Số tập con của một tập hợp hữu hạn

PHIẾU 2: MÔĐUN 2 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ

2.4. Số tập con của một tập hợp hữu hạn

Nếu tập A không có phần tử nào thì tập A có số tập con là: . . . .

Nếu tập A có và chỉ có 1 phần tử thì tập A có số tập con là: . . . .

Nếu tập A có và chỉ có 2 phần tử thì tập A có số tập con là: . . . .

Nếu tập A có và chỉ có 3 phần tử thì tập A có số tập con là: . . . .

Nếu tập A có và chỉ có 4 phần tử thì

đƣợc mời độc lập với nhau).

Hỏi có thể có bao nhiêu trường hợp về sự kết hợp giữa các đại biểu trong đoàn đại biểu Hải Phòng đến dự ngày khai mạc triển lãm? (Mỗi một trường hợp kết hợp giữa các đại biểu trong đoàn đại biểu Hải Phòng là một tập hợp con của tập hợp đoàn đại biểu đó). Vậy tập hợp đoàn đại biểu Hải Phòng có tất cả bao nhiêu tập hợp con?

Câu 20: Giả sử đoàn đại biểu ở Hải Phòng có 4 người (ông An, ông Bình, ông Công và ông Dương) được mời dự khai mạc một cuộc triển lãm (bốn người được mời độc lập với nhau).

Câu 21: Vậy trong trường hợp xét một tập A có n phần tử, hỏi khi đó tập A có bao nhiêu tập hợp con?

tập A có số tập con là: . . . . . . . .

Nếu tập A có và chỉ có n phần tử thì tập A có số tập con là: . . . .

PHỤ LỤC 7

Câu hỏi trắc nghiệm kiểm tra kết quả tự học mô-đun “Phép chia hết và phép chia có dƣ

Câu 1: Từ đẳng thức 15 = 3.5, em hãy khoanh tròn vào mệnh đề đúng.

A. 15 chia hết 5 C. 5 chia hết 15

B. 15 chia hết 3 D. 3 chia hết cho 15

Câu 2: Từ đẳng thức 12.3 = 36, em hãy khoanh tròn vào mệnh đề đúng.

A. 12 là bội của 3 C. 3 là ƣớc của 12 B. 3 là ƣớc của 36 D. 36 là ƣớc của 12

Câu 3: 2) a, b,c  nếu có a | b, a | c, em hãy khoanh tròn vào phương án sai.

A. a | b c C. a | (b c)

B. a | b : c D. a | (b c)

Câu 4: 3) a, b,c  nếu có a | b , em hãy khoanh tròn vào phương án sai.

A. a | b c C. b | a.c

B. a | b.c D. a | b c

Câu 5: a, b,c  nếu có a | b, b | c, em hãy khoanh tròn vào phương án sai.

A. a | c : b C. a | c

B. c | a D. a | b : c

Câu 6: Định lý về phép chia có dƣ trong tập số tự nhiên (định lý Ơclit) đƣợc phát biểu như sau. Em hãy khoanh tròn vào phương án đúng.

A. Cho hai số tự nhiên a và b, C. Cho hai số tự nhiên a và b,

b 0, khi đó tồn tại cặp hai số tự nhiên q và r sao cho a = bq+r, trong đó

0 r b.

b 0 , khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai số tự nhiên q và r sao cho a

= bq+r, trong đó 0 r b. B. Cho hai số tự nhiên a và b,

b 0, khi đó tồn tại duy nhất hai số tự nhiên q và r sao cho a = bq+r, trong đó

0 r b.

D. Cho hai số tự nhiên a và b, b 0 , khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai số tự nhiên q và r sao cho a

= bq+r, trong đó 0 r b.

Câu 7: Cho phép tính sau: 14 = 4.3 + 2, em hãy khoanh tròn vào mệnh đề đúng.

A. 4 là thương hụt và 3 là dư trong phép chia 14 cho 3

C. 4 là thương hụt và 2 là dư trong phép chia 14 cho 4

B. 3 là thương hụt và 2 là dư trong phép chia 14 cho 3

D. 3 là thương hụt và 2 là dư trong phép chia 14 cho 4

Câu 8: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào cho ta một phép chia có dư? Em hãy khoanh tròn vào phương án đúng.

A. 16=5.3+1 C. 16=5.1+11

B. 16=5.2+6 D. 16=5.0+16

Câu 9: Em hãy khoanh tròn vào mệnh đề sai.

A. a *, a chia hết cho a C. a  , a chia hết cho 0 B. a  , a chia hết cho 1 D. a *, 0 chia hết cho a

Câu 10: Em hãy khoanh tròn vào mệnh đề sai.

A. a  , 0 là ƣớc của a C. a  ,1 là ƣớc của a B. a  , a là ƣớc của a D. a  , a là ƣớc của 0

PHỤ LỤC 8

Câu hỏi hướng dẫn học sinh lớp 4 tự học bài phép chia phân số Bước 1: Đưa ra vấn đề có sử dụng những kiến thức cơ sở đã biết Có 6 viên bi, chia cho 2 em. Hỏi mỗi em có bao nhiêu viên bi?

TL: Mỗi em có 3 viên bi

Có 6 viên bi, nếu mỗi học sinh muốn nhận đƣợc 2 viên bi. Hỏi có bao nhiêu học sinh sẽ đƣợc chia?

TL: Có 3 học sinh sẽ đƣợc chia

Bước 2: Xây dựng những vấn đề mới trên nền tảng kiến thức đã biết Có 3 thanh chocolate, nếu mỗi học sinh muốn nhận đƣợc một nửa thanh chocolate. Hỏi có bao nhiêu học sinh đƣợc chia?

3 :1 2 1 2

1 2

1 2 TL: Có 6 học sinh sẽ đƣợc chia

Nhƣ vậy: 1 3 : 6

Có 4 thanh chocolate, nếu mỗi học sinh muốn nhận đƣợc một 1

3 thanh chocolate. Hỏi có bao nhiêu học sinh đƣợc chia?

4 :1 3 1 3

1 3

TL: Có 12 học sinh sẽ đƣợc chia Nhƣ vậy: 1

4 : 12 3

Có 2 thanh chocolate, nếu mỗi học sinh muốn nhận đƣợc một 1

4 thanh chocolate. Hỏi có bao nhiêu học sinh đƣợc chia?

2 :1 4 1 4

1 4

1 4 1

1 4

1 4 TL: Có 8 học sinh sẽ đƣợc chia

Nhƣ vậy: 1 2 : 8

Có 3 thanh chocolate, nếu mỗi học sinh muốn nhận đƣợc một 2 3 thanh chocolate. Hỏi có bao nhiêu học sinh đƣợc chia? Còn lại bao nhiêu thanh chocolate?

3 :2 3

1 3

TL: Có 4 học sinh đƣợc chia. Còn lại 1

3 thanh chocolate (hay 1

2của phần đƣợc chia)

Nhƣ vậy: 2 1 3 : 4

3 2

Có 4 thanh chocolate, nếu mỗi học sinh muốn nhận đƣợc một 3

4 thanh chocolate. Hỏi có bao nhiêu học sinh đƣợc chia?

4 3 4

1 4

TL: Có 5 học sinh đƣợc chia. Còn lại 1

4 thanh chocolate (hay 1

3của phần đƣợc chia)

Nhƣ vậy: 3 1

4 5

4 3

Có 1

22 thanh chocolate, nếu mỗi học sinh muốn nhận đƣợc một 3 4 thanh chocolate. Hỏi có bao nhiêu học sinh đƣợc chia? Bao nhiêu phần của thanh đƣợc để lại?

21 3: 2 4

Thanh thứ 1 Thanh thứ 2 1

2 thanh Chia mỗi thanh làm 4 phần

Mỗi học sinh đƣợc 3 phần đƣợc chia trong thanh chocolate.

1 1 1 2 2 2 3 3 3 còn

Nhƣ vậy có 3 học sinh đƣợc chia và còn lại 1

4 của thanh chocolate (hay 1 3của phần đƣợc chia).

TL: Có 3 học sinh đƣợc chia. Còn lại 1

4 thanh chocolate (hay 1

3của phần đƣợc chia)

Nhƣ vậy: 1 3 1

2 : 3

2 4 3

Từ các kết quả trên, hãy nhận xét về kết quả của phép chia và các số hạng của phép chia:

3 :1 6

2 ; 1

4 : 12

3 ; 1

2 : 8 4

(Gợi ý: Có thể thay đổi phép toán từ phép chia sang phép nhân bằng cách nhân nghịch đảo với số chia đƣợc không?)

TL: Muốn chia một số tự nhiên cho một phân số thì ta lấy số bị chia nhân với nghịch đảo của số chia.

1 2

3 : 3 6

2 1 ; 1 3

4 : 4 12

3 1 ; 1 4

2 : 2 8

4 1

Quy tắc trên có thể sử dụng trong trường hợp các phân số phức tạp hơn đƣợc không?

TL: Có

2 3 9 1

3 : 3 4

3 2 2 2

3 4 16 1

4 : 4 5

4 3 3 3

Bước 3: Yêu cầu hình thành những quy tắc mới trên những ví dụ đã giải quyết

?10

Từ kết quả bài 9, 10, muốn chuyển phép chia số tự nhiên cho phân số sang phép chia của phân số cho phân số ta làm nhƣ thế nào?

TL:

1 3 2

3 : 6

2 1 1

1 4 3

4 : 12

3 1 1

1 2 4

2 : 8

4 1 1

2 3 3 9 1

3 : 4

3 1 2 2 2

3 4 4 16 1

4 : 5

4 1 3 3 3

Trong trường hợp số bị chia là hỗn số ta sẽ làm thế nào để thực hiện phép chia? Ví dụ:

21 3: 2 4 TL:

1 3 5 3 5 4 10 1

2 : : 3

2 4 2 4 2 3 3 3

Từ kết quả bài 11, 12 hãy đƣa ra quy tắc thực hiện phép chia phân số cho phân sô?

TL: Quy tắc: Muốn chia một phân số cho một phân số thì ta lấy số bị chia nhân với nghịch đảo của số chia.

Trường hợp số bị chia hoặc số chia là hỗn số, đầu tiên, ta đổi hỗn số sang phan số. Sau đó ta áp dụng quy tắc phép chia phân số cho cho phân số nhƣ trên.

Bước 4: Kiểm tra những quy tắc mới đã xây dựng

Hãy kiểm tra lại quy tắc vừa xây dựng thông qua các bài tập ví dụ 6, 7, 8 ở trên.

Bước 5: Thực hành những quy tắc đó

?11

?12

?13

?14

?15

Hãy áp dụng quy tắc vừa xây dựng, thực hiện các phép chia sau:

5 1: ?

2 4 ; 4

3 : ?

3 ; 3 2 : 2 ?

2 3 ; 3 3

4 : ?

4 5 ; 1 3

2 : 5 ?

2 4

Hãy lấy 3 ví dụ về phép chia phân số cho phân số; chia phân số cho hỗn số; chia hỗn số cho phân số; chia hỗn số cho hỗn số. Hãy chia chúng theo quy tắc đã xây dựng.

?16

PHỤ LỤC 9

Sáu tình huống dự kiến cho SV thảo luận trong seminar

Tình huống 1: Các bài toán có nội dung hình học ở tiểu học có thể chia ra làm mấy nhóm? Những nhóm nào?

Nhóm 1: Các bài toán có nội dung hình học thuần tuý: gồm các kiến thức KN hình học nhƣ nhận dạng, phân biệt hình, mô tả, biểu diễn hình, vẽ hình, tạo hình (cắt, ghép, gấp, xếp hình), biến đổi hình (tạo ra các hình có cùng diện tích).

Nhóm 2: Các bài toán có nội dung hình học đo lường. Trong đó phần cốt lõi làm toán với các số đo đại lƣợng hình học nhƣ chu vi, diện tích, thể tích

Nhóm 3: Các bài toán có nội dung giải toán có lời văn. Trong đó, có sự kết hợp giữa hình học số học và đo lường nhằm tạo ra các tình huống để vận dụng các kiến thức đã học theo yêu cầu của việc tập dượt phương pháp giải toán, đồng thời giúp học sinh (nhất là các lớp cuối cấp) làm quen dần với phương pháp suy diễn.

Tình huống 2: Các bài toán có nội dung hình học thuần tuý có thể chia làm mấy dạng? Cấu trúc suy luận tổng quát của mỗi dạng?

Dạng 1: Dạng toán nhận dạng, phân biệt các hình học

*Cấu trúc suy luận tổng quát:

Tiền đề 1 Dấu hiệu nhận biết, (khái niệm, tính chất) cơ bản về các hình hình học cơ bản

Tiền đề 2 Các hình cho trong đề bài tập

Kết luận Các hình cần nhận dạng thoả mãn đề bài.

Dạng 2: Dạng toán mô tả, biểu diễn hình, vẽ hình, tạo hình, biến đổi hình

*Cấu trúc suy luận tổng quát:

Tiền đề 1 Những đặc điểm tính chất về hình học cơ bản.

Tiền đề 2 Quy trình vẽ, cắt, ghép, gấp, xếp để thoả mãn yêu cầu bài toán.

Tiền đề 3 Các điều kiện cho trong đề bài tập.

Kết luận Câu trả lời, các hình đã cắt, ghép, gấp, xếp thoả mãn đề bài.

Tình huống 3: Các bài toán có nội dung hình học đo lường có thể chia làm mấy dạng? Cấu trúc suy luận tổng quát của mỗi dạng?

Dạng 1: Dạng toán tính chu vi, kích thước của một hình:

*Cấu trúc suy luận tổng quát:

Tiền đề 1 Các quy tắc hoặc công thức tính chu vi một hình (hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn, hình bình hành, hình thang…)

Tiền đề 2 Các số liệu cho trong đề bài thoả mãn các điều kiện của quy tắc yêu cầu

Kết luận Kết quả của bài toán Dạng 2: Dạng toán tính diện tích:

* Cấu trúc suy luận tổng quát:

Tiền đề 1

Công thức hoặc quy tắc tính diện tích của hình (hình chữ nhật, hình tam giác, hình vuông, hình bình hành, hình thoi,…) Tiền

đề 2

Các số liệu cho trong đề bài thoả mãn các điều kiện của quy tắc yêu cầu

Kết luận

Kết quả của bài toán

Dạng 3: Dạng toán tính thể tích:

* Cấu trúc suy luận tổng quát:

Tiền đề 1 Quy tắc, công thức tính thể tích các hình Tiền đề 2 Dữ liệu của bài toán

Kết luận Kết quả của bài toán

Dạng 4: Dạng toán tổng hợp về tính chu vi, diện tích và thể tích của các hình

* Cấu trúc suy luận tổng quát:

Tiền đề 1 Các quy tắc và công thức tính chu vi, diện tích, thể tích một hình để giải toán

Tiền đề 2 Các số liệu cho trong đề bài thoã mãn các điều kiện của quy tắc yêu cầu

Kết luận Kết quả của bài toán

Tình huống 4: Các bài toán có nội dung giải toán có lời văn liên quan đến hình học có thể chia làm mấy dạng? Cấu trúc suy luận tổng quát của mỗi dạng?

Dạng 1: Dạng toán về chu vi:

*Cấu trúc của suy luận diễn dịch tổng quát:

Tiền đề 1 Các quy tắc, công thức tính chu vi của một hình (hình tròn, hình chữ nhật, hình vuông, hình tam giác)

Tiền đề 2 Các số liệu cho trong đề bài thõa mãn các điều kiện của quy tắc yêu cầu

Kết luận Kết quả của bài toán Dạng 2: Dạng toán về diện tích :

*Cấu trúc suy luận tổng quát :

Tiền đề 1 Các quy tắc hoặc công thức tính diện tích các hình (hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hình tam giác, hình tròn,…)

Tiền đề 2 Các số liệu cho trong đề bài thỏa mãn các điều kiện của dấu hiệu nêu trên.

Kết luận Kết quả bài toán

Dạng 3: Dạng toán tổng hợp về diện tích, chu vi, thể tích của các đối tƣợng trong thực tế cuộc sống:

* Cấu trúc suy luận tổng quát:

Tiền đề 1 Các quy tắc hoặc công thức tính chu vi, diện tích, thể tích sẽ sử dụng để giải toán

Tiền đề 2 Các số liệu cho trong đề bài thoã mãn các điều kiện của quy tắc yêu cầu.

Kết luận Kết quả của bài toán Dạng 4: Dạng toán về thể tích:

*Cấu trúc suy luận diễn dịch tổng quát:

Tiền đề 1 Các quy tắc hoặc công thức tính thể tích các hình (hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình cầu, hình trụ,…)

Tiền đề 2 Các số liệu trong đề bài đã cho thoả mãn các điều kiện của quy tắc yêu cầu.

Kết luận Kết quả của bài toán

Tình huống 5: Những sai lầm của học sinh khi làm các bài tập về các yếu tố hình học?

- Sai lầm khi nhận dạng các hình trong hình học:

Thường bao gồm:

+ Sai lầm khi thay đổi vị trí các hình. Chẳng hạn nhƣ khi quan sát một hình ở vị trí không ngay ngắn, học sinh không nhận dạng đƣợc đúng các hình đó.

Nguyên nhân: do nhận thức của học sinh còn dựa vào trực giác cảm tính, học sinh thường có thói quen quan sát các hình ở vị trí nhất định.

+ Sai lầm khi gọi tên các hình. Ví dụ như học sinh thường nhầm lẫn tên gọi giữa hình lập phương và hình hộp chữ nhật, hình tròn và đường tròn, đoạn thẳng và đường thẳng…

Nguyên nhân: do khả năng ghi nhớ của học sinh tiểu học còn hạn chế. Khi quan sát để hình thành khái niệm, học sinh chƣa chú ý tới dấu hiệu đặc trƣng riêng của mỗi hình. Vì thế, các em gọi tên các hình theo cảm tính.

+ Sai lầm khi đếm số hình: học sinh thường không đếm đủ số hình khi các hình đƣợc ghép lại với nhau mà chỉ có thể đếm các hình đặt rời nhau.

Nguyên nhân: do khả năng suy luận logic của học sinh tiểu học chƣa phát triển mạnh, các em chƣa có khả năng quan sát hình một cách khái quát.

+ Sai lầm khi mô tả hình.Ví dụ như, khi mô tả một hình, học sinh thường không mô tả đầy đủ các dấu hiệu đặc trƣng hoặc mô tả thừa một dấu hiệu nào đó.

Nguyên nhân: Do học sinh không nắm chắc các khái niệm hình học cần mô tả.

- Sai lầm trong việc vẽ hình:

Thường có những sai lầm sau:

+ Sai lầm khi vẽ hình với dữ kiện cho trước. Chẳng hạn, khi được yêu cầu vẽ một hình chữ nhật có cùng diện tích với hình chữ nhật đã cho nhưng có kích thước khác với kích thước với hình chữ nhật đó học sinh thường đếm sai số ô vuông, vẽ hình không chính xác.

Nguyên nhân: do học sinh không cẩn thận hoặc cẩu thả khi thực hiện các thao tác đo, đếm…

+ Sai lầm khi tái tạo hình: cụ thể như, học sinh không xác định được đường cao của một tam giác xuất phát từ đỉnh góc tù, biểu diễn chƣa chính xác các hình không gian như hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình trụ.

Nguyên nhân: do khả năng tưởng tượng của học sinh tiểu học còn hạn chế, ít đƣợc luyện tập vẽ hình.

+ Sai lầm khi vẽ hình trong giải toán. Học sinh tiểu học thường vẽ hình không đúng tỉ lệ hoặc vẽ hình rơi vào trường hợp đặc biệt, nên dẫn đến sự ngộ nhận, không đúng căn cứ lôgic.

Nguyên nhân: do khả năng ƣớc lƣợng độ dài của học sinh tiểu học còn hạn chế, nhận thức của các em thường dựa vào trực giác.

- Sai lầm trong khi giải các bài toán hình học có liên quan đến đại lượng:

Thường gồm các sai lầm chủ yếu sau:

+ Sai lầm khi phân biệt chu vi, diện tích. Học sinh không phân biệt sự khác nhau giữa đại lƣợng độ dài và đại lƣợng diện tích, nên một số học sinh cho rằng chu vi bằng diện tích.

+Sai lầm khi so sánh, chuyển đổi đơn vị đo.

Nguyên nhân: Khi so sánh học sinh chỉ quan sát số đo mà không quan sát đơn vị đo, học sinh chỉ dựa trên quan sát mà ngộ nhận những phán đoán không căn cứ, do không hiểu bản chất của phép tính, hay học sinh nhớ không chuẩn xác công thức thực hiện các phép tính.

Tình huống 6: Một số lưu ý đối với giáo viên khi dạy các yếu tố hình học : Để tránh những sai lầm thường gặp của học sinh đặc biệt đối với học sinh yếu, kém, giáo viên cần có những lưu ý sau:

- Cần chú trọng đến quá trình hình thành biểu tƣợng về các hình hình học nhƣ hình thang, hình lập phương, hình hộp chữ nhật,… không những giúp học sinh quan sát, thao tác trên mô hình mà còn giúp cho học sinh trừu tƣợng hoá, đặc biệt là đƣa ra hai mô hình mà học sinh hay nhầm lẫn.

- Đối với hoạt động hướng dẫn học sinh nhận dạng thì phải cho học sinh giải những bài tập về hình của hình học từ đơn giản đến phức tạp, sau đó hướng dẫn học sinh phân loại các hình và vận dụng thành thạo các quy tắc tính.

- Cần giáo dục cho học sinh tính cẩn thận, tỉ mỉ, không cẩu thả khi thực hiện các thao tác đo, vẽ, tạo hình,…

- Cần giúp học sinh thường xuyên luyện tập ước lượng với các đại lượng.

- Trong quá trình dạy về nội dung về các yếu tố hình học, giáo viên cần lưu ý đúng mức đến việc nâng cao năng lực tƣ duy cho học sinh.

- Cần coi trọng việc làm rõ mối quan hệ giữa các công thức (các quy tắc tính toán).

- Coi trọng việc giúp học sinh áp dụng các kiến thức đã học vào thực tế.

Số tập con của một tập hợp hữu hạn

Cơ sở khoa học của tự học

PHÉP CHIA CÓ DƢ (PHÉP CHIA ƠCLIT)