b, a)] ⊂ R −→ R là hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến với η(b, a) > 0 và h1 1
6= 0, h 2 1 2 6= 0 Nếu f ∈ L[a, a+η(b, a)] và phương trình (2.17) thỏa mãn thì
Chứng minh Giả sử f là hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến Khi đó, từ bất đẳng thức (2.10) ta có: f
Thay thế x = a + (1− t)η(b, a) và y = a + tη(b, a) trong (2.19) và sử dụng (2.18) ta được f
Từ bất đẳng thức (2.19) ta có f
[f(a+ (1−t)η(b, a)) +f(a+tη(b, a))]. Tích phân hai vế của bất đẳng thức trên theo biến t trên đoạn [0,1], ta được f
Sử dụng phép đổi biến x = a+tη(b, a), w = a+ (1−t)η(b, a), ta có f
Z 1 0 h 1 (1−t)h 2 (t)dt, đó là điều phải chứng minh Nhận xét 2.2.7 Sau đây là một vài trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.6.
(i) Nếu h 1 (t) = t s 1 và h 2 (t) = t s 2 thì theo Định lý 2.2.6, chúng ta có một kết quả mới dạng Breckner của các hàm (s 1 , s 2 )-tiền lồi bất biến:
≤[f(a) +f(b)]B(s 1 + 1, s 2 + 1), trong đó B(x, y) là hàm Beta.
(ii) Nếu h 1 (t) = t −s 1 và h 2 (t) = t −s 2 thì theo Định lý 2.2.6, chúng ta có một kết quả mới dạng Godunova–Levin của các hàm (s 1 , s 2 )-tiền lồi bất biến:
≤ [f(a) +f(b)]B(1−s 1 ,1−s 2 ). Định lý 2.2.8 (xem [7]) Cho f : Ω = [a, a+ η(b, a)] ⊂ R −→ R là một hàm liên tục Nếu f là một hàm (h 1 , h 2 )-tiền lồi bất biến thì với hai số dương không đổi α, β, ta có
Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.2.5 và theo giả thiết f là một hàm(h 1 , h 2 )-tiền lồi bất biến, ta có
= (η(b, a)) α+β+1 [Ψ1(t)f(a) + Ψ2(t)f(b)], đó là điều phải chứng minh
Nhận xét 2.2.9 Một số trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.8.
(i) Nếu h 1 (t) = t s 1 và h 2 (t) = t s 2 theo Định lý 2.2.8, chúng ta có một kết quả mới dạng Breckner của các hàm (s1, s2)-tiền lồi bất biến:
(ii) Nếu h 1 (t) = t −s 1 và h 2 (t) = t −s 2 theo Định lý 2.2.8, chúng ta có một kết quả mới dạng Godunova–Levin của các hàm (s1, s2)-tiền lồi bất biến:
≤ (η(b, a)) α+β+1 [δ 1 (t)f(a) +δ 2 (t)f(b)], trong đó δ 1 (t) := B(α −s 2 + 1, β −s 1 + 1), δ 2 (t) := B(α −s 1 + 1, β −s 2 + 1). Định lý 2.2.10 (xem [7]) Cho f : Ω = [a, a+η(b, a)] ⊂ R −→ R là một hàm liên tục Nếu |f| r−1 r là một hàm (h 1 , h 2 )-tiền lồi bất biến thì với hai số dương không đổi α, β, ta có
Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.5, bất đẳng thức H¨older và giả thiết
|f| r−1 r là một hàm (h 1 , h 2 )-tiền lồi bất biến, ta có
= (η(b, a)) α+β +1 (B(rα+ 1, rβ + 1)) 1 r |f(a)| r−1 r θ 1 (t) + |f(b)| r−1 r θ 2 (t) r−1 r , đó là điều phải chứng minh
Nhận xét 2.2.11 Một vài trường hợp đặc biệt của Định lý 2.2.10.
(i) Nếu h 1 (t) = t s 1 và h 2 (t) = t s 2 theo Định lý 2.2.10 ta có một kết quả mới dạng Breckner của các hàm (s 1 , s 2 )-tiền lồi bất biến
(ii) Nếuh1(t) =t −s 1 và h2(t) = t −s 2 theo Định lý 2.2.10 ta có một kết quả mới dạng Godunova–Levin của các hàm (s 1 , s 2 )-tiền lồi bất biến
Bổ đề 2.2.12 (xem [7]) Cho hàm f : Ω = [a, a+ η(b, a)] ⊂ R −→ R là một hàm tiền lồi bất biến khả vi trên miền trong Ω ◦ của Ω với η(b, a) > 0 Nếu f 0 ∈ L[a, a+η(b, a)] là một hàm (h 1 , h 2 )-tiền lồi bất biến và λ ∈ [0,1], thì
Z 1 0 à(t)f 0 (a+tη(b, a))dt, trong đó à(t) ( 2t−λ, t∈ 0, 1 2 , 2t−2 +λ, t ∈ 1 2 ,1 (2.20) Chứng minh Xét
Định lý 2.2.13 chứng minh rằng đối với hàm f : Ω = [a, a+η(b, a)] ⊂ R → R là một hàm tiền lồi bất biến, có khả năng vi trên miền trong Ω ◦ của Ω với η(b, a) > 0, nếu f 0 thuộc L[a, a+ η(b, a)] và |f 0 | q là một hàm (h 1, h 2)-tiền lồi bất biến trên Ω với q ≥ 1 và λ ∈ [0,1].
(ζ 1 (a, b;λ)) 1− 1 q ζ 2 (a, b;λ, h 1 , h 2 )|f 0 (a)| q +ζ3(a, b;λ, h1, h2)|f 0 (b)| q 1 q + (ζ4(a, b;λ)) 1− 1 q ζ5(a, b;λ, h1, h2)|f 0 (a)| q +ζ 6 (a, b;λ, h 1 , h 2 )|f 0 (b)| q 1 q i, trong đú à(t) được xỏc định trong (2.20) và ζ1(a, b;λ) Z 1 2
1 2 h 1 (t)h 2 (1−t)|à(t)|dt (2.26) Chứng minh Sử dụng Bổ đề 2.2.12, ta nhận được
Định lý 2.2.14 (xem [7]) chứng minh rằng cho hàm f: Ω = [a, a+η(b, a)] ⊂ R → R là một hàm tiền lồi bất biến, khả vi trên miền trong Ω ◦ với η(b, a) > 0, nếu f 0 ∈ L[a, a+η(b, a)] và |f 0| q là một hàm (h 1, h 2)-tiền lồi bất biến trên Ω với p, q ≥ 1, 1/p + 1/q = 1 và λ ∈ [0, 1], thì các điều kiện đã nêu trong bài toán được thoả mãn.
Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.12 và bất đẳng thức tích phân H¨older, ta có
Vì hàm |f 0 | q là hàm (h 1 , h 2 )-tiền lồi bất biến, ta có
Kết hợp các định lý 2.27 và 2.28, ta có bất đẳng thức 2.29 Định lý 2.2.15 chỉ ra rằng, với hàm f : Ω = [a, a + η(b, a)] ⊂ R → R là một hàm tiền lồi bất biến khả vi trên tập đóng Ω ◦ của Ω với η(b, a) > 0, nếu f 0 thuộc L[a, a + η(b, a)] và |f 0 |^q là một hàm (h1, h2)-tiền lồi bất biến trên Ω với p, q ≥ 1, 1/p + 1/q = 1 và λ ∈ [0, 1], thì các điều kiện trên sẽ được thỏa mãn.
Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.2.12 và bất đẳng thức tích phân H¨older, ta có
1 q i, đó là điều phải chứng minh.
Một vài áp dụng
Bằng cách chọn tham số λ thích hợp, chúng ta có thể đạt được những kết quả đáng chú ý cho các phương pháp tính toán như quy tắc trung điểm, quy tắc hình thang, quy tắc ba điểm và quy tắc Simpson.
Hệ quả 2.2.16 (xem [7]) Nếu q = 1 thì theo Định lý 2.2.13, ta có:
Hệ quả 2.2.17 (xem [7]) Nếu λ = 0 thì theo Định lý 2.2.13, ta có quy tắc trung điểm f
1 q , trong đóζ 2 (a, b; 0, h 1 , h 2 ), ζ 3 (a, b; 0, h 1 , h 2 ), ζ 5 (a, b; 0, h 1 , h 2 ), ζ 6 (a, b; 0, h 1 , h 2 ) được cho trong các công thức (2.22), (2.23), (2.25), (2.26).
Hệ quả 2.2.18 (xem [7]) Nếu λ = 1 thì theo Định lý 2.2.13, ta có quy tắc hình thang f(a) +f(a+η(b, a))
1 q , trong đó ζ1(a, b; 1), ζ2(a, b; 1, h1, h2), ζ3(a, b; 1, h1, h2), ζ4(a, b; 1), ζ 5 (a, b; 1, h 1 , h 2 ), ζ 6 (a, b; 1, h 1 , h 2 ) được cho trong các công thức (2.21)–(2.26).
2 theo Định lý 2.2.13, ta có quy tắc ba điểm
1 q # , trong đó ζ 1 a, b; 1 2 , ζ 2 a, b; 1 2 , h 1 , h 2 , ζ 3 a, b; 1 2 , h 1 , h 2 , ζ 4 a, b; 1 2 , ζ 5 a, b; 1 2 , h 1 , h 2 , ζ 6 a, b; 1 2 , h 1 , h 2 được cho trong các công thức (2.21)–(2.26).
3 thì theo Định lý 2.2.13, ta có quy tắc Simpson
, ζ4 a, b; 1 3 , ζ 5 a, b; 1 3 , h 1 , h 2 , ζ 6 a, b; 1 3 , h 1 , h 2 được cho trong các công thức (2.21)–(2.26).
Kết luận Đề tài luận văn đã trình bày một số bất đẳng thức mới dạng Hermite– Hadamard cho hàm tiền lồi bất biến Cụ thể:
Tập lồi và tập lồi bất biến là những khái niệm quan trọng trong toán học, liên quan đến hàm lồi và hàm lồi bất biến Hàm lồi được định nghĩa là hàm có tính chất rằng đường nối giữa hai điểm bất kỳ trên đồ thị của nó không nằm dưới đồ thị Hàm lồi bất biến, trong khi đó, giữ nguyên tính chất lồi khi áp dụng các phép biến đổi nhất định Mối liên hệ giữa hàm lồi và hàm tiền lồi bất biến cũng rất đáng chú ý, vì hàm tiền lồi bất biến có thể coi là một mở rộng của hàm lồi Một số tính chất nổi bật của hàm lồi và hàm tiền lồi bất biến bao gồm tính liên tục và khả năng tối ưu hóa, đóng vai trò quan trọng trong các ứng dụng trong lĩnh vực tối ưu hóa và kinh tế học.
Bài viết trình bày một số bất đẳng thức mới được xây dựng từ bất đẳng thức Hermite–Hadamard cho các hàm tiền lồi bất biến, bao gồm (s₁, s₂)-tiền lồi bất biến và (h₁, h₂)-tiền lồi bất Ngoài ra, bài viết cũng đề cập đến một số ứng dụng của các bất đẳng thức này như quy tắc trung điểm, quy tắc ba điểm, quy tắc hình thang và quy tắc Simpson.
[1] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy, Giáo trình Tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011.
[2] P Cerone, S.S Dragomir (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS Press, Taylor and Francis Group, LLC, USA.
[3] S.S Dragomir, E.M.P Charles (2000), Selected Topics on Hermite– Hadamard Inequalities and Applications, RGMIA Monographs, Victoria University.
[4] G Giorgi (2008), "Some remarks on preinvex functions and other general- ized convex functions", Math Reports, 10(60), 317–325.
[5] H Hudzik, L Maligranda (1994), "Some remarks on s-convex functions", Aequationes Mathematicae, 48, 100–111.
[6] M.A Noor (2007), "Hermite–Hadamard integral inequalities for log- preinvex functions", J Math Anal Approx Theory, 2, 126–131.
[7] M.A Noor, K.I Noor, S Rashid (2019), "Some new classes of preinvex functions and inequalities", Mathematics, 2019, 7, 29;doi:10.3390/math7010029.