Mô tả thuật toán ước lượng

II. Cách tiếp cận olley-pakes (1996) ước Mô hình hàm sản xuất và TFP

2. Mô tả thuật toán ước lượng

Lao động được giả thiết là nhân tố biến đổi duy nhất (nên việc chọn nó có thể chịu ảnh hưởng của giá trị hiện hành của t). Các đầu vào khác, kt và at, là các nhân tố cố định và chỉ chịu ảnh hưởng của phân phối của t có điều kiện trên thông tin tại thời gian t – 1 và các giá trị quá khứ của . Nói riêng, lời giải đối với bài toán tối ưu hoá của công ty, (73), mang lại phương trình (75) đối với đầu tư, nghĩa là it = it(t,at,kt). Với điều kiện it >

0, Pakes chỉ ra rằng phương trình này tăng ngặt theo  (với mọi (a, k)). Do đó, đối với tập hợp con các giá trị (it, t, kt) mà đối với chúng it > 0, ta có thể nghịch đảo (75) và viết

t = ht(it, at, kt) (77).

Phương trình (7) cho phép ta biểu thị biến năng suất không quan sát được, t, như một hàm của các biến quan sát được và do đó kiểm soát t trong việc ước lượng.

(77) dựa vào sự kiện có duy nhất một biến trạng thái đặc biệt theo công ty không được quan sát ( hay năng suất) và đầu tư tăng theo . Mặc dù đây là các giả thiết mạnh, chúng có hai ưu điểm. Thứ nhất, chúng tạo ra một thuật toán ước lượng đơn giản đối với các tham số hàm sản xuất không phụ thuộc vào nhiều giả thiết bổ trợ cần thiết để chỉ định đầy đủ hành vi cân bằng. Thứ hai, các giả thiết này dẫn đến một mô hình quá mức nhận diện và do đó dẫn đến một số kiểm định trực tiếp việc các hạn chế này có ảnh hưởng có ý nghĩa lên các ước lượng của chúng ta hay không .

Thế (77) vào (76) ta có

yit = llit + t(iit, ait, kit) + it (78), ở đây

t(iit, ait, kit) = 0 + aait + kkit + ht(iit, ait, kit) (79).

Mô hình “tuyến tính riêng phần” trong (78) là một mô hình hồi quy nửa tham số, định dạng l nhưng không định dạng các hệ số hàm sản xuất đối với vốn và tuổi, a và

k. Nghĩa là, phương trình này không cho phép ta tách biệt ảnh hưởng của vốn và tuổi lên quyết định đầu tư với các ảnh hưởng của chúng lên đầu ra. Để định dạng a và k ta sử dụng (ngoài các ước lượng của l và t(.) thu được từ mô hình tuyến tính từng phần) các ước lượng của các xác suất sống. Các xác suất này được cho bởi

Pr{t+1 = 1 | t1(kt1,at1), Jt}

= Pr{t+1  t1(kt1,at1)| t1(kt1,at1), t} = Pt{t1(kt1,at1), t}

= Pt(it, at, kt)

= Pt (80)

ở đây đẳng thức thứ ba suy từ (75) [nghĩa là, t = ht(it, at, kt)], và (71) [mà nó suy ra at+1 và kt+1 có thể tính toán từ (it, at và kt)].

Bây giờ xét kỳ vọng của yt+1 – llt+1 có điều kiện trên thông tin tại t và sự còn sống

E[yt+1 – llt+1 | at+1, kt+1, t+1 = 1]

= 0 + aat+1 + kkt+1 + E[t+1 | t, t+1 = 1]

= aat+1 + kkt+1 + g(t1, t) (81) ở đây











 

 

  



 











1 t

1 t

)

| d ( F

)

| d ( ) F

, ( g

t 1 t

t 1 t 1

t 0

t 1

t .

Lưu ý rằng số hạng “chệch” trong (81), g(.), là một hàm của hai chỉ số của các biến trạng thái chuyên biệt theo công ty; t và t1[kt1(kt,it),at1(at)]. để kiểm soát ảnh hưởng của nhân tố không quan sát được lên việc chọn, ta cần một thước đo của t và một thước đo của giá trị của  làm cho công ty bàng quan giữa việc tiếp tục hoạt động và bán rẻ (nghĩa là, t1(.)).

Với điều kiện mật độ của t+1 điều kiện trên t dương trong một miền quanh t1 (với mọi t), phương trình chọn (80) có thể nghịch đảo để biểu diễn t1 như một hàm của Pt và t. Khi đó ta có thể viết g(.) như một hàm của Pt và t. Nghĩa là, với điều kiện trên xác suất chọn (hoặc trên “điểm thiên hướng”) ta có thể đặt điều kiện đối với giá trị của một trong hai chỉ số mà ta cần, một kỹ thuật đã được sử dụng đối với các mô hình chỉ số đơn ít nhất từ thời Rosenbaun và Rubin (1983). Đối với các giá trị đã cho của a và k

ta có thể đặt điều kiện đối với chỉ số thứ hai bằng cách đặt điều kiện đối với số hạng phi tuyến tạo ra từ mô hình tuyến tính riêng phần trong (78), nghĩa là bằng cách đặt điều kiện đối với t =0 + aat +kkt + t trong (79).

Thế Pt và t vào g(.), viết lại, và cho t+1 là đổi mới trong t+1, ta có

yt+1 – llt+1 = aat+1 + kkt+1 + g(Pt, t – aat – kkt) + t+1 + t+1 (82) ở đây

t+1 = t+1 – E[t+1 | t, t+1 = 1]

và từ (79), (80) và (81),

 

. ) k a

, P ( g

k a

), k a

, P ( g ) , ( g

t k t a t t

t k t a t t k t a t t 1 t t

1 t





































  P 

Phương trình (82) làm sõ sự cần thiết đối với giai đoạn thứ nhất của thuật toán ước lượng. Vì vốn sử dụng trong một thời kỳ đã cho giả thiết là đã biết vào lúc bắt đầu thời kỳ và t+1 là độc lập trung bình với tất cả các biến được biết vào đầu thời kỳ, nên t+1 là độc lập trung bình với kt+1 (và với at+1). Mặt khác ta muốn tính đến khả năng có sự điều chỉnh lao động nào đó đối với các thực hiện của t+1. Điều này kéo theo là lt+1 không độc lập trung bình với nhiễu trong (82) và làm rõ sự cần thiết đối với giai đoạn thứ nhất của thuật toán ước lượng.

Thuật toán ước lượng chi tiếtc ước lượng hệ thống cho bởi (78), (80) và (82). Các thuộc tính kinh tế lượng của mô hình tuyến tính từng phần trong (78) được phân tích sử dụng các ước lượng nhân và các ước lượng chuỗi của t(.) và, với các điều kiện chính quy, các ước lượng thu được của l có cùng phân phối giới hạn. Để đơn giản, sẽ sử dụng một ước lượng chuỗi đa thức đối với t(.). Dự đoán yt và lt và một đa thức của bộ ba (it, at, kt). Các kết quả thực nghiệm trình bày ở đây sử dụng một đa thức bậc bốn (với một tập hợp tương tác đầy đủ) để xấp xỉ t(.), nhưng hầu như không có thay đổi nào hoặc trong các ước lượng các hệ số quan tâm, hoặc trong cực tiểu khi đi từ xấp xỉ đa thức bậc ba sang bậc bốn. Đồng thời, vì hàm đầu tư, và vì vậy t(.), phải thay đổi với những thay đổi trong cấu trúc thị trường, ta ước lượng các đa thức khác nhau đối với mỗi trong các thời kỳ đặc biệt.

Tiếp theo hãy xét việc ước lượng xác suất sống (80). ở đây sử dụng cả các ước lượng chuỗi lẫn các ước lượng lõi và so sánh các kết quả. Xấp xỉ chuỗi được xây dựng bằng cách sử dụng một chuỗi đa thức theo (it, at, kt) làm biến hồi quy trong một phép ước lượng probit. Lại sử dụng một đa thức bậc bốn theo (it, at, kt) với tập hợp đầy đủ các tương tác, và một lần nữa không có thay đổi nào trong tính ăn khớp khi đi từ bậc ba sang bậc bốn. Các kết quả nhân trình bày ở đây sử dụng các lõi dựa trên chuẩn giảm chệch , mặc dù các ước lượng tham số hầu như đồng nhất khi ta sử dụng nhân chuẩn tiêu chuẩn.

Mô hình suy ra rằng cả quy tắc chấm dứt hoạt động lẫn phương trình đầu tư đều thay đổi theo cấu trúc thị trường, và những thay đổi trong mỗi hàm này sẽ thay đổi dạng của xác suất còn sống, nên ta chạy cả ước lượng lõi lẫn ước lượng chuỗi hai lần, một lần tính đến

các phương trình chọn khác nhau trong mỗi trong bốn thời kỳ điều tiết khác nhau, và một lần không.

Bước thứ ba (và cuối cùng) của thủ tục ước lượng lấy các ước lượng của l, t và Pt

từ hai bước đầu tiên, thế chúng vào phương trình (82) cho l, t và Pt đúng , và sau đó thu được các ước lượng của (a, k), bằng cách cực tiểu hóa tổng các phần dư bình phương trong phương trình đó. ở đây ta thử cả một ước lượng chuỗi và một ước lượng lõi của hàm g(Pt, ht) chưa biết. Nhớ lại rằng ta ước lượng t và ht = t – aat – kkt, nên các giá trị của các biến hồi quy xác định g(.) phụ thuộc các giá trị của các tham số được xét.

Đối với ước lượng chuỗi ta sử dụng khai triển đa thức bậc bốn theo (Pt, ht) (và lại một lần nữa hầu như không có sự khác nhau nào trong tổng các bình phương hoặc trong các hệ số được xét, giữa xấp xỉ bậc ba và bậc bốn). Như vậy, ước lượng chuỗi thu được bằng cách chạy bình phương bé nhất phi tuyến đối với phương trình

t

m 4

0 j

4 0 m

j t m t mj 1

t k 1 t a 1

t l 1

t b l c a k hˆ Pˆ e

y        



 







 (83)

với hˆt ˆt aat kkt.

ở đây ˆt và bl được lấy từ các ước lượng của mô hình tuyến tính riêng phần trong (8), và Pˆt lấy từ các ước lượng lõi của xác suất sống trong (80).

Ước lượng lõi thu được bằng cách lập ước lượng lõi của hồi quy của yt+1 – bllt+1 – aat+1 – kkt+1

theo Pˆt và

t k t a t

t ˆ a k

hˆ    với các giá trị khác nhau của (a, k), và sau đó sử dụng một thủ tục tìm kiếm phi tuyến để tìm giá trị đó của (a, k) làm cực tiểu tổng bình phương các phần dư từ hồi quy này. Lại một lần nữa các kết quả là các nhân giảm chệch .

Cuối cùng, các kết quả chỉ ra rằng một xu thế tuyến tính là có ý nghĩa, vì thế ta đưa một xu thế thời gian vào hàm sản xuất trong (80), và mang nó qua thủ tục ước lượng.