CHUYÊN ĐỀ VA CHẠM CỦA VẬT RẮN
PHẦN 1. TÍNH MÔMEN QUÁN TÍNH – XÁC ĐỊNH TRỌNG TÂM Bài 1 – HSG QG 2003
Cho một bán cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R, tâm O(hình vẽ). Chứng minh rằng khối tâm G của bán cầu cách tâm O của nó một đoạn là d = 3R/8.
Lời giải :
Do đối xứng, G nằm trên trục đối xứng Ox. Chia bán cầu thành nhiều lớp mỏng dày dx nhỏ( hình vẽ).
Một lớp ở điểm có toạ độ x= R sin α, dày dx= Rcosα.dα có khối lượng dm = ρπ(Rcosα)2dx với R3
3
m=ρ2π nên:
Trường THPT Chuyên Thái Bình 231
.
OO
α x
x dx
O .
v 0
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI
m
d sin cos R m
xdm x
2 /
0
3 4 m
G 0
∫
∫ π ρπ α α α
=
=
D =
8 R 3 m 4 cos R
m 4 x R
2 4 / 0 4 4
G =−ρπ απ =ρπ = ( đpcm) Bài 2 – HSG QG 2011.
Cho vật 1 là một bản mỏng đều, đồng chất, được uốn theo dạng lòng máng thành một phần tư hình trụ AB cứng, ngắn, có trục ∆, bán kính R và được gắn với điểm O bằng các thanh cứng, mảnh, nhẹ. Vật 1 có thể quay không ma sát quanh một trục cố định (trùng với trục ∆) đi qua điểm O. Trên hình
vẽ, OA và OB là các thanh cứng cùng độ dài R, OAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục ∆, chứa khối tâm G của vật 1, C là giao điểm của OG và lòng máng. Tìm vị trí khối tâm G của vật 1.
Lời giải :
Do tính đối xứng, ta thấy ngay G nằm trên đường thẳng đứng Oy (xem hình vẽ) nên chỉ cần tính tọa độ yG = OG của vật. Mật độ khối lượng : ρ = 2m
πR
Xét phần tử dài dl , có khối lượng dm = ρ.dl = 2m
πR dl = 2m π .dα
Theo công thức tính tọa độ khối tâm : y = 4
4
1 2m
R cos d m
π
−π α α
∫ π = 2 2Rπ . Vậy OG = 2 2R
π
Bài 3 – HSG QG 2004
Hai chiếc đĩa tròn đồng chất giống nhau
chuyển động trên mặt phẳng nằm ngang rất nhẵn, theo đường thẳng nối tâm các đĩa, đến gặp nhau. Các đĩa này quay cùng chiều quanh trục thẳng đứng qua tâm của chúng với các tốc độ góc tương ứng là ω1 và ω2.
Trường THPT Chuyên Thái Bình 232
ω2 ω1
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI
Tác dụng của lực ma sát giữa các đĩa và mặt bàn không đáng kể, còn tác dụng của lực ma sát xuất hiện ở điểm tiếp xúc hai đĩa với nhau thì đáng kể. Biết các đĩa có khối lượng m, có dạng trụ tròn thẳng đứng, hai đáy phẳng, bán kính R; phần tâm đĩa có khoét một lỗ thủng hình trụ tròn đồng tâm với vành đĩa, bán kính R/2. Tính mômen quán tính đối với trục quay nói trên của mỗi đĩa.
Lời giải : Mô men: I = 1 3 1 R
r
2
2 )2 r dr
) r R (
( m π
−
∫ π ; r = R/2, I = m
2 ) r R
( 2 + 2 =
8 mR 5 2
Bài 4 - HSG QG 2006
Một vật hình cầu bán kính R đang đứng yên trên tấm gỗ mỏng CD.
Mật độ khối lượng của vật phụ thuộc vào khoảng cách r đến tâm của nó theo quy luật:
3
3m r
1 , m
7 R R
ρ = π + ÷ là một hằng số dương.
Tấm gỗ được kéo trên mặt bàn nằm ngang theo chiều DC với gia tốc không đổi a (xem hình vẽ). Kết quả là vật lăn không trượt về phía D được đoạn l và rơi xuống mặt bàn. Hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt bàn là k, gia tốc trọng trường là g. Tính khối lượng và mô men quán tính của vật đối với trục quay qua tâm của nó.
Lời giải : Khối lượng của vật:
0
∫ =
R
dV m ρ
Mô men quán tính :
Trường THPT Chuyên Thái Bình 233 C
D
Mặt bàn O
m
Tấm gỗ R
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI
0 2 3 2 2
2 2 3m
dI dm.r .4 r .r .dr
3 3 7 R
= = π
π ; 0 0 2 0
I RdI 44 mR
=∫ =105 Bài 5 - HSG QG 2007
Một khối trụ đặc có bán kính R, chiều cao h, khối lượng m, lăn không trượt trên mặt sàn nằm ngang rồi va vào một bức tường thẳng đứng cố định (trục của khối trụ luôn song song với mặt sàn và tường). Biết hệ số ma sát giữa khối trụ và bức tường là à; vận tốc của trục khối trụ trước lúc va chạm là v0; sau va chạm thành phần vận tốc
theo phương ngang của trục giảm đi một nửa về độ lớn; mômen quán tính đối với trục của khối trụ là I 2mR2
=5 (hình vẽ). Bỏ qua tác dụng của trọng lực trong lúc va chạm và bỏ qua ma sát lăn. Biết mật độ khối lượng ρ tại một điểm của khối trụ phụ thuộc vào khoảng cách r từ điểm đó đến trục của nó theo quy luật A(1 r22) m2
R R h
ρ = + . Tìm hệ số A.
Lời giải : Sử dụng hệ toạ độ trụ:
R R 2
2 3 3 2
2 2
0 0
mA r 2
I r dm 2 h r dr 2 h (1 )r dr mR
R h R 5
A 12 25
= = π ρ = π + =
→ = π
∫ ∫ ∫
Nhận xét :
- Từ năm 2001 – 2013 có 5 bài cơ vật rắn tính momen quán tính và xác định khối tâm, không có bài nào thi chọn đội tuyển thi quốc tế.
Trường THPT Chuyên Thái Bình 234
R
v0
r0
HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI
Các bài tính mômen quán tính và khối tâm đều ở dạng kiến thức cơ bản.
- Học sinh phải sử dụng thành thạo phương pháp tính tích phân. Cách chia nhỏ vật thể, xác định cận, lập hàm để tính tích phân.