CHƯƠNG 1 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC Ở CẤP ĐỘ
1.3. Vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học ở bậc THPT
1.3.3.2. Hình học 11 nâng cao
1.3.3.2.1. Chương I: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
Xuất hiện kí hiệu phép biến hình là “F”. Liệu kí hiệu này có gây ra sự nhập nhằng nào liên quan đến kí hiệu điểm F?
Phép tịnh tiến theo vectơ u được kí hiệu là Tu, phép đối xứng qua đường thẳng a kí hiệu là Đa,… Ngoài ra, có sự xuất hiện của kí hiệu tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài, chẳng hạn:
O1+ và O1− lần lượt là tâm vị tự ngoài và tâm vị tự trong […]. (EHHnc11, Tr. 14)
Bên cạnh đó, ở đây có sự nhập nhằng trong việc sử dụng kí hiệu góc giữa hai đường thẳng và góc lượng giác, chẳng hạn:
Cho tam giác đều ABC với (AB, AC) = […] = 600. (EHHnc11, Tr. 11)
Phải chăng, ở đây đã có sự ngầm ẩn rằng: kí hiệu góc giữa hai cạnh của một tam giác trong bài toán phép biến hình được hiểu là góc lượng giác?
1.3.3.2.2. Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
Trước đây HS đã có những hiểu biết nhất định về hình học không gian, thông qua mô tả trực quan một số hình như: hình hộp chữ nhật, hình lập phương, hình chóp đều, hình lăng trụ đều,…
Hơn nữa, đối với bộ môn hình học không gian thì việc sử dụng kí hiệu toán học để diễn đạt nội dung bài học là cần thiết. Vì vậy:
Việc hiểu hình là một “tập hợp điểm” tạo thuận lợi giúp chúng ta hiểu thêm một số khái niệm có liên quan như giao của hai hình, hợp của hai hình và do đó trong khi lập luận chúng ta có thể dùng các kí hiệu của lí thuyết tập hợp. ([2], tr. 86)
Tuy nhiên, Chúng tôi muốn tìm hiểu kí hiệu toán học được giới thiệu trong bài học như thế nào? Có nhập nhằng nào trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học?
Đối với kí hiệu “Mặt phẳng”, theo MHHnc11, tr. 40 thì:
Người ta thường […] dùng một chữ cái đặt trong dấu ngoặc ( ) để đặt tên cho mặt phẳng ấy. Ví dụ: mặt phẳng (P), mặt phẳng (Q), mặt phẳng (α), mặt phẳng (β) … và viết tắt là mp(P), mp(Q), mp(α), mp(β) … hoặc (P), (Q), (α), (β) …. (MHHnc11, tr. 40)
Thực ra, kí hiệu này học sinh đã được làm quen ở lớp 8. Tuy nhiên nó không được giới thiệu tường minh.
Kí hiệu “∈” thay cho từ “thuộc” khi biểu diễn “Điểm” thuộc “Mặt phẳng”, chẳng hạn:
[…] điểm A thuộc mp(P), khi đó ta kí hiệu A ∈ mp(P) hay A ∈ (P). (MHHnc11, tr. 40)
Kí hiệu “∉” thay cho cụm từ “không thuộc” hay “ở ngoài” khi biểu diễn “Điểm” không thuộc “Mặt phẳng”, chẳng hạn:
[…] điểm A không thuộc mp(P), ta còn nói điểm A ở ngoài mp(P) và kí hiệu A ∉ mp(P) hay A ∉ (P). (MHHnc11, tr. 40, 41)
Ngoài ra, theo MHHnc11, tr. 41 thì:
Khi điểm A thuộc mặt phẳng (P), ta còn nói:“điểm A nằm trên mặt phẳng (P)” hay
“điểm A nằm trong mặt phẳng (P)”, hoặc còn nói “mặt phẳng (P) đi qua điểm A” hay
“mặt phẳng (P) chứa điểm A. (MHHnc11, tr. 41)
Như vậy, kí hiệu “∈” còn thay cho các cụm từ “nằm trên”, “nằm trong”. Bên cạnh đó, thể chế dạy học hình học 11 nâng cao không sử dụng kí hiệu “∋” để thay cho cụm từ
“đi qua” hay “chứa” khi diễn đạt “Mặt phẳng” chứa “Điểm”, tức là không xuất hiện hình thức diễn đạt: mp(P) ∋ A hay (P) ∋ A mà đều sử dụng hình thức A ∈ (P).
Kí hiệu “⊂” thay cho cụm từ “nằm trong”, “nằm trên” hay “đi qua”; kí hiệu “⊃” thay cho từ “chứa” khi diễn đạt quan hệ bao hàm giữa đường thẳng và mặt phẳng, chẳng hạn:
Nếu đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) thì ta còn nói a nằm trên (P), hoặc (P) đi qua a, hoặc (P) chứa a và kí hiệu là a ⊂ (P), hoặc (P) ⊃ a. (MHHnc11, tr. 44)
Như vậy, ở đây đã có sự nhập nhằng trong việc sử dụng hai kí hiệu “∈” và “⊂” thay cho cụm từ “nằm trong” hay “nằm trên”. Vậy, liệu HS có mắc sai lầm khi sử dụng hai kí hiệu này khi “mã hóa” định nghĩa, định lí bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học hay giải toán?
Ngoài ra, còn có kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C cho trước, mặt phẳng chứa một đường thẳng a và một điểm A không nằm trên a, mặt phẳng chứa hai đường thẳng a, b song song hoặc cắt nhau, chẳng hạn:
Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định duy nhất một mặt phẳng […] được kí hiệu là mặt phẳng (ABC) hay mp(ABC) hay ngắn gọn là (ABC). (MHHnc11, tr. 42)
Hay
Mặt phẳng đi qua đường thẳng a và điểm A không nằm trên a là mp(A, a) hoặc mp(a, A), còn mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau a và b được kí hiệu là mp(a, b). (M , tr. 46)
Kí hiệu mặt phẳng qua nhiều hơn ba điểm đồng phẳng và có ít nhất ba điểm không thẳng hàng được ngầm sử dụng như kí hiệu mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng.
Kí hiệu “//” thay cho cụm từ “song song” khi diễn đạt quan hệ song song giữa hai đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng trong không gian, chẳng hạn:
a // b (MHHnc11, tr. 52) Hay
a // (P) hoặc (P) // a (MHHnc11, tr. 56) Hay
(P) // (Q) (MHHnc11, tr. 60)
Kí hiệu “∩” thay cho cụm từ “cắt nhau” khi diễn đạt sự cắt nhau giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng trong không gian, chẳng hạn:
a ∩ b = {I} hoặc a ∩ b = I. (MHHnc11, tr. 52) Hay
[…] a và (P) cắt nhau tại A và viết a ∩ (P) = {A} hoặc a ∩ (P) = A. (MHHnc11, tr. 56)
Ngoài ra, ở đây có sự đồng nhất giữa tập một phần tử với chính phần tử của tập đó.
Liệu HS có lạm dụng kí hiệu “∩” để thay thế cho từ “cắt nhau”, trong hình thức diễn đạt nội dung bài học bằng ngôn ngữ thông thường?
Kí hiệu “⊄” thay cho cụm từ “không nằm trong” hay “không nằm trên” hay “không chứa trong” khi diễn đạt đường thẳng không nằm trong mặt phẳng, chẳng hạn:
b ⊄ (P). (GHHnc11, tr. 41)
Hình thức trình bày các định nghĩa, định lí, tính chất trong bài học ở chương này đều bằng ngôn ngữ thông thường (hoàn toàn bằng ngôn ngữ thông thường hoặc có kí hiệu toán học trong lời phát biểu). Và hầu hết được diễn đạt dưới hình thức của một mệnh đề kéo theo, đúng. Có khi còn nguyên dạng “Nếu… thì…”, có khi thiếu từ
“Nếu”, hoặc thiếu từ “thì” và ít được chứng minh (3/24 tính chất, không tính các tính chất thừa nhận). Riêng định nghĩa hiểu theo nghĩa của mệnh đề tương đương, chẳng hạn:
Hai mặt phẳng gọi là song song nếuchúng không có điểm chung. (MHHnc11, tr. 61)
Trong chứng minh, giải toán, thể chế dạy học hình học 11 nc cũng ưu tiên lựa chọn hình thức diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn:
[…] điểm H thuộccả hai đường thẳng A’B’ và AB […], đường thẳng AB nằm trong mp(ABC). (MHHnc11, tr. 45)
Phải chăng thể chế dạy học hình học 11 nc, ưu tiên lựa chọn hình thức diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường để diễn đạt định nghĩa, định lí, tính chất cũng như trong chứng minh giải toán?
Tuy nhiên, có xuất hiện một vài bài toán với lời giải được diễn đạt gọn bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, theo cấu trúc logic “A1 ∧ A2 ∧…∧ An ⇒ B”, chẳng hạn:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P SAB
P ABCD MN MN AB
SAB ABCD AB
∩ = ⇒
∩ =
. (EHHnc11, tr. 92)
Tuy vậy, hình thức diễn đạt này chỉ xuất hiện trong SBT mà không xuất hiện trong SGK và SGV hình học 11nc. Liệu HS có hiểu và giải mã được hình thức diễn đạt này sang ngôn ngữ thông thường? Để áp dụng được hình thức diễn đạt này vào giải toán, HS phải biết mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học? Có những khó khăn và sai lầm nào khi mã hóa chúng?
Ngoài ra, còn có sự nhập nhằng trong việc sử dụng thuật ngữ toán học, chẳng hạn:
[…] Khi đó I thuộc a, mà a lại thuộc mp(P) suy ra I ∈ (P)[…]. (GHHnc11, tr. 45)
Lẽ ra các nhà viết sách sử dụng thuật ngữ “chứa trong” hay “nằm trong” khi diễn đạt quan hệ bao hàm giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì sẽ phù hợp hơn. Tuy nhiên ở đây đã sử dụng thuật ngữ “thuộc” để diễn đạt quan hệ đó.
Phải chăng đây là sai sót trong việc in ấn của các nhà viết sách hình học 11 nc?
Liệu học sinh có mắc phải sai lầm này như trong GHHnc11, tr.45. Nhất là khi mã hóa một mệnh đề toán học bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học?
Trong hoạt động giải toán, có sự không đồng bộ trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường, chẳng hạn:
Mặt phẳng (ABC)chứa BC và BC // (P) nên (ABC) cắt (P) theo giao tuyến ME // BC (E ∈ AC) […] (EHHnc11, tr. 86)
Tức là, lúc thì dùng các thuật ngữ toán học: “chứa”, “cắt” để diễn đạt, lúc thì dùng ngôn ngữ kí hiệu toán học (kí hiệu “//” để diễn đạt quan hệ song song của đường thẳng BC và (P)).
1.3.3.2.3. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
Kí hiệu “⊥” thay cho cụm từ “vuông góc” khi diễn đạt quan hệ vuông góc của hai đường thẳng bất kì, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng trong không gian, chẳng hạn:
a ⊥ b (MHHnc11, tr. 94) Hay
a ⊥ (P) (MHHnc11, tr. 97) Hay
(P) ⊥ (Q) (MHHnc11, tr. 105)
Không xuất hiện kí hiệu góc giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian, cũng như góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.
Kí hiệu khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đường thẳng trong không gian, giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song, giữa hai đường thẳng bất kì trong không gian đều giống nhau, chẳng hạn:
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) được kí hiệu là d(M, (P)).
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆được kí hiệu là d(M, ∆). (MHHnc11, tr.113) Kí hiệu khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với nó là d(a, (P)).
Kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là d((P), (Q)) . (MHHnc11, tr. 114)
Tất cả các định nghĩa, định lí trong chương này cũng được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường như trong chương II. Tuy nhiên, ở đây có sự khác biệt đó là: có một số tính chất được mã hóa theo cấu trúc logic “A1 ∧ A2 ∧…∧ An ⇒ B” bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:
( ) ( ) a b
P b P a
⇒ ⊥
⊥
;
( ) ( ) a P
b P a b
a b
⊥
⊥ ⇒
≡/
. (MHHnc11, tr. 99)
Phải chăng theo thể chế dạy học hình học 11nc, đến thời điểm này là phù hợp để giới thiệu hình thức “mã hóa” định lí, tính chất bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học?
Như phân tích trong chương II, hình thức diễn đạt này đã xuất hiện trong lời giải một số bài toán trong SBT. Còn ở đây nó xuất hiện tường minh trong SGK, vì vậy nó không còn xa lạ đối với HS. Nhưng vấn đề ở đây là ứng xử của HS? Tuy vậy, trong hoạt động giải toán, thể chế dạy học hình học 11nc vẫn ưu tiên lựa chọn hình thức diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường kết hợp với ngôn ngữ kí hiệu toán học, chẳng hạn:
[…] vì EF // AD nên EF // mp(SAD), mặt khác SK nằm trong mp(SAD) nên khoảng cách giữa EF và SK chính là khoảng cách giữa EF và mp(SAD) [...] tính d(EF;SK):
[…] (GHHnc11, tr. 117)
Ở đây còn thể hiện sự không nhất quán trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường. Tức là, lúc thì dùng kí hiệu toán học (EF // AD nên EF //
mp(SAD)), lúc thì dùng ngôn ngữ thông thường (SK nằm trong mp(SAD) nên khoảng cách giữa EF và SK chính là khoảng cách giữa EF và mp(SAD)).