Đầu vào trung gian dùng như những proxy

Họ đã thêm một đầu vào biến đổi tự do thứ hai, , mà ta gọi là đầu vào trung gian (có lẽ là vật tư hoặc năng lượng). Khi viết lôga của đầu ra như một hàm của lô ga của các đầu vào và các sốc ta có

yt = 0 +llt + kkt + t + t + t. (83) Hàm cầu đầu vào trung gian được cho như sau

t = t(t, kt),

và nó phải đơn điệu theo t đối với mọi kt (liên quan) để đủ tiêu chuẩn như một proxy hợp lệ. Lưu ý rằng giá đầu vào và đầu ra được giả thiết là chung đối với các công ty (chúng chịu sự kiềm chế), và không có sai số trong hàm cầu đầu vào này. Trong Mục dữ liệu, ta sử dụng các điều kiện này để giúp cho việc lựa chọn giữa các proxy được đề cử.

Giả sử có tính đơn điệu, ta có thể đảo ngược hàm cầu đầu vào để thu được t =

t(t, kt). Như vậy, đầu vào trung gian thế chỗ cho đầu tư, với t(.) bây giờ được cho như một hàm của đầu vào trung gian và vốn, hoặc

t(t, kt) = 0 + kkt + t + t(t, kt). (84) Phương trình đối với giai đoạn thứ hai thay đổi thành

yt = 0 + kkt + t + E[t | t-1] + t . (85)

Tương tự với đầu tư, đối với giá trị bất kỳ của (k, ) ta có thể ước lượng E[t | t- 1]. Trong khi E[ktt ] = 0 được giả định là vẫn đúng đối với (85), E[tt ] = 0 nói chung không đúng bởi vì đầu vào trung gian tương quan với t (nó phản ứng với t). Vì các công ty chọn t-1 trước khi mỗi thành phần của t được thực hiện, nó phải không tương quan với t . Nó cũng phải tương quan với t (chẳng hạn thông qua tương quan quy mô qua thời gian do tính không thể đảo ngược trong đầu tư tư bản và/hoặc tính dai dẳng trong t), do đó ta sử dụng E[t-1 t ] = 0 để thu được nhận diện.

Điều kiện đơn điệu

Điều kiện đơn điệu đối với đầu vào trung gian giống y như điều kiện đơn điệu đối với đầu tư; khi đã cho tư bản, hành vi cực đại lợi nhuận phải khiến các công ty có năng suất hơn sử dụng nhiều đầu vào trung gian hơn. Ta tưởng tượng một câu chuyện trong đó gia tăng trong năng suất làm gia tăng năng suất biên của đầu vào. Điều này đến lượt nó làm cho các công ty tăng đầu ra, và dẫn đến sử dụng nhiều đầu vào hơn.

Ngoài một số điều kiện chính quy đối với hàm sản xuất f(.), với điều kiện đối với k, dấu của thay đổi trong sử dụng đầu vào trung gian đối với một thay đổi nhỏ trong  được cho bởi

t sign(f f f f )

sign  l l  ll 



 









 (86)

(ở đây fll là đạo hàm bậc hai của f(.) theo l, …). Hành vi tối ưu hoá kéo theo sản phẩm biên của lao động giảm khi lao động tăng, nên fll < 0 đối với lô đầu vào đã chọn.

Nếu gia tăng trong năng suất luôn luôn làm tăng yếu sản phẩm biên của đầu vào, thì f  0 (và fl  0), nên – fllfl  0. Nếu fl = 0 hoặc fl = 0 và f > 0 thì điều kiện đơn điệu đúng. Nếu fl > 0 kết quả do các đạo hàm riêng chéo của ouput theo đầu vào trung gian và lao động quyết định. Nếu sản phầm biên của đầu vào trung gian tăng yếu khi sử dụng

lao động tăng (fl  0) thì kết quả đúng. Ngay cả nếu sản phẩm biên giảm với sự gia tăng trong lao động, điều kiện này có thể vẫn đúng (nó sẽ phụ thuộc độ lớn tương đối của hai sản phẩm ở vế phải của (9)).

Một thuận lợi của ước lượng này là dễ dàng kiểm chứng điều kiện đơn điệu có tương hợp với một số công nghệ chung mà các nhà kinh tế học sử . Kết quả này trái ngược với chứng minh rằng đầu tư đơn điệu theo năng suất. Nếu ta muốn sử dụng một mô hình khác dù là đôi chút với mô hình của Olley và Pakes, cần xem xét lại tính thích hợp của proxy đầu tư sử dụng vấn đề động của công ty, và điều này có thể khó . Một thuộc tính thuận tiện khác của ước lượng này là điều kiện đơn điệu không áp đặt, nên ta có thể kiểm tra để thấy nó có được chứng minh bằng thực nghiệm không.

Giá đầu vào chung (và các nhân tố chung không quan sát khác)

Cũng như với đầu tư, phương trình cầu đầu vào trung gian t = t(t, kt) không liên hệ các nhân tố khác (như giá đầu vào). Nếu giá đầu vào được quan sát và không chung giữa các công ty, chúng có thể được đưa trực tiếp vào hàm cầu và nới lỏng ràng buộc giá nhân tố chung. Nếu chúng không được quan sát nhưng ta cảm thấy rằng các tỷ số giá đầu vào thay đổi qua thời gian, hoặc theo vùng, hoặc theo vị trí thành thị/nông thôn, hoặc theo loại công ty, ta có thể ước lượng các hàm khác nhau đối với các thời kỳ hoặc các miền này (nếu chúng được quan sát), làm cho ước lượng mạnh đối với những khác nhau này trả giá bằng việc đặt những yêu cầu lớn hơn đối với dữ liệu.

Ba kiểm định chỉ định

Vì việc chọn một xấp xỉ có yếu tố tuỳ nghi (mặc dù được biết), chúng tôi gợi ý ba kiểm định chỉ định. Thứ nhất, một cách kiểm tra chỉ định không hình thức nhưng quan trọng là vẽ đồ thị biến xấp xỉ như một hàm của hai biến giải thích của nó. Để tương hợp thực nghiệm với mô hình, sốc năng suất phải tăng theo sử dụng đầu vào trung gian khi giữ mức tư bản không đổi. Nếu hàm này là đơn điệu nhưng giảm, hoặc nếu hàm này không thoả mãn tính đơn điệu, ta có thể cần nhóm các công ty theo một số biến quan sát được khác để nới lỏng ràng buộc giá nhân tố chung. Ta có thể vẫn sử dụng proxy về nguyên tắc khi hàm này đơn điệu giảm có điều kiện đối với tư bản, nhưng diễn giải của

“năng suất” mà nó proxy phải được cải biên theo cách làm cho lý thuyết tương hợp với

các kết quả này (nghĩa là vì sao nó giảm khi sử dụng đầu vào tăng, có điều kiện đối với tư bản?).

Kiểm định thứ hai hỏi liệu ta có thu được cùng một ước lượng không khi sử dụng hoặc điện hoặc vật liệu. Việc không bác bỏ rằng các ước lượng là như nhau gợi ý rằng mỗi đầu vào và nhân tố đơn () có thể là đủ đối với việc mô hình hoá sản xuất. Không may, kiểm định này không cho một chỉ dẫn rõ ràng đối với vấn đề nếu ta bác bỏ; sự bác bỏ không có nghĩa rằng cả hai chỉ định mô hình đều thất bại (một trong chúng có thể đúng).

Cuối cùng, như Olley-Pakes gợi ý, đầu vào biến đổi tự do, lao động, được chọn trong thời kỳ này không được tương quan với sự đổi mới trong sức sản xuất kỳ tiếp theo (nghĩa là Corr(lt, t+1 = 0)). Ta mở rộng kiểm định này để bao trùm tất cả sáu đầu vào, và điều này cho ta sáu điều kiện quá mức nhận diện mà ta sử dụng để kiểm định khung khổ này.

ước lượng

Trong mục này, chỉ xét về thủ tục ước lượng của ta tiến hành thế nào.

Giai đoạn thứ nhất

Để việc trình bầy dễ hiểu, ta xấp xỉ hàm sản xuất với một công nghệ Cobb- Douglas.Ta viết

yt kkt slst ulut eetfftmmt t t. (87)

ở đây yt là logarit của tổng đầu ra trong năm t, kt là log của lượng tư bản của nhà máy, lst là log của đầu vào lao động có kỹ năng, lut là log của đầu vào lao động không có kỹ năng, và mt, ft và et ký hiệu các mức log của vật liệu, nhiên liẹu và điện.

Ta tiếp tục như thể các vật liệu là proxy, viết lại (10) như sau

yt slst ulut eet fft t(mt,kt)t. (88) ở đây

t(mt,kt)0 mmt kkt t(mt,kt).

Như với Olley-Pakes, (88) có thể được ước lượng sử dụng OLS (và một khai triển đa thức theo mt và kt để xấp xỉ t(.)).

Ta dùng một cách tiếp cận khác để nghiên cứu một ước lượng phi tham số khác.

Đầu tiên ta ước lượng các moment có điều kiện E(yt | kt, mt), E(lut | kt, mt), E(lst | kt, mt), E(et | kt, mt) và E(ft | kt, mt) bằng cách hồi quy yt (chẳng hạn) theo kt và mt. Ta sử dụng một xấp xỉ bình phương bé nhất bậc hai có trọng số địa phương, mặc dù về nguyên tắc ta có thể sử dụng bất kỳ một ước lượng tham số hoặc phi tham số vững nào đối với mỗi trung bình có điều kiện này. Sau đó ta trừ (88) cho kỳ vọng của (88) có điều kiện đối với (kt, mt) để thu được

)) m , k l ( E l ( )) m , k l ( E l ( ) m , k y ( E

yt  t t t s st  st t t u ut  ut t t

t t

t t t

f t

t t t

e(e E(e k ,m )) (f E(f k ,m ))



 . (89)

Sau đó sử dụng OLS không có hệ số chặn đối với phương trình này để ước lượng các tham số giai đoạn thứ nhất.

Công việc này hoàn tất giai đoạn thứ nhất. Mặc dù có một số bước ước lượng trong cách tiếp cận phi tham số tổng quát hơn kiểu như cách tiếp cận của chúng ta, không có bước nào phức tạp hơn so với một hồi quy bình phương bé nhất (có trọng số địa phương).

Nếu ta chỉ quan tâm tới năng suất biên của các đầu vào khả biến (trừ hệ số đối với biến proxy), ta có thể dừng ở đây. Để thu được hệ số tư bản, một độ đo ở mức nhà máy của năng suất, và/hoặc một ước lượng của hiệu quả theo quy mô, ta cần một mô hình đầy đủ hơn đối với t(.) bởi vì cả điện và tư bản tham gia vào nó hai lần.

Giai đoạn thứ hai

Sử dụng điều kiện moment để nhận diện m và k. Như với cách tiếp cận Olley- Pakes, điều kiện moment thứ nhất của ta nhận diện k bằng cách giả thiết rằng tư bản không phản ứng lại với đổi mới trong năng suất t. Moment thứ hai nhận dạng m bằng cách sử sử dụng sự kiện là việc chọn vật liệu ở kỳ cuối cùng không tương quan với đổi mới trong năng suất của kỳ này. Các môment tổng thể này được cho bởi

E[(t + t)kt] = E[tkt] = 0, (90) và

E[(t + t)mt-1] = E[tmt-1] = 0, (91) Ta thu được một ước lượng của phần dư từ quan hệ sau:

t ˆ t()yt ˆslst ˆulut ˆeet ˆfft m mt kkt E[t |ˆt1], ở đây ta coi một cách tường minh phần dư như một hàm của hai tham số

) , ( m k

   

 . Để ước lượng E[t | t-1] ta sử dụng các ước lượng của t thu được từ các kết quả của giai đoạn thứ nhất (và các giá trụ ứng cử (m,k)).

Ta cũng đưa vào sáu điều kiện quá mức nhận diện, mang lại tổng cộng tám điều kiện moment cho bởi véc tơ kỳ vọng

E[(t + t)Zt],

ở đây Zt là véc tơ cho bởi Zt = {kt,mt1,lst1,lut1,et1,ft1,kt1,mt2}. Cuối cùng, ta thu được các ước lượng (ˆk,ˆm) bằng cách cực tiểu hoá hàm tiêu chuẩn GMM

        

    

 * 8h 1 i Tti1T i,t i,t i,ht 2

0

i ( ˆ ( ))Z

min )

(

Q (92)

ở đây i đánh chỉ số các công ty là tường minh, h đánh chỉ số tám công cụ, Ti0 và Ti1

là chỉ số thời kỳ thứ hai và kỳ cuối cùng mà công ty i được quan sát.

Suy luận sử dụng bootstrap

Việc đo độ chính xác ước lượng của ta đòi hỏi ta xét đến phương sai trong mọi ước lượng tham gia vào thủ tục của chúng ta (và tất cả các covariance của chúng). Tổng cộng có 88 phương trình ước lượng, và nhiều ước lượng được sử dụng hơn một lần. Pakes và Olley (1995) cung cấp một khuôn khổ lý thuyết đối với việc tính các sai số chuẩn tiệm cận.

Thay vì thực hiện nhiệm vụ khó khăn này, ta sử dụng bootstrap để suy luận. Kỹ thuật này lấy mẫu (lại) phân phối thực nghiệm của dữ liệu quan sát để xây dựng các mẫu

“được bootstrap” mới. Giá trị của thống kê được tính toán đối với mỗi mẫu này, và phân phối của các ước lượng được tạo ra như vậy cho ta xấp xỉ bootstrap đối với phân phối mẫu đúng của thống kê.

Quy tắc lấy mẫu lại của ta xử lý mỗi tập hợp quan sát mức công ty cùng nhau như một phép rút thăm đồng nhất, độc lập từ tổng thể các công ty. Ta lấy mẫu có thay thế và với xác suất bằng nhau từ các tập hợp các quan sát mức công ty trong mẫu gốc. Một mẫu bootstrap được xem là đầy đủ khi nó có số quan sát công ty-năm bằng (hoặc vừa đủ để vượt) số quan sát công ty-năm trong dữ liệu gốc.

Bootstrap dễ thực hiện. Ngoài ra, nó cũng cho ta những tinh lọc tiệm cận đối với nhiều thống kê, kể cả những thống kê tiệm cận trung tâm trong phân tích của ta. Cuối cùng, bootstrap rút ra suy luận vê những chênh lệch giữa các ước lượng một cách khá đơn giản. Khó khăn thông thường khi xây dựng một ước lượng phương sai của những chênh lệch là sự cần thiết đối với số hạng covariance giữa hai ước lượng (chúng được ước lượng trên cùng một mẫu). Một phân phối của những chênh lệch thu được chéo qua các mẫu bootstrap bằng cách trừ một ước lượng từ ước lượng khác (đối với mỗi trong các mẫu này). Phân phối mẫu thu được như vậy tự động tính đến covariance giữa các ước lượng.

Cách tiếp cận bootstrap phải cải biên đôi chút khi sử dụng nhiều môment hơn so với các tham số để thu được các ước lượng (như ta đã làm với kiểm định các điều kiện quá mức nhận diện). Logic của bootstrap đòi hỏi rằng các ước lượng thu được sử dụng các mẫu được bootstrap phải cung cấp các moment bằng 0 trong tổng thể mà từ đó các mẫu bootstrap được rút ra (nghĩa là các số liệu quan sát). Vì tổng thể này là số liệu gốc, các moment được bootstrap phải được trung tâm hoá bởi các giá trị ước lượng của các moment sử dụng dữ liệu gốc (tại cực tiểu hàm mục tiêu).

Cách tiếp cận I V của Bond và Blundell

Một chiến lược ước lượng IV khác cũng đề cập vấn đề cốt lõi của tính đồng thời được đề xuất bởi Blundell và Bond (2000). Các tác giả này bắt đầu với mô hình sau (theo cách ký hiệu của họ):

yit xit t (i it mit),

ở đây y và x là (log) đầu ra và các đầu vào (cũng như trên), t là một ảnh hưởng theo thời gian, t là một ảnh hưởng cố định theo từng công ty, it là AR(1) và mit là MA(0) (chẳng hạn) nảy sinh từ sai số đo. Trong mô hình này i, it và mit có thể tất cả có tiềm năng mang lại các ước lượng chệch. ước lượng IV của họ là mạnh đối với tương quan giữa mỗi trong các sai số này và có tiềm năng đo sai các lựa chọn đầu vào (trả giá bằng việc đặt các các yêu cầu lớn đối với dữ liệu).

Những chú ý

Trong mục này , ta xét việc sử dụng các đầu vào trung gian làm xấp xỉ khi các công ty hoạt động trong một môi trưòng cạnh tranh. Ta chỉ ra những điều kiện chung đối với công nghệ sản xuất mang lại một hàm cầu đầu vào trung gian (; pL, p, K) tăng ngặt theo năng suất () (giá đầu ra được chuẩn hoá về 1). Kết quả này cho phép sử dụng (, K) như một chỉ số đối với năng suất.

Định nghĩa: Một ngành là cạnh tranh nếu các công ty có giá đầu vào và đầu ra đối với hàng hoá thuần nhất cho trước.

Các đầu vào trung gian có sẵn để dùng làm xấp xỉ trong một số môi trường cạnh tranh không hoàn hảo, mặc dù chứng minh phụ thuộc vào các chi tiết của cạnh tranh. Các chứng minh trong một môi trường cạnh tranh không hoàn hảo sẽ có thể dựa vào những lập luận từ tài liệu về các phương pháp đơn điệu.

Giả thiết. Công nghệ sản xuất công ty Y = f(K, l, , ): R4  R là khả vi liên tục hai lần theo lao động (L) và đầu vào trung gian (), và tồn tại fl, f, và fL đối với tất cả các giá trị (K, L, , )  R4. Ngành này là cạnh tranh, và hoặc (a) đầu tư của thời kỳ này không phản ứng với năng suất của thời kỳ này, hoặc (b) nó không đi vào tư bản của thời kỳ này. Năng suất được quan sát trước khi chọn lao động và đầu vào trung gian.

Tính khả vi của f(.) có thể được nới lỏng với yêu cầu thích hợp đối với các phương pháp đơn điệu. Ta coi tư bản là cố định, và giả thiết cả lao động lẫn đầu vào trung gian phản ứng với năng suất. Với một số phức tạp thêm, có thể chỉ ra kết quả sau đây khi vốn cũng phản ứng với , và khi tồn tại nhiều hơn một loại lao động.

Kết quả. Dưới giả thiết trên, nếu fLfL > fLLf, thì (, pL, p, K), hàm cầu đầu vào trung gian, tăng ngặt theo .

Một cải biên

Nếu hàm sản xuất là hàm tách được yếu theo một đầu vào trung gian thoả mãn điều kiện đơn điệu, và diễn ra cực tiểu hoá chi phí và cạnh tranh hoàn hảo, thì đóng góp của đầu vào tách đượcvào đầu ra được cho bởi tỷ lệ thu nhập của nó (s) nhân với mức của nó, hoặc it = st . Khi sử dụng ràng buộc này, chỉ còn phải ước lượng k trong giai đoạn thứ hai, vì st = mt được trừ bì khỏi yt trong giai đoạn thứ nhất. (8) trở thành

yt kkt E[t |t1]t.

ở đây t t t và yt yt ltl st. Bây giờ giai đoạn thứ hai chỉ có một tham số phải ước ước lượng, k. Hạn chế này có thể giảm đáng kể gánh nặng tính toán và cải thiện hiệu quả (nếu nó đúng).

Liệu đường tắt này có ý nghĩa trong thực hành không? Câu trả lời phụ thuộc vào việc ta thấy yên tâm thế nào với giả thiết tách được. Trong thực hành, bất cứ khi nào ước lượng một hàm sản xuất giá trị gia tăng, tính tách được được giả thiết đối với tất cả các đầu vào trung gian bị trừ ra. Cách cải biên nàychỉ đòi hỏi tính tách được đối với một đầu vào trung gian sử dụng làm proxy, và do đó ít chặt hơn so với giả định đối với hàm sản xuất giá trị gia tăng điển hình.

Các bước ước lượng Giai đoạn một:

1. ước lượng một hồi quy của yt theo mt và kt để thu được một ước lượng của hàm E(yt | mt, kt) (ta sử dụng một hồi quy bình phương bé nhất có trọng số địa phương).