PHẦN I: PHƯƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁPBÀI TOÁN NGƯỢC ( Hình Học)
2. Thiếp lập mệnh đề đảo ;
2.3. Lập mệnh đề đảo bằng việc lựa chọn khái niệm loại
Các khái niệm khác nhau có thể trở thành khái niệm loại của cùng 1 khái niệm. Chẳng hạn, hình thoi có thể chọn khái niệm loại là tứ giác hoặc hình bình hành (hbh). Do đó, trong định lý 1 số tình hình có liên quan tới khái niệm loại khác nhau thì có thể nhận đƣợc các mệnh đề đảo khác nhau.
Ví Dụ: Các đường chéo của 1 hình chữ nhật (hcn) thì bằng nhau thì có cách phát biểu căn cứ vào khái niệm loại là:
1 .Nếu tứ giác là hcn thì các đường chéo của nó bằng nhau
2.Nếu hbh là hcn là các đường chéo của nó bằng nhau => Mệnh đề đảo : 1. Nếu các đường chéo của tứ giác bằng nhau thì nó là hcn ( sai)
2. Nếu các đường chéo của hbh bằng nhau thì nó là hcn ( đúng ) Vấn đề ở chỗ hbh so với tứ giác có thêm tính chất phụ nào nữa mà
khi thêm vào cộng điều kiện 2 đường chéo bằng nhau thì nó sẽ được tách ra từ tập hợp hbh 1 dạng riêng đó là hcn.
Ở học sinh cần thiết hình thành kĩ năng xem xét khái niệm gặp phải nhƣ 1 dạng đặc biệt của các khái niệm khác mà ngoại diên của chúng không trùng nhau.
Chẳng hạn, kĩ năng nhìn hcn 1 dạng hbh và 2 dạng tứ giác
Các kĩ năng tương tự được hình thành như khi xây dựng các mệnh đề ngược lại với định lý đảo đã cho.
Ví dụ : " Hình vuông đó là hcn có..." "Hình vuông đó là tứ giác có..."
Các bài tập tương tự được sử dụng cả khi hình thành kĩ năng khái quát các khái niệm.
Kinh nghiệm của hoạt động nhƣ vậy cho phép học
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 27 sinh tránh khỏi các khẳng định sai lầm. Ví dụ: "Tứ giác với đường chéo vuông góc là hình thoi"
Ngoài ra, các kĩ năng đã chỉ ra ( khái niệm, với các loại khác nhau ) có thể giúp đỡ trong quá trình xây dựng, các mệnh đề đảo và khái quát hóa.
VD1: Xét định lý sau:" Các điểm chia hình vuông theo cùng tỉ số ( cùng 1 hướng ) là các đỉnh của hình vuông "
Trong khi xem xét hình vuông đã cho nhƣ dạng : 1.Hình thoi 2.Hcn 3.Hbh 4.Tứ giác Có thể phát biểu 4 mệnh đề đảo khác nhau sau đây:
1.Nếu các điểm chia các cạnh của 1 hình thoi theo cùng 1 tỉ số
(cùng 1 hướng) là các đỉnh của 1 hình vuông thì hình thoi này cũng là hình vuông
2. Nếu các điểm chia các cạnh của 1 hình chữ nhật theo cùng 1 tỉ số ( cùng 1 hướng ) là các đỉnh của 1 hình vuông thì hình chữ nhật này cũng là hình vuông
3. Nếu các điểm chia các cạnh của 1 hình bình hành theo cùng 1 tỉ số (cùng 1 hướng) là các đỉnh của 1 hình vuông thì hình bình hành này cũng là hình vuông
4.Nếu các điểm chia các cạnh của 1 hình tứ giác theo cùng 1 tỉ số ( cùng 1 hướng ) là các đĩnh của 1 hình vuông thì hình tứ giác này cũng là hình vuông
Ta có : 1,2,3 đúng còn 4 sai.
Từ đó, có thể thấy đối với 2 mệnh đề đầu 1 và 2 có thể tìm đƣợc chứng minh đơn giản hơn mệnh đề 3 vì mệnh đề 3 là khái quát của mệnh đề 1,2. Nhƣng không thể cho rằng việc chứng minh định lý tìm được bởi 1 người, sẽ đơn giản hơn chứng minh 1 định lý tổng quát tìm được bởi 1 người khác.
Một vài giả thiết riêng của định lý là thừa có thể làm cho chứng minh theo con đường phức tạp hơn.
Dễ hiểu là có thể không chứng minh tách biệt 2 định lý 1,2 ( đối với hình thoi và hcn ) mà ngay đầu tiên ta chứng minh định lý tổng quát ( đối với hbh ). Dẫn ra cả 3 chứng minh :
1) Giả sử ABCD là hình thoi, KMPT là hình vuông
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 28 Vì K,M,P,T chia các cạnh theo cùng tỷ số nên
tương tự A=D=900
Do đó ABCD là hình vuông
2). Giả sử ABCD là hcn, KMPT là hình vuông Ta có
Mà C ̂P + C ̂M = 900
KB = MC
Mà K,M,P,T chia các cạnh theo cùng tỉ số nên AB=BC Vậy ABCD là hình vuông
3). Giả sử ABCD là hbh, KMPT là hình vuông Hiển nhiên
Đặt AK=a, KB = αa BM = b =>MC = αb KMPT có cạnh c K ̂M = α
=> M ̂P = 1800 – α
Ta có định lý hàm số sin KBM và MCP
Vì sin(180- α) = sin α và sin C ̂M = cosB ̂M
Chia (1) cho (2) vế theo vế:
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 29
là hình vuông
4). Trong 1 tứ giác có các đường chéo bằng nhau và vuông góc mà không là hình vuông. Trung điểm của các cạnh là đỉnh hình vuông.
Khẳng định trên không đúng, tuy nhiên nếu các điểm chỉ ra ở đó nếu không là trung điểm các cạnh thì:
Giả sử ABCD là tứ giác đã cho, KMPT là hình vuông. Ta dựng hình vuông A1B1C1D1
mà các cạnh của nó đƣợc chia theo cùng 1 tỉ số bới các điểm K,M,P,T trong dĩ giác ABCD ( cùng 1 hướng ).
Theo 1) thì hình vuông này tồn tại Kí hiệu: KB1 / KA1 =h
Ta có KAA1 KBB1 => BB1 =hAA1 Tương tự AA1 = h.DD1
DD1 = h.CC1
CC1 = h.BB1
=> BB1 = h4BB1 Do h 1 => BB1=0 Tương tự
Do đó ABCD là hình vuông.
Nhƣ vậy, khi phát biểu các mệnh đề đảo chúng ta nhận đƣợc 4 định lý, trong đó định lý cuối cùng cũng là khái quát của 3 định lý đầu.