Mêtric Hausdorff
1.1.1 Định nghĩa ([1]) Cho X là một tập hợp khác rỗng Một ánh xạ d : X ×X → R thỏa mãn i) d(x, y) ⩾ 0 với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y; ii) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X; iii) d(x, z) ⩽ d(x, y) +d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Khi đó, d được gọi là một khoảng cách hay một mêtric trên X và (X, d) được gọi là không gian mêtric.
1.1.2 Mệnh đề ([1] Cho (X, d) là không gian mêtric Xét ánh xạ d m :
X m ×X m →R được xác định bởi d m (x, y) = max
1 ⩽ i ⩽ m{d(x i , y i )} với x = (x 1 , , x m ), y = (y 1 , , y m ) ∈ X m thì d m là một mêtric trên X m Khi đó, (X m , d m ) là không gian mêtric.
Chứng minh Ta chứng minh d m thỏa mãn ba điều kiện trong Định nghĩa 1.1.1 Thật vậy, với x = (x 1 , , x m ), y = (y 1 , , y m ), z = (z 1 , , z m ) ∈ X m ta có i) d m (x, y) = max
1⩽i⩽mmax {d(x i , y i )} = 0 Khi đó x i = y i với mọi i ∈ {1, , m} Do đó, x = y. ii) d m (x, y) = max
1.1.3 Định nghĩa ([1]) Dãy {x n } được gọi là hội tụ nếu tồn tại số thực x sao cho: với mọi ε > 0, tồn tại p ∈ N, với mọi n⩾ p thì | x n −x |< ε.
Trong không gian mêtric (X, d), một dãy (x n ) được gọi là dãy cơ bản hay dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n 0 ∈ N sao cho với mọi n ⩾ n 0 và mọi p ∈ N, điều kiện d(x n , x n+p ) < ε được thỏa mãn Hơn nữa, không gian mêtric (X, d) được xem là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian đó hội tụ.
X đều hội tụ về một điểm trong X.
1.1.5 Định nghĩa ([1]) Cho(X, d)là không gian mêtric Tập A ⊆X được gọi là tập compactnếu mọi dãy (x n ) trong A đều có một dãy con (x n k ) k hội tụ về một điểm x ∈ A.
1.1.6 Định nghĩa ([1]) Cho(X, d)là không gian mêtric vàA 6= ∅,A⊆ X. i) Với mỗi x ∈ X ta đặt d(x, A) = inf y∈A{d(x, y)} và gọi là khoảng cách từ phần tử x đến tập A. ii) Với A, B ⊂X ta đặt d(A, B) = sup x∈A
{inf y∈Bd(x, y)} và gọi là khoảng cách từ tập A đến tập B. iii) Với mỗi r > 0 ta đặt
Dễ nhận thấy rằng d(A, B) 6= d(B, A) Do đó, ta xây dựng một mêtric trên K(X) như sau.
1.1.7 Mệnh đề ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric Xét hàm h :K(X)× K(X) → R +
Khi đó, ta có i) h là một mêtric và (K(X), h) được gọi là không gian mêtric Haus- dorff. ii) Nếu (X, d) là đầy đủ thì (K(X), h) cũng là không gian mêtric đầy đủ.
Chứng minh i) Ta kiểm tra các điều kiện của một mêtric đối với h.
Từ cách xác định h(A, B) ta có h(A, B) ⩾ 0 với mọi A, B ∈ K(X) và h(A, B) = 0 kéo theo d(A, B) =d(B, A) = 0 hay A = B do A, B ∈ K(X). Hiển nhiên ta có h(A, B) =h(B, A) với mọi A, B ∈ K(X).
Ta chứng minh h(A, B) ⩽ h(A, C) + h(C, B) với mọi A, B, C ∈ K(X).
Ta có d(a, B) = inf b∈Bd(a, b) ⩽ inf b∈B{d(a, c) +d(c, b)} với mọi c ∈ C
Do đó d(a, B) ⩽ inf c∈Cd(a, c) + sup c∈C d(c, B) =d(a, C) + d(C, B).
Lấy suprimum hai vế của bất đẳng thức này theo a ∈ A ta có d(A, B) ⩽ d(A, C) +d(C, B) và d(B, A) ⩽ d(B, C) + d(C, A) với mọi A, B, C ∈ K(X).
Vậy, h là một mêtric trên K(X). ii) Giả sử {A k } là một dãy Cauchy tùy ý trong K(X), ta cần chỉ ra tồn tại A ∈ K(X) sao cho h(A k , A) →0 khi k → ∞.
Do {A k } là dãy Cauchy nên ∀ > 0, tồn tại N() là số tự nhiên sao cho với mọi k, h ⩾ N() thì h(A k , A h ) ⩽ (1)
Ta sẽ chứng minh {A k } hội tụ về A= ∩ k ∪ h ⩾ k A h và A ∈ K(X).
Cho > 0 và kí hiệu N p = N(2 −p ) Khi đó, theo (1) thì k, h ⩾ N p ta có h(A k , A h ) ⩽ 2 −p
Lấy một dãy tăng {k p } với điều kiện k p ⩾ N p, bắt đầu từ x 0 ∈ A k 0 Giả sử x 0, , x p đã được chọn sao cho x i ∈ A k i và d(x i, x i+1) ⩽ 2 −i (với 1 ⩽ i ⩽ p) Tiếp theo, chọn x p+1 ∈ A k p+1 sao cho d(x p, x p+1) ⩽ 2 −p, điều này khả thi vì d(x p, A k p+1) ⩽ h(A k p, A k p+1) ⩽ 2 −p Do đó, dãy {x p} là dãy Cauchy trong R n, dẫn đến sự tồn tại của x ∈ R n sao cho d(x p, x) → 0 khi p tiến đến vô cùng, nhờ vào tính đầy đủ của không gian mêtric (R n, d).
Với mọi p ta có A k p ⊂ ∪ k ⩾ k p A k nên x∈ [ k⩾k p
Với mỗi k 0 ⩾ N 0 và x 0 ∈ A k 0 đều có một điểm x ∈ A sao cho d(x 0 , x) ⩽
Ngược lại, với mỗi x ∈ A ta có với mọi k 0 ⩾ N 0 : x ∈ [ k ⩾ k p
A k cho nên tìm được h ⩾ N() thỏa mãn d(x, A h 0 ) ⩽
Vậy, h(A k , A) ⩽ 2 với mọi k ⩾ k 0 Do bé tùy ý nên h(A k , A) →0 khi k → ∞.
Cuối cùng, chúng ta cần chứng minh rằng A thuộc K(X) Với mỗi ε > 0, luôn tồn tại một số tự nhiên k sao cho A nằm trong A_k Vì A_k thuộc K(X), nên A_k có thể được bao phủ bởi một số hữu hạn hình cầu có tâm x_1, , x_n và bán kính 2 Do đó, các hình cầu với tâm x_1, , x_N và bán kính 2 sẽ bao phủ A Kết luận, A là tập bị chặn, từ đó suy ra A thuộc K(X).
Ta có thể xác định mêtric Hausdorff bằng công thức khác như ở định lí sau.
1.1.8 Mệnh đề ([1]) Với A, B ∈ K(X) thì h(A, B) = inf{δ >0 : A ⊆ B δ , B ⊆ A δ }.
Chứng minh Theo định nghĩa về h ta có h(A, B) = max{sup a∈A
Kí hiệu Ω = {δ : A ⊂ B δ , B ⊂ A δ } thì ta cần chứng minh h(A, B) inf{δ : δ ∈ Ω}. Đặt α = inf{δ :δ ∈ Ω} Ta chứng minh α = h(A, B).
Lấy δ ∈ Ω, ta có A ⊂B δ suy ra d(a, B) ⩽ δ với mọi a ∈ A Dẫn đến sup{d(a, B) : a ∈ A}⩽ δ.
Tương tự, ta có sup{d(b, A) : b ∈ B} ⩽ δ.
Do đó, ta có h(A, B) ⩽ δ với mọi δ ∈ Ω.
Vì vậy, ta có h(A, B) ⩽ inf{δ : δ ∈ Ω}= α (∗)
Bây giờ ta chứng minh α ⩽ h(A, B).
Từ định nghĩa về h, ta có d(A, B) = sup{d(a, B) : a ∈ A} ⩽ h(A, B)nên d(a, B) ⩽ h(A, B) với mọi a ∈ A. Đặt δ = h(A, B) thì ta có A⊂ B δ
Do đó, δ ∈ Ω Dẫn đến α ⩽ δ hay α ⩽ h(A, B) (∗∗)
Từ (∗) và (∗∗), ta suy ra rằng h(A, B) = α Để trình bày nội dung chương hai, chúng ta sẽ xây dựng mêtric Hausdorff h m trên không gian tích K(X) m, tương tự như cách xây dựng mêtric Hausdorff qua ba bước.
Từ Mệnh đề 1.1.2, với m = 2 ta có d 2 ((x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 )) = max{d(x 1 , x 2 ), d(y 1 , y 2 )}.
Tiếp theo, với (x 1 , y 1 ) ∈ X ×X cho trước và (A 1 , B 1 ) ∈ K(X)× K(X) Đặt d 2 ((x 1 , y 1 ),(A 1 , B 1 )) = inf a 1 ∈A 1 ,b 1 ∈B 1 d 2 ((x 1 , y 1 ),(a 1 , b 1 )).
Tương tự như quá trình xây dựng mêtric Hausdorff h trên K(X), ta có kết quả sau.
1.1.9 Mệnh đề ([1]) Cho (X, d) là không gian mêtric Khi đó, h 2 : (K(X)× K(X))×(K(X)× K(X)) →[0,+∞) được xác định bởi h 2 ((A 1 , B 1 ),(A 2 , B 2 )) = max{D 2 ((A 1 , B 1 ),(A 2 , B 2 )), D 2 ((A 2 , B 2 ),(A 1 , B 1 ))} là một mêtric trên K(X)× K(X).
Hơn nữa, nếu (X, d) là mêtric đầy đủ thì không gian mêtric Hausdorff(K(X)× K(X), h 2 ) là đầy đủ.
Mệnh đề sau đây cho ta một công thức hữu hiệu để tính h 2 trên K(X)× K(X).
1.1.10 Mệnh đề.([1]) VớiB 1 , B 2 , C 1 , C 2 ∈ K(X)thì h 2 ((B 1 , C 1 ),(B 2 , C 2 )) còn được xác định bởi h 2 ((B 1 , C 1 ),(B 2 , C 2 )) = max{h((B 1 , B 2 ), h(C 1 , C 2 )}.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh rằng
D 2 ((B 1 , C 1 ),(B 2 , C 2 )) = max{d((B 1 , B 2 ), d(C 1 , C 2 )} Điều đó tương đương với max{ sup x 1 ∈B 1 inf x 2 ∈B 2 d(x 1 , x 2 ), sup y 1 ∈C 1 inf y 2 ∈C 2 d(y 1 , y 2 )}
Ta chứng minh điều này bằng phương pháp phản chứng, giả sử rằng
Khi đó, tồn tại r ∈ R + sao cho sup x 1 ∈B 1 ,y 1 ∈C 1 inf x 2 ∈B 2 ,y 2 ∈C 2 max{d(x 1 , x 2 ), d(y 1 , y 2 )} > r và r > sup x 1 ∈B 1 x 2inf∈B 2 d(x 1 , x 2 ), r > sup y 1 ∈C 1 inf y 2 ∈C 2 d(y 1 , y 2 ).
Do đó, tồn tại x , 1 ∈ B 1 ,y 1 , ∈ C 1 sao cho với mọix 2 ∈ B 2 , với mọi y 2 ∈ C 2 ta có d(x , 1 , x 2 ) > r hoặc d(y 1 , , y 2 ) > r (∗) Đồng thời, với mọi x 1 ∈ B 1 tồn tại x 2 ∈ B 2 sao cho d(x 1 , x 2 ) < r và với mọi y 1 ∈ C 1 tồn tại y 2 ∈ C 2 sao cho d(y 1 , y 2 ) < r.
Tiếp theo, với x , 1 và y , 1 , tồn tại x , 2 ∈ B 2 và y , 2 ∈ C 2 mà d(x , 1 , x , 2 ) < r và d(y 1 , , y 2 , ) < r Điều này là mâu thuẫn với (∗).
Lập luận tương tự ta có
Mệnh đề được chứng minh.
Hệ hàm lặp và sự tồn tại tập bất biến
1.2.1 Định nghĩa ([4]) Cho (X, d) là không gian mêtric và f : X → X.
Hệ số Lipschitz của f là số được xác định bởi
Nếu Lip(f) < ∞ thì f được gọi là hàm Lipschitz.
Nếu Lip(f) < 1 thì f được gọi là co Lipschitz.
1.2.2 Mệnh đề ([4]) Cho (X, d) là không gian mêtric và f : X →X là hàm Lipschitz Khi đó, ta có các kết quả sau. i) Nếu (H i ) i∈I và (K i ) i∈I là hai họ tập con của X, thì h([ i∈I
1.2.3 Định nghĩa ([4]) Một hệ hàm lặp (Iterated Function System, viết tắt là IFS) trên không gian mêtric (X, d) là một họ hữu hạn các ánh xạ co với {T i } i=1, ,N , T i : X →X, i = 1,2, , N Ký hiệu S = (X,{T i } N i=1 ).
1.2.4 Mệnh đề ([4]) Cho không gian mêtric (X, d), S = (X,{T i } N i=1 ) là IFS trên X và c i , i = 1,2, , N, là hệ số co của ánh xạ co T i tuơng ứng, nghĩa là với mọi x, y ∈ X thì d(T i x, T i y) ⩽ c i d(x, y) Xét ánh xạ
Khi đó, T là ánh xạ co với hệ số co c = max{c 1 , , c N }, nghĩa là h(TA,TB) ⩽ c.h(A, B).
Chứng minh Thật vậy, ta chứng minhh(TA,TB) ⩽ c.h(A, B)bằng phương pháp quy nạp.
Với N = 1, ta có h(TA,TB) =h(T 1 A, T 1 B) = max{d(T 1 A, T 1 B), d(T 1 B, T 1 A)}.
Vậy, theo phương pháp qui nạp mệnh đề được chứng minh.
Từ Mệnh đề 1.1.6 và Mệnh đề 1.2.4 và dựa vào nguyên lý ánh xạ co Banach ta có ngay kết quả sau.
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), một hệ hàm lặp S (X,{f i } N i=1) sẽ luôn tồn tại một tập bất biến A ∈ K(X) sao cho T (A) = A Tập A này được gọi là tập fractal của hệ hàm lặp S.
SỰ TỒN TẠI TẬP BẤT BIẾN QUA HỆ HÀM LẶP
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm hệ hàm lặp suy rộng (GIFS - Generalized Iterated Function System) bao gồm các ánh xạ từ X × X vào X và sự tồn tại của tập bất biến Tiếp theo, chúng tôi trình bày hệ hàm lặp đếm được tổng quát (GCIFS - Generalized Countable Iterated Function System) với các ánh xạ đếm được từ X² vào X cùng với sự tồn tại của tập bất biến Ngoài ra, chúng tôi cũng đề cập đến các xấp xỉ của tập bất biến này.
2.1 Sự tồn tại tập bất biến của hệ hàm lặp suy rộng
2.1.1 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và hàm f : X ×X −→ X Khi đó, số
= sup x,y,x 1 ,y 1 ∈X;x6=y,x 1 6=y 1 d(f(x, x 1 ), f(y, y 1 )) d((x, x 1 ),(y, y 1 )) được gọi là hằng số Lipschitz của f và ta có Lip(f) ∈ [0,+∞].
Nếu Lip(f) < ∞ thì f được gọi là hàm Lipschitz.
Nếu Lip(f) < 1 thì f được gọi là co Lipschitz.
Nếu tồn tại c ∈ [0,1) để d(f(x 1 , y 1 ), f(x 2 , y 2 )) ⩽ c.d 2 ((x 1 , y 1 ),(x 2 , y 2 )) thì f được gọi là ánh xạ co.
2.1.2 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ Một hệ hàm lặp suy rộng(kí hiệu GIFS-Generalized Iterated Function System) trên
X là họ hữu hạn các ánh xạ co Lipschitz (f k ) k=1,n với f k : X × X → X, k = 1, , n, và kí hiệu là S = (X,(f k ) k=1,n ).
2.1.3 Định nghĩa ([3]) i) Cho (X, d) là không gian mêtric và f : X ×
X −→ X là hàm liên tục Hàm F f : K(X)× K(X) −→ K(X) cho bởi
F f (K, H) = f(K, H) ={f(x, y) | x ∈ K, y ∈ H} được gọi là hàm tập liên kết với f. ii) Cho hệ hàm lặp suy rộng S = (X, f(k) k=1,n ) Hàm
S k=1 f k (K, H) được gọi là toán tử fractal liên kết với S.
2.1.4 Bổ đề ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric và f : X ×X −→ X là hàm Lipschitz Khi đó, hàm tập F f liên kết với f thỏa mãn
Chứng minh LấyK, H, K 1 , H 1 ∈ K(X), đặtr = max{h(K, K 1 ), h(H, H 1 )}.
Ta có r ⩾ h(K, K 1 ) và r ⩾ h(H, H 1 ) nên theo Mệnh đề 1.1.7 thì K ⊂ (K 1 ) r và H ⊂ (H 1 ) r
Lấy bất kỳ x ∈ K và y ∈ H ta có
K ⊂ (K 1 ) r suy ra d(x, K 1 ) ⩽ r (1) Dẫn đến x ∗ inf∈K 1 d(x, x ∗ ) ⩽ r.
Suy ra tồn tại x 1 ∈ K 1 để d(x, x 1 ) < r (2)
Vì nếu không như vậy thì d(x, x 1 ) ⩾ r với mọi x 1 ∈ K 1 dẫn đến infd(x, x 1 ) ⩾ r hay d(x, K 1 ) ⩾ r (mâu thuẫn (1)).
Tương tự tồn tại y 1 ∈ H 1 để d(y, y 1 ) < r.(3) Khi đó, ta có d(f(x 1 , y 1 ), f(x, y)) ⩽ Lip(f) max{d(x, x 1 ), d(y, y 1 )}.
Kết hợp với (2) và (3) suy ra d(f(x 1 , y 1 ), f(x, y)) ⩽ Lip(f)r.
Do đó,ta có f(x, y) ∈ {f(x 1 , y 1 )} Lip(f )r ⊂(f(K 1 , H 1 )) Lip(f )r Với mọi x ∈ K, y ∈ H ta có f(x, y) ∈ f(K, H) suy ra f(K, H) ⊂(f(K 1 , H 1 )) Lip(f )r (4)
Tương tự, ta có f(K 1 , H 1 ) ⊂(f(K, H)) Lip(f )r (5)
Từ (4), (5) và theo Mệnh đề 1.1.7 suy ra h(f(K, H), f(K 1 , H 1 )) ⩽ Lip(f)r.
⩽ supLip(f)r r = Lip(f). Để đi đến kết quả chính của phần này, ta cần đến mệnh đề sau.
2.1.5 Mệnh đề ([3]) Cho S = (X, f(k) k=1,n ) là hệ hàm lặp suy rộng và đặt c S = max k=1,n
{Lip(f k )} Khi đó, toán tử Fractal kết hợp với S là
F S : K(X)× K(X) −→ K(X) là co Lipschitz với hệ số co là c S
Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.7 và Bổ đề 2.1.4, ta có h(F S (K, H), F S (K 1 , H 1 )) = h( n
⩽ c S max(h(K, K 1 ), h(H, H 1 )). Định lý sau là kết quả tương tự nguyên lý ánh xạ co Banach.
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d) với hàm f thuộc Con 2 (X) và hệ số co c trong khoảng [0,1), tồn tại duy nhất một điểm α ∈ X thỏa mãn f(α, α) = α Đối với bất kỳ hai điểm x₀, x₁ ∈ X, dãy (xₙ) với xₙ₊₁ = f(xₙ, xₙ₋₁) sẽ hội tụ đến α, với tốc độ hội tụ được xác định bởi d(xₙ, α) ≤ 2c^(1−c) [n/2] max{d(x₀, x₁), d(x₁, x₂)} Đặc biệt, ta có d(x₀, α) ≤ (1−c)/2 max{d(x₀, x₁), d(x₁, x₂)}.
Chứng minh Đặt z n = max{d(x n+1 , x n ), d(x n , x n−1 )} Ta có d(x n+1 , x n ) =d(f(x n , x n−1 ), f(x n−1 , x n−2 ))
= cz n−1 và do c ∈ [0,1) nên ta có d(x n+2 , x n+1 ) =d(f(x n+1 , x n ), f(x n , x n−1 ))
Do đó, ta có z n+1 ⩽ cz n−1 Tương tự như vậy, ta có z n+1 ⩽ c 2 z n−3 , z n+1 ⩽ c 3 z n−5 , ,z n+1 ⩽ c [n/2] z 1 và d(x n+p , x n ) ⩽ d(x n+p , x n+p−1 ) +d(x n+p−1 , x n+p−2 ) + +d(x n+1 , x n )
⩽ c[(n+p−1)/2]z 1 +c[(n+p−2)/2]z 1 + +c [n/2] z 1 Vậy, với mỗi p ∈ N ∗ ta có d(x n+p , x n ) ⩽ 2c 1−c [n/2] z 1 = 2 c [ n
Phần còn lại của chứng minh tương tự như trong chứng minh nguyên lý ánh xạ co Banach.
2.1.7 Định lý ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và S (X,(f k ) k=1,n ) là hệ hàm lặp suy rộng với c S = max k=1,n
Lip(f k ) < 1 Khi đó, tồn tại duy nhất A(S) ∈ K(X) sao cho F S (A(S), A(S)) = A(S). Hơn nữa, với bất kỳ H 0 , H 1 ∈ K(X), dãy (H n ) n ⩾ 1 xác định bởi H n+1 F S (H n , H n−1 ), n ∈ N ∗ , hội tụ về A(S) Tốc độ hội tụ là h(H n , A(S)) ⩽ 2c
1−c S max{h(H 0 , H 1 ), h(H 1 , H 2 )}. Đặc biệt, ta có h(H 0 , A(S)) ⩽ 1−c 2 S max{h(H 0 , H 1 ), h(H 2 , H 1 )}.
Theo Mệnh đề 2.1.5, ánh xạ F S là co với Lip(F S ) < 1 Mệnh đề 1.1.6 khẳng định rằng không gian mêtric (K(X), h) là đầy đủ khi (X, d) đầy đủ Do đó, theo Định lý 2.1.6, tồn tại A(S) thuộc K(X).
Hơn nữa,theo Định lý 2.1.6 với bất kỳ H 0 , H 1 ∈ K(X) và với cách xác định {H n } n ⩾ 1 ta có h(H n , A(S)) ⩽ 2c
Nếu (X, d) là không gian mêtric đầy đủ, thì không gian mêtric (K(X) × K(X), h²) cũng là không gian mêtric đầy đủ Điều này được chứng minh tương tự như đối với mêtric Hausdorff, dẫn đến kết luận theo Mệnh đề 2.1.5 và Định lý 2.1.7.
2.1.9 Mệnh đề Mỗi hệ hàm lặp đươc xem như là một hệ hàm lặp suy rộng Hơn nữa, chúng cùng tập bất biến.
Chứng minh Cho hệ hàm lặp S = (X,{f i } i=1,n ) trong đó f i : X → X là co Banach, tức là tồn tại c i ∈ [0,1) để với mọi x, y ∈ X, ta có d(f i (x), f i (y)) ⩽ c i d(x, y).
Ta xây dựng ánh xạ f i : X ×X →X
Khi đó, S = (X,{f i } i=1,n ) là hệ hàm lặp suy rộng.
Vậy, f i là ánh xạ co trên X ×X Do đó,(X,{f i } i=1,n ) là hệ hàm lặp suy rộng Hơn nữa, ta có
A là tập bất biến của hệ hàm lặp S = (X,{f i } i=1,n ) thì
Vậy, A là tập bất biến của hệ hàm lặp suy rộng S = (X,{f i } i=1,n ).
2.1.10 Ví dụ ([3]) 1)Lấy (X, d) = ([0,1],| |) và f, g : X ×X → X xác định bởi f(x, y) = x
3. Lấy hệ hàm lặp suy rộng S = (X,{f, g}), vàF S :K(X)× K(X) → K(X) xác định bởi
Ta có tập bất biến của S là A(S) = [0,1].
Thật vậy, ta có f([0,1],[0,1]) = [0,2/3] và g([0,1],[0,1]) = [2/3,1).
2) Lấy (X, d) = ([0,1],||) và f, g :R×R → R xác định bởi f(x, y) = x
5. Lấy hệ hàm lặp suy rộng S = (R,{f, g}), và F S : K(R)× K(R) → K(R) xác định bởi
Ta có tập bất động của S là A(S) = [0,2/5]∪[3/5,1]
H n , trong đó (H n ) n⩾1 xác định bởi
Lấy t: R → R xác định bởi t(x) = −x+ 1 2 Khi đó,
Mặt khác, tập bất động của hệ hàm lặp suy rộng S = (R,(f, g)) là tập đối xứng qua 1 2
Ta thấy A(S) không thể là tập bất biến của hệ hàm lặp với f(x) = x
Sự tồn tại tập bất biến qua hệ hàm lặp đếm được suy rộng
In this section, we introduce the concept of Generalized Countable Iterated Function Systems (GCIFS) and demonstrate the proof of the existence of invariant sets through this iterative function system.
2.2.1 Bổ đề ([6]) Giả sử (A n ) n là dãy trong K(X). i) Nếu A n ⊂ A n+1 với mọi n ⩾ 1 và A ∞
A n là tập compact tương đối thì
A n = lim n→∞A n , trong đó giới hạn được lấy theo mêtric Hausdorff và A hiểu là bao đóng của A trong X. ii)Nếu A n+1 ⊂ A n với mọi n ⩾ 1 thì n→∞lim A n ∞
Giả sử (X, d), (Y, δ) và (Z, ς) là các không gian mêtric với hàm w: X × Y → Z Định lý cho biết rằng nếu w là co Lipschitz, thì khoảng cách giữa các hình ảnh w(B1, C1) và w(B2, C2) được giới hạn bởi Lip(w) nhân với khoảng cách h2 giữa (B1, C1) và (B2, C2) Ngoài ra, nếu w liên tục đều trên X × Y, thì hàm Fw: K(X) × K(Y) → K(Z) được xác định từ các không gian compact K(X) và K(Y).
Từ Bổ đề 2.2.1 và Định lý 2.2.2 ta có kết quả sau.
2.2.3 Hệ quả ([6]) Cho dãy hàm Lipschitz w n : X ×Y → Z với (Z, ς) là không gian mêtric compact Ta xác định hàm
Lip(w n ) < ∞ thì F là hàm Lipschitz.
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), một họ đếm được các ánh xạ co w n : X × X → X với điều kiện sup n⩾1 c n < 1 được gọi là hệ hàm lặp đếm được suy rộng Đối với mỗi N ⩾ 1, họ hữu hạn các ánh xạ co (w n ) N n=1 được xem là hệ hàm lặp suy rộng riêng của hệ hàm lặp đếm được suy rộng (w n ) n⩾1.
Từ các kết quả trên ta có định lí sau.
2.2.5 Định lý ([6]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và (w n ) n ⩾ 1 là hệ hàm lặp đếm được suy rộng trên X Khi đó, tồn tại duy nhất
Hơn nữa, nếu B 0 , B 1 ∈ K(X) thì dãy (B k ) k⩾0 cho bởi
B k+1 = F(B k , B k−1 ) hội tụ về A theo mêtric h trên K(X).
Trong không gian mêtric đầy đủ (X, d), với hệ hàm lặp đếm được suy rộng S = (X,(w n ) n ⩾ 1 ), tập A được xác định trong Định lý 2.2.5 được gọi là tập bất biến của hệ hàm lặp đếm được suy rộng.
Trong hệ hàm lặp đếm được suy rộng S = (X, (w_n)_{n⩾1}), với mỗi n ∈ N, ta định nghĩa ánh xạ wc_n: X → X bằng công thức wc_n(x) = w_n(x, x) Ánh xạ wc_n này cũng là một ánh xạ co với hệ số co c < Lip(w_n) và có cùng điểm bất động với w_n.
Hệ hàm lặp đếm được (CIFS) được định nghĩa bởi các ánh xạ (wc n ) với n⩾1, kết hợp với hệ hàm lặp đếm được suy rộng S = (X,(w n ) n⩾1) Nếu Ab∈ K(X) là tập bất biến của hệ hàm lặp đếm được, thì nó có những đặc điểm quan trọng trong nghiên cứu.
2.2.8 Bổ đề ([6]) Giả sử c 0 ∈ K(X) Khi đó, dãy (C k ) k ⩾ 1 cho bởi
C k = F(C k−1 , C k−1 )(k ⩾ 1) hội tụ theo mêtric Hausdorff h trên K(X) về tập bất biến A của hệ hàm lặp đếm được suy rộng S = (X,(w n ) n⩾1 ) với F được xác định như trong
Tương tự như Mệnh đề 2.2.7 ta có kết quả sau.
2.2.9 Mệnh đề ([6]) Mỗi hệ hàm lặp đếm được có thể xem như là một hệ hàm lặp đếm được suy rộng.
2.2.10 Nhận xét ([6]) Theo Hệ quả 2.2.3 ta có
F(B, C) = [ n ⩾ 1 w n (B, C) là ánh xạ co với hệ số co c = sup n c n với c n là hệ số co của w n , n = 1,2, Đồng thời, ánh xạ
[ n=1 w n (B, C) cũng là ánh xạ co với hệ số co c N = max{c 1 , , c n }.
Sau đây chúng tôi trình bày về tính chất của tập bất biến A.
2.2.11 Mệnh đề ([6]) Giả sử (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và
S = (X,(w n ) n ⩾ 1 ) là hệ hàm lặp đếm được suy rộng A N là tập bất biến của hệ hàm lặp riêng suy rộng S N = (X,(w n ) n∈{1, ,N } ) và A là tập bất biến của S, tức là
Chứng minh Vớiε > 0cho trước Theo Bổ đề 2.2.8 thì dãy(
S n=1 w n (A, A)) N giảm nên tồn tại N ε ⩾ 1 để với mọi N ⩾ N ε ta có h(
Với mỗi N ⩾ N ε , ta lại có h(A N , A) =h(S N (A, A), F(A, A))
Do đó, theo (*) và Bổ đề 2.2.8 ta có h(A N , A) < ε.
Do đó, ta có điều cần phải chứng minh.
2.2.12 Bổ đề ([6]) Giả sử B 0 , B 1 ∈ K(X) bất kỳ Với mỗi k ⩾ 1 đặt
Khi đó, B k N →B k theo N với mỗi k = 0,1,
Chứng minh Trước hết, ta thấy với mỗi k ⩾ 1 và ε > 0 cho trước, theo Mệnh đề 2.2.11 tồn tại N ε ⩾ 1 để với mỗi N ⩾ N ε ta có h(
Ta chứng minh bổ đề bằng quy nạp theo k.
Với k = 1 hiển nhiên bổ đề đúng theo Nhận xét 2.2.10.
N →∞h(B m N , B m ) = 0 với mỗi m ⩽ k Khi đó tồn tại N ∗ > N ε để h(B m N , B m ) < ε
Theo giả thiết, ta có h(B k+1 N , B k+1 ) = h(F(B k N , B k−1 N ), F(B k , B k−1 ))
Vậy, ta có B k+1 N → B k khi N → ∞ Do đó, bổ đề đúng với k + 1, hay đúng với mọi k.
Dựa vào Bổ đề 2.2.1, Bổ đề 2.2.8 và Định lý 2.2.5, chúng ta có thể rút ra kết quả quan trọng để xác định tập bất của hệ hàm lặp đếm được suy rộng.
Định lý 2.2.13 khẳng định rằng nếu A là tập bất biến của hệ hàm lặp đếm được suy rộng S = (X,(w n ) n ⩾ 1 ) và A N là tập bất biến của hệ hàm lặp đếm được suy rộng riêng S N = (X,(w n ) N n=1 ), thì với B 0 , B 1 ∈ K(X) bất kỳ, ta có A N hội tụ về A khi N tiến đến vô cùng, tức là lim A N → A khi N → ∞.
N →∞h(A N , A) = 0. ii) A = lim k→∞B k với B k = F(B k−1 , B k−2 ) với mọi k ⩾ 2.
Tương tự như đối với hệ hàm lặp ta có kết quả sau.
2.2.14 Bổ đề ([6]) Giả sử B 0 , B 1 ∈ K(X) mà B 0 ⊂ B 1 ⊂ F N (B 0 , B 1 ) với mỗi N ⩾ 1 Xét dãy (B k N ) k,N với B 0 N = B 0 , B 1 N = B 1 và B k+1 N F S (B k N , B k−1 N ) với mọi k, N ⩾ 1.
Khi đó, ta có B k k ⊂ B k+1 k+1 và A = lim k→∞B k k = S k ⩾ 1
Hơn nữa, dãy (A N ) N tăng và A = S
Chứng minh Với N ⩾ 1, bằng quy nạp dễ chứng minh được B k N ⊂ B k+1 N với mọi k.
Rõ ràng ta có B k N ⊂ B k N +1 với mọi k, N.
Do đó (B k k ) k là dãy tăng và