Phương pháp giảm cơ sở trình bày ở trên có thể áp dụng cho cho PALE (3.1), trong đó A(à)là ma trận khụng đối xứng với một số điều chỉnh trong việc thiết lập cỏc ước lượng sai số.
Giả sử chựm ma trậnλE(à)−A(à)làtỏn chặt(strictly dissipative), tức là,
E(à) = ET(à)>0, A(à) +AT(à)<0 (3.32) với mọià ∈ D. Những điều kiện này đảm bảo tớnh giải được của phương trỡnh Lyapunov giảm (3.29) với mọi ma trận chiếuVk. Chúng sẽ được thỏa mãn nếu các giả thiết (A1), (A2) cùng với
(A3´) Aj +ATj ≤0 and θjA(à)>0 for all à∈ D and j = 1, . . . , nA; (A4´) tồn tại ít nhất một cặp(Aj, Ei)sao choAj+ATj <0vàEi >0
xảy ra. Sử dụng (3.11) và (3.12), ta chỉ cần tỡm một chặn trờn chokL(à)k2 = σmax L(à) và một chặn dưới chokL−1(à)k−12 =σmin L(à)
. Để đạt được được này, ta định nghĩa S(à) = 1
2 A(à) +AT(à)
, (3.33)
LS(à) = 1
2 L(à) +LT(à)
=−E(à)⊗S(à)−S(à)⊗E(à).
Rừ ràng, cỏc ma trận này thừa kế cấu trỳc afin. Hơn nữa,S(à) = ST(à) < 0và LS(à) = LTS(à)>0với mọià∈ D.
3.5.1 Ước lượng sai số theo chuẩn Frobenius
Trong phần này, ta sẽ thiết lập các ước lượng sai số theo chuẩn Frobenius cho các nghiệm xấp xỉXRB(à)vàXˆRB(à). Bổ đề sau đõy sẽ cũng cấp cho chỳng ta hai cận quan trọng, cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất và cận trên cho giá trị kỳ dị lớn nhất của ma trận phụ thuộc tham sốL(à).
Bổ đề 3.5. ChoE(à)vàA(à)thỏa món(A1),(A2),(A3´)and(A4´), vàà,¯ à¯1,à¯2 ∈ D. 1. Với mọià∈ D, giỏ trị kỳ dị nhỏ nhất củaL(à)bị chặn dưới bởi
σmin L(à)
≥α˜LB(à) := max
˜
αL,¯LBà(à), α˜A,¯LBà1;E,¯à2(à), α˜LLB(à)
>0, (3.34) trong đó
˜
αL,¯LBà(à) = 2θminL,¯à(à)λmin −S(¯à)
λmin E(¯à) ,
˜
αA,¯LBà1;E,¯à2(à) = 2θminA,¯à1(à)θE,¯minà2(à)λmin −S(¯à1)
λmin E(¯à2) ,
˜
αLLB(à) = 2
nE
X
i=1 nA
X
j=1
θijL(à)λmin(−Sj)λmin(Ei) vớiS(à)như trong(3.33)vàSj = (Aj +ATj)/2.
2. Với mọià∈ D, giỏ trị kỳ dị lớn nhất củaL(à)bị chặn trờn bởi σmax L(à)
≤˜γUB(à) := min
˜
γUBL,¯à(à), γ˜A,UBà¯1;E,¯à2(à), γ˜UBL (à)
, (3.35)
trong đó
˜
γUBL,¯à(à) = 2θL,¯maxà(à)σmax A(¯à)
λmax E(¯à) ,
˜
γUBA,¯à1;E,¯à2(à) = 2θA,¯maxà1(à)θmaxE,¯à2(à)σmax A(¯à1)
λmax E(¯à2) ,
˜
γUBL (à) = 2
nE
X
i=1 nA
X
j=1
θLij(à)σmax(Aj)λmax(Ei).
Chứng minh. 1. Dựa trên một bất đẳng thức quan trọng về thứ tự của giá trị kỳ dị của ma trận và giá trị riêng của phần đối xứng của ma trận đó [47, Hệ quả 3.1.5], ta có
σmin L(à)
≥λmin LS(à) . Khi đó, (3.34) được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 3.4, phần thứ nhất.
2. Sử dụng tính chất nhân của giá trị kỳ dị của tích Kronecker [47, Định lý 4.2.15], ta thu được
σmax L(à)
≤2σmax A(à)
λmax E(à) . Khi đó, cận (3.35) được suy ra từ Bổ đề 3.4, phần thứ hai.
Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng các cận (3.34) và (3.35) để thiết lập các ước lượng sai số cho phương pháp giảm bậc cho nghiệm xấp xỉ của PALE (3.1).
Định lớ 3.3. Giả sử E(à)vàA(à)thỏa món(A1), (A2),(A3´)và(A4´), và cho XRB(à)và XˆRB(à)là cỏc xấp xỉ giảm cơ sở của nghiệm của PALE(3.1). Khi đú, sai sốX(à)−XRB(à) vàX(à)−XˆRB(à)được ước lượng như sau
kX(à)−XRB(à)kF ≤ kmat(rk(à))kF
˜
αLB(à) =: ∆nsk (à)≤ γ˜UB(à)
˜
αLB(à)kX(à)−XRB(à)kF, kX(à)−XˆRB(à)kF ≤ kRˆk(à)kF
˜
αLB(à) =: ˆ∆nsk (à)≤ ˜γUB(à)
˜
αLB(à)kX(à)−XˆRB(à)kF, trong đúα˜LB(à)và˜γUB(à)như trong(3.34)và(3.35).
Chứng minh. Kết quả này được suy ra từ (3.11), (3.12) và Bổ đề 3.5.
3.5.2 Ước lượng sai số theo chuẩn logarit
Ước lượng sai số khác có thể thu được nhờ sử dụng chuẩn 2-logarit của chùm ma trận λE(à)−A(à). Nú được định nghĩa như sau
` E(à), A(à)
=λmax E(à), S(à) . NếuE(à) ≡ I, thỡ` I, A(à)
= ` A(à)
= λmax S(à)
chính là chuẩn 2-logarit của ma trận và được sử dụng thường xuyên trong phương trình vi phân và giải tích số [69]. Điều kiện (3.32) suy ra rằng` E(à), A(à)
< 0với mọià ∈ D. Vỡ thế, nú khụng phải là chuẩn theo nghĩa thông thường. Ta định nghĩa chuẩn ma trận có trọng như sau
kXkE(à) =kGT(à)XG(à)kF,
vớiG(à)là nhõn tử Cholesky củaE(à) = G(à)GT(à). Định lý sau đõy cung cấp cho chỳng ta một ước lượng sai số cho nghiệm xấp xỉXˆRB(à) = VkX(à)Vˆ kT.
Định lớ 3.4. ChoX(à) và XˆRB(à) lần lượt là cỏc nghiệm chớnh xỏc và xấp xỉ của PALE (3.1). Khi đú, sai sốX(à)−XˆRB(à)được ước lượng bởi
kX(à)−XˆRB(à)kE(à) ≤ kRˆk(à)kF
αE,A,¯LB à(à) =: ˆ∆E,A,¯k à(à)≤ γUBE,A,¯à(à)
αE,A,¯LB à(à)kX(à)−XˆRB(à)kE(à), trong đó
αLBE,A,¯à(à) = 2θminA,¯à(à)
θE,¯à(à)λmin E(¯à)
λmin E(¯à),−S(¯à)
, (3.36)
γUBE,A,¯à(à) = 2θmaxA,¯à(à)σmax A(¯à) s
θE,¯à(à)λmax E(¯à)
λmin E(¯à), (3.37) vàRˆk(à)là thặng dư xỏc định bởi(3.30).
Chứng minh. ChoΞ(à) =X(à)−XˆRB(à). Nú dẫn theo
G−1(à) ˆRk(à)G−T(à) = −AG(à)GT(à)Ξ(à)G(à)−GT(à)Ξ(à)G(à)ATG(à) trong đúAG(à) =G−1(à)A(à)G−T(à)
−GT(à)Ξ(à)G(à) = Z ∞
0
eAG(à)tG−1(à) ˆRk(à)G−T(à)eATG(à)tdt.
Mũ ma trận được ước lượng bởi
keAG(à)tk2 ≤e` G−1(à)A(à)G−T(à) t
=e` E(à),A(à)
t, xem [23, 60]. Vì vậy,
kΞ(à)kE(à) ≤ kG−1(à) ˆRk(à)G−T(à)kF Z ∞
0
e2`(E(à),A(à))tdt≤ kRˆk(à)kFkE−1(à)k2
−2` E(à), A(à) . Ta chỉ cũn cần tỡm một chặn dưới cho−` E(à), A(à)
. Sử dụng phương pháp min-θcho S(à) =
nA
X
j=1
θAj(à)Sj
vớiSj = (Aj+ATj)/2, tương tự như chứng minh của Bổ đề 3.4 ta nhận được
−` E(à), A(à)
=λmin E(à),−S(à)
= min
v∈Rn\{0}
vT(−S(à))v vTE(à)v
= min
v∈Rn\{0}
PnA
j=1θjA(à)vT(−Sj)v PnE
j=1θEj (à)vTEjv ≥ min
v∈Rn\{0}
θA,¯minà(à)vT(−S(¯à))v θmaxE,¯à(à)vTE(¯à)v
= θA,¯minà(à)
θE,¯maxà(à)λmin E(¯à),−S(¯à) . Với lưu ý rằng
kE−1(à)k2 = 1
λmin E(à) ≤ 1
θE,¯minà(à)λmin E(¯à) vàθE,¯à(à) =θmaxE,¯à(à)/θE,¯minà(à), ta cú ước lượng
kX(à)−XˆRB(à)kE(à)≤ kRˆk(à)kF
αE,A,¯LB à(à) =: ˆ∆E,A,¯k à(à) vớiαE,A,¯LB à(à)như trong (3.36). Hơn nữa, sử dụng
kRˆk(à)kF = kA(à)( ˆXRB(à)−X(à))ET(à) +E(à)( ˆXRB(à)−X(à))AT(à)kF
≤ 2kA(à)k2p
kE(à)k2kE−1(à)k2kX(à)−XˆRB(à)kE(à)
≤ 2θmaxA,¯à(à)σmax A(¯à) s
θE,¯à(à)λmax E(¯à)
λmin E(¯à)kX(à)−XˆRB(à)kE(à)
= γUBE,A,¯à(à)kX(à)−XˆRB(à)kE(à)
vớiγUBE,A,¯à(à)như trong (3.37), hằng số hữu hiệu thỏa món 1≤ηE,A,¯k à(à) := ∆ˆE,A,¯k à(à)
kX(à)−XˆRB(à)kE(à) ≤ γUBE,A,¯à(à) αE,A,¯LB à(à). Đây là điều cần chứng minh.