Chương 1. HÀM TRỤ 9 1.1. Hàm chỉnh hình
1.3.2. Các hàm trụ khác
1) Hàm Khankelia. Chúng ta tiếp tục xét phương trình vi phân của hàm trụ với chỉ số
z2ω00 +zω0 + (z2 −λ2)ω = 0 (1.52)
(z là biến số độc lập, ω là hàm số phải tìm, λ là tham số, tất cả đại lượng được đưa ra ở đây là tổng hợp). Ta đi tìm cách giải phương trình (1.52) bằng phương pháp biến đổi tích phân, có nghĩa chúng ta sẽ tìm cách giải dưới dạng
ω = Z
C
K(z, ζ)W(ζ)dζ, (1.53) ở đó W là hàm phải tìm mới, còn hàm K(z, ζ) và chu tuyến C được chọn sao cho như chỉ ở dưới. Khi đặt (1.53) vào phương trình (1.52), chúng ta sẽ có (giả sử hoán vị thứ tự vi phân và phép lấy tích phân)
Z
C
z2∂2K
∂z2 +z∂K
∂z + (z2 −λ2)K
W(ζ)dζ = 0.
Bây giờ giả sử K thoả mãn phương trình vi phân z2∂2K
∂z2 +z∂K
∂z +z2K + ∂2K
∂ζ2 = 0. (1.54)
Khi đó hệ thức đã cho có dạng Z
C
∂2K
∂ζ2 +λ2K
W(ζ)dζ = 0.
Sử dụng cách tính tích phân từng phần đối với tích phân thứ nhất ∂2K
∂ζ2 W(ζ), chúng ta đưa phương trình thành dạng sau
Z
C
W00+λ2W Kdζ +
W∂K
∂ζ −KW0 b
a
= 0,
trong đó a và b chỉ phần đầu của đường thẳng C. Từ đó nếu đặt W = c±iλ ζ
và chọn cách lấy tích phân để trên các phần đầu của nó biểu thức W∂K
∂ζ − KW0 bằng 0, thì từ tích phân (1.53) sẽ cho cách giải phương trình (1.52).
Dễ dàng kiểm tra rằng phương trình (1.54) sẽ được thỏa mãn nếu đặt K = ei zsinζ. Để lấy tích phân chúng ta chọn các chu tuyến C1 và C2 trên hình 1.4,
vì trên trục ảo sinζ = siniη = i sh η, còn trên những đường thẳng ±π +iη ta có sinζ = −siniη = −ish η, nên trên đoạn thẳng đứng C1 và C2 chúng ta có
|K| =
e−x sh η, η > 0 ex sh η, η < 0
Hình 1.4
Từ đó nếu x = Re z > 0, thì khi η → +∞ tương ứng khi η → −∞,
|K| hướng tới 0 với tốc độ e− x 2e
η
, tương ứng −e− x 2e
η
. Nhưng khi đó cả W∂K
∂ζ = e±iλ ζi zcosζ.K và KW0 = ±iλe±iλ ζK hướng tới 0 khi tiến gần đến đầu C1 và C2, hoặc tiến đến 0. Do đó ta có cách giải phương trình (1.52) ở nửa mặt phẳng phải Rez > 0
Hλ(1)(z) = 1 π
R
C1
ei zsinζ−iλ ζdζ, Hλ(2)(z) = 1
π R
C2
ei zsinζ−iλ ζdζ,
(1.55)
được gọi là những hàm trụ dạng 3, hoặc những hàm Khankelia.
2) Mối liên hệ giữa hàm trụ loại 1 và loại 3. Nếu cộng hai công thức (1.55), thì tích phân theo nửa trục ảo được rút gọn. Chúng ta nhận được
Hλ(1)(z) +Hλ(2)(z) = 1 π
Z
Q
eizsinζ−iλζdζ = 2Jλ(z)
(Π là chu tuyến hình 1.4). Bằng cách đó, đối với tất cả giá trị tổng hợp λ ở nửa mặt phẳng phải Rez > 0 hàm Bessel bằng
Jλ(z) = Hλ(1)(z) +Hλ(2)(z)
2 . (1.56)
Để tìm biểu thức hàm Khankelia thông qua hàm Bessel, ta tìm mối liên hệ ban đầu giữa các hàm Khankelia trái dấu. Chúng ta có, ví dụ
H−(1)λ(z) = 1 π
Z
C1
ei zsinζ+iλ ζdζ
và khi đưa vào biến số mới của tích phân ω = −ζ +π, từ đó chu tuyến C1
chuyển đến chu tuyến C1−, trùng với C1, nhưng chuyển qua hướng đối lập, chúng ta nhận được
H−(1)λ(z) = −eiλπ π
Z
C1−
eizsinω−iλωdω = eiλπHλ(1)(z)
tương tự khi đưa ω = −ζ −π, chúng ta nhận được công thức cho Hλ(2)(z).
Như vậy,
H−(1)λ(z) = eiλπHλ(1)(z), H−(2)λ(z) =e−iλπHλ(2)(z). (1.57) Bây giờ cùng với hệ thức (1.56) ta xem xét công thức
J−λ(z) = H−(1)λ(z) + H−(2)λ(z)
2 = eiλ πHλ(1)(z) + e−iλπHλ(2)(z) 2
(chúng ta sử dụng công thức (1.57), thì từ hai công thức này chúng ta tìm được biểu thức hàm Khankelia qua hàm Bessel
Hλ(1)(z) =ie−iλπJλ(z)−J−λ(z) sinλ π ; Hλ(2)(z) =−ieiλ πJλ(z)−J−λ(z)
sinλ π . (1.58)
Nói đúng ra những công thức (1.58) nhận được khi cho λ khác với những số nguyên, nhưng chúng vẫn đúng cả trong trường hợp λ là số nguyên, nếu ở những phần phải xét có dạng không xác định 0
0 thì chúng ta sử dụng quy
tắc Lôpital. Khi đó ta có thể khẳng định rằng công thức (1.58) cho phép tiếp tục phân tích Hλ(1)(z) và Hλ(2)(z) trên cả mặt phẳng phức z.
Từ công thức (1.58) của hàm Khankenlia nhận được các hệ thức, tương đương của hàm Bessel. Ví dụ khi sử dụng công thức truy toán ta có
Hλ−1(z) +Hλ+1(z) = 2λ
2 Hλ(z), Hλ−1(z)−Hλ+1(z) = 2Hλ0(z) (1.59) (ở đây Hλ có nghĩa là Hλ(1), như cả Hλ(1). Khi sử dụng công thức (1.36) và công thức J00(z) = J1(z) của mục trước, chúng ta nhận được
H(1)1 2
(z) =−i r 2
πzeiz; H(2)1 2
(z) =−i r 2
πze−i z. (1.60) Tương tự trên giữa hàm Bessel và lượng giác, công thức (1.56) và (1.60) chỉ ra sự tương đương giữa các hàm Hλ(z) và e±iz.
3) Những hàm Vêbe. Công thức (1.56) cho chúng ta thấy hàm Jλ được xây dựng từ những hàm Hλ, như hàm cosin. Xem xét cả những hàm mà xây dựng từ Hλ như sin
Yλ(z) = Hλ(1)(z)−Hλ(2)(z)
2i . (1.61)
Những hàm này được gọi là hàm trụ dạng 2 hay là hàm Vêber; chúng được gọi cả hàm Nheyman và khi đó có nghĩa là qua hàm Nλ(z).
Vì trong giá trị thực z và λ hàm Jλ(z) là hàm thực, nên từ công thức (1.58) rút ra rằng đối với giá trị z và λ như thế ta có
Hλ(1)(z) =Hλ(2)(z).
Nhưng khi rút ra từ (1.61) rõ ràng đối với những giá trị thực z và λ những hàm Vêber có giá trị thực.
Khi sử dụng các công thức (1.58) và (1.61) chúng ta cũng nhận được biểu thức hàm Vêber qua hàm Bessel
Yλ(z) = cosλπJλ−J−λ(z)
sinλπ . (1.62)
Nhờ λ hướng đến những số nguyên n, chúng ta nhận được dạng 0
0. Khi xem xét nó theo quy tắc Lôpital, chúng ta nhận được đối với số nguyên λ = n
Yn(z) =
∂Jλ(z)
∂λ cosλπ −πsinλπJλ(z)− ∂J−λ(z)
∂λ πcosλπ
λ=n
=
= 1 π
∂Jλ(z)
∂λ −(−1)n∂J−λ(z)
∂λ
λ=n
(1.63)
Đối với hàm số Vêbe ta có hệ truy toán Yλ−1(z) +Yλ+1(z) = 2λ
z Yλ(z), Yλ−1(z) + Yλ+1(z) = 2Yλ0(z), (1.64) để kiểm tra chúng ta đưa biểu thức Yλ qua Hλ (công thức (1.61)) và sử dụng hệ thức (1.59). Những hàm Vêber có bậc bằng 1
2, được biểu diễn qua hàm cơ bản, hoặc từ công thức
Jn(z) = 1 2π
Zπ
−π
ei zsinζ−in ζdζ = 1 π
Zπ 0
cos(zsinζ −nζ)dζ
Ở mục trên rút ra nhờ λ = ±(n+ 1 2) Y
n+1 2
(z) = (−1)n+1J
−n−1 2
(z), Y
−n−1 2
(z) = (−1)nJ
n+1 2
(z). (1.65) Chúng ta tìm được biểu thức của hàm Vêber bậc số nguyên ở chuỗi luỹ thừa. Đối với việc này có thể sử dụng công thức (1.63) và khai triển trong chuỗi
Jλ(z) = (z 2)λ
X∞ k=0
(−1)k k! (z
2)2k 1
Γ(λ+k+ 1). (1.66) Chúng ta nhận được những công thức phụ từ hàm Gamma. Từ công thức (1.60) đối với đạo hàm Lụgarit Gamma, giả sử trong núz = n−1 (n = 0,1,2,ã ã ã), chúng ta nhận được
ψ(n) = Γ0(Γ)
Γ(n) = −C −(1
n −1)−( 1
n+ 1 − 1
2)−( 1
n+ 2 − 1
3)− ã ã ã
= −C + 1 + 1
2 +ã ã ã + 1
n−1. (1.67)
Từ đó cho n= 0,1,2,3, ... chúng ta có d
dt 1 Γ(t)
t=n
= −Γ0(n)
Γ2(n) = 1
(n−1)!(C −1− 1
2 − ã ã ã − 1 n−1)
(chỳng ta thay Γ(n) = (n−1)!). Tại cỏc điểm t = −n (n= 0,1,2,ã ã ã) hàm Gamma có các cực bậc 1 với các phép trừ (−1)n 1
n!, tiếp theo ở ngoại vi điểm t = −n khai triển đúng
1
Γ(t) = (−1)nn!(t+n){1 +C1(t+n) +ã ã ã} ã. Từ đó rõ ràng rằng đối với n = 0,1,2, ... ta có
d dt
1 Γ(t)
t=−n
= (−1)nn!.
Lấy vi phân (1.66) theo λ, chúng ta tìm được
∂Jλ(z)
∂λ = lnz
2Jλ(z) + (z 2)λ
X∞ k=0
(−1)k k! (z
2)2k d dt
1 Γ(t)
t=λ+k+1
và
∂J−λ(z)
∂λ = −lnz
2J−λ(z)−(z 2)λ
X∞ k=0
(−1)k k! (z
2)2k d dt
1 Γ(t)
t=−λ+k+1
.
Đối với những số nguyên dương λ = n từ đây trên cơ sở công thức (1.63) và những giá trị d
dt( 1
Γ(t)) chúng ta nhận được Yn(z) = 2
πjn(z)(ln z
2 +C)− 1 π
n−1
X
k=1
(n−k−1)!
k! (z
2)2k−n−
− 1 π
X∞ k=0
(−1)k k!(n+k)!(z
2)2k+n
1 + 1
2 +ã ã ã + 1
n+k + 1 + 1
2 +ã ã ã + 1 k
, (1.68) với n = 0
Y0(z) = 2
πJ0(z)(ln z
2 +C)− 2 π
X∞ k=1
(−1)k (k!)2 (z
2)2k(1 + 1
2 +ã ã ã+ 1
k). (1.69) Chúng ta thấy rằng khi đó những hàm Bessel bậc số nguyên là số nguyên, đưa vào khai triển Yn(z), ngoài bậc z cả lnz.
4) Cách giải tổng quát của phương trình các hàm trụ. Theo định nghĩa hàm Khankelia Hλ(1)(z) và Hλ(2)(z) thì cách giải phương trình
z2ω00+ zω0 + (z2 −λ2)ω = 0. (1.70) Phương trình trên là độc lập tuyến tính, do đó cách giải tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính (1.70) được biểu diễn dưới dạng
ω = C1Hλ(1)(z) +C2Hλ(2)(z), (1.71) trong đó C1 và C2 là đại lượng bất kỳ.
Vì những hàmJλ(z) và Yλ(z) được biểu diễn qua Hλ(1)(z) và Hλ(2)(z) tuyến tính cả với định thức khác 0
1 2
1 1 2 2i
−1 2i
= i 2
(xem công thức (1.56) và (1.61). Thì cả những hàm Jλ(z), Yλ(z) là những cách giải phụ thuộc tuyến tính của phương trình (1.52). Tiếp theo cách giải tổng quát của phương trình này nhờ λ bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng
ω = C1Jλ(z) +C2Yλ(z), (1.72) trong đó C1 và C2 là đại lượng bất kỳ. Ngoài ra vì Hλ(1) và Hλ(2)(z) được biểu diễn qua và tuyến tính cả với định thức
i e−iλ π
sinλ π − i sinλ π
−i eiλ π sinλ π
i sinλ π
= 2i sinλ π,
khác 0 và kết thúc khi số λ không nguyên bất kỳ, khi đó cách giải tổng quát có thể biểu diễn cả ở dạng
ω = C1Jλ(z) +C2J−λ(z). (1.73) Khi số nguyên λ = n những hàm Jn và J−n trở thành hàm độc lập tuyến tính, và thay (1.73) cần chọn cách giải tổng quát dạng (1.71) và (1.72).
5) Các hàm trụ biến thuần ảo. Ở một vài ứng dụng thường gặp những hàm trụ có biến thuần ảo z = ix. Từ công thức (1.39) rút ra rằng hàm y = Jλ(ix) thoả mãn phương trình vi phân
y00 + 1
xy0 −(1 + λ2
x2)y = 0. (1.74)
Từ khai triển Jλ(z) vào chuỗi chúng ta có Jλ(i x) =
X∞ k=0
(−1)kiλi2k k!Γ(λ+k + 1)(x
2)λ+2k = iλ X∞ k=0
1
k!Γ(λ+k + 1)(x
2)λ+2k. Từ đây rõ ràng nếu chúng ta muốn nhận hàm số thực đối với những số thực λ và z, chúng ta cần nhân với số nhân cố định Jλ(ix), tích đó có ký hiệu
Iλ(z) =e−λ πi/2Jλ(i x) = X∞
k=0
1
k!Γ(λ+k + 1)(x
2)λ+2k. (1.75) Hàm I−λ(z) cũng là cách giải hàm (1.74) và nếu λ không nguyên, thì Iλ(z) và I−λ(z) là phụ thuộc tuyến tính. Nếu λ = n là nguyên thì từ (1.75) và hệ J−n(z) = (−1)nJn(z) chúng ta nhận được
I−n(z) =In(z). (1.76) Để có được cách giải thứ hai của hệ số độc lập tuyến tính với In, ở đây cần phải sử dụng các hàm đã nhận được từ các hàm trụ khác. Được sử dụng nhiều hơn trong số các hàm đó là hàm nhận được từ hàm Hankel đầu tiên từ biến số ảo bằng cách nhân thành số nhân bất biến nào đó.
Kλ(x) = πi
2 e−λ πi/2Hλ(1)(i x). (1.77) Điều quan trọng của hàm này đối với việc sử dụng được quy ước trước nó là giải phương trình (1.74), phương trình dương và tiến đến 0 khi x → ∞ theo quy luật số mũ
Kλ(x) = −πe−λπi/2Jλ(ix)−eλπi/2J−λ(ix)
2 sinλπ ,
hoặc là khi đưa vào theo công thức (1.75) của hàm Jλ(z) Kλ(x) = π
2
I−λ(x)−Iλ(x)
sinλπ . (1.78)
Ở đây khi chuyển đến giới hạn hướng đến số nguyên n nhờ λ, và khi xét tính không ổn định, chúng ta sẽ nhận được
Kn(x) = (−1)n 2
∂I−λ(x)
∂λ − ∂Iλ(x)
∂λ
λ=n
. (1.79)
Từ đó có thể nhận sự khai triển Kn(x) vào chuỗi bởi vì chúng ta đã thực hiện điều này đối với hàm Veber. Ví dụ, với n = 0, chúng ta nhận được
K0(x) = −I0(x) lnx 2 + 1
2 X∞
k=0
1 (k!)2
x 2
2k
ψ(k+ 1), (1.80) trong đó ψ là hàm gamma sinh lôgarit. Dựa vào công thức (1.77) và (1.57) với λ bất kỳ chúng ta nhận được
Kλ(x) = K−λ(x).
Dễ dàng kiểm tra được các hàm Iλ(z) và Kλ(z) đáp ứng một vài hệ thức truy toán biến thái
Iλ−1(z)−Iλ+1(z) = 2λ
z Iλ(z); Iλ−1(z) +Iλ+1(z) = 2Iλ0(z). (1.81) Kλ−1(z)−Kλ+1(z) = −2λ
z Kλ(z); Kλ−1(z) +Kλ+1(z) = −2Kλ0(z), (1.82) nói riêng,
I00(z) =I1(z); K00(z) = −K1(z). (1.83) Khi λ bằng nửa số nguyên những hàm này sẽ được biểu diễn thông qua các hàm thành phần, ví dụ
I1/
2(z) = r 2
πzsh z, I−1/
2(z) = r 2
πzch z, K1/
2(z) = K−1/
2(z) = r 2
πze−z. (1.84)
Trong một số bài toán còn gặp các hàm trụ của biến z = x√
−i = e3iπ/4x.
Đối với phần thực và đưa vào các kí hiệu đặc biệt Jλ(x√
−i) = eλπi/2Iλ(x√
i) = berλx+ibeiλ x, e−λπi/2Kλ(x√
i) = kerλx+ikeiλx, Hλ(x√
−i) = herλx+iheiλx,
. (1.85) Với λ = 0 chỉ số thường bị bỏ qua, ví dụ
J0(x√
−i) = I0(x√
i) =berx+ibeix. (1.86)