Chúng ta sẽ xét trong mục con này một mô hình thiết bị đo dòng chảy dựa trên sự thay đổi của nhiệt độ, xem [57] và các tài liệu trong đó để biết thêm chi tiết. Mô phỏng hoạt động
0 10 20 30 40 50 10−7
10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1
Parameter index
Magnitude RBBT
BT with Lagrange interp.
BT with linear interp.
(a)
0 10 20 30 40 50
10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 100 101
Parameter index
Magnitude
Absolute error RBBT Error estimate RBBT Absolute error RB Error estimate RB
(b)
Hình 3.3: Phương trình nhiệt: so sánh phương pháp RBBT với(a)phương pháp chặt cân bằng dựa trên nội suy và(b)phương pháp RB trong miền thời gian.
của thiết bị này đổi hỏi việc giải số một phương trình đạo hàm riêng khuếch tán đối lưu dạng ρc∂ϑ
∂t =∇(κ∇ϑ)−ρcv∇ϑ+ ˙q, (3.49) trong đó ρ ký hiệu khối lượng riêng, c ∈ [0,1]là hằng số nhiệt dung riêng, κ ∈ [1,2] là hằng số dẫn nhiệt,v ∈[0.1,2]là vận tốc dòng chảy,ϑlà nhiệt độ của chất dẫn, vàq˙là dòng nhiệt vào thiết bị tạo ra bởi một nguồn nhiệt. Trong mô hình đang xét, ta choρ = 1. Rời rạc hóa phương trình (3.49) theo không gian bằng phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến hệ điều khiển (3.38) bậc N = 29008 với ma trận khối E(à) = E1 +cE2, trong đú E1 = E2 là đối xứng, xỏc định dương và ma trận cứngA(à) = A1 +kA2 +cvA3, với A1 đối xứng xác định âm,A2 không đối xứng nhưng nửa xác định âm,A3 đối xứng nửa xác định âm và à = [c, k, v]T. Ma trận đầu vàoB ∈ RN và ma trận đầu raC ∈ R1ìN là độc lập tham số.
Các dữ liệu có thể tải xuống từ [58].
Trong ví dụ này, chúng tôi muốn kiểm tra sai số của phương pháp cho hệ không đối xứng và độ tin cậy của phương pháp khi áp dụng cho hệ cực lớn. Khoảng thời gian là[0,2]với số bước thời gian, cũng như các tập tham sốDtrain,Dref,Dtestđược chọn như ở ví dụ trước. Tuy nhiên, lưu ý rằng mỗi tập trong ví dụ này là khác so với ví dụ trước vì số chiều miền tham số là 3. Chúng tôi chạy 20 bước thuật toán greedy. Lịch sử hội tụ của phép lặp này cho cả hai phương trình (3.1) and (3.40) được thể hiện trong Hình 3.4(a). Sai số tương đối, ước lượng sai số tương đối như trong Định lý 3.3 và Định lý 3.4 được cung cấp trong Hình 3.5. Tình huống cũng tương tự như ví dụ trước, trừ việc sai số của nghiệm xấp xỉ của phương trình gramian quan sát (3.40) (không hiển thị ở đây), là tương đối lớn so với sai số trong phương trình gramian điều khiển (3.1). Có nhiều khả năng, lí do là thuật toán greedy không có tiến triển sau 5 bước lặp, xem Hình 3.4(a). Cùng với các kết quả trong Tiểu mục 3.7.1, chúng tôi tin rằng xấp xỉ giảm cơ sở sẽ tốt hơn nếu sai số lớn nhất trong thuật toán greedy (hầu như)
Greedy iteration step
0 5 10 15 20
107 108 109 1010 1011 1012
∆maxk contr.
∆maxk obser.
(a)
Parameter index
0 10 20 30 40 50
Magnitude
10-9 10-8 10-7 10-6 10-5
(b)
Hình 3.4: Mô hình thiết bị đo dòng chảy: (a) ước lượng sai số lớn nhất trong thuật toán greedy; (b)sai số tuyệt đối trong đáp ứng tần số của mô hình giảm bậc phụ thuộc tham số.
đơn điệu giảm. Mặc dầu vậy, sai số trong đáp ứng tần số định nghĩa bởi (3.47) được cung cấp trong Hình 3.4(b) vẫn nhỏ.
Bây giờ, ta sẽ quan tâm đến thời gian tính toán đưa ra trong Hình 3.6(a). Có thể quan sát thấy phần lớn thời gian (73%) được sử dụng trong giai đoạn offline là dành cho việc giải phương trình Lyapunov tại 20 giá trị tham số khác tìm ra bởi thuật toán greedy. Do sự sắp xếp tốt các đại lượng phụ thuộc và độc lập tham số, thời gian để tìm cực đại trên tập thế tưởng chừng rất lâu nhưng thực tế lại rất nhỏ (7%). Thời gian để tính các đại lượng độc lập tham số chiếm thời lượng đáng kể (18%). Tuy nhiên, cũng lưu ý rằng các đại lượng này sẽ được lưu lại trong bộ nhớ để dùng cho giai đoạn online giúp giảm thời gian tính toán của giai đoạn này. Thật vậy, giải phương trình Lyapunov ban đầu tại50giá trị tham số mất849.9giây trong khi nếu giải phương trình Lyapunov giảm chỉ mất8.48giây, tức tốc độ tính toán đã tăng gần 100lần.
Cuối cùng, trong Hình 3.6(b), chúng tôi so sánh sai số và ước lượng sai số của phương pháp RBBT và RB với hàm đầu vào để lấy dữ liệu làu(t) ≡ 1. Hàm đầu vào thử nghiệm làutest(t) = 3−100 cos(t)cho cả hai phương pháp. Ta có thể quan sát thấy một tình huống tương tự như ở ví dụ trước. Giai đoạn offline của phương pháp RBBT kéo dài1506giây và của phương pháp RB là2065giây. Bậc của hệ giảm thu được bởi hai phương pháp lần lượt là 46và56, và thời gian online tương ứng là0.37giây và0.02giây. Ước lượng không chặt của phương pháp RB có thể được giải thích bằng việc chỉ sử dụng bài toán nền trong ước lượng sai số đầu ra trong khi ở phương pháp RBBT, ta dựa vào cả phương trình nền và phương trình đối ngẫu.
Bằng hai ví dụ trên, ta thấy rằng sử dụng phương pháp giảm cơ sở cho kết quả tốt đối với cả phương trình Lyapunov phụ thuộc tham số đối xứng và không đối xứng cỡ lớn. Phương
Parameter index
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101
kX(à)−XRB(à)kF/kXRB(à)kF
∆ns20(à)/kXRB(à)kF
kX(à)−XˆRB(à)kF/kXˆRB(à)kF
∆ˆns20(à)/kXˆRB(à)kF
kX(à)−XRB(à)kE(à)/kXRB(à)kE(à)
∆ˆE,A,¯20 à(à)/kXRB(à)kE(à)
Hình 3.5: Mô hình thiết bị đo dòng chảy: sai số tương đối và ước lượng sai số tương đối đo bằng ba cách của phương trình gramian điều khiển (3.1).
pháp chặt cân bằng phụ thuộc tham số được đề xuất cho một phương án rất cạnh tranh để giải bài toán giảm bậc phụ thuộc tham số so với việc áp dụng trực tiếp phương pháp RB cho hệ phụ thuộc tham số hay phương pháp chặt cân bằng dựa trên nội suy.
(a) Parameter index
0 10 20 30 40 50
Magnitude
10-6 10-4 10-2 100
102 Absolute errors and error estimates in the output
Absolute error RBBT Error estimate RBBT Absolute error RB Error estimate RB
(b)
Hình 3.6: Mô hình thiết bị đo dòng chảy:(a)thời gian sử dụng cho các nhiệm vụ khác nhau trong giai đoạn offline và(b)so sánh chặt cân bằng phụ thuộc tham số và phương pháp giảm cơ sở trực tiếp trong miền thời gian.