Chúng tôi đã thực nghiệm trên 159 học sinh của bốn lớp 12, gồm: lớp 12A1, 12A2 học theo chương trình nâng cao, lớp 12A4, 12A8 học theo chương trình cơ bản của trường THPT Đateh – Lâm đồng. Đối với bài tập 1 chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên cả bốn lớp trên. Bài tập 2, chúng tôi thực nghiệm trên lớp 12A2, 12A4. Bài tập 3 trên lớp 12A1, 12A8.
Kết quả thực nghiệm của bài tập 1
Bảng thống kê kết quả thực nghiệm bài tập 1 phân loại theo từng chiến lược như sau:
Câu 1:
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: chiến lược “Thứ tự kí hiệu” 37 23,27%
S2: chiến lược “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc” 91 57,23%
S3: chiến lược “Kí hiệu – cấu trúc” 20 12,58%
Chiến lược khác 11 6,92%
Tổng 159 100%
Bảng 3.1: Bảng thống kê lời giải câu 1 của bài tập 1 Nhận xét:
Có 37/159 (23,27%) trường hợp sử dụng chiến lược “Thứ tự kí hiệu”, điều này cho thấy một bộ phận không nhỏ HS không quan tâm đến việc sắp xếp lại kí hiệu toán học theo nghĩa toán học sau khi thay thế “từ”, “cụm từ” trong quá trình mã hóa một mệnh đề toán học. Có 91/159 (57,23%) trường hợp sử dụng chiến lược “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc”. Nguyên nhân chủ yếu là do HS quen dùng kí hiệu “∈” để diễn đạt quan hệ bao hàm giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian thay cho kí hiệu
“⊂”, cũng như đã quen sử dụng cấu trúc “A⇒ B” khi mã hóa một mệnh đề toán học.
Tức là HS không quan tâm đến thuật ngữ cần thay thế trong mệnh đề là “Khi và chỉ khi” hay “Nếu … thì”. Trong khi đó, chỉ có 20/159 (12,58%) trường hợp sử dụng chiến lược “Kí hiệu – cấu trúc”, tức là sử dụng đúng kí hiệu toán học để thay thế những “từ”,
“cụm từ” tương ứng và sắp xếp chúng theo thứ tự của ngôn ngữ kí hiệu toán học, cũng như sử dụng đúng cấu trúc logic và không lạm dụng kí hiệu khi mã hóa mệnh đề toán học. Ngoài ra còn 11/159 (6,92%) trường hợp không làm được bài, chiếm hơn một nửa so với số HS làm được bài này.
Câu 2:
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: chiến lược “Thứ tự kí hiệu” 50 31,45%
S2: chiến lược “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc” 52 32,70%
S3: chiến lược “Kí hiệu – cấu trúc” 18 11,32%
Chiến lược khác 39 24,53%
Tổng 159 100%
Bảng 3.2: Bảng thống kê lời giải câu 2 của bài tập 1
So với câu 1 thì trong câu 2 này đã có sự khác biệt, chiến lược S1 tăng lên đáng kể với 50/159 (31,45%) trường hợp. Chiến lược S2 giảm xuống còn 52/159 (32,70%) trường hợp. Tuy nhiên, vẫn có đến 102/159 (64,15%) trường hợp sử dụng chiến lược S1, S2. Trong khi đó chỉ có 18 (11,32%) trường hợp sử dụng chiến lược S3, giảm 2/159 (1,26%). Đặc biệt, số HS sử dụng chiến lược khác tăng lên đáng kể 39/159 (24,53%).
Câu 3:
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: chiến lược “Thứ tự kí hiệu” 16 10,06%
S2: chiến lược “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc” 89 55,98%
S3: chiến lược “Kí hiệu – cấu trúc” 29 18,24%
Chiến lược khác 25 15,72%
Tổng 159 100%
Bảng 3.3: Bảng thống kê lời giải câu 3 của bài tập 1
Kết quả trong câu 3 này lại đổi chiều so với kết quả trong câu 2. Số trường hợp sử dụng chiến lược S1 giảm xuống còn 16/159 (10,06%), chiến lược S2 thì tăng lên 89/159 (45,28%) trường hợp và có tất cả 105/159 (66,04%) trường hợp sử dụng chiến lược S1 và S2, tăng hơn 3 trường hợp so với câu 2. Trong khi đó, chiến lược S3 cũng chỉ tăng lên được 29/159 (18,24%). Bên cạnh đó, số lượng trường hợp không làm được
bài giảm xuống còn 25/159 (15,72%). Sự tăng giảm thất thường này, cho thấy HS vẫn không quan tâm đến việc rút kinh nghiệm khi mã hóa các mệnh đề còn lại. Điều này chứng tỏ, sai lầm này của HS được hình thành và tồn tại khá vững chắt.
Câu 4:
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: chiến lược “Thứ tự kí hiệu” 34 21,38%
S2: chiến lược “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc” 73 45,91%
S3: chiến lược “Kí hiệu – cấu trúc” 16 10,07%
Chiến lược khác 36 22,64%
Tổng 159 100%
Bảng 4.4: Bảng thống kê lời giải câu hỏi 4 của bài tập 1
Ở câu này, chiến lược S1, S2 lại dao động so với câu 3. Chiến lược S1 tăng lên 34/159 (21,38%) trường hợp còn chiến lược S2 giảm xuống còn 73/159 (45,91%). Tuy nhiên, tổng số trường hợp sử dụng hai chiến lược này vẫn ở mức khá ổn định khi tăng nhẹ lên 2 trường hợp so với câu 3, tức là có đến 107/159 (67,30%) trường hợp. Trong khi đó, trường hợp sử dụng chiến lược S3 giảm đi đáng kể, chỉ còn 16/159 (10,07%).
Sau đây là bảng thống kê lời giải của HS của bốn câu hỏi trong bài tập 1:
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: chiến lược “Thứ tự kí hiệu” 137 21,54%
S2: chiến lược “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc” 305 47,96%
S3: chiến lược “Kí hiệu – cấu trúc” 83 13,05%
Chiến lược khác 111 17,45%
Tổng 636 100%
Bảng 3.5: Bảng thống kê lời giải bốn câu hỏi của bài tập 1
Tóm lại, qua bảng thống kê bài làm của bốn câu hỏi của bài 1 có đến 137/636 (21,54%) trường hợp sử dụng chiến lược S1, có 305/636 (47,96%) trường hợp sử dụng chiến
lược S2. Như vậy, có tất cả 442/636 (69,50%) trường hợp sử dụng chiến lược S1 và S2. Còn có đến 111/636 (17,45%) trường hợp không làm được bài. Trong khi đó, chỉ có 83/636 (13,05%) trường hợp sử dụng chiến lược S3. Với kết quả tương phản như thế này phần nào đã kiểm chứng được giả thuyết H2.
Như vậy, việc HS quen sử dụng kí hiệu không đúng giá trị của nó hoặc không sắp xếp chúng theo nghĩa toán học cũng như sai cấu trúc logic, phần nào là nguyên nhân dẫn đến những sai lầm dai dẳng trong suốt quá trình học hình học không gian 11 và nó có thể tiếp tục ảnh hưởng đến quá trình học hình học không gian ở lớp 12. Bên cạnh đó, nó còn phản ánh thực trạng dạy – học ở trường phổ thông Việt Nam hiện nay, đó là HS không quan tâm nhiều đến việc rèn luyện kĩ năng diễn đạt một mệnh đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Hơn nữa, còn do ảnh hưởng bởi việc phép “hội” các mệnh đề toán học không được giảng dạy trong nhà trường phổ thông hiện nay. Nó gây ra không ít khó khăn cho học sinh trong việc mã hóa cũng như đọc hiểu một mệnh đề toán học được diễn đạt bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học.
Kết quả thực nghiệm của bài tập 2:
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: chiến lược “Thứ tự kí hiệu” 33 39,76%
S2: chiến lược “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc” 35 42,17%
S3: chiến lược “Kí hiệu – cấu trúc” 8 9,64%
S4: chiến lược “Kí hiệu – từ nối” 7 8,43%
Chiến lược khác 0 0%
Tổng 83 100%
Bảng 3.6: Bảng thống kê lời giải của bài tập 2
Nhận xét:
Bài tập 2 này tiếp tục kiểm chứng quá trình “mã hóa” một mệnh đề toán học, sau khi HS đã tiến hành mã hóa bốn mệnh đề toán học trong câu 1. Tuy nhiên, có đến 33/83 (39,76%) trường hợp sử dụng chiến lược “Thứ tự kí hiệu” và 35/83 (42,17%) trường hợp sử dụng chiến lược “Quy về kí hiệu – Cấu trúc logic quen thuộc” để mã hóa lời giải bài toán. Và có tất cả 68/83 (81,93%) trường hợp sử dụng chiến lược S1 và S2, một con số khá lớn. Điều này chứng tỏ HS tiếp tục mắc phải sai lầm như trong bài tập 1 khi mã hóa lời giải bài toán. Mặc dù hoạt động này thường xuyên diễn ra trong suốt quá trình học hình học không gian 11. Trong khi đó, chỉ có 8/83 (9,64%) trường hợp sử dụng chiến lược “Kí hiệu – cấu trúc” và có 7/83 (8,43%) trường hợp sử dụng chiến lược “Kí hiệu – từ nối” để mã hóa thành công lời giải bài toán. Tất cả cũng chỉ có 15/83 (18,07%) trường hợp. Với kết quả này, cho thấy HS vẫn ưu tiên sử dụng hình thức mã hóa mà ở đó không sử dụng cấu trúc logic, mà nguyên nhân một phần là do ảnh hưởng từ việc không hiểu phép “hội” của các mệnh đề toán học. Như vậy, có thể nói HS tiếp tục mắc phải sai lầm trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học, cấu trúc logic cũng như sắp xếp chúng theo nghĩa toán học. Kết quả này tiếp tục cho phép kiểm chứng giả thuyết H2.
Kết quả thực nghiệm của bài tập 3:
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ S1: chiến lược “Tên gọi kí hiệu – thuật ngữ tương đồng” 58 76,32%
S2: chiến lược “Thay thế không hoàn toàn” 7 9,21%
S3:chiến lược “ Thay thế hoàn toàn” 9 11,84%
Chiến lược khác 2 2,63%
Tổng 76 100%
Bảng 3.7: Bảng thống kê lời giải của bài tập 3
Nhận xét:
Bài tập 3 này thực chất cũng là bài tập 2 nhưng lời giải được trình bày dưới hình thức viết gọn theo cấu trúc logic thông dụng “((A1∧ A2 ∧ A3) ⇒ B) ∧ C) ⇒ D”.
Có đến 58/76 (76,32%) trường hợp sử dụng chiến lược “Tên gọi kí hiệu – thuật ngữ tương đồng” để giải mã lời giải bài toán. Những kết quả này không sai, chỉ không chính xác về mặt logic. Điều này chứng tỏ HS không hiểu được nghĩa của kí hiệu toán học khi thay thế và không sắp xếp chúng sắp xếp chúng theo nghĩa toán học trong quá trình “giải mã” lời giải bài toán. Học sinh chỉ nhớ tên gọi của kí hiệu đó hoặc nhầm lẫn giá trị của chúng với những kí hiệu có giá trị tương đồng khác. Ngoài ra còn có 7/76 (9,21%) trường hợp sử dụng chiến lược “Thay thế không hoàn toàn”. Trong chiến lược này HS sử dụng ngôn ngữ thông thường với mục đích giải thích cho những điều kiện của lời giải bài toán. Chiến lược này không dẫn đến sai lầm nhưng kết quả không đúng với yêu cầu đặt ra. Đây không phải là chiến lược mong đợi. Trong khi đó, chiến lược mong đợi nhất là chiến lược “Thay thế hoàn toàn” thì chỉ có 9/76 (11,84%).
Với kết quả thực nghiệm này, cho phép chúng tôi kiểm chứng được những dự đoán sai lầm của HS trong quá trình “Giải mã” một mệnh đề toán học. Ngoài ra, thực nghiệm này còn phần nào kiểm chứng giả thuyết H1.
KẾT LUẬN
Kết quả nghiên cứu trong chương 1, 2 và 3 cho phép chúng tôi trả lời những câu hỏi đặt ra ở trên. Sau đây là những kết quả chính được rút ra:
1. Kí hiệu toán học được ngầm đưa vào chương trình toán phổ thông từ rất sớm, nó là những ostensif mang giá trị thay thế “từ”, “cụm từ” và mang giá trị “công cụ diễn đạt”
của HS. Nó ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng tiếp thu tri thức, khả năng diễn đạt một mệnh đề toán học của HS trong suốt quá trình học tập ở các bậc học phổ thông cũng như sau này. Tuy nhiên, phần lớn chúng xuất hiện với vai trò “công cụ” trước, sau đó xuất hiện trong vai trò “đối tượng”. Thậm chí có nhiều kí hiệu chỉ xuất hiện trong vai trò “công cụ”. Đó cũng là một nguyên nhân làm nảy sinh sự nhập nhằng trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Qua phân tích, còn cho thấy có kí hiệu toán học mang nhiều nghĩa khác nhau.
2. Mong đợi của GV đối với HS trong việc diễn đạt định nghĩa, định lí, tính chất cũng như giải toán cần cô đọng, ngắn gọn và bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học càng tốt, đã góp phần tạo nên sự khác biệt trong hình thức trình bày nội dung bài học trong SGK của thể chế dạy học hình học 11 và vở ghi của HS.
3. Sự khác biệt trong hình thức trình bày nội dung định nghĩa, định lí, tính chất hay lời giải bài toán của thế chế dạy học toán hình học 11 hiện hành, giáo viên và học sinh cũng là nguyên nhân làm nảy sinh nhiều sai lầm liên quan đến việc sử dụng kí hiệu toán học cũng như cấu trúc logic để diễn đạt một mệnh đề toán học trong hình học không gian, chẳng hạn: sử dụng kí hiệu không đúng với giá trị của nó, không sắp xếp chúng theo nghĩa toán học trong quá trình mã hóa một mệnh đề toán học, cũng như không sử dụng đúng cấu trúc logic thông thường trong hoạt động trên hay thay thế kí hiệu bằng những thuật ngữ toán học không mang nghĩa toán học trong quá trình giải mã một mệnh đề toán học,… Những sai lầm này đã được kiểm chứng trong chương 3.
4. Thực nghiệm đã chỉ ra được những sai lầm đã tồn tại nơi học sinh trong việc sử dụng kí hiệu toán học, cấu trúc logic, thuật ngữ toán học trong cả hai quá trình “mã hóa” và
“giải mã” một mệnh đề toán học. Ngoài ra, còn chỉ ra được một khiếm khuyết của chương trình là với lựa chọn của thể chế dạy học hình học 11 hiện hành trong việc trình bày nội dung bài học trong SGK hình học 11 hiện hành không thúc đẩy quá trình rèn luyện, sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học cũng như cấu trúc logic để diễn đạt một mệnh đề toán học nơi học sinh. Hơn nữa còn cho thấy ảnh hưởng của việc không dạy phép “hội” các mệnh đề toán học của thể chế dạy học toán 10 đối với hoạt động mã hóa một mệnh đề toán học trong dạy – học hình học không gian 11.
Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn:
Do hạn chế về thời gian nên trong luận văn này, chúng tôi chưa nghiên cứu vấn đề sáng tạo kí hiệu của học sinh trong quá trình học hình học không gian 11 nói riêng và trong học toán nói chung. Họ sáng tạo những kí hiệu này xuất phát từ nhu cầu nào trong học toán? Nhu cầu này được hình thành từ khi nào? Chúng tôi cũng chưa tiến hành thực nghiệm được trên đối tượng là giáo viên về những sai lầm của học sinh trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học trong dạy – học hình học không gian 11.
Việc học sinh mắc phải những sai lầm trong việc sử dụng kí hiệu toán học, cấu trúc logic, thuật ngữ toán học trong quá trình “mã hóa” cũng như “giải mã” một mệnh đề toán học, đã gợi cho chúng tôi suy nghĩ đến việc tạo ra những tình huống xung đột nhận thức, nhằm phá hủy kiến thức cũ mang tính địa phương, nguồn gốc của những sai lầm như đã nêu ra. Đây cũng là vấn đề mà chúng tôi sẽ còn tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo, (2006), Chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán, NXB Giáo dục.
[2] Bộ Giáo dục và Đào tạo, (2007), Tài liệu Bồi dưỡng giáo viên “Thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 11 môn toán”, NXB Giáo dục.
[3] Bộ Giáo dục và Đào tạo, (2010), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán lớp 11, NXB Giáo dục Việt Nam.
[4] Lê Thị Hoài Châu, (2008), Phương pháp dạy – học Hình học ở trường trung học phổ thông, Ban ấn bản phát hành nội bộ trường Đại học sư phạm TP. HCM.
[5] Nguyễn Thiện Chí, (2010), Khái niệm Giá trị tuyệt đối trong dạy học toán ở trường phổ thông,luận văn thạc sĩ, trường Đại học Sư phạm TP. HCM.
[6] Phan Đức Chính (Tổng Chủ biên),(2006), SGK, SGV, SBT Toán 6, Toán 7, Toán 8, Toán 9, NXB Giáo dục.
[7] Phan Đức Chính và các tác giả khác, (1972), Từ điển Toán học Anh – Việt, NXB Khoa học và kỹ thuật.
[8] Hoàng Chúng, (1978), Phương pháp dạy học toán học (giáo trình dùng trong các trường CĐSP), BGD – Cục đào tạo và bồi dưỡng.
[9] Hoàng Chúng, (1995), Phương pháp dạy học toán học ở trường THCS, NXB Giáo dục.
[10] Văn Như Cương (Chủ biên), (2000), Hình học 11, NXB Giáo dục.
[11] Trần Lương Công Khanh, Tài liệu giảng dạy môn lịch sử toán.
[12] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), (2006), SGK, SGV, SBT Đại số 10, Đại số và Giải tích 11, SGK, SGV, SBT Hình học 10, Hình học 11(bộ chuẩn), NXB Giáo dục.
[13] Đỗ Đình Hoan (Chủ biên), (2006), SGK, SGV Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán 4, Toán 5, NXB Giáo dục.
[14] Đoàn Quỳnh (Tổng Chủ biên), (2006), SGK, SGV, SBT Đại số 10, Đại số và Giải tích 11, SGK, SGV, SBT Hình học 10, Hình học 11(bộ nâng cao), NXB Giáo dục.
[15] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), (2006), Tài liệu bồi dưỡng giáo viên “Thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 10 THPT” – Toán học nâng cao, Bộ giáo dục và đào tạo.
[16] Nguyễn Trường Sinh, (2012), Bảng biến thiên trong dạy học Hàm số ở Trung Học Phổ Thông, luận văn Thạc sĩ, trường Đại học Sư phạm TP. HCM.
[17] X.M. Nikolxki (Chủ biên), (2005), Từ điển bách khoa phổ thông Toán học (hai tập), NXB Giáo dục.
Song ngữ Pháp – Việt:
[18] Annie Bessot – Claude Comiti – Lê Thị Hoài Châu – Lê Văn Tiến, (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic toán – Éléments fondamentaux de didactique des mathematiques, NXB Đại học Quốc gia Tp.HCM.