Việc học đại số và giải tích ở trường phổ thông có đặc thù riêng so với hình học. Khi phân biệt bằng thủ thuật, phương pháp của việc giảng dạy, một số nhiệm vụ sử dụng một cách truyền thống cùng với thủ thuật bài toán ngƣợc, và việc không có kỷ năng của học sinh thực hiện chúng đƣợc xem xét là kiến thức không đầy đủ.
Ta xét một số vấn đề có thể áp dụng phương pháp bài toán ngược để đào sâu và nâng cao khả năng suy luận, tƣ duy của học sinh.
1/ Đƣa thửa số ra ngoài căn - đƣa vào căn :
* Đƣa ra ngoài căn các biểu thức sau :
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 61
=> Ngƣợc : Hãy đƣa thừa số vào trong căn.
a) Ta có Do đó:
b)
• Trường hợp: 1
• Trường hợp 2:
c) d)
• Trường hợp 1:
• Trường hợp 2:
e) điều kiện :
2/ Khai triển đa thức - phân tích đa thức thành nhân tử ;
• Thuận :
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 62
* Ngƣợc :
Phân tích các đa thức thành nhân tử :
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 63
3 / Tính tổng các phân thức - phân tích một phân thức thành tổng các phân thức :
❖ Thuận : Tính tổng :
❖ Ngƣợc: Phân tích phân thức sau thành tổng nhiều phân thức.
Đồng nhất thức tử số:
Đồng nhất thức tử số:
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 64 Ứng dụng việc tách 1 phân thức thành tổng nhiều phân thức là để tính tích phân
Ví dụ: Tính tínhđƣợc) ( tính đƣợc)
4 / Tính tổng, hiệu, tích, thương các đơn thức, đa thức và tìm đơn thức, đa thức thỏa điều kiện cho trước :
* Thuận : Tính :
A = 4xy + 5x2y - 2xy + x2y - xy = xy + 6x2y B = x3 - 2x2 + 5x - 4x3 + 7x2 - x = -3x3 + 5x2 + 4x C = l/2x2y. (-3xy)2. (7x2y2)3
= l/2x2y. 9x2y2. 343x6y6
= 3087/2. x10.y9.
=> Ngƣợc :
1. Viết các đơn thức sau thành tổng, hiệu 2 đơn thức có một số hạng là 2xy.
a/ 4xy = 2xy + 2xy b / 6xy = 2xy + 4xy c / xy = 2xy - xy d / -3xy= 2xy - 5xy
2. Viết các đơn thức sau thành tích hai đơn thức có một thừa số 3x2y2.
a / 15x4y3 = 3x2y2. 5x2y b / l/2x3y2 = 3x-y2- l/6x c / 2x5y4 = 3x2y 2/3x3y2 3. Tìm đa thức M thỏa :
a / M - (2x2y - xy - 4xy2) = 2xy - xy2 M = 2xy - xy2 + 2x2y - xy - 4xy2 M = xy + 2x2y - 5xy2
b / 4x3 - 4x + 5 + 2M = 7 + x2 - 2x 2M = 7 + x2 - 2x - 4x3 + 4x - 5 2M = 2 + x2 - 4x3 + 2x
M = 1 + x2/2 - 2x3 + x
c / M + (2xy2 - 4xz5 + 3xyz - 7y3z2 + 15) = 4 M = 4 - 2xy2 + 4xz5 - 3xyz + 7y3 z2 – 15
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 65
5/. Tính tổng các phân số - phân tích 1 phản số thành tổng các phân số Thuận: Tính
Ngƣợc:
1. Phân tích các phân số sau thành tổng của 3 phân số có tử là 1 và mẫu thì khác nhau
Muốn làm đƣợc điều này, yêu cầu học sinh phải có cái nhìn tổng quát, sâu sắc hơn với bài toán thuận, phải phân tích tử số thành tổng 3 số mà 3 số đó phải là ƣớc số của mẫu thì phân số tạo thành mới có tử là 1
2. Điền số thích hợp vào dấu ? :
6/. Tìm đa thức biết 1 số điều kiện;Thuận:
Thực hiện phép chia đa thức:
Ngƣợc:
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 66 a. Tìm hệ số a,b để đa thức ax3 + x2 + 2x + 1 chia hết cho đa thức
x2 + x + 1
Do đa thức này chia hết nên số dƣ = 0
Vậy đa thức đó là : x3 + 2x2 +2x +1
b.Xác định i,j để đa thức x5 + i x2 +jx-6 chia cho đa thức (x3+ x+2) có dƣ số 1a -6x2 +4x -4
Đa thức dƣ là -6x2 +4x - 4 nên ta có
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 67 Vậy đa thức cần tìm là : x5 - 4x2 + 3x - 6
c.Tìm đa thức f(x) bậc 4 biết
Giải:
Ở (1): Đặt t=x+2
Ở (2): Đặt t=x-2
Vậy
Mà f(l)=l nên
Vậy
c. Xác định đa thức p(x) biết: p (3x) = p’(x). p’’(x).p’’’(x) với mọi X
Giải:
Gọi n là bậc của p(x) Ta có : n = n-1 +n-2 +n-3
=> n=3
=> p(x) = ax3 + bx2 + cx +d
=> p(3x) = 27 ax3 + 9 bx2 + 3cx + d p’(x) = 3 ax2 + 2bx + c
p’’(x) = 6ax + 2b p’’’(x) = 6a
Theo giả thiết ta có
27 ax3 + 9 bx2 + 3cx + d = (3ax2 + 2bx + c)(6ax +2b)(6a) Đồng nhất hệ số
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 68 Vậy
7/.Thuận:
Chứng minh: 210+211+212 7 35+36+37 13
Ta có : 210+211+212=(l+2+4).210=7. 210 7 35+36+37 =(1+3+9). 35=13. 35 13
Ngƣợc: Phân tích 13.243 thành tổng 3 lũy thừa cơ số 3 với số mũ là 3 số tự nhiên liên tiếp.
Ta có : 13.243=13.35=(30+31+32).35=35+36+36
Tương tự phân tích 7.1024 thành tổng 3 lũy thừa cơ số 2 với số mũ là 3 số tự nhiên liên tiếp.
7.1024=(20+21+22).210=210+211+212
8./Thuân :
Cho các số :4,10,125,270,765,1011,2457,785,96120.
a) Những số nào chia hết cho :2,3,5,9.
b) Những số nào chia hết cho cả 2 và 5 c) Những số nào chia hết cho cà 1,3,5 và 9 Áp dụng dấu hiệu chia hết ta sẽ giải quyết dễ dàng.
Ngƣợc:
a) Thay số vào dấu * để 17** chia hết cho 2,3,còn chia 5 dƣ 1.
b) Thay số vào dấu * để 36** chia hết cho 2, 5 và 9.
Hoặc :
Điền vào dấu * các phép toán sau:
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 69 c) Có tất cả 19 vòng tròn điền các số nguyên từ 1÷19 (mỗi số 1 lần) sao cho khi cộng các số của 3 vòng tròn cùng ở trên 1 đường thẳng thì tổng đều bằng 30.
d) Dùng các số từ 1‚16 điền vào vòng trống của hệ hành tinh sao cho cộng các số 4 vòng theo đường thẳng hay hình tròn đều bằng 34.
e) Dùng cácsố từ 1->12 điền vào vòng trống của ngôi sao sao cho cộng các số trên 4 vòng trên đường thẳng đều bằng 26.
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 70
e) d)
9./Cho a,b,c |R thoả:
Chứng minh rằng: a2+b2+c2 ≤ 6 Thiết lập bài toán ngƣợc (nếu có).
Giải: Ta có:
(a+l)(a-2) ≤ 0 (b+l)(b-2) ≤ 0 (c+l)(c-2) ≤ 0
=>(a+l)(a-2) (b+l)(b-2) (c+l)(c-2) ≤ 0 => a2 +b2 +c2 ≤ 6
Thiết lập bài toán ngƣợc:
1. Cho a,b,c |R thỏa :
Chứng minh rằng:
2.
Chứng minh rằng:
3.
Chứng minh rằng:
Giải 1:
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 71 (*) 2a2 – 2(4-b)a + 2b2 – 8b + 10 = 0
/
a = -3b2 + 8b – 4
Do a|R nên /a 0 -3b2 + 8b – 4 0 a 2
Tương tự: b 2 c 2
đ.c.c.m.
10. Tìm phương trình hàm:
* Thuận: cho biết hàm số cụ thể : f(x) = 4x2 - + 6x3 g(x) = x2 – 5x + 8 Ngƣợc:
1. Tìm hàm f(x), g(x) biết:
{
( ) ( ) ( ) ( ) (
) ( )
Đặt u = 2x + 1: (1) f(u) + g ( ) = (3) Đặt u = : (2) f(u)+ 2.g ( ) = 3 (4) (3),(4) => g( ) =
Đặt x = => g(x) = 1 + x (3) => f(x) = - = x Vậy f(x) = x, g(x) = 1+ x
2. Tìm f(x) biết 3x2+ f’(x) + x3. F’(x) = -1, x#0
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 72 Và f(1) = 1, f(-2) = -1
Giải:
Ta có:
Do
Vậy
3. Tìm phương trình hàm f: N* ⟶ N*
Giải:
Ta có: f(n+l)>f(n) => f(n+1) ≥ f(n) +1 Giả sử f(n+l) =f(n) +1 thì thấy đúng với (2) Ta cần chứng minh :f(n+l)= f(n) +1
Ta có :
Dấu ‘’=’’ xảy ra => f(n+1) = f(n) + 1
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 73 Quy nạp ta đƣợc: f(n) =f(n-1)+1 =f(n-2)+2 =…=f(1)+n-1
11/. Tìm hàm ngƣợc:
2. Chứng minh các hàm số sau không có hàm số ngƣợc
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 74 b. y=2x3-3x +1
c.y=cos x trên (0;3π/2) d. y= sin x trên (0;π) Giải:
Điều kiện cần và đủ để hàm số có hàm ngƣợc là trong miền xác định hàm đơn điệu Mà cả 4 hàm trên trong miền xác định không đơn điệu nên không có hàm ngƣợc
3. Thuận: Tính các hàm số lƣợng giác của các góc sau:
Ngƣợc : Tính α biết
12/. Phương trình :
Việc lập 1 phương trình là nhiệm vụ ngược của giải phương trình có sẵn. Mục đích của hoạt động động này là để nắm vững hơn phương pháp giải nó.Ngay từ đầu với việc tìm nghiệm của phương trình ax+b=cx +d,ta đề nghị học sinh lập phương trình nếu có nghiệm x=3 với lập luận sau (phương trình lập được không duy nhất)
VD1: x=3
<=> -2x=-6
<=>5x-7x=12-18
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 75
< => 5x – 12 = 7x -18
Ta thấy qua trình lập phương trình hiện thực hóa thuật toán giải nhưng theo thứ tự ngược lại VD2: Thuận: Giải phương trình mũ
9X -6X =2. 4X (9/4)x – (6/4)x = 2
(3/2)2x – (3/2)x – 2 = 0 (1) Đặt t = (3/2)x, t> 0
(1) <=> t2-t-2 = 0
<=> t=-l(loại) hay t=2 Với t =2 => (3/2)x = 2
=> x = log3/22
=> Ngược : Lập phương trình mũ nhậnx = log3/22 làm nghiệm Ta có : x = log3/22 => (3/2)x = 2
Đặt t = (3/2)x => t=2
Ta có 1 phương trình mũ nhận t=2 là nghiệm là (t-2)(t-l)=0
< => t2 –t -2 =0
< => (3/2)2x – (3/2)x -2 = 0
< => 9x – 6x -2. 4x = 0
Lưu ý: Ngoài phương trình trên còn nhiều phương trình khác nhận nó làm nghiệm VD: Lập phương trình mũ nhận x1=l,x2=2 làm nghiệm
Giải:
Đặt t = (2/5)x (ta có thể thay 2/5 bằng 1 phân số bất kì a/b)
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 76 t1 = (2/5)x1 = (2/5)1 = 2/5
t2 = (2/5)x2 = (2/5)2 = 4/25
t1,t2 là nghiệm của phương trình : t2 – (t1 + t2)t +t1t2 = 0
Đó chính là 1 phương trình mũ nhận x1=l,x2=2 làm nghiệm Như vậy thay vì ta cho học sinh giải 2 phương trình mũ khác nhau ta cho giải 1 phương trình và lập phương trình mũ nhận nghiệm đó
13/. Hệ phương trình và bất phương trình
Trong chương trình toán phổ thông có gặp giải hệ phương trình chứ ít khi gặp lập hệ với nghiệm cho trước. Dạng bài tập này tạo khả năng thúc đẩy hoạt động của học sinh làm sáng tỏ mặt mới của đối tượng, củng cố khả năng giải hệ phương trình
Ví dụ: Tìm hệ phương trình tuyến tính với 2 ẩn mà cặp (-3,4) là 1 nghiệm Giải:
Chúng ta lấy các hệ số tùy ý a=l,b= -3 trong phương trình đầu ax+by=c Do cặp (-3,4) là nghiệm nên có: c=l.(-3)+(-3).4 = -15
Tương tự lấy a= -4,b= -5 thì phương trình 2 có c = (-4).(-3)+(-5).4= -8 Khi đó hệ có dạng :
Nếu học sinh giải hệ này sẽ đƣợc nghiệm (-3,4)
Lưu ý: Hệ lập được không duy nhất, còn có nhiều hệ khác nhận cặp (-3,4) làm nghiệm
VD2: Giải hệ:
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 77 Các nghiệm (2,-6),(-6,2),(-2,6),(6,-2)
Giáo viên có thể nhận xét cùng với học sinh nếu cặp (a,b) là nghiệm thì các cặp (b,a),(-a,-b),(- b,-a) cũng là nghiệm
Có thể ra đề toán ngược cho học sinh là lập hệ phương trình mà nghiệm của nó là các cặp (l,5),(5,l),(-l,-5),(-5,-l)
Các hệ đó là
VD3: Giải hệ bất phương trình
Bài toán ngược: Lập hệ bất phương trình mà nghiệm của nó là [-1;3) Giải: Ta có khoảng đã cho là nghiệm hệ bất phương trình
Các bài toán ngược lập phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình đóng vai trò công cụ tâm lí giúp học sinh xóa bỏ 1 số nghi ngờ, thiếu tin tưởng, các em sẽ thắc mắc không biết các phương trình và các hệ đó lập ra như thế nào.
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 78
14/ Dãy số:
Xét nội dung SGK về các bài dãy số, cấp số cộng, nhân. Ta gặp các dạng bài tập : dãy đƣợc cho bằng cấp số cộng theo số hạng, thứ n hoặc cho bằng công thức truy hồi đòi hỏi học sinh tìm 1 số số hạng đầu tiên của dãy.
Không thấy xuất hiện các bài toán ngƣợc lại :từ 1 số số hạng đầu tiên tìm công thức cho dãy hay công thức cho số hạng thứ n. chuyển qua truy hồi và ngƣợc lại. Ta sẽ đƣa vào sau.
• Đầu tiên cho công thức cho số hạng thứ n của dãy : a2 =2n+5, tìm công thức truy hồi ?
Dãy đó là :7,9,11,13,15...
Gọi học sinh nhận xét về mối liên hệ giữa các số hạng kề nhau: số hạng sau hơn số hạng trước nó 2 đơn vị. Do đó, ta có : an+1=an+2 (công thức truy hồi).
• Cho 1 số số hạng đầu tiên, tìm công thức truy hồi và công thức số hạng thứ n của dãy số.
a) 1,5,11,16,21,26,...
b) 2,10,50,250,1250,...
c) 1/2,2/3,3/4,4/5,5/6,...
d) 3,5,3,5,3,5,...
e) 1,2,3,5,8,13,21,... (Phibônanxi).
Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh trình tự như sau : -Đối với a,b,c giáo viên hướng dẫn phần công thức truy hồi của dãy, việc này khá dễ dàng
a) an+1=an+5 b) an+1=5an
c) an+1=an, a1=2, a2=4 d) an+2=an+1+an,ao=l,a1=2
Sau đó chuyển qua công thức số hạng thứ n.
a) an+1=an+5
=> an=an-1+5=an-2+2.5=an-3+3.5= ... =a1+(n-l).5=l+(n-l)5=5n-4.
Vậy an=5n-4.
b) an+1=5an
=> an=5an-1=5.5an-2=53an-3= ... =5.5n-2a1=5.5n-2.2=2.5n-1. Vậy an=2.5n-1.
c) Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét mối liên hệ giữa các số hạng :hơn kém nhau 1 đơn vị với số 3. Nếu số hạng có thứ tự lẻ thì kém 1, số thứ tự chẵn thì hơn 1 đơn vị.
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 79 Do đó, ta có : an =3+(-l)n.
d) an+2 = an+1 + an, a0 , a1 = 2.
Phương trình đặc trưng : x2 – x-1 = 0
Ta có :
Vậy
-Đối với câu c): tìm công thức số hạng thứ n. trước thì dễ dàng hơn:
chuyển qua truy hồi :
Khi bài học "cấp số cộng" : học sinh tìm tổng số hạng đầu tiên nếu biết công thức số hạng thứ n.
Ví dụ : an=3n-4, tìm Sn.
=> Ngƣợc : Cho Tìm công thức số hạng thứ n của cấp số cộng Giải: Ta có : a1=S1=-l
Mà
• Khi bài học dãy số, ta gặp dạng bài tập chứng minh bằng quy nạp công thức tổng các số hạng 1 dãy số.
Ví du : Chứng minh rằng:
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 80
=> Ngƣợc: Ta yêu cầu học sinh tìm ra tổng của dãy số đó. Điều này rất có lợi cho, giúp học sinh giải quyết đƣợc thắc mắc tại sao lại có công thức tổng nhƣ vậy. Đa số là áp đặt công thức này rồi kiểm tra bằng quy nạp.
Giải: Lập công thức S1,S2,S3,S4. Xét hàm số :S(x)=l+x+x2+...+xn. (1)
Nhân x vào 2 vế => x.S(x)=x+x2+x3..+xn+1. (2) Trừ (2) cho (1) => (x-l).S(x) = xn+1 -1.
Lấy đạo hàm 2 vế: S(x)+S'(x)(x-l)=(n+l).xn (3) VớiS'(x)=l+2.x+...+n.xn-1
Lấy đạo hàm 2 vế của (3): 2S’(x)+S"(x).(x-l)=(n+l).xn-l (4) Với S"(x)=1.2+2.3x+3.4x2+...+(n-l)nxn-2
Chọn x=l: 2S'(l)=n(n+l)
<=> 2.(1 +2++... +n0=n(n+1).
=> Si=l+2+...+n=
Lấy đạo hàm 2 vế của (4):
3S"(x) +(x-l)S'"(x)=n(n+l)(n-l).xn-2
(5) với S"'(x)=1.2.3+2.3.4x+...+(n-2)(n-l).n.xn-3
ở (5), chọn x=l:
3.S"(l)=(n-l)(n+l)n
<=>3[1.2+2.3+...+(n-l)n]=(n-l)n(n+l)
<=> S2=1.2+2.3+...+(n-l)n= (n-l)(n+l)n.
Xét p(x)=x.S'(x)=x+22x2+32.x3+.. .+n2xn p'(x)=lx+22x+32 x2+.. ,+n2xn-1 p'0)=l+22+32+...+n2
(3) <=> S(x)+p(x)-S'(x)=(n+l)xn
Lấy đạo hàm 2 vế: S'(x)+p'(x)-S"(x)=(n+l)nxn-l (6) Chọn x=l: S'(l)+p'(l)-S"(l)=n(n+l)
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 81
=> S3 = 12+ 22 +32+42+…n2 = ( ) ( )
• Xét K(x)=x.p'(x)= x+22x2+32.x3+...+n2xn K'(x)=l+23x+33x2+.. .+n3xn-1
K'(l)=l+23+33+...+n3 Nhân 2 vế của (6) với x :
x.S'(x)+x.p'(x)-x.S"(x)=(n+l)nxn
Lấy đạo hàm 2 vế :S'(x)+(x-l)S"(x)+K'(x)-x.S"'(x)n2(n+l).xn-1 Chọn x=l: S'(l)+K'(l)-.S'''(l)=n2(n+l).
=>K'(1) = n2(n+l)-S'(l)+S''' (l)
15/Hàm số:
Trong chương trình Toán phổ thông, về hàm số dạng toán vẽ đồ thị theo công thức hàm cho sẵn rất rộng rãi.Nhiệm vụ ngƣợc đóng vai trò hết sức quan trọng đó là xác định bản thân hàm số theo đồ thị đã cho hay qua mô tả thỏa 1 số điều kiện nào đó.
Ví du: Hãy xác định công thức của các hàm số của các đồ thị hình bên:
● (1): qua 2 điểm (-1,0) và (0,-3) Phương trình tổng quát y = kx + b
Ta có :{ ( )
< => { Vậy (1): y = -3x-3
● (2): qua 2 điểm (-2,0) và (0,1)
Tương tự cách làm trên ta có: (2) sẽ có phương trình y = 1/2x+1
● (3): qua 2 điểm (0,2) và (3,0) sẽ có dạng: y = -1/2x + 2.
● (4): qua 2 điểm (4,0) và (0,-2) sẽ có dạng: y =-1/2x +2.
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 82
• (5): qua điểm A(l,3)và vuông góc với (2): y=l/2x+1.
Dạng tổng quát của (5): y=kx+b.
do (5) vuông góc với (2) nên k.(l/2)=-l => k=-2 => (5) :y=-2x+b.
do (5) đi qua A(l,3) nên :3= -2.1+ b => b=5.
Vậy (5) có dạng : y=-2x+5.
• (6) : qua điểm B(2,-2)và song song với (1): y=-3x-3.
(6) song song với (1), nên có cùng hệ số góc => (6): y=-3+b.
(6) qua B(2,-2) nên :-2=-3.2+b => b=4.
Vậy (6): y=-3x+4.
Thực tế chứng tỏ rằng học sinh đủ nắm vững 1 cách có hiệu quả các vấn đề khảo sát hàm số nhờ đạo hàm dạng đồ thị của nó.
Tuy nhiên nói về việc tìm hiểu sâu về mối liên hệ giữa đạo hàm với các tính chất của hàm thì không xảy ra.
Ta xét bài tập sau: tìm hàm có biểu diễn đồ thị ở hình vẽ bên.
Ta thấy hàm không cho 1 cách cụ thể mà chỉ cho biết hoành độ của các cực trị và các khoảng cách đơn điệu.
Do tại x=l,x=2 đạo hàm bằng 0, nên trong khai triển của y' nhận 2 nhân tử.
Mặt khác trong (-∞,1) thì hàm giảm nên : y'=-(x-l)(x-3)
y'= -x2+4x-3
=> y = - x3 + 2x2 – 3x + C
Để học sinh không bở ngỡ, ta cho các em làm 1 số bài toán tìm hàm nếu cho biết đạo hàm của nó.
Ví dụ: y’ = x2 + 5 => y = x3 + 5x +C y’ = 5x -1 => y = x2 – x + C y’ = 4 => y = 4x + C • Sau đây, ta xét 1 ví dụ khác:
Tìm hàm số đƣợc biểu diễn qua đồ thị bên : Đạo hàm của hàm có dạng
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 83 y’ = (x -2)(x-3)2
= x3 + 8x2 – 21x + 18
=> y = - x4 + x3 - x2 + 18x + C
❖ Trong hình học giải tích trong không gian, dạng toán thuận là đường thẳng, mặt phẳng xác định pháp vectơ hay vectơ chỉ phương.
Ví dụ: (d): => VTCP ⃗ = (3,1,-2).
(α): 2x + 5y – z + 4 =0 => VTCP ⃗ = (2,5,-1) (β): -x + 2y – z +11 =0 => VTCp ⃗ = (-1,2,-1).
Tìm góc giữa (α) và (β):
=> góc giữa (α) và (β) là mà Cos =
√ .
Hoặc ta sẽ yêu cầu học sinh tính khoảng cách giữa 1 điểm đến 1 đường, 1 mặt phẳng,hay khoảng cách giữa 2 đường...
Các bài toán ngược của chúng là yêu cầu lập phương trình của đường hay mặt thỏa 1 số điều kiện nào đó.
Ví dụ :
1) Lập phương trình đường thẳng qua A(l,2,3) và B(-l,-5,0)
=> Đường thẳng này qua A(,l,2,3) có VTCP ⃗⃗⃗⃗⃗ = (-2, -7, -3)
=> Phương trình : {
2) Lập phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và song song với mặt phẳng (α) : x-4y+z+5=0
=> mặt phẳng này // (α) nên chung VTPT ⃗ (1,-4,1) và qua O (0,0,0) nên có dạng : x- 4y+z=0
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 84 3) Lập phương trình đường thẳng qua điểm A(1,0,0) và cắt 2 đường thẳng
(d1):
(d2): {
Giải: Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của 2 mặt phẳng (α) qua A và chứa d1
(β) qua A và chứa d2
● (α) có VTPT { ⃗ ⊥ ⃗⃗ c ⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∀ ∈
Lấy
● (β) có VTPT { ⃗ ⊥ ⃗⃗ c ⃗ ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗ ∀ ∈
Lấy
Vậy (d):
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng | 85