2.2 Giảm bậc dựa trên nội suy
2.2.2 Nội suy trên đa tạp các không gian chiếu
Trước tiên, chúng tôi muốn lưu ý rằng tập các không gian con có cùng số chiềurcủaRN lập thành một đa tạp Riemannian [1, 30]. Nó được gọi là đa tạp Grassmann và ký hiệu bởi G(r, N). Vì vậy, nội suy tập các không gian chiếu thực ra là nội suy trên đa tạp này. Người ta đã chỉ ra trong [5] rằng nội suy trực tiếp các ma trận sinh ra các không gian con tương ứng sẽ không thực hiện được. Một lý do là vì không gian con sinh bởi ma trận nội suy có thể không thuộc vào đa tạp đang xét. Để giải quyết bài toán này, một thủ tục 4 bước đã được đề xuất trong [5] mà ở đó quá trình nội suy thực sự được thực hiện trên không gian tiếp xúc của đa tạp Grassmann.
Ta ký hiệu TW0G(r, N) là không gian tiếp xúc của đa tạp G(r, N) tại W0 ∈ G(r, N), LogW0(W)là logarit củaW ∈ G(r, N), ExpW0(Y)là mũ củaY ∈ TW0G(r, N), xem thêm trong [1]. Tiếp theo, chúng tôi trình bày lại ở đây thủ tục để nội suy các không gian chiếu phảiW0, . . . ,Wktương ứng sinh bởiW0, . . . , Wk.
Bước 1 Chọn điểm tiếp xúc cho không gian tiếp xúc, chẳng hạn,W0.
Bước 2 Ánh xạ W1,ã ã ã ,Wk lờn TW0G(r, N)bởi LogW0. Để thực hiện, ta phải tớnh phõn tích giá trị kỳ dị (SVD)
(I−W0(W0TW0)−1W0T)Wj(W0TWj)−1(W0TW0)1/2 =UWjΣWjVWT
j (2.11) vớij = 1, . . . , k. Khi đó, ảnhYWj = LogW0(Wj)được sinh bởi các cột của ma trận
YWj =UWjarctan(ΣWj)VWT
j, j = 1, . . . , k, vàYW0 = LogW
0(W0) = 0.
Bước 3 Nội suy trên TW0G(r, N)bằng một kỹ thuật nào đó: với giá trị tham sốp ∈ P, các cột của ma trận
YW(p) =
k
X
j=1
fj(p)YWj, (2.12)
trong đófj(p)là các hàm trọng phụ thuộc vào phương pháp nội suy mà ta sử dụng, sinh ra không gian conYW(p)thuộcTW0G(r, N).
Bước 4 Ánh xạYW(p)trở về đa tạp GrassmannG(r, N)bởiExpW0. Để đạt mục đích này, trước tiên ta phải tính phân tích SVD
YW(p) = UW(p)ΣW(p)VW(p)T (2.13) và sau đó biểu diễn ma trận
W(p) =W0(W0TW0)−1/2VW(p) cos(ΣW(p)) +UW(p) sin(ΣW(p)) (2.14) của không gian con cần tìmW(p) = ExpW0(YW(p)).
Một thủ tục tương tự để nội suy các không gian chiếu trái Z1, . . . ,Zk lần lượt sinh bởi Z0, . . . , Zk, để nhận đượcZ(p)với ma trận cơ sở
Z(p) =Z0(Z0TZ0)−1/2VZ(p) cos(ΣZ(p)) +UZ(p) sin(ΣZ(p)). (2.15) Khi đó, các ma trận của hệ giảm bậc (2.5) có thể được xác định bằng phép chiếu
E(p) =ˆ ZT(p)E(p)W(p), A(p) =ˆ ZT(p)A(p)W(p),
B(p) =ˆ ZT(p)B, C(p) =ˆ CW(p). (2.16) Thủ tục trình bày ở trên tương tự như trong [5] trừ các công thức (2.11), (2.14) và (2.15) được lấy từ [4]. Sự khác nhau là vì trong [5] , các cơ sởWj vàZj phải có các cột trực chuẩn, tức là,WjTWj =ZjTZj =I vớij = 0, . . . , k, trong khi chúng tôi chỉ cần một ma trận cơ sở tổng quát ở đây. Không giống như PRIMA và SPRIM vốn dựa trên thuật toán Arnoldi [10], các cột của ma trận chiếu trong phương pháp PABTEC không nhất thiết thực chuẩn. Sự mở rộng trong ở (2.11), (2.14) và (2.15) cho phép chúng ta bỏ qua bước trực chuẩn hóa.
Chú ý rằng với mỗi giá trị tham sốpkhông thuộc vào tập{p0, . . . , pk}, ta phải thực hiện tất cả các bước tính toán từ (2.12) đến (2.16) để có thể xác định được hệ giảm bậc. Làm việc với hệ phụ thuộc tham số, hành động này phải lặp lại rất nhiều lần. Tốc độ tính toán của giai đoạn này vì thế mà có tính quyết định tới hiệu quả của thuật toán. Với một lớp các hệ tiêu chuẩn (E = I) phụ thuộc afin vào tham số, người ta đề xuất [71] tách quá trình tính toán thành giai đoạn offline, thường có chi phí tính toán cao, và giai đoạn online có chi phí tính toán thấp. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một mở rộng của cách tiếp cận này cho hệ đại số (2.1).
Giả sử rằng các ma trận hệ thốngE(p)vàA(p)trong (2.1) có dạng E(p) =
nE
X
i=1
fiE(p)Ei, A(p) =
nA
X
i=1
fiA(p)Ai,
vớiEi và Ai là độc lập với p. Để các bước sau được tiến hành hiệu quả hơn, ta giả sử thêm rằngnE, nA N rất nhỏ và tính toán các giá trịfiE(p)và fiA(p)là rẻ. Biểu diễn afin như vậy cho phương trình mạch điện có thể nhận được như sau. Các phần tử củaC(p), L(p)và G(p)thông thường dưới dạng đường chéo và viết được dưới dạng
C(p) =
nC
X
i=1
fiC(p)JnC
i, L(p) =
nL
X
i=1
fiL(p)JnL
i, G(p) =
nG
X
i=1
fiG(p)JnG
i, vớiJn∗
i ký hiệu ma trận vuông cỡ thích hợp mà các phần từ của nó đều bằng không trừ những phần tử từ vị trí thứ(n∗i−1+ 1)tới vị trí thứn∗i trên đường chéo bằng 1 vàn0 = 0. Khi đó ta có
E(p) =
nC
X
i=1
fiC(p)EiC+
nL
X
i=1
fiL(p)EiL, A(p) =
nG
X
i=1
fiG(p)AGi +ALV,
với
EiC =
ACJnC
iATC 0 0
0 0 0
0 0 0
, EiL=
0 0 0
0 JnL
i 0
0 0 0
,
AGi =
−ARJnG
iATR 0 0
0 0 0
0 0 0
, ALV =
0 −AL −AV
ATL 0 0
ATV 0 0
.
ChoPW ∈ RN×nW là một ma trận cơ sở trực chuẩn của giao của phần bù trực giao sinh bởiUW1 và không gian con sinh bởi các cột của[UW2, . . . , UWk]. Nó chính là ma trận có các cột là các véctơ kỳ dị trái của(IưUW
1UWT
1)×[UW2, . . . , UWk]. Chú ý rằng số các cột của PW thỏa mãnnW ≤(k−1)r. Xét ma trận
KW(p) =
f1(p)arctan(ΣW1) +f2(p)UWT
1YW2VW1 +. . .+fk(p)UWT
1YWkVW1 f2(p)PWT(IưUW1UWT1)YW2VW1+. . .+fk(p)PWT(IưUW1UWT1)YWkVW1
, (2.17) vớifi(p), i= 1, . . . , klà các hệ số nội suy trong (2.12). Tương tự, ta xây dựng ma trậnKZ(p) từPZ,ΣZ1,UZ1,VZ1 vàYZ2, . . . , YZk. Cho
KW(p) = ΦW(p)SW(p)ΨTW(p), KZ(p) = ΦZ(p)SZ(p)ΨTZ(p) (2.18) là phân tích SVD củaKW(p) ∈ R(r+nW)×r và KZ(p) ∈ R(r+nZ)×r. Khi đó, ma trận của hệ giảm được tính bởi
E(p) =ˆ ZT(p)E(p)W(p) (2.19)
=
nE
X
i=1
fiE(p)cos(SZ(p))ΨTZ(p)VZT1(Z0TZ0)−12Z0TEiW0(W0TW0)−12VW1ΨW(p)cos(SW(p))
+
nE
X
i=1
fiE(p) cos(SZ(p))ΨTZ(p)VZT1(Z0TZ0)−12Z0TEi[UW1, PW]ΦW(p) sin(SW(p))
+
nE
X
i=1
fiE(p) sin(SZ(p))ΦTZ(p)[UZ1, PZ]TEiW0(W0TW0)−12VW1ΨW(p) cos(SW(p))
+
nE
X
i=1
fiE(p) sin(SZ(p))ΦTZ(p)[UZ1, PZ]TEi[UW1, PW]ΦW(p) sin(SW(p)).
Ma trậnA(p)ˆ được xây dựng tương tự. Các ma trận đầu vào và đầu ra tương ứng là
B(p) =ˆ ZT(p)B (2.20)
= cos(SZ(p))ΨTZ(p)VZT
1(Z0TZ0)−12Z0TB + sin(SZ(p))ΦTZ(p)[UZ1, PZ]TB,
C(p) =ˆ BTW(p) (2.21)
=BTW0(W0TW0)−12VW1ΨW(p) cos(SW(p)) +BT[UW1, PW]ΦW(p) sin(SW(p)).
Khi đó, thủ tục offline-online được định ra như sau.
Offline: Tính
• Wj vàZj tương ứng vớipj vớij = 0, . . . , k;
•(UWj,ΣWj, VWj)và (UZj,ΣZj, VZj)tương ứng biểu diễnLogW0(Wj)vàLogZ0(Zj), vớij = 1, . . . , k;
• PW và PZ từ phân tích SVD các ma trận (I −UW1UWT1)[UW2, . . . , UWk]and(I − UZ
1UZT
1)[UZ2, . . . , UZk]. Tính và lưu trữ
• mọi số hạng độc lập tham số choKW(p)trong (2.17) vàKZ(p);
• mọi số hạng độc lập tham số cho các ma trận hệ số của hệ giảmEˆ,Aˆ,BˆvàCˆtrong (2.19)-(2.21).
Online: Với giá trị bất kỳp∈P, ta tính
• KW(p)vàKZ(p)như trong (2.17);
• phân tích SVD củaKW(p)vàKZ(p)như trong (2.18);
• ma trận của hệ giảm như trong (2.19)-(2.21).
Chú ý rằng các tích ma trận độc lập tham số trong (2.19)-(2.21) được tính và lưu trữ trước trong giai đoạn offline. Trong giai đoạn online, chỉ có phân tích SVD củaKW(p)vàKZ(p) và các tích ma trận có số chiều nhỏ trong (2.19)-(2.21) cần phải tính. Chi phí tính toán trong giai đoạn này là O (r+nW +nZ)r2
độc lập với số chiều lớn của bài toánN. Nếu điểm tiếp xúcp0 vàp1 thay đổi, tất các các đại lượng độc lập tham số cần phải tính toán lại. Cho tới hiện này, việc chọn điểm này như thế nào cho kết quả tốt nhất vẫn là một bài toán mở.
Ngược lại, việc chọn các ma trậnW1 và Z1 có thể tùy ý mà không ảnh hưởng đến kết quả, xem thêm [71] để biết chi tiết.
Cũng xin lưu ý rằng khác với [5, 71] chỉ tính hệ giảm bậc địa phương bằng phép chiếu Galerkin, thủ tục trình bày ỏ trên áp dụng cho phép chiếu Petrov-Galerkin và vì thế mà có lợi hơn và áp dụng được cho hệ vi phân đại số. Tuy nhiên, đối với hệ mạch (2.1) với
E(p) =ET(p)≥0, A(p) +AT(p)≤0, C =BT, (2.22) ta phải giới hạn trong phép chiếu Galerkin (do nó được sử dụng trong SPRIM and PRIMA cho mạch tổng quát và trong PABTEC cho mạch RC và RL) nhằm đảm bảo tính thụ động và tính khả đảo của hệ giảm bậc. Cuối cùng, xin lưu ý rằng nội suy không gian chiếu không cho ta một chặn trên của sai số ngay cả khi hệ giảm địa phương có sai số chặn trên. Tất nhiên, điều đó không suy ra rằng sai số của phương pháp sẽ lớn.