Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày những phương pháp giảm thiểu số chiều phổ biến áp dụng cho những bài toán cỡ lớn phụ thuộc tham số. Để giữ cho báo cáo ở mức độ dày vừa phải, trong khi lý thuyết của những phương pháp này rất phong phú, chúng tôi không thể đi vào chi tiết từng phương pháp. Chúng tôi chủ yếu trình bày, phân tích ý tưởng của những phương pháp được sử dụng để giải quyết bài toán của đề tài. Những người quan tâm có thể tìm được chi tiết trong những tài liệu tham khảo tương ứng được cung cấp.
Như đã đề cấp trong mục Mở đầu, để mô phỏng trên máy tính hầu hết các hiện tượng mô tả bởi những phương trình đạo hàm riêng liên tục, việc rời rạc hóa theo không gian là bước tất yếu. Về mặt toán học, điều này tương đương với việc chiếu không gian nghiệm (và không gian thử) từ những không gian vô hạn chiều lên những không gian con hữu hạn chiều. Số chiều cao của những không gian này nảy sinh từ đòi hỏi về tính chính xác của mô phỏng. Ý tưởng tự nhiên là tiếp tục chiếu những nghiệm xấp xỉ này lên những không gian có số chiều nhỏ hơn. Câu hỏi đặt ra là:
• Chọn những không gian số chiều nhỏ này như thế nào?
• Làm thế nào để đánh giá được chất lượng của nghiệm xấp xỉ?
• Xây dựng những thuật toán hữu hiệu để hiện thực hóa những ý tưởng đó.
• Đối với những bài toán đặc thù của đề tài, ta còn phải giải quyết vấn đề phụ thuộc vào tham số, nghĩa là, hệ ban đầu phụ thuộc vào tham số và hệ xấp xỉ phải xấp xỉ hệ ban đầu trên một tập các tham số nào đó.
Tùy vào cách tiếp cận các câu hỏi và hướng giải quyết chúng, ta có các phương pháp khác nhau.
1.2.1 Giảm bậc của hệ động lực
Rất nhiều hiện tượng mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng liên tục sau khi được rời rạc hóa theo không gian được đưa về dạng
Ex(t) =˙ Ax(t) +Bu(t), y(t) =Cx(t).
Phương trình mạch điện RLC, như trình bày ở Mục 1.1, cũng có dạng trên.
Trước tiên phải kể đến phương pháp phân tích trực giao(Proper orthogonal decompo- sition - POD) [82]. Đây là phương pháp đã ra đời từ lâu và có thể được gọi bằng tên khác nhưphân tích thành phần chính(Principal component analysis - PCA). Nó xuất phát từ việc, người ta muốn xấp xỉ nghiệm trên không gian số chiều thấp mà thông tin của nó thu được từ đo đạc thực tế hoặc mô phỏng số. Ý chính của phương pháp này làphân tích giá trị kỳ dịcủa ma trận dữ liệu và chọn những véc tơ kỳ dị ứng với những giá trị kỳ dị lớn hơn. Sau đó, chúng được sử dụng như là không gian chiếu. Điểm mạnh của phương pháp này là dễ sử dụng và có thể áp dụng cho hệ phi tuyến. Tuy nhiên, điểm yếu của nó là chất lượng của xấp xỉ hoàn toàn phụ thuộc vào chất lượng của thông tin thu thập được.
Phương pháp chặt cân bằng dựa trên khái niệm tính điều khiển được và tính quan sát được[76]. Đây là những tính chất động lực quan trọng. Khi giảm bậc, ta muốn hệ xấp xỉ giữ lại những trạng thái có tính đạt được thấp và tính quan sát được cao và bỏ đi những trạng thái khác. Tuy nhiên, ở tình trạng thông thường, hai tính chất này không cân bằng trong những trạng thái của hệ theo nghĩa, hầu hết các trạng thái có tính đạt được thấp (cao) thì lại có tính đạt được thấp (cao). Do đó, ta cần phải cân bằng chúng bằng một phép biến đổi tương đương trước khi bỏ đi những trạng thái ít giá trị về mặt thông tin. Để tìm phép biến đổi tương đương này, bên cạnh việc phải tính một số phân tích ma trận, công việc chính là giải một cặp phương trình Lyapunov đối ngẫu. Cho đến hiện nay, đây vẫn là phương pháp duy nhất cho ta sai số tiên nghiệm của xấp xỉ.
Phương pháp không gian con Krylovlại dựa trên định dạng của hệ điều khiển trong miền tần số mà ta gọi nó làhàm truyền[35]. Xấp xỉ hàm truyền của hệ ban đầu bởi một hàm có số chiều thấp hơn trong một lân cận nào đó của một giá trị tần số phức cho trước bằng cách hợp hóa các mô-men (moment matching) của chúng với nhau. Tuy nhiên, do những khó khăn
trong tính toán số, điều này không nên thực hiện trực tiếp trên hàm truyền, mà phải thông qua phép chiếu trong không gian trạng thái và không gian con Krylov đã được sử dụng trong việc này. Đây cũng là phương pháp dễ lập trình, đơn giản nhưng nó chỉ cho ta xấp xỉ tốt mang tính địa phương.
Đối với những hệ động lực thụ động (passive systems), việc bảo toàn tính thụ động, không sản sinh ra năng lượng trong quá trình hoạt động, trong quá trình giảm bậc là thiết yếu. Đây là tính chất của tất cả các mạch điện RLC, đối tượng nghiên cứu của đề tài. Phương pháp PABTEC (PAssivity preserving Balanced Truncation for Electrical Circuits) là một "phiên bản" đặc biệt của phương pháp chặt cân bằng, phát triển riêng cho phương trình mạch điện vốn đòi hỏi bảo toàn tính thụ động. Độc giả có thể tìm hiểu chi tiết của phương pháp trong bài báo [64].
Còn một số phương pháp khác cũng được đề xuất như phương pháp dựa trên tối ưu [36], phương pháp dựa vào ma trận Loewner, v.v... Độc giả quan tâm có thể tìm đọc chi tiết trong quyển chuyên khảo [7].
Đối với hệ động lực phụ thuộc tham số, ngoài nhiệm vụ giảm bậc của hệ, ta còn phải bảo toàn sự phụ thuộc tham số. Tức là, sự xấp xỉ phải đúng trên một tập nhất định các tham số chứ không phải chỉ đúng cho một giá trị tham số. Hầu hết các phương pháp cho hệ phụ thuộc tham số đều là sự mở rộng của một phương pháp tương ứng cho hệ tiêu chuẩn. Ta có thể liệt kê chúng ra ở đây như phương pháp dựa trên không gian con Krylov suy rộng [24], phương pháp kết hợp nội suy và chặt cân bằng [13], mở rộng của phương pháp dựa trên tối ưu [12], nội suy ma trận hệ số [6, 61, 71]. Quyển luận án [70] và hai bài báo tổng quan [15, 17] là những tài liệu rất tốt cho những độc giả muốn tìm hiểu về vấn đề này.
1.2.2 Phương pháp giảm cơ sở
Khác với những phương pháp giảm bậc trình bày ở mục trên, để xử lý những bài toán phụ thuộc tham số có số chiều cao, phương pháp giảm cơ sở làm việc trực tiếp với dạng biến phân của bài toán. Ý tượng chủ đạo là xây dựng một không gian con số chiều thấp sao cho sai số của nghiệm xấp xỉ khi chiếu lên không gian đó vẫn đảm bảo nhỏ hơn một ngưỡng cho trước và số chiều của không gian giảm càng nhỏ càng tốt. Điều kiện tiên quyết để phương pháp này thành công là một ước lượng sai số chặt và một chiến thuật tính ước lượng đó nhanh và hiệu quả. Cuối cùng, cơ sở giảm được tìm thông qua một thuật toán greedy. Đây là thuật toán cho phép cập nhật cơ sở giảm thông qua một vòng lặp mà trong mỗi bước lặp, ta phải tìm được giá trị của tham số (có thể là cả thời gian nếu là bài toán phụ thuộc thời gian) trong một tập rời rạc thay thế cho miền tham số liên tục ban đầu mà tại đó ước lượng tham số đạt giá trị lớn nhất. Ý tưởng này đã được áp dụng thành công cho những phương trình elliptic bức, elliptic không bức, parabolic, Burgers, Navier-Stokes. Sử dụng phương pháp này cho phương trình Lyapunov lần đầu tiên được đề xuất bởi chủ nhiệm đề tài và đồng nghiệp. Độc giả có thể tham khảo các tài liệu [44, 63] để tìm hiểu chi tiết phương pháp.
Chương 2
Giảm bậc của phương trình mạch điện dựa trên nội suy
Nội dung chính của chương này, được lấy từ bài báo [72], là trình bày các kết quả thu được từ việc sử dụng kết hợp các cách thức nội suy và phương pháp PABTEC để giảm số chiều của phương trình mạch điện phụ thuộc tham số. Nội dung chính của chương này. Trong Mục 2.1, chúng tôi sẽ nhắc lại bài toán cũng như điểm qua một số phương pháp của các tác giả khác. Chi tiết các phương pháp sẽ được trình bày trong Mục 2.2. Ví dụ minh họa được đưa ra trong Mục 2.3. Cuối cùng, chúng tôi kết luận ở Mục 2.4.