3.2. Phân tích tiên nghiệm các bài toán thực nghiệm
3.2.3. Phân tích chi tiết các bài toán
Như phân tích ở trên, sai lầm có thể xảy ra ở quá trình “mã hóa” một mệnh đề toán học. Chúng tôi lựa chọn bài tập này gồm bốn câu hỏi nhỏ, là những mệnh đề toán học được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Trong bài tập này, chúng tôi chọn biến V1.1 với giá trị “tên chung, không có thứ tự”, riêng câu hỏi 1) chọn giá trị “bằng kí hiệu hay tên riêng và có thứ tự”. Nhằm mục đích kiểm tra xem HS gặp khó khăn trong hình thức nào nhiều hơn. Ngoài ra, còn nhằm kiểm tra xem HS khi mã hóa mệnh đề toán học, có sắp xếp kí hiệu toán học theo nghĩa toán học hay vẫn tôn trọng thứ tự của ngôn ngữ thông thường. Chọn biến V1.2 với giá trị “đầy đủ”. Để kiểm chứng xem, khi HS lựa chọn cấu trúc logic có quan tâm đến dạng của mệnh đề toán học. Chọn biến V1.3 với giá trị “không quen thuộc”, riêng câu 2) với giá trị biến “quen thuộc” nhằm mục đích kiểm chứng xem học sinh có mã hóa mệnh đề tốt hơn khi gặp tình huống quen thuộc.
Các chiến lược có thể
- Chiến lược S1: “Thứ tự kí hiệu”. Chiến lược này được hình thành do thói quen HS vẫn giữ nguyên thứ tự của kí hiệu toán học như ngôn ngữ thông thường sau khi thay thế mà không có sự sắp xếp, điều chỉnh chúng theo nghĩa toán học. Tức là, HS tôn trọng thứ tự ngôn ngữ thông thường khi sắp xếp kí hiệu toán học. Chiến lược này sẽ cho câu trả lời đúng trong trường hợp trật tự từ trong mệnh đề toán học trùng khớp với thứ tự kí hiệu toán học sau khi thay thế.
- Chiến lược S2: “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc”. Chiến lược này sinh ra do HS quen sử dụng hai cấu trúc logic thông dụng trong chương trình toán Đại số 10
đó là “A ⇒ B” và “A ⇔ B”, trong đó A chỉ là một điều kiện hay một mệnh đề độc lập.
Không quan tâm đến những cấu trúc logic khác mà ở đó có vai trò của phép “hội” các mệnh đề toán học. Cũng như có sự nhập nhằng trong việc sử dụng các kí hiệu toán học có giá trị tương đồng, chẳng hạn kí hiệu của quan hệ thuộc và quan hệ bao hàm.
- Chiến lược S3: “Kí hiệu – Cấu trúc”. Chiến lược này dựa trên sự kết hợp chặt chẽ giữa việc lựa chọn kí hiệu toán học để thay thế “từ”, “cụm từ” còn biết sắp xếp chúng theo nghĩa toán học. Biết lựa chọn cấu trúc phù hợp, đúng với mỗi dạng của mệnh đề toán học. Nó sinh ra trong quá trình thường xuyên luyện tập việc mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất cũng như trong quá trình giải toán dưới hình thức viết gọn bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Giúp HS hiểu được phép toán “hội” của các mệnh đề toán học cũng như hiểu giá trị của kí hiệu toán học thay thế nó. Đây là một chiến lược cho kết quả đúng.
Cái có thể quan sát được trong bài tập 1
• Kết quả tương ứng với chiến lược S1 Chẳng hạn:
1) a ⊄ (P) // (P) ⇔ a // b ⊂ (P) hay a ⊄ (P), a // (P) ⇔ a // b ⊂ (P) 2) (P) ⊃ a // (Q) ⇒ (P) ∩ (Q) = b // a
3) (P) ⊥ (Q) ⇔ (P) ⊃ a ⊥ (Q) hay (P) ⊥ (Q) ⇔ a ⊂ (P) ⊥ (Q) 4) a ⊥ (P) ⇔ a ⊥b cắt c ⊂ (P) hay a ⊥ (P) ⇔ a ⊥ b ∩ c ⊂ (P)
• Kết quả tương ứng với chiến lược S2
Xuất hiện những kết quả, trong đó có sử dụng cấu trúc logic “A1 ∧ A2 ∧…∧ An ⇒ B” và “A1 ∧ A2 ∧…∧ An ⇔ B”. Với “hội” các mệnh đề “A1 ∧ A2 ∧…∧ An” đồng nhất như một mệnh đề “A”. Cụ thể là, thiếu vắng kí hiệu “{”; “}”; “⇒” hoặc “⇔”. Thậm chí sử dụng nhầm lẫn giữa hai cấu trúc trên hoặc chỉ sử dụng một trong hai cấu trúc trên. Sử dụng kí hiệu toán học không đúng với giá trị của nó, khi thay thế những “từ”,
“cụm từ” hay các “thuật ngữ” toán học. Chẳng hạn:
1) a⊂( )
( ) ( ) P a b
b P a P
⇒
⊂
hay ( ) , ( )
( )
a P
a b b P
a P
∉
⇒ ⊂
,…
2)
( )
( ) b a ( ) ( )
a P
a Q
P Q
⊂
⇒
∩
hay
( )
( ) b a ( ) ( )
a P a Q
P Q
∈
⇒
∩
, …
3) (P) ⊥ (Q) ⇒ a ∈ (P), a ⊥ (Q) hay (P) ⊥ (Q) ⇔ a ∈ (P), a ⊥ (Q),…
4)
, ( )
, ( )
a b c
a P b c
b c P
⊥
⊥ ⇒ ∩ = ∅
⊂
hay ( ) ,
( ) a b c a P
b c P
⊥
⊥ ⇔ ∩ ⊂ ,…
• Kết quả tương ứng với chiến lược S3
Xuất hiện những kết quả, trong đó sử dụng kí hiệu thay thế phù hợp, có sự sắp xết chúng lại theo nghĩa toán học. Đồng thời sử dụng cấu trúc logic phù hợp với mỗi dạng mệnh đề toán học. Chẳng hạn:
1) a⊂( )
( ) ( ) P a b
b P a P
⇔ ⊂
hay a⊂( ) ; b (P)
( )
P a b
a P
⇔ ⊂
2)
( ) ( ) ( ) ( )
a P
a Q a b
P Q
⊂
⇒
∩
3) ( ) ( ) ( )
( ) P a
P Q
a Q
⊃
⊥ ⇔ ⊥ hay ( ) ( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q
⊂ ⇔ ⊥
⊥
4) a ⊥ b, a ⊥ c
b, c cắt nhau ⇔ a ⊥ (P) b, c ⊂ (P)
Hay ( )
, ( ) a b a c a P
b c I b c P
⊥
⊥
⊥ ⇔ ∩ =
⊂
Sự lựa chọn biến ảnh hưởng lên chiến lược
Đối với bài tập này, nếu HS không quan tâm đến vấn đề sắp xếp kí hiệu sau khi thay thế thì chiến lược S1 sẽ có điều kiện xảy ra rất lớn. Khi HS vượt qua chướng ngại này thì chiến lược S2, S3 sẽ được ưu tiên lựa chọn. Tuy nhiên, khi HS hiểu được phép
“hội” của các mệnh đề toán học, nắm và hiểu được cấu trúc logic, giá trị của các kí hiệu toán học khi mã hóa mệnh đề toán học thì khả năng xảy ra chiến lược S3 cao hơn.
Ngược lại thì khả năng xảy ra chiến lược S2 chiếm ưu thế.
Bài tập 2
Cũng như bài tập 1, ở bài tập này chúng tôi chọn biến V2.1 với giá trị “có” lời giải, biến V2.2 với giá trị “tùy ý”, nhằm kiểm chứng xem HS có lựa chọn kí hiệu toán học, cấu trúc logic thông dụng phù hợp để diễn đạt lời giải bài toán. Chọn biến V2.3 với giá trị “không”, nhằm kiểm chứng HS khi mã hóa bài toán bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, có sắp xếp kí hiệu toán học lại theo nghĩa toán học hay vẫn tôn trọng thứ tự của hình thức trình bày bằng ngôn ngữ thông thường sau khi thay thế chúng.
Các chiến lược có thể
+ Chiến lược S1: “Thứ tự kí hiệu”. Cũng như trong bài tập 1, Chiến lược này được hình thành từ thói quen của HS chỉ nhằm thay thế những “từ”, “cụm từ” trong lời giải bài toán mà không có sự sắp xếp chúng lại theo nghĩa toán học. Chiến lược này không cho kết quả đúng về mặt logic.
+ Chiến lược S2: “Quy về kí hiệu – cấu trúc logic quen thuộc”. Chiến lược này xuất hiện do HS đã quen với việc sử dụng cấu trúc logic “A ⇒B” với A chỉ là một mệnh đề độc lập. Thói quen này của HS một phần do không hiểu phép “hội” của các mệnh đề toán học hoặc không quan tâm đến việc lựa chọn cấu trúc logic phù hợp với lời giải bài toán này.
+ Chiến lược S3: “Kí hiệu – Cấu trúc”. Chiến lược này dựa trên nền tảng của hai chiến lược S1, S2. Tuy nhiên, người sử dụng chiến lược này đòi hỏi phải có sự điều chỉnh,
Đồng thời, phải sử dụng cấu trúc logic phù hợp với lời giải bài toán. Đây là chiến lược dẫn đến kết quả đúng.
+ Chiến lược S4: “Kí hiệu – Từ nối”. Chiến lược này dựa trên ảnh hưởng từ hình thức diễn đạt lời giải bài toán của thể chế dạy học hình học 11 trong SGK. Chiến lược này gần giống chiến lược S3. Tuy nhiên, đòi hỏi HS phải biết kết hợp giữa việc sử dụng cấu trúc logic với những liên từ liên kết (từ nối) để liên kết chúng lại thành một lời giải chặt chẽ, hợp logic. Đây cũng là một chiến lược cho kết quả đúng.
Cái có thể quan sát được trong bài tập 2
• Kết quả tương ứng với chiến lược S1 Chẳng hạn:
(SAC), (ABC) ⊥ (SAC) ∩ (ABC) = AC BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC)
• Kết quả tương ứng với chiến lược S2 Chẳng hạn:
(SAC) ⊥ (ABC) (SAC) ∩ (ABC) = AC BC ⊥ AC
⇒ BC ⊥ (SAC)
BC ⊂ (SBC) ⇒ (SAC) ⊥ (SBC)
• Kết quả tương ứng với chiến lược S3 Chẳng hạn:
(ABC) ⊥ (SAC)
(ABC) ∩ (SAC) = AC ⇒ BC ⊥ (SAC)
BC ⊥ AC ⇒ (SBC) ⊥ (SAC).
BC ⊂ (SBC)
• Kết quả tương ứng với chiến lược S4 Chẳng hạn:
(SAC) ⊥ (ABC) (1) (SAC) ∩ (ABC) = AC (2) BC ⊥ AC (3)
Từ (1), (2) và (3) say ra BC ⊥ (SAC) (4) Mà BC ⊂ (SBC) (5)
Từ (4) và (5) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC)
Sự lựa chọn biến ảnh hưởng lên chiến lược
Cũng như trong bài tập 1, nếu HS không quan tâm đến việc sắp xếp kí hiệu toán học theo nghĩa toán học hay thậm chí lạm dụng chúng khi diễn đạt lời giải bài toán thì khả năng xuất hiện chiến lược S1 là rất lớn. Khi HS vượt qua được chướng ngại này sẽ tạo điều kiện cho các chiến lược còn lại xảy ra. Tuy nhiên, nếu HS không vượt qua chướng ngại do thói quen sử dụng cấu trúc logic “A ⇒ B” để trình bày lời giải sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược S2 xảy ra. Khi vượt qua được hai chướng ngại trên thì khả năng xảy ra chiến lược S3, S4 là rất lớn. Nếu HS được làm quen với nhiều cấu trúc logic thông dụng và sử dụng chúng thành thạo sẽ tạo điều kiện cho chiến lược S3
xảy ra. Nếu HS quen với hình thức trình bày của SGK thì khả năng xảy ra chiến lược S4 cao hơn.
Bài tập 3
Cùng nội dung đề bài với bài tập 2. Tuy nhiên, lời giải được trình bày dưới hình thức mã hóa bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, trong đó có sử dụng cấu trúc logic thông thường. Trong bài tập này, chúng tôi chọn biến V3.1 với giá trị “có”, biến V3.2 với giá trị “theo cấu trúc logic dạng “((A1∧ A2 ∧ A3) ⇒ B) ∧ C) ⇒ D””. Nhằm kiểm chứng việc HS giải mã lời giải bài toán có sử dụng những thuật ngữ toán học phù hợp với giá trị của kí hiệu toán học tương ứng. Ở đây không những đòi hỏi HS hiểu được lời giải
bài toán dưới dạng ngôn ngữ kí hiệu toán học mà còn phải biết diễn giải lời giải đó đúng theo nghĩa toán học.
Các chiến lược có thể
+ Chiến lược S1: “Tên gọi kí hiệu – thuật ngữ tương đồng”. Chiến lược này dựa trên hình thức “phiên dịch” thô các kí hiệu toán học theo tên gọi hoặc sự tương đồng về mặt nghĩa của một số kí hiệu toán. Chẳng hạn: kí hiệu “∩” đọc là “giao”, có khi là “hợp”
hay kí hiệu “⊂” đọc là “con” hay “thuộc” mà không quan tâm đến giá trị của nó. Chiến lược này không cho kết quả đúng về mặt logic.
+ Chiến lược S2: “Thay thế không hoàn toàn ”. Chiến lược này xuất hiện, do HS không giải mã được sang ngôn ngữ thông thường hoặc lạm dụng kí hiệu khi diễn đạt. Chiến lược này cho kết quả không đúng với yêu cầu bài toán hoặc không đúng về mặt logic.
+ Chiến lược S3: “Thay thế hoàn toàn”. Chiến lược này dựa trên sự hiểu biết của HS về nội dung lời giải bài toán, biết được giá trị của những kí hiệu toán học khi thay thế.
Đây là chiến lược cho kết quả đúng.
Cái có thể quan sát được trong bài tập 3
• Kết quả tương ứng với chiến lược S1
Xuất hiện những lời giải, trong đó có những “từ”, “cụm từ” là tên gọi của các kí hiệu tương ứng hay những thuật ngữ toán học tương đồng với nghĩa của kí hiệu đó.
Chẳng hạn: “Mặt phẳng (ABC) giao mặt phẳng (SAC) bằng AC” hay “BC con mặt phẳng (SBC)”, hay “mặt phẳng (ABC) hợp với (SAC) giao tuyến AC” hay “BC thuộc mặt phẳng (SBC)”,...
• Kết quả tương ứng với chiến lược S2
Xuất hiện những lời giải, trong đó có sự nhập nhằng giữa ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu toán học. Chẳng hạn: “mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và (SAC) ∩ (ABC) = AC” hay “BC vuông góc AC mà BC ⊂ (SBC)”,…
• Kết quả tương ứng với chiến lược S3
Xuất hiện những lời giải tương đối mạch lạc, gọn, có sử dụng những “thuật ngữ”
toán học thay thế cho những kí hiệu tương ứng đúng theo nghĩa toán học. Chẳng hạn:
“Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (SAC) và chúng cắt nhau theo giao tuyến AC, đồng thời BC vuông góc với AC. Từ đó suy ra BC vuông góc với mặt phẳng (SAC).
Mà BC nằm trong mặt phẳng (SBC). Vậy (SBC) vuông góc với mặt phẳng (SAC)”.
Sự lựa chọn biến ảnh hưởng lên chiến lược
Trong bài tập này, nếu HS không quan tâm đến giá trị của kí hiệu toán học khi thay thế chúng bằng những thuật ngữ toán học tương ứng thì chiến lược S1 sẽ được ưu tiên lựa chọn. Khi HS vượt qua được chướng ngại này sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho chiến lược S2, S3 xảy ra. Nếu HS không nhập nhằng trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường khi giải mã lời giải bài toán và liên kết tốt các sự kiện một cách logic thì chiến lược S3 sẽ được ưu tiên lựa chọn. Ngược lại sẽ ưu tiên xuất hiện chiến lược S2.