CHƯƠNG 1 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC Ở CẤP ĐỘ
1.3. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THPT
1.3.1.1. Đại số 10 nâng cao
Lí thuyết “Tập hợp” và “Mệnh đề” được đưa vào giảng dạy tường minh ở chương đầu tiên của Đại số 10 nâng cao. Theo GĐsnc10, tập 1, trang 3, 4 thì:
Chủ đề thứ nhất gồm hai phần Mệnh đề và Tập hợp, trong đó phần mệnh đề chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những hiểu biết sơ lược về mệnh đề, qua đó giới thiệu các kí hiệu logic […]. Yêu cầu chủ yếu của phần này là học sinh phải biết cách sử dụng đúng lúc, đúng chỗ, đúng cách các kí hiệu logic cũng như phải hiểu đúng các ý được diễn đạt theo cách đã học trong các tình huống cụ thể. (GĐsnc10, tập 1, tr. 3, 4)
Đối với kí hiệu logic có:
Kí hiệu “P” thay cho cụm từ “không phải P” khi diễn đạt phủ định của một mệnh đề P
: 2
P là số vô tỉ. (MĐsnc10, tr. 5)
Kí hiệu “⇒” thay cho cụm từ “Suy ra”, “Kéo theo”, “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ”,
“Nếu…thì…” hoặc “Vì…nên…” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:
[…] Mệnh đề “ Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là P ⇒ Q.
(MĐsnc10, tr. 5)
Kí hiệu “⇔” thay cho cụm từ “Khi và chỉ khi”, “Nếu và chỉ nếu”, “Điều kiện cần và đủ” hoặc “Tương đương” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:
[…] Mệnh đề có dạng “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q. (MĐsnc, tr. 6)
Hai kí hiệu này xuất hiện với vai trò là đối tượng dạy học.
Kí hiệu “∀” thay cho cụm từ “Với mọi”. Mặc dù đã xuất hiện trước đây, tuy nhiên trong lần xuất hiện này nó là một đối tượng dạy học, chẳng hạn:
∀x ∈ X, P(x). (MĐsnc, tr. 7)
Kí hiệu “∃” thay cho cụm từ “Tồn tại”, “có một” hay “có ít nhất một” khi diễn đạt một mệnh đề toán học. Nó cũng xuất hiện với vai trò là đối tượng dạy học, chẳng hạn:
∃x ∈ X, P(x). (MĐsnc, tr. 8)
Mặt khác, theo GĐsnc10, trang 41, thì:
Ngoài các phép toán phủ định, kéo theo và tương đương, ta còn dùng hai phép toán logic khác là phép hội và phép tuyển để tạo ra mệnh đề mới từ các mệnh đề hiện có.
(GĐsnc10, tr. 41)
Theo đó, xuất hiện kí hiệu “∧” thay thế cho từ “Hội” hay “Và”; kí hiệu “∨” thay thế cho từ “Tuyển” hay “Hoặc” khi diễn đạt một mệnh đề toán học, chẳng hạn:
[…] P ∧ Q là mệnh đề “20 chia hết cho 4” và chia hết cho 5. (GĐsnc10, tr. 41)
Tuy nhiên trên thực tế, hai phép toán này không được đưa vào giảng dạy trong chương trình toán 10 nâng cao hiện hành. Vậy, liệu có khó khăn gì cho HS trong việc hiểu một mệnh đề toán học được cho dưới dạng “hội” hay “tuyển” các mệnh đề? (chẳng hạn: khi học về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình hay các mệnh đề toán học trong hình học…)
Để trả lời cho câu hỏi này, theo GĐsnc10, tr. 106 thì
Vì lí do sư phạm, SGK đã không đưa vào khái niệm tuyển phương trình, cũng không sử dụng kí hiệu “[”. Khi gặp trường hợp cần đến khái niệm tuyển phương trình, SGK dùng từ “hoặc” để thay thế. Chẳng hạn, ta viết (x – 1)(x – mx +2) = 0 ⇔ x – 1 = 0 hoặc x – mx +2 = 0 để thay cho (x – 1)(x – mx +2) = 0 ⇔ 1 0
2 0
x x mx
− =
− + =
.
(GĐsnc10, tr. 106)
Tuy nhiên, nó đã được giới thiệu ở các lớp dưới và cả trong GĐsnc10, chẳng hạn:
[…] (1) ⇔
1 2
( ) ( ) ...
g x u g x u
=
=
. (GĐsnc10, tr. 112)
Hay, cách giải của phương trình dạng ax b+ = cx d+ . Theo GĐsnc10, trang 116 thì
Cách đơn giản nhất theo chúng tôi là cách đưa về tuyển:
( )
ax b cx d ax b xc d
ax b cx d + = +
+ = + ⇔ + = − + . Do đó, cách này đã được trình bày đầy đủ
trong sách. (GĐsnc10, tr. 116)
Nhưng, cũng theo GĐsnc10, trang 136 thìkhi
Giải hệ phương trình, trong đó có một phương trình tích […] không nên sử dụng kí hiệu tuyển phương trình. (GĐsnc10, tr. 136)
Như vậy, ở đây có sự nhập nhằng trong việc dùng kí hiệu “[” để diễn đạt lời giải của phương trình và hệ phương trình. Phải chăng việc sử dụng hay không sử dụng kí hiệu này, thể chế dạy học toán 10 nc đã ủy thác cho GV, căn cứ hoàn cảnh thực tế để sử dụng cho phù hợp?
Đối với kí hiệu “Tập hợp”:
Ngoài những kí hiệu: “∈”, ∉”, “⊂”, “∩”, “∪” đã được giới thiệu tường minh ở lớp 6.
Còn xuất hiện kí hiệu “∖” thay cho từ “Hiệu”; kí hiệu “CEA” thay cho cụm từ “Phần bù”; kí hiệu “(;)” thay cho từ “Khoảng”; kí hiệu “[;]” thay cho từ “Đoạn”; kí hiệu “(; ]
A ∩ B = [1; 2]. (MĐsnc10, tr. 19)
Theo GĐsnc10, trang 34 thì phải:
Biết dùng ngôn ngữ và kí hiệu của lý thuyết tập hợp để diễn đạt các bài toán, trình bày các suy luận toán học một cách sáng sủa, mạch lạc. (GĐsnc10, tr. 34)
Đối với hoạt động “diễn dịch” một mệnh đề toán học từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngược lại, được thể chế dạy học Đại số 10 quan tâm rèn luyện, chẳng hạn:
Dùng kí hiệu logic để diễn tả mệnh đề […] (EĐsnc10, tr. 9)
Theo GĐsnc10, trang 44 thì:
Thông thường, mỗi định lí là một mệnh đề đúng có cấu trúc như sau: “∀x ∈ X, P(x) ⇒ Q(x)”[…]. Trong nhiều trường hợp, phát biểu định lí không có lượng từ “với mọi”
nhưng ta ngầm hiểu là có lượng từ “với mọi” trong đó. Chẳng hạn, “Nếu n chia hết cho 3 thì n2chia hết cho 9. (GĐsnc10, tr. 44)
Ngoài ra, còn có những kí hiệu toán học khác như:
Kí hiệu “±” mang tính hình thức khi diễn đạt sai số tuyệt đối của một số gần đúng, chẳng hạn:
a= ±a d. (MĐsnc10, tr. 25)
Tuy nhiên, kí hiệu này còn xuất hiện trong hình thức trình bày nghiệm của phương trình bậc hai, chẳng hạn:
[…] có hai nghiệm m 2 4 m
x m
− ± −
= . (MĐsnc10, tr. 74)
Phải chăng ở đây, các nhà viết sách toán 10 nc đã lạm dụng kí hiệu này để diễn đạt nghiệm của phương trình?
Kí hiệu “ ” không chỉ thay cho cụm từ “giá trị tuyệt đối” của một số hay một biểu thức như đã giới thiệu. Nó còn thay cho cụm từ “Số phần tử” của một tập hợp cho trước hay thay cho cụm từ “Định thức” khi giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số, chẳng hạn:
Kí hiệu A là số phần tử của tập . (EĐsnc10, tr. 11) Hay
D = b ' b' a
a (MĐsnc10, tr. 90)
Kí hiệu “a” thay cho cụm từ “Số đúng” của số gần đúng a; kí hiệu “x” thay cho cụm từ “Số trung bình”; kí hiệu “P” thay cho cụm từ “Phủ định của mệnh đề P”; kí hiệu
“AB” thay cho cụm từ “độ dài đại số” của vectơ AB.
Vậy, liệu có sự nhập nhằng nào liên quan đến việc sử dụng các kí hiệu này để diễn đạt một mệnh đề toán học hay giải toán?
Kí hiệu của góc lượng giác tạo bỡi hai tia, chẳng hạn Ou, Ov được kí hiệu là (Ou, Ov).
Kí hiệu “↷” thay cho cụm từ “cung lượng giác” khi diễn đạt một cung lượng giác, chẳng hạn:
UV
(MĐsnc10, tr. 189)
Hơn nữa, ở đây có sự đồng nhất giữa kí hiệu góc (cung lượng giác) với kí hiệu số đo của góc (cung lượng giác) tương ứng, chẳng hạn:
[…] đôi khi ta cũng viết AM =α và (OA, OM) = α. (MĐsnc10, tr. 193)
Kí hiệu “±∞” theo GĐsnc10, tr. 70 thì “cũng rất hình thức”.
Dấu “|” theo GĐsnc10, tr. 167 thì “chỉ có ý nghĩa dóng cho thẳng cột, ngoài ra nó không mang một nội dung nào khác”. (GĐsnc10, tr. 167)
Kí hiệu “∥” thay cho cụm từ “không xác định” khi xét dấu biểu thức đại số, chẳng hạn:
x −∞ 2 7
2 5 +∞
-2x +7 + | + 0 − | − x2 – 7x
+10
+ 0 − | − 0 +
f(x) + ∥ − 0 + ∥ − (MĐsnc10, tr. 143)